स्पिन निरूपण: Difference between revisions
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गणित में, स्पिन अभ्यावेदन मनमाने [[आयाम]] और [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] (यानी, अनिश्चित [[ऑर्थोगोनल समूह]]ों सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]]ों के विशेष प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व हैं। अधिक सटीक रूप से, वे [[स्पिन समूह]]ों के | गणित में, स्पिन अभ्यावेदन मनमाने [[आयाम]] और [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] (यानी, अनिश्चित [[ऑर्थोगोनल समूह]]ों सहित) में ऑर्थोगोनल समूह या [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह]]ों के विशेष प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व हैं। अधिक सटीक रूप से, वे [[स्पिन समूह]]ों के लाई समूह के दो समकक्ष प्रतिनिधित्व हैं, जो विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के डबल कवरिंग समूह हैं। इनका अध्ययन आमतौर पर [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]]ओं पर किया जाता है, लेकिन इन्हें अन्य क्षेत्रों (गणित) पर परिभाषित किया जा सकता है। | ||
स्पिन प्रतिनिधित्व के तत्वों को [[स्पिनर]] कहा जाता है। वे [[इलेक्ट्रॉन]] जैसे [[फरमिओन्स]] के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। | स्पिन प्रतिनिधित्व के तत्वों को [[स्पिनर]] कहा जाता है। वे [[इलेक्ट्रॉन]] जैसे [[फरमिओन्स]] के भौतिकी विवरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। | ||
स्पिन अभ्यावेदन का निर्माण कई तरीकों से किया जा सकता है, लेकिन आम तौर पर निर्माण में समूह के वेक्टर प्रतिनिधित्व में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-स्थान का विकल्प शामिल होता है (शायद केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। वास्तविक संख्याओं के मुकाबले, इसके लिए आमतौर पर वेक्टर प्रतिनिधित्व के | स्पिन अभ्यावेदन का निर्माण कई तरीकों से किया जा सकता है, लेकिन आम तौर पर निर्माण में समूह के वेक्टर प्रतिनिधित्व में अधिकतम आइसोट्रोपिक उप-स्थान का विकल्प शामिल होता है (शायद केवल अप्रत्यक्ष रूप से)। वास्तविक संख्याओं के मुकाबले, इसके लिए आमतौर पर वेक्टर प्रतिनिधित्व के जटिलीकरण का उपयोग करने की आवश्यकता होती है। इस कारण से, पहले जटिल संख्याओं पर स्पिन प्रतिनिधित्व को परिभाषित करना और [[वास्तविक संरचना]]ओं को पेश करके [[वास्तविक प्रतिनिधित्व]] प्राप्त करना सुविधाजनक है। | ||
स्पिन प्रतिनिधित्व के गुण, सूक्ष्म तरीके से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन प्रतिनिधित्व अक्सर [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] [[द्विरेखीय रूप]]ों को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को [[शास्त्रीय झूठ समूह]]ों में एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, ये [[एम्बेडिंग]] [[विशेषण]]ात्मक होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के बीच विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है। | स्पिन प्रतिनिधित्व के गुण, सूक्ष्म तरीके से, ऑर्थोगोनल समूह के आयाम और हस्ताक्षर पर निर्भर करते हैं। विशेष रूप से, स्पिन प्रतिनिधित्व अक्सर [[अपरिवर्तनीय (गणित)]] [[द्विरेखीय रूप]]ों को स्वीकार करते हैं, जिनका उपयोग स्पिन समूहों को [[शास्त्रीय झूठ समूह]]ों में एम्बेड करने के लिए किया जा सकता है। निम्न आयामों में, ये [[एम्बेडिंग]] [[विशेषण]]ात्मक होते हैं और स्पिन समूहों और अधिक परिचित लाई समूहों के बीच विशेष समरूपता निर्धारित करते हैं; यह इन आयामों में स्पिनरों के गुणों को स्पष्ट करता है। | ||
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==सेट-अप== | ==सेट-अप== | ||
होने देना {{math|''V''}} | होने देना {{math|''V''}} [[आयाम ([[सदिश स्थल]])]] बनें|परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान गैर-अपक्षयी रूप [[द्विघात रूप]] के साथ {{math|''Q''}}. (वास्तविक या जटिल) रैखिक मानचित्रों का संरक्षण {{math|''Q''}} ऑर्थोगोनल समूह बनाएं {{math|O(''V'', ''Q'')}}. समूह के [[पहचान घटक]] को विशेष ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है {{math|SO(''V'', ''Q'')}}. (के लिए {{math|''V''}} अनिश्चित द्विघात रूप के साथ वास्तविक, यह शब्दावली मानक नहीं है: विशेष ऑर्थोगोनल समूह को आमतौर पर इस मामले में दो घटकों के साथ उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।) [[समूह समरूपता]] तक, {{math|SO(''V'', ''Q'')}} में अद्वितीय [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]] डबल कवरिंग ग्रुप, स्पिन ग्रुप है {{math|Spin(''V'', ''Q'')}}. इस प्रकार [[समूह समरूपता]] है {{math|''h'': Spin(''V'', ''Q'') → SO(''V'', ''Q'')}} जिसके [[कर्नेल (समूह सिद्धांत)]] में दो तत्व दर्शाए गए हैं {{math|<nowiki>{1, −1}</nowiki>}}, कहाँ {{math|1}} [[पहचान तत्व]] है. इस प्रकार, समूह तत्व {{math|''g''}} और {{math|''−g''}} का {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} समरूपता के बाद समतुल्य हैं {{math|SO(''V'', ''Q'')}}; वह है, {{math|1=''h''(''g'') = ''h''(''−g'')}} किसी के लिए {{math|''g''}} में {{math|Spin(''V'', ''Q'')}}. | ||
समूह {{math|O(''V'', ''Q''), SO(''V'', ''Q'')}} और {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} सभी [[झूठ समूह]] हैं, और निश्चित के लिए {{math|(''V'', ''Q'')}} उनके पास समान बीजगणित है, {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}}. अगर {{math|''V''}} तो फिर असली है {{math|''V''}} इसकी [[जटिलता]] का | समूह {{math|O(''V'', ''Q''), SO(''V'', ''Q'')}} और {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} सभी [[झूठ समूह]] हैं, और निश्चित के लिए {{math|(''V'', ''Q'')}} उनके पास समान बीजगणित है, {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}}. अगर {{math|''V''}} तो फिर असली है {{math|''V''}} इसकी [[जटिलता]] का वास्तविक वेक्टर उपस्थान है {{math|''V''<sub>'''C'''</sub> {{=}} ''V'' ⊗<sub>'''R'''</sub> '''C'''}}, और द्विघात रूप {{math|''Q''}} स्वाभाविक रूप से द्विघात रूप तक विस्तारित होता है {{math|''Q''<sub>'''C'''</sub>}} पर {{math|''V''<sub>'''C'''</sub>}}. यह एम्बेड करता है {{math|SO(''V'', ''Q'')}} के [[उपसमूह]] के रूप में {{math|SO(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}}, और इसलिए हमें एहसास हो सकता है {{math|Spin(''V'', ''Q'')}} के उपसमूह के रूप में {{math|Spin(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}}. आगे, {{math|'''so'''(''V''<sub>'''C'''</sub>, ''Q''<sub>'''C'''</sub>)}} का जटिलीकरण है {{math|'''so'''(''V'', ''Q'')}}. | ||
जटिल मामले में, द्विघात रूपों को आयाम द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है {{math|''n''}} का {{math|''V''}}. निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} और | जटिल मामले में, द्विघात रूपों को आयाम द्वारा समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है {{math|''n''}} का {{math|''V''}}. निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं {{math|''V'' {{=}} '''C'''<sup>''n''</sup>}} और | ||
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संबंधित झूठ समूहों को दर्शाया गया है {{math|O(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C'''), Spin(''n'', '''C''')}} और उनके झूठ बीजगणित के रूप में {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}. | संबंधित झूठ समूहों को दर्शाया गया है {{math|O(''n'', '''C'''), SO(''n'', '''C'''), Spin(''n'', '''C''')}} और उनके झूठ बीजगणित के रूप में {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}. | ||
वास्तविक स्थिति में, द्विघात रूपों को गैर-नकारात्मक पूर्णांकों की | वास्तविक स्थिति में, द्विघात रूपों को गैर-नकारात्मक पूर्णांकों की जोड़ी द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है {{math|(''p'', ''q'')}} कहाँ {{math|''n'' {{=}} ''p'' + ''q''}} का आयाम है {{math|''V''}}, और {{math|''p'' − ''q''}}सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम है। निश्चित रूप से, हम मान सकते हैं {{math|''V'' {{=}} '''R'''<sup>''n''</sup>}} और | ||
:<math>Q(x_1,\ldots, x_n) = x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_p^2-(x_{p+1}^2+\cdots +x_{p+q}^2).</math> | :<math>Q(x_1,\ldots, x_n) = x_1^2+ x_2^2+\cdots+x_p^2-(x_{p+1}^2+\cdots +x_{p+q}^2).</math> | ||
संबंधित लाई समूह और लाई बीजगणित को दर्शाया गया है {{math|O(''p'', ''q''), SO(''p'', ''q''), Spin(''p'', ''q'')}} और {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}}. हम लिखते हैं {{math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} की जगह {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}हस्ताक्षर को स्पष्ट बनाने के लिए। | संबंधित लाई समूह और लाई बीजगणित को दर्शाया गया है {{math|O(''p'', ''q''), SO(''p'', ''q''), Spin(''p'', ''q'')}} और {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}}. हम लिखते हैं {{math|'''R'''<sup>''p'',''q''</sup>}} की जगह {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}हस्ताक्षर को स्पष्ट बनाने के लिए। | ||
स्पिन निरूपण, | स्पिन निरूपण, अर्थ में, झूठ समूहों का सबसे सरल प्रतिनिधित्व है {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}} जो कि अभ्यावेदन से नहीं आते हैं {{math|SO(''n'', '''C''')}} और {{math|SO(''p'', ''q'')}}. इसलिए, स्पिन प्रतिनिधित्व वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान है {{math|''S''}} समूह समरूपता के साथ {{math|''ρ''}} से {{math|Spin(''n'', '''C''')}} या {{math|Spin(''p'', ''q'')}} [[सामान्य रैखिक समूह]] के लिए {{math|GL(''S'')}} ऐसा कि तत्व {{math|−1}} के कर्नेल में नहीं है {{math|''ρ''}}. | ||
अगर {{math|''S''}} | अगर {{math|''S''}} ऐसा प्रतिनिधित्व है, फिर लाई समूहों और लाई बीजगणित के बीच संबंध के अनुसार, यह लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व को प्रेरित करता है, यानी, लाई बीजगणित समरूपता {{math|'''so'''(''n'', ''C'')}} या {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} लाई बीजगणित के लिए {{math|'''gl'''(''S'')}}रेखीय मानचित्र#एंडोमोर्फिज्म और ऑटोमोर्फिज्म का {{math|''S''}} कम्यूटेटर#रिंग सिद्धांत के साथ। | ||
स्पिन अभ्यावेदन का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है: यदि {{math|''S''}} का वास्तविक स्पिन प्रतिनिधित्व है {{math|Spin(''p'', ''q'')}}, तो इसका जटिलीकरण | स्पिन अभ्यावेदन का विश्लेषण निम्नलिखित रणनीति के अनुसार किया जा सकता है: यदि {{math|''S''}} का वास्तविक स्पिन प्रतिनिधित्व है {{math|Spin(''p'', ''q'')}}, तो इसका जटिलीकरण जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व है {{math|Spin(''p'', ''q'')}}; के प्रतिनिधित्व के रूप में {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}}, इसलिए इसका विस्तार जटिल प्रतिनिधित्व तक होता है {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}. विपरीत दिशा में आगे बढ़ते हुए, हम पहले जटिल स्पिन निरूपण का निर्माण करते हैं {{math|Spin(''n'', '''C''')}} और {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}, फिर उन्हें जटिल स्पिन अभ्यावेदन तक सीमित रखें {{math|'''so'''(''p'', ''q'')}} और {{math|Spin(''p'', ''q'')}}, फिर अंततः वास्तविक स्पिन अभ्यावेदन में संभावित कटौती का विश्लेषण करें। | ||
==जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व== | ==जटिल स्पिन प्रतिनिधित्व== | ||
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===आइसोट्रोपिक उपस्थान और रूट सिस्टम=== | ===आइसोट्रोपिक उपस्थान और रूट सिस्टम=== | ||
के स्पिन अभ्यावेदन का | के स्पिन अभ्यावेदन का मानक निर्माण {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}जोड़ी के चयन से शुरू होता है {{math|(''W'', ''W''<sup>∗</sup>)}} | ||
अधिकतम [[आइसोट्रोपिक द्विघात रूप]]ों का (के संबंध में)। {{math|''Q''}}) का {{math|''V''}} साथ {{math|''W'' ∩ ''W''<sup>∗</sup> {{=}} 0}}. आइए हम ऐसा चुनाव करें. अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m''}} या {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तब {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोनों का आयाम है {{math|''m''}}. अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m''}}, तब {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जबकि यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तब {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''U'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, कहाँ {{math|''U''}} 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}. द्विरेखीय रूप {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}} के लिए जुड़े {{math|''Q''}} के बीच | अधिकतम [[आइसोट्रोपिक द्विघात रूप]]ों का (के संबंध में)। {{math|''Q''}}) का {{math|''V''}} साथ {{math|''W'' ∩ ''W''<sup>∗</sup> {{=}} 0}}. आइए हम ऐसा चुनाव करें. अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m''}} या {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तब {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोनों का आयाम है {{math|''m''}}. अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m''}}, तब {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, जबकि यदि {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}}, तब {{math|''V'' {{=}} ''W'' ⊕ ''U'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}, कहाँ {{math|''U''}} 1-आयामी ऑर्थोगोनल पूरक है {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}}. द्विरेखीय रूप {{math|{{langle}}.,.{{rangle}}}} के लिए जुड़े {{math|''Q''}} के बीच [[द्विरेखीय मानचित्र]] उत्पन्न करता है {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}}, जो अविक्षिप्त होना चाहिए, क्योंकि {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} पूरी तरह से आइसोट्रोपिक उप-स्थान हैं और {{math|''Q''}} अविकृत है। इस तरह {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}} दोहरे सदिश स्थान हैं। | ||
अधिक ठोस रूप से, आइए {{math|''a''<sub>1</sub>, … ''a''<sub>''m''</sub>}} के लिए आधार बनें {{math|''W''}}. फिर | अधिक ठोस रूप से, आइए {{math|''a''<sub>1</sub>, … ''a''<sub>''m''</sub>}} के लिए आधार बनें {{math|''W''}}. फिर अनोखा आधार है {{math|''α''<sub>1</sub>, ... ''α''<sub>''m''</sub>}} का {{math|''W''<sup>∗</sup>}} ऐसा है कि | ||
:<math> \langle \alpha_i,a_j\rangle = \delta_{ij}.</math> | :<math> \langle \alpha_i,a_j\rangle = \delta_{ij}.</math> | ||
अगर {{math|''A''}} | अगर {{math|''A''}} {{math|''m'' × ''m''}} मैट्रिक्स, फिर {{math|''A''}} की एंडोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है {{math|''W''}} इस आधार और स्थानान्तरण के संबंध में {{math|''A''<sup>T</sup>}} के परिवर्तन को प्रेरित करता है {{math|''W''<sup>∗</sup>}} साथ | ||
:<math> \langle Aw, w^* \rangle = \langle w,A^\mathrm{T} w^*\rangle</math> | :<math> \langle Aw, w^* \rangle = \langle w,A^\mathrm{T} w^*\rangle</math> | ||
सभी के लिए {{math|''w''}} में {{math|''W''}} और {{math|''w''<sup>∗</sup>}} में {{math|''W''<sup>∗</sup>}}. यह इस प्रकार है कि एंडोमोर्फिज्म {{math|''ρ''<sub>''A''</sub>}} का {{math|''V''}}, के बराबर {{math|''A''}} पर {{math|''W''}}, {{math|−''A''<sup>T</sup>}} पर {{math|''W''<sup>∗</sup>}} और शून्य पर {{math|''U''}} (अगर {{math|''n''}} विषम है), तिरछा है, | सभी के लिए {{math|''w''}} में {{math|''W''}} और {{math|''w''<sup>∗</sup>}} में {{math|''W''<sup>∗</sup>}}. यह इस प्रकार है कि एंडोमोर्फिज्म {{math|''ρ''<sub>''A''</sub>}} का {{math|''V''}}, के बराबर {{math|''A''}} पर {{math|''W''}}, {{math|−''A''<sup>T</sup>}} पर {{math|''W''<sup>∗</sup>}} और शून्य पर {{math|''U''}} (अगर {{math|''n''}} विषम है), तिरछा है, | ||
:<math> \langle \rho_A u, v \rangle = -\langle u,\rho_A v\rangle</math> | :<math> \langle \rho_A u, v \rangle = -\langle u,\rho_A v\rangle</math> | ||
सभी के लिए {{math|''u'', ''v''}} में {{math|''V''}}, और इसलिए ([[शास्त्रीय समूह]] देखें) का | सभी के लिए {{math|''u'', ''v''}} में {{math|''V''}}, और इसलिए ([[शास्त्रीय समूह]] देखें) का तत्व {{math|'''so'''(''n'', '''C''') ⊂ End(''V'')}}. | ||
इस निर्माण में विकर्ण मैट्रिक्स का उपयोग | इस निर्माण में विकर्ण मैट्रिक्स का उपयोग कार्टन उपबीजगणित को परिभाषित करता है {{math|'''h'''}} का {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}}: के [[एक झूठ समूह की रैंक|झूठ समूह की रैंक]] {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} है {{math|''m''}}, और विकर्ण {{math|''n'' × ''n''}} मैट्रिक्स निर्धारित करते हैं {{math|''m''}}-आयामी एबेलियन उपबीजगणित। | ||
होने देना {{math|''ε''<sub>1</sub>, … ''ε''<sub>''m''</sub>}} का आधार बनें {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} ऐसा कि, | होने देना {{math|''ε''<sub>1</sub>, … ''ε''<sub>''m''</sub>}} का आधार बनें {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}} ऐसा कि, विकर्ण मैट्रिक्स के लिए {{math|''A'', ''ε''<sub>''k''</sub>(''ρ''<sub>''A''</sub>)}} है {{math|''k''}}वें विकर्ण प्रविष्टि {{math|''A''}}. स्पष्टतः यह आधार है {{math|'''h'''<sup>∗</sup>}}. चूँकि द्विरेखीय रूप से पहचान होती है {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} साथ <math>\wedge^2 V</math>, स्पष्ट रूप से, | ||
:<math>x \wedge y \mapsto \varphi_{x \wedge y}, \quad \varphi_{x \wedge y}(v) = 2(\langle y, v\rangle x - \langle x, v\rangle y),\quad x \wedge y \in \wedge^2V,\quad x,y,v \in V, \quad \varphi_{x \wedge y} \in \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}),</math><ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991}} Chapter 20, p.303. The factor 2 is not important, it is there to agree with the Clifford algebra construction.</ref> | :<math>x \wedge y \mapsto \varphi_{x \wedge y}, \quad \varphi_{x \wedge y}(v) = 2(\langle y, v\rangle x - \langle x, v\rangle y),\quad x \wedge y \in \wedge^2V,\quad x,y,v \in V, \quad \varphi_{x \wedge y} \in \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}),</math><ref>{{harvnb|Fulton|Harris|1991}} Chapter 20, p.303. The factor 2 is not important, it is there to agree with the Clifford algebra construction.</ref> | ||
अब इससे संबंधित [[ मूल प्रक्रिया ]] का निर्माण करना आसान है {{math|'''h'''}}. [[मूल स्थान]] (क्रिया के लिए | अब इससे संबंधित [[ मूल प्रक्रिया |मूल प्रक्रिया]] का निर्माण करना आसान है {{math|'''h'''}}. [[मूल स्थान]] (क्रिया के लिए साथ eigenspaces)। {{math|'''h'''}}) निम्नलिखित तत्वों द्वारा फैले हुए हैं: | ||
:<math> a_i\wedge a_j,\; i\neq j,</math> जड़ प्रणाली के साथ (एक साथ eigenvalue) <math>\varepsilon_i + \varepsilon_j</math> | :<math> a_i\wedge a_j,\; i\neq j,</math> जड़ प्रणाली के साथ (एक साथ eigenvalue) <math>\varepsilon_i + \varepsilon_j</math> | ||
:<math> a_i\wedge \alpha_j</math> (जो इसमें है {{math|'''h'''}} अगर {{math|''i'' {{=}} ''j'')}} जड़ के साथ <math> \varepsilon_i - \varepsilon_j</math> | :<math> a_i\wedge \alpha_j</math> (जो इसमें है {{math|'''h'''}} अगर {{math|''i'' {{=}} ''j'')}} जड़ के साथ <math> \varepsilon_i - \varepsilon_j</math> | ||
:<math> \alpha_i\wedge \alpha_j,\; i\neq j,</math> जड़ के साथ <math> -\varepsilon_i - \varepsilon_j,</math> | :<math> \alpha_i\wedge \alpha_j,\; i\neq j,</math> जड़ के साथ <math> -\varepsilon_i - \varepsilon_j,</math> | ||
और अगर {{math|''n''}} अजीब है, और {{math|''u''}} का | और अगर {{math|''n''}} अजीब है, और {{math|''u''}} का अशून्य तत्व है {{math|''U''}}, | ||
:<math> a_i\wedge u,</math> जड़ के साथ <math> \varepsilon_i </math> | :<math> a_i\wedge u,</math> जड़ के साथ <math> \varepsilon_i </math> | ||
:<math> \alpha_i\wedge u,</math> जड़ के साथ <math> -\varepsilon_i.</math> | :<math> \alpha_i\wedge u,</math> जड़ के साथ <math> -\varepsilon_i.</math> | ||
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अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}} अजीब है। | अगर {{math|''n'' {{=}} 2''m'' + 1}} अजीब है। | ||
[[सकारात्मक जड़]]ों की | [[सकारात्मक जड़]]ों की प्रणाली दी गई है {{math|''ε''<sub>''i''</sub> + ''ε''<sub>''j''</sub> (''i'' ≠ ''j''), ''ε''<sub>''i''</sub> − ''ε''<sub>''j''</sub> (''i'' < ''j'')}} और के लिए {{math|''n''}} विषम) {{math|''ε''<sub>''i''</sub>}}. संगत सरल जड़ (रूट सिस्टम) हैं | ||
:<math>\varepsilon_1-\varepsilon_2, \varepsilon_2-\varepsilon_3, \ldots, \varepsilon_{m-1}-\varepsilon_m, \left\{\begin{matrix} | :<math>\varepsilon_1-\varepsilon_2, \varepsilon_2-\varepsilon_3, \ldots, \varepsilon_{m-1}-\varepsilon_m, \left\{\begin{matrix} | ||
\varepsilon_{m-1}+\varepsilon_m& n=2m\\ | \varepsilon_{m-1}+\varepsilon_m& n=2m\\ | ||
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===स्पिन प्रतिनिधित्व और उनका वजन=== | ===स्पिन प्रतिनिधित्व और उनका वजन=== | ||
के स्पिन अभ्यावेदन का | के स्पिन अभ्यावेदन का निर्माण {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} [[बाहरी बीजगणित]] का उपयोग करता है | ||
:<math>S=\wedge^\bullet W</math> और/या <math>S'=\wedge^\bullet W^*.</math> | :<math>S=\wedge^\bullet W</math> और/या <math>S'=\wedge^\bullet W^*.</math> | ||
की | की क्रिया है {{math|''V''}} पर {{math|''S''}} ऐसा कि किसी भी तत्व के लिए {{math|1=''v'' = ''w'' + ''w''<sup>∗</sup>}} में {{math|''W'' ⊕ ''W''<sup>∗</sup>}} और कोई भी {{math|''ψ''}} में {{math|''S''}} कार्रवाई इस प्रकार दी गई है: | ||
:<math> v\cdot \psi = 2^{\frac{1}{2}}(w\wedge\psi+\iota(w^*)\psi), </math> | :<math> v\cdot \psi = 2^{\frac{1}{2}}(w\wedge\psi+\iota(w^*)\psi), </math> | ||
जहां दूसरा पद | जहां दूसरा पद संकुचन ([[आंतरिक गुणन]]) है जिसे द्विरेखीय रूप का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, जो जोड़े हैं {{math|''W''}} और {{math|''W''<sup>∗</sup>}}. यह कार्रवाई [[क्लिफोर्ड संबंध]]ों का सम्मान करती है {{math|1=''v''<sup>2</sup> = ''Q''(''v'')'''1'''}}, और इसलिए क्लिफ़ोर्ड बीजगणित से समरूपता उत्पन्न होती है {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} का {{math|''V''}} को {{math|End(''S'')}}. इसी तरह की कार्रवाई को परिभाषित किया जा सकता है {{math|''S''′}}, ताकि दोनों {{math|''S''}} और {{math|''S''′}} [[क्लिफोर्ड मॉड्यूल]] हैं। | ||
झूठ बीजगणित {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} जटिल लाई बीजगणित के समरूपी है {{math|'''spin'''<sub>''n''</sub><sup>'''C'''</sup>}} में {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} कवरिंग द्वारा प्रेरित मैपिंग के माध्यम से {{math|Spin(''n'') → SO(''n'')}}<ref>since if <math>\alpha: q\to (v\to q.v.q^{-1})</math> is the covering, then <math>d\alpha: q\to (v\to q.v-v.q)</math>, so <math>d\alpha(v.w)=2\varphi_{v, w}</math> and since <math>v.w+w.v</math> is a scalar, we get <math>d\alpha(1/4[v, w])=\varphi_{v, w}</math></ref> | झूठ बीजगणित {{math|'''so'''(''n'', '''C''')}} जटिल लाई बीजगणित के समरूपी है {{math|'''spin'''<sub>''n''</sub><sup>'''C'''</sup>}} में {{math|Cl<sub>''n''</sub>'''C'''}} कवरिंग द्वारा प्रेरित मैपिंग के माध्यम से {{math|Spin(''n'') → SO(''n'')}}<ref>since if <math>\alpha: q\to (v\to q.v.q^{-1})</math> is the covering, then <math>d\alpha: q\to (v\to q.v-v.q)</math>, so <math>d\alpha(v.w)=2\varphi_{v, w}</math> and since <math>v.w+w.v</math> is a scalar, we get <math>d\alpha(1/4[v, w])=\varphi_{v, w}</math></ref> | ||
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:<math> (\alpha_i\wedge a_i) \cdot \psi = \tfrac14 (2^{\tfrac12})^{2} ( \iota(\alpha_i)(a_i\wedge\psi)-a_i\wedge(\iota(\alpha_i)\psi)) | :<math> (\alpha_i\wedge a_i) \cdot \psi = \tfrac14 (2^{\tfrac12})^{2} ( \iota(\alpha_i)(a_i\wedge\psi)-a_i\wedge(\iota(\alpha_i)\psi)) | ||
= \tfrac12 \psi - a_i\wedge(\iota(\alpha_i)\psi).</math> | = \tfrac12 \psi - a_i\wedge(\iota(\alpha_i)\psi).</math> | ||
के लिए | के लिए आधार {{math|''S''}} प्रपत्र के तत्वों द्वारा दिया गया है | ||
:<math> a_{i_1}\wedge a_{i_2}\wedge\cdots\wedge a_{i_k}</math> | :<math> a_{i_1}\wedge a_{i_2}\wedge\cdots\wedge a_{i_k}</math> | ||
के लिए {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''m''}} और {{math|''i''<sub>1</sub> < ... < ''i''<sub>''k''</sub>}}. ये स्पष्ट रूप से कार्रवाई के लिए वेट स्पेस (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) का विस्तार करते हैं {{math|'''h'''}}: {{math|''α''<sub>''i''</sub> ∧ ''a''<sub>''i''</sub>}} का दिए गए आधार वेक्टर पर eigenvalue -1/2 है यदि {{math|1=''i'' = ''i''<sub>''j''</sub>}} कुछ के लिए {{math|''j''}}, और इसका eigenvalue है {{math|1/2}} अन्यथा। | के लिए {{math|0 ≤ ''k'' ≤ ''m''}} और {{math|''i''<sub>1</sub> < ... < ''i''<sub>''k''</sub>}}. ये स्पष्ट रूप से कार्रवाई के लिए वेट स्पेस (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) का विस्तार करते हैं {{math|'''h'''}}: {{math|''α''<sub>''i''</sub> ∧ ''a''<sub>''i''</sub>}} का दिए गए आधार वेक्टर पर eigenvalue -1/2 है यदि {{math|1=''i'' = ''i''<sub>''j''</sub>}} कुछ के लिए {{math|''j''}}, और इसका eigenvalue है {{math|1/2}} अन्यथा। | ||
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और प्रत्येक भार स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) एक-आयामी है। घटक {{math|''S''}}[[डिराक स्पिनर]] कहलाते हैं। | और प्रत्येक भार स्थान (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) एक-आयामी है। घटक {{math|''S''}}[[डिराक स्पिनर]] कहलाते हैं। | ||
कब {{math|''n''}} सम है, {{math|''S''}} | कब {{math|''n''}} सम है, {{math|''S''}} [[अघुलनशील प्रतिनिधित्व]] नहीं है: <math>S_+=\wedge^{\mathrm{even}} W</math> और <math>S_-=\wedge^{\mathrm{odd}} W</math> अपरिवर्तनीय उपस्थान हैं. भारों को सम संख्या में ऋण चिह्नों वाले और विषम संख्या में ऋण चिह्नों वाले भारों में विभाजित किया जाता है। दोनों एस<sub>+</sub> और एस<sub>−</sub> आयाम 2 के अपरिवर्तनीय निरूपण हैं<sup>m−1</sup>जिनके तत्वों को [[वेइल स्पिनर]]्स कहा जाता है। उन्हें चिरल स्पिन अभ्यावेदन या अर्ध-स्पिन अभ्यावेदन के रूप में भी जाना जाता है। उपरोक्त सकारात्मक जड़ प्रणाली के संबंध में, एस का उच्चतम भार<sub>+</sub> और एस<sub>−</sub> हैं | ||
:<math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, \tfrac12\bigr)</math> और <math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, -\tfrac12\bigr)</math> | :<math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, \tfrac12\bigr)</math> और <math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots\tfrac12, -\tfrac12\bigr)</math> | ||
क्रमश। क्लिफ़ोर्ड क्रिया सीएल की पहचान करती है<sub>''n''</sub>एंड(''एस'') और क्लिफोर्ड बीजगणित के साथ सी की पहचान ''एस'' को संरक्षित करने वाले एंडोमोर्फिज्म से की जाती है<sub>+</sub> और एस<sub>−</sub>. इस मामले में अन्य क्लिफोर्ड मॉड्यूल S', S के समरूपता है। | क्रमश। क्लिफ़ोर्ड क्रिया सीएल की पहचान करती है<sub>''n''</sub>एंड(''एस'') और क्लिफोर्ड बीजगणित के साथ सी की पहचान ''एस'' को संरक्षित करने वाले एंडोमोर्फिज्म से की जाती है<sub>+</sub> और एस<sub>−</sub>. इस मामले में अन्य क्लिफोर्ड मॉड्यूल S', S के समरूपता है। | ||
जब n विषम है, तो S आयाम 2 के 'so'(n,'C') का | जब n विषम है, तो S आयाम 2 के 'so'(n,'C') का अघुलनशील प्रतिनिधित्व है<sup>म</sup>: इकाई वेक्टर की क्लिफोर्ड क्रिया यू ∈ यू द्वारा दी गई है | ||
:<math> u\cdot \psi = \left\{\begin{matrix} | :<math> u\cdot \psi = \left\{\begin{matrix} | ||
\psi&\hbox{if } \psi\in \wedge^{\mathrm{even}} W\\ | \psi&\hbox{if } \psi\in \wedge^{\mathrm{even}} W\\ | ||
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और ''u''∧''w'' या ''u''∧''w'' रूप के so(''n'',C) के तत्व<sup>∗</sup>W के बाहरी बीजगणित के सम और विषम भागों को संरक्षित न करें। S का उच्चतम भार है | और ''u''∧''w'' या ''u''∧''w'' रूप के so(''n'',C) के तत्व<sup>∗</sup>W के बाहरी बीजगणित के सम और विषम भागों को संरक्षित न करें। S का उच्चतम भार है | ||
:<math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots \tfrac12\bigr).</math> | :<math>\bigl(\tfrac12,\tfrac12, \ldots \tfrac12\bigr).</math> | ||
क्लिफोर्ड की कार्रवाई S:Cl पर विश्वसनीय नहीं है<sub>''n''</sub>C को End(''S'') ⊕ End(''S''′) से पहचाना जा सकता है, जहां ''u'' ''S'''' पर विपरीत चिह्न के साथ कार्य करता है। अधिक सटीक रूप से, दो निरूपण सीएल की [[समता (गणित)]] इनवोल्यूशन (गणित) ''α'' से संबंधित हैं<sub>''n''</sub>सी (प्रमुख ऑटोमोर्फिज्म के रूप में भी जाना जाता है), जो सम उपबीजगणित पर पहचान है, और सीएल के विषम भाग पर पहचान घटा है<sub>''n''</sub>सी. दूसरे शब्दों में, ''एस'' से ''एस'''' तक | क्लिफोर्ड की कार्रवाई S:Cl पर विश्वसनीय नहीं है<sub>''n''</sub>C को End(''S'') ⊕ End(''S''′) से पहचाना जा सकता है, जहां ''u'' ''S'''' पर विपरीत चिह्न के साथ कार्य करता है। अधिक सटीक रूप से, दो निरूपण सीएल की [[समता (गणित)]] इनवोल्यूशन (गणित) ''α'' से संबंधित हैं<sub>''n''</sub>सी (प्रमुख ऑटोमोर्फिज्म के रूप में भी जाना जाता है), जो सम उपबीजगणित पर पहचान है, और सीएल के विषम भाग पर पहचान घटा है<sub>''n''</sub>सी. दूसरे शब्दों में, ''एस'' से ''एस'<nowiki/>''' तक [[रैखिक समरूपता]] है, जो सीएल में '''''<nowiki/>'''ए'' की क्रिया की पहचान करती है''nS'' पर ''S'''' पर ''α''(''A'') की क्रिया के साथ C। | ||
===द्विरेखीय रूप=== | ===द्विरेखीय रूप=== | ||
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यदि λ, S का भार है, तो −λ भी है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि S दोहरे निरूपण S का समरूपी है<sup>∗</sup>. | यदि λ, S का भार है, तो −λ भी है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि S दोहरे निरूपण S का समरूपी है<sup>∗</sup>. | ||
जब n = 2m + 1 विषम होता है, तो समरूपता B: S → S<sup>∗</sup> शूर के लेम्मा द्वारा स्केल तक अद्वितीय है, क्योंकि एस अपरिवर्तनीय है, और यह एस के माध्यम से | जब n = 2m + 1 विषम होता है, तो समरूपता B: S → S<sup>∗</sup> शूर के लेम्मा द्वारा स्केल तक अद्वितीय है, क्योंकि एस अपरिवर्तनीय है, और यह एस के माध्यम से गैर-अपरिवर्तनीय अपरिवर्तनीय बिलिनियर फॉर्म β को परिभाषित करता है | ||
:<math>\beta(\varphi,\psi) = B(\varphi)(\psi).</math> | :<math>\beta(\varphi,\psi) = B(\varphi)(\psi).</math> | ||
यहाँ अपरिवर्तनशीलता का अर्थ यह है | यहाँ अपरिवर्तनशीलता का अर्थ यह है | ||
: <math>\beta(\xi\cdot\varphi,\psi) + \beta(\varphi,\xi\cdot\psi) = 0</math> | : <math>\beta(\xi\cdot\varphi,\psi) + \beta(\varphi,\xi\cdot\psi) = 0</math> | ||
'so'(n,'C') में सभी ξ और S में φ, ψ के लिए - दूसरे शब्दों में ξ की क्रिया β के संबंध में विषम है। वास्तव में, अधिक सत्य है: एस<sup>∗</sup>[[विपरीत श्रेणी]] क्लिफोर्ड बीजगणित का प्रतिनिधित्व है, और इसलिए, सीएल के बाद से<sub>''n''</sub>सी में केवल दो गैर-तुच्छ [[सरल मॉड्यूल]] ''एस'' और ''एस'''' हैं, जो समता इनवोल्यूशन ''α'' से संबंधित हैं, सीएल का | 'so'(n,'C') में सभी ξ और S में φ, ψ के लिए - दूसरे शब्दों में ξ की क्रिया β के संबंध में विषम है। वास्तव में, अधिक सत्य है: एस<sup>∗</sup>[[विपरीत श्रेणी]] क्लिफोर्ड बीजगणित का प्रतिनिधित्व है, और इसलिए, सीएल के बाद से<sub>''n''</sub>सी में केवल दो गैर-तुच्छ [[सरल मॉड्यूल]] ''एस'' और ''एस'''' हैं, जो समता इनवोल्यूशन ''α'' से संबंधित हैं, सीएल का [[एंटीऑटोमोर्फिज्म]] ''τ'' है।<sub>''n''</sub>सी ऐसे कि | ||
: <math>\quad\beta(A\cdot\varphi,\psi) = \beta(\varphi,\tau(A)\cdot\psi)\qquad (1)</math> | : <math>\quad\beta(A\cdot\varphi,\psi) = \beta(\varphi,\tau(A)\cdot\psi)\qquad (1)</math> | ||
सीएल में किसी भी ए के लिए<sub>''n''</sub>सी. वास्तव में ''τ'' ''एम'' के लिए प्रत्यावर्तन (''वी'' पर पहचान से प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है, और संयुग्मन (''वी'' पर पहचान को घटाकर प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है ''एम'' के लिए विषम. ये दो एंटीऑटोमोर्फिज्म समता इनवोलुशन ''α'' से संबंधित हैं, जो कि ''वी'' पर पहचान को घटाकर प्रेरित ऑटोमोर्फिज्म है। दोनों ''τ''(''ξ'') = −''ξ'' को ''ξ'' के लिए इसलिए(''n'',C) में संतुष्ट करते हैं। | सीएल में किसी भी ए के लिए<sub>''n''</sub>सी. वास्तव में ''τ'' ''एम'' के लिए प्रत्यावर्तन (''वी'' पर पहचान से प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है, और संयुग्मन (''वी'' पर पहचान को घटाकर प्रेरित एंटीऑटोमोर्फिज्म) है ''एम'' के लिए विषम. ये दो एंटीऑटोमोर्फिज्म समता इनवोलुशन ''α'' से संबंधित हैं, जो कि ''वी'' पर पहचान को घटाकर प्रेरित ऑटोमोर्फिज्म है। दोनों ''τ''(''ξ'') = −''ξ'' को ''ξ'' के लिए इसलिए(''n'',C) में संतुष्ट करते हैं। | ||
जब ''n'' = 2''m'', स्थिति अधिक संवेदनशील रूप से ''m'' की समता पर निर्भर करती है। ''m'' सम के लिए, | जब ''n'' = 2''m'', स्थिति अधिक संवेदनशील रूप से ''m'' की समता पर निर्भर करती है। ''m'' सम के लिए, भार ''λ'' में ऋण चिह्नों की सम संख्या होती है यदि और केवल यदि −''λ'' होता है; इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि अलग-अलग समरूपताएं हैं ''बी''<sub>±</sub>: एस<sub>±</sub> → एस<sub>±</sub><sup>∗</sup>प्रत्येक अर्ध-स्पिन प्रतिनिधित्व अपने दोहरे के साथ, प्रत्येक विशिष्ट रूप से पैमाने तक निर्धारित होता है। इन्हें समरूपता बी: एस → एस में जोड़ा जा सकता है<sup>∗</sup>. m विषम के लिए, λ S का भार है<sub>+</sub> यदि और केवल यदि −λ S का भार है<sub>−</sub>; इस प्रकार एस से समरूपता है<sub>+</sub> से एस<sub>−</sub><sup>∗</sup>, फिर से पैमाने तक अद्वितीय, और इसका दोहरा स्थान#रेखीय मानचित्र का स्थानांतरण एस से समरूपता प्रदान करता है<sub>−</sub> से एस<sub>+</sub><sup>∗</sup>. इन्हें फिर से समरूपता बी: एस → एस में जोड़ा जा सकता है<sup>∗</sup>. | ||
एम सम और एम विषम दोनों के लिए, बी की पसंद में स्वतंत्रता को इस बात पर जोर देकर समग्र पैमाने तक सीमित किया जा सकता है कि बी के अनुरूप बिलिनियर फॉर्म β संतुष्ट करता है (1), जहां τ | एम सम और एम विषम दोनों के लिए, बी की पसंद में स्वतंत्रता को इस बात पर जोर देकर समग्र पैमाने तक सीमित किया जा सकता है कि बी के अनुरूप बिलिनियर फॉर्म β संतुष्ट करता है (1), जहां τ निश्चित एंटीऑटोमोर्फिज्म (या तो प्रत्यावर्तन या संयुग्मन) है। | ||
===समरूपता और टेंसर वर्ग=== | ===समरूपता और टेंसर वर्ग=== | ||
| Line 131: | Line 131: | ||
यदि n = 2m+1 विषम है तो यह शूर के लेम्मा से अनुसरण करता है | यदि n = 2m+1 विषम है तो यह शूर के लेम्मा से अनुसरण करता है | ||
:<math> S\otimes S \cong \bigoplus_{j=0}^{m} \wedge^{2j} V^*</math> | :<math> S\otimes S \cong \bigoplus_{j=0}^{m} \wedge^{2j} V^*</math> | ||
(दोनों पक्षों का आयाम 2 है<sup>2m</sup>और दाईं ओर का प्रतिनिधित्व असमान है)। क्योंकि समरूपता | (दोनों पक्षों का आयाम 2 है<sup>2m</sup>और दाईं ओर का प्रतिनिधित्व असमान है)। क्योंकि समरूपता इनवोल्यूशन τ द्वारा शासित होती है जो या तो संयुग्मन या प्रत्यावर्तन है, ∧ की समरूपता<sup>2</sup>वी<sup>∗</sup>घटक j के साथ वैकल्पिक होता है। प्राथमिक कॉम्बिनेटरिक्स देता है | ||
:<math> \sum_{j=0}^m (-1)^j \dim \wedge^{2j} \Complex^{2m+1} = (-1)^{\frac12 m(m+1)} 2^m = (-1)^{\frac12 m(m+1)}(\dim \mathrm S^2S-\dim \wedge^2 S)</math> | :<math> \sum_{j=0}^m (-1)^j \dim \wedge^{2j} \Complex^{2m+1} = (-1)^{\frac12 m(m+1)} 2^m = (-1)^{\frac12 m(m+1)}(\dim \mathrm S^2S-\dim \wedge^2 S)</math> | ||