परिमित समुच्चय

गणित में, विशेष रूप से समुच्चय सिद्धान्त , एक परिमित सेट एक सेट (गणित) होता है जिसमें एक विकट होता है: एलिमेंट (गणित) की परिमित संख्या। अनौपचारिक रूप से, एक परिमित समुच्चय एक ऐसा समुच्चय है जिसे सैद्धांतिक रूप से गिन सकता है और गिनती समाप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए,

$\{2,4,6,8,10\}$

पाँच तत्वों वाला एक परिमित समुच्चय है। परिमित सेट के तत्वों की संख्या एक प्राकृतिक संख्या (संभवतः शून्य) है और इसे सेट की प्रमुखता (या कार्डिनल नंबर) कहा जाता है। वह समुच्चय जो परिमित समुच्चय नहीं है, अपरिमित समुच्चय कहलाता है। उदाहरण के लिए, सभी धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय अनंत है:

$\{1,2,3,\ldots \}.$

गणना के गणितीय अध्ययन, साहचर्य में परिमित सेट विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं। परिमित सेट से जुड़े कई तर्क कबूतर सिद्धांत पर भरोसा करते हैं, जिसमें कहा गया है कि एक बड़े परिमित सेट से एक छोटे परिमित सेट तक एक इंजेक्शन समारोह फ़ंक्शन (गणित) मौजूद नहीं हो सकता है।

परिभाषा और शब्दावली

औपचारिक रूप से, एक सेट S यदि कोई आक्षेप मौजूद है तो परिमित कहा जाता है

$f\colon S\to \{1,\ldots ,n\}$

कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए n. जो नंबर n सेट की कार्डिनैलिटी है, जिसे के रूप में दर्शाया गया है |S|. खाली सेट { } या ∅ को कार्डिनैलिटी शून्य के साथ परिमित माना जाता है। यदि एक समुच्चय परिमित है, तो इसके तत्वों को - कई तरीकों से - एक क्रम में लिखा जा सकता है:

$x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\quad (x_{i}\in S,\ 1\leq i\leq n).$

कॉम्बिनेटरिक्स में, एक परिमित सेट के साथ n तत्वों को कभी-कभी कहा जाता हैn-सेट और एक सबसेट के साथ k तत्व कहलाते हैंk-सबसेट। उदाहरण के लिए, समुच्चय {5,6,7} एक 3-समुच्चय है - तीन तत्वों वाला परिमित समुच्चय - और {6,7} इसका 2-उपसमुच्चय है।

(जो प्राकृतिक संख्या की परिभाषा से परिचित हैं, सेट थ्योरी में परंपरागत रूप से, तथाकथित प्राकृतिक संख्या # वॉन न्यूमैन निर्माण, आपत्ति के अस्तित्व का उपयोग करना पसंद कर सकते हैं $f\colon S\to n$, जो समतुल्य है।)

मूल गुण

परिमित समुच्चय S का कोई भी उचित उपसमुच्चय परिमित होता है और इसमें स्वयं S से कम अवयव होते हैं। परिणामस्वरूप, एक परिमित समुच्चय S और S के उचित उपसमुच्चय के बीच कोई आक्षेप नहीं हो सकता। इस गुण के साथ कोई भी समुच्चय डेडेकाइंड-परिमित कहलाता है। सेट सिद्धांत के लिए मानक ज़र्मेलो-फ्रैंकेल सेट सिद्धांत सिद्धांतों का उपयोग करते हुए, प्रत्येक डेडेकिंड-परिमित सेट भी सीमित है, लेकिन यह निहितार्थ केवल जेडएफ (पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना ज़र्मेलो-फ्रैंकेल स्वयंसिद्ध) में गणितीय प्रमाण नहीं हो सकता है। गणनीय चयन का स्वयंसिद्ध, पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर संस्करण, इस तुल्यता को साबित करने के लिए पर्याप्त है।

एक ही कार्डिनैलिटी के दो परिमित सेटों के बीच कोई भी इंजेक्शन फ़ंक्शन भी एक विशेषण कार्य (एक प्रक्षेपण) है। इसी तरह, एक ही कार्डिनैलिटी के दो परिमित सेटों के बीच कोई भी प्रक्षेपण भी एक इंजेक्शन है।

दो परिमित समुच्चयों का मिलन (सेट थ्योरी) परिमित होता है, जिसमें

$|S\cup T|\leq |S|+|T|.$

वास्तव में, समावेश-बहिष्करण सिद्धांत द्वारा:

$|S\cup T|=|S|+|T|-|S\cap T|.$

अधिक आम तौर पर, परिमित सेटों की किसी भी परिमित संख्या का मिलन परिमित होता है। परिमित सेटों का कार्टेशियन उत्पाद भी परिमित है, इसके साथ:

$|S\times T|=|S|\times |T|.$

इसी प्रकार, बहुत से परिमित समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल परिमित होता है। n अवयवों वाले परिमित समुच्चय में 2 होते हैंⁿ अलग उपसमुच्चय। अर्थात्, एक परिमित समुच्चय S का घात समुच्चय P(S) परिमित है, कार्डिनैलिटी 2 . के साथ^|S|.

परिमित समुच्चय का कोई उपसमुच्चय परिमित होता है। किसी परिमित समुच्चय के तत्वों पर लागू होने पर किसी फलन के मानों का समुच्चय परिमित होता है।

सभी परिमित समुच्चय गणनीय हैं, लेकिन सभी गणनीय समुच्चय परिमित नहीं हैं। (हालांकि, कुछ लेखक गणनीय का अर्थ गणनीय रूप से अनंत के लिए उपयोग करते हैं, इसलिए परिमित सेटों को गणनीय नहीं मानते हैं।)

एक परिमित समुच्चय पर मुक्त अर्धजाल इसके गैर-रिक्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, जिसमें शामिल हों और मिलें सेट संघ द्वारा दिए गए हों।

परिमितता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी में पसंद के स्वयंसिद्ध (ZF) के बिना, निम्नलिखित स्थितियाँ सभी समतुल्य हैं:

1. S एक पर िमित समुच्चय है। अर्थात्, S को किसी विशिष्ट प्राकृत संख्या से कम उन प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है।
2. (काज़िमिर्ज़ कुराटोव्स्की ) एस में सभी गुण हैं जो गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है जो खाली सेट से शुरू होता है और एक समय में एक नया तत्व जोड़ता है। (देखें # सेट-सैद्धांतिक परिभाषाओं की परिमितता के लिए सेट-सैद्धांतिक सूत्रीकरण कुराटोवस्की परिमितता।)
3. (पॉल स्टैकेल) एस को कुल ऑर्डर दिया जा सकता है जो आगे और पीछे दोनों तरफ अच्छी तरह से ऑर्डर किया गया है। अर्थात्, S के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में उपसमुच्चय में सबसे छोटा और सबसे बड़ा दोनों तत्व होते हैं।
4. P(P(S)) से प्रत्येक एक-से-एक फ़ंक्शन स्वयं में है। यही है, एस के सत्ता स्थापित की शक्ति डेडेकिंड-परिमित है (नीचे देखें)।
5. P(P(S)) से स्वयं पर प्रत्येक विशेषण फलन एक-से-एक है।
6. (अल्फ्रेड टार्स्किक ) एस के उपसमुच्चय के प्रत्येक गैर-खाली परिवार में समावेश के संबंध में एक न्यूनतम तत्व है। (समान रूप से, एस के उपसमुच्चय के प्रत्येक गैर-खाली परिवार में समावेश के संबंध में एक अधिकतम तत्व है।)
7. S को अच्छी तरह से व्यवस्थित किया जा सकता है और इस पर कोई भी दो वेल-ऑर्डर आदेश आइसोमोर्फिक हैं। दूसरे शब्दों में, S पर वेल-ऑर्डरिंग में ठीक एक ऑर्डर प्रकार होता है।

यदि पसंद का स्वयंसिद्ध भी माना जाता है (गणनीय पसंद का स्वयंसिद्ध पर्याप्त है), तो निम्नलिखित स्थितियाँ सभी समतुल्य हैं:

1. S एक परिमित समुच्चय है।
2. (रिचर्ड डेडेकिंड ) S से स्वयं में प्रत्येक एक-से-एक कार्य चालू है।
3. S से स्वयं पर प्रत्येक विशेषण फलन एक-से-एक है।
4. S खाली है या S के प्रत्येक आंशिक क्रम में एक अधिकतम तत्व है।

मूलभूत मुद्दे

अनंत समुच्चयों का गणितीय उपचार प्रदान करने के लिए जॉर्ज कैंटर ने समुच्चय के अपने सिद्धांत की शुरुआत की। इस प्रकार परिमित और अनंत के बीच का अंतर समुच्चय सिद्धांत के केंद्र में है। कुछ मूलभूतवादी, फिनिटिज्म , अनंत समुच्चयों के अस्तित्व को अस्वीकार करते हैं और इस प्रकार केवल परिमित समुच्चयों पर आधारित गणित की अनुशंसा करते हैं। मुख्यधारा के गणितज्ञ सख्त परिमितता को बहुत सीमित मानते हैं, लेकिन इसकी सापेक्ष स्थिरता को स्वीकार करते हैं: वंशानुगत रूप से परिमित सेट ों का ब्रह्मांड ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का एक मॉडल बनाता है जिसमें अनंतता के स्वयंसिद्ध को इसके तार्किक निषेध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यहां तक ​​कि अधिकांश गणितज्ञों के लिए जो अनंत सेटों को गले लगाते हैं, कुछ महत्वपूर्ण संदर्भों में, परिमित और अनंत के बीच औपचारिक अंतर एक नाजुक मामला बना रह सकता है। कठिनाई गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से उत्पन्न होती है। पीनो अंकगणित (और निश्चित रूप से इसके विपरीत भी) के भीतर आनुवंशिक रूप से परिमित सेट के सिद्धांत की व्याख्या कर सकते हैं, इसलिए पीनो अंकगणित के सिद्धांत की अपूर्णता का तात्पर्य आनुवंशिक रूप से परिमित सेट के सिद्धांत से है। विशेष रूप से, दोनों सिद्धांतों के तथाकथित गैर-मानक मॉडलों की अधिकता मौजूद है। एक प्रतीयमान विरोधाभास यह है कि वंशानुगत रूप से परिमित सेट के सिद्धांत के गैर-मानक मॉडल हैं जिनमें अनंत सेट होते हैं, लेकिन ये अनंत सेट मॉडल के भीतर से परिमित दिखते हैं। (यह तब हो सकता है जब मॉडल में इन सेटों की अनंतता को देखने के लिए आवश्यक सेट या फ़ंक्शंस का अभाव हो।) अपूर्णता प्रमेयों के कारण, कोई प्रथम-क्रम तर्क नहीं है | प्रथम-क्रम विधेय, और न ही प्रथम-क्रम विधेय की कोई पुनरावर्ती योजना भी , ऐसे सभी मॉडलों के मानक भाग की विशेषता बता सकता है। तो, कम से कम पहले क्रम के तर्क के दृष्टिकोण से, कोई केवल परिमितता का लगभग वर्णन करने की उम्मीद कर सकता है।

अधिक आम तौर पर, अनौपचारिक धारणाएं जैसे सेट, और विशेष रूप से परिमित सेट, औपचारिक प्रणालियों की एक श्रृंखला में व्याख्या प्राप्त कर सकती हैं जो उनके स्वयंसिद्ध और तार्किक तंत्र में भिन्न होती हैं। सबसे प्रसिद्ध स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांतों में ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी (ZF), ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी विथ द एक्सिओम ऑफ़ चॉइस (ZFC), वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (NBG), गैर-स्थापित सेट सिद्धांत , शामिल हैं। बर्ट्रेंड रसेल का प्रकार सिद्धांत और उनके विभिन्न मॉडलों के सभी सिद्धांत। क्लासिकल पहले क्रम का तर्क , विभिन्न उच्च-क्रम लॉजिक और अंतर्ज्ञानवादी तर्क में से कोई भी चुन सकता है।

एक औपचारिकता (गणित) अर्थ देख सकती है सिस्टम से सिस्टम में अलग-अलग सेट का। कुछ प्रकार के गणितीय प्लैटोनिज़्म विशेष औपचारिक प्रणालियों को एक अंतर्निहित वास्तविकता के अनुमान के रूप में देख सकते हैं।

परिमितता की सेट-सैद्धांतिक परिभाषाएं

ऐसे संदर्भों में जहां प्राकृतिक संख्या की धारणा सेट की किसी भी धारणा से पहले तार्किक रूप से बैठती है, कोई भी सेट एस को परिमित के रूप में परिभाषित कर सकता है यदि एस फॉर्म के प्राकृतिक संख्याओं के कुछ सेट के लिए एक आक्षेप स्वीकार करता है $\{x\,|\,x<n\}$. गणितज्ञ आमतौर पर सेट थ्योरी में संख्या की धारणाओं को चुनते हैं, उदाहरण के लिए वे प्राकृतिक संख्याओं को परिमित सुव्यवस्थित सेटों के क्रम प्रकारों द्वारा मॉडल कर सकते हैं। इस तरह के दृष्टिकोण के लिए परिमितता की एक संरचनात्मक परिभाषा की आवश्यकता होती है जो प्राकृतिक संख्याओं पर निर्भर नहीं करती है।

ZFC सिद्धांत में सभी सेटों के बीच परिमित सेटों को एकल करने वाले विभिन्न गुण, ZF या अंतर्ज्ञानवादी सेट सिद्धांतों जैसे कमजोर प्रणालियों में तार्किक रूप से असमान हो जाते हैं। दो परिभाषाएँ साहित्य में प्रमुखता से दिखाई देती हैं, एक रिचर्ड डेडेकिंड के कारण, दूसरी काज़िमिर्ज़ कुराटोस्की के कारण। (कुराटोवस्की की ऊपर इस्तेमाल की गई परिभाषा है।)

एक सेट एस को डेडेकिंड अनंत कहा जाता है यदि कोई इंजेक्शन, गैर-सर्जिकल फ़ंक्शन मौजूद है $f:S\rightarrow S$. ऐसा फलन S और S के उचित उपसमुच्चय के बीच एक आक्षेप प्रदर्शित करता है, अर्थात् f का प्रतिबिम्ब। एक डेडेकाइंड अनंत सेट एस, एक फ़ंक्शन एफ, और एक तत्व एक्स दिया गया है जो एफ की छवि में नहीं है, हम एस के अलग-अलग तत्वों का एक अनंत अनुक्रम बना सकते हैं, अर्थात् $x,f(x),f(f(x)),...$. इसके विपरीत, अलग-अलग तत्वों से मिलकर S में एक अनुक्रम दिया गया है $x_{1},x_{2},x_{3},...$, हम एक फ़ंक्शन f को परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि अनुक्रम में तत्वों पर $$