चिरल पॉट्स मॉडल: Difference between revisions
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चिरल [[पॉट्स मॉडल]] [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में [[जाली (समूह)]] पर | '''चिरल [[पॉट्स मॉडल]]''' [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में एक समतल [[जाली (समूह)]] पर एक [[स्पिन मॉडल]] है जिसका अध्ययन '''हेलेन औ-यांग पर्क''' और '''जैक्स पर्क''' सहित अन्य लोगों ने किया है। इसे पॉट्स मॉडल के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, और पॉट्स मॉडल की तरह, मॉडल को कॉन्फ़िगरेशन द्वारा परिभाषित किया गया है जो [[ग्राफ़ (अलग गणित)|आरेख (अलग गणित)]] के प्रत्येक शीर्ष पर ''[[स्पिन (भौतिकी)]]'' के असाइनमेंट हैं, जहां प्रत्येक स्पिन <math>N</math> मानों में से एक ले सकता है। प्रत्येक किनारे को नियत स्पिन <math>n</math> और <math>n'</math> के साथ शीर्षों को जोड़ने वाले प्रत्येक किनारे के लिए, एक, [[बोल्ट्ज़मान कारक]] <math>W(n,n')</math> सौंपा गया है। इस मॉडल के लिए [[दाहिनी ओर|चिरल]] का अर्थ है कि <math>W(n,n') \neq W(n',n)</math>। जब भार यांग-बैक्सटर समीकरण को संतुष्ट करते हैं, तो यह पूर्णांक है, इस अर्थ में कि कुछ मात्राओं का त्रुटिहीन मूल्यांकन किया जा सकता है। | ||
इंटीग्रेबल चिरल पॉट्स मॉडल के लिए, | इंटीग्रेबल चिरल पॉट्स मॉडल के लिए, भार को उच्च जीनस (गणित) [[बीजगणितीय वक्र]], [[चिरल पॉट्स वक्र]] द्वारा परिभाषित किया गया है।<ref name="AMPTY">{{cite journal | ||
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संबंधित चिरल | संबंधित चिरल क्लॉक मॉडल, जिसे 1980 के दशक में डेविड ह्युस और स्टेलन ओस्टलुंड द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रस्तुत किया गया था, चिरल पॉट्स मॉडल के विपरीत, बिल्कुल सॉल्व करने योग्य नहीं है। | ||
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=== स्व-द्वैत मामला === | === स्व-द्वैत मामला === | ||
यदि वेट फ़ंक्शन का [[फूरियर रूपांतरण]] समान फ़ंक्शन लौटाता है तो मॉडल को [[ आत्म दोहरी |आत्म दोहरी]] कहा जाता है। विशेष (जीनस 1) मामला 1982 में फतेयेव और [[अलेक्जेंडर ज़मोलोडचिकोव]] द्वारा | यदि वेट फ़ंक्शन का [[फूरियर रूपांतरण]] समान फ़ंक्शन लौटाता है तो मॉडल को [[ आत्म दोहरी |आत्म दोहरी]] कहा जाता है। विशेष (जीनस 1) मामला 1982 में फतेयेव और [[अलेक्जेंडर ज़मोलोडचिकोव]] द्वारा सॉल्व किया गया था।<ref name="FZ82">{{cite journal |last1=Fateev |first1=V. A. | ||
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=== सामान्य मामला === | === सामान्य मामला === | ||
सभी k (तापमान चर) के लिए सामान्य समाधान पाया गया।<ref name=BPA/> | सभी k (तापमान चर) के लिए सामान्य समाधान पाया गया।<ref name=BPA/>भार भी उत्पाद के रूप में दिया गया था और यह कम्प्यूटेशनल रूप से ([[फोरट्रान]] पर) परीक्षण किया गया था कि वे स्टार-त्रिकोण संबंध को संतुष्ट करते हैं। इसका प्रमाण बाद में प्रकाशित हुआ।<ref name=AP89Tani>Au-Yang H and Perk J H H (1989). "Onsager's star-triangle equation: Master key to integrability", ''Proc. Taniguchi Symposium, Kyoto, October 1988'', Advanced Studies in Pure Mathematics vol 19 (Tokyo: Kinokuniya–Academic) pp 57–94</ref> | ||
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जहां 2 × 2 ''आर''-ऑपरेटर ([[आर-मैट्रिक्स]]) [[छह शीर्ष मॉडल]] ''आर''-मैट्रिक्स है ([[वर्टेक्स मॉडल]] देखें)। | जहां 2 × 2 ''आर''-ऑपरेटर ([[आर-मैट्रिक्स]]) [[छह शीर्ष मॉडल]] ''आर''-मैट्रिक्स है ([[वर्टेक्स मॉडल]] देखें)। | ||
चार चिरल पॉट्स | चार चिरल पॉट्स भार ''एस'' के उत्पाद को दो ''एल''-ऑपरेटरों को आपस में जोड़ते हुए दिखाया गया था | ||
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इसने सफलता को प्रेरित किया, अर्थात् चिरल पॉट्स मॉडल के [[ स्थानांतरण मैट्रिक्स |स्थानांतरण मैट्रिक्स]] के लिए कार्यात्मक संबंधों की खोज की गई।<ref>Baxter R. J., Bazhanov V. V. and Perk J. H. H. (1990), "Functional relations for transfer matrices of the chiral Potts model", ''International Journal of Modern Physics'' B '''4''', 803–70.</ref> | इसने सफलता को प्रेरित किया, अर्थात् चिरल पॉट्स मॉडल के [[ स्थानांतरण मैट्रिक्स |स्थानांतरण मैट्रिक्स]] के लिए कार्यात्मक संबंधों की खोज की गई।<ref>Baxter R. J., Bazhanov V. V. and Perk J. H. H. (1990), "Functional relations for transfer matrices of the chiral Potts model", ''International Journal of Modern Physics'' B '''4''', 803–70.</ref> | ||
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==गांठ सिद्धांत से संबंध== | ==गांठ सिद्धांत से संबंध== | ||
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Revision as of 19:44, 1 December 2023
चिरल पॉट्स मॉडल सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक समतल जाली (समूह) पर एक स्पिन मॉडल है जिसका अध्ययन हेलेन औ-यांग पर्क और जैक्स पर्क सहित अन्य लोगों ने किया है। इसे पॉट्स मॉडल के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, और पॉट्स मॉडल की तरह, मॉडल को कॉन्फ़िगरेशन द्वारा परिभाषित किया गया है जो आरेख (अलग गणित) के प्रत्येक शीर्ष पर स्पिन (भौतिकी) के असाइनमेंट हैं, जहां प्रत्येक स्पिन मानों में से एक ले सकता है। प्रत्येक किनारे को नियत स्पिन और के साथ शीर्षों को जोड़ने वाले प्रत्येक किनारे के लिए, एक, बोल्ट्ज़मान कारक सौंपा गया है। इस मॉडल के लिए चिरल का अर्थ है कि । जब भार यांग-बैक्सटर समीकरण को संतुष्ट करते हैं, तो यह पूर्णांक है, इस अर्थ में कि कुछ मात्राओं का त्रुटिहीन मूल्यांकन किया जा सकता है।
इंटीग्रेबल चिरल पॉट्स मॉडल के लिए, भार को उच्च जीनस (गणित) बीजगणितीय वक्र, चिरल पॉट्स वक्र द्वारा परिभाषित किया गया है।[1][2] अन्य सॉल्व करने योग्य मॉडलों के विपरीत,[3][4] जिनके भार को एक से कम या उसके बराबर जीनस के वक्रों द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जाता है, जिससे उन्हें त्रिकोणमितीय फलनों, जीनस शून्य स्थितियों के लिए तर्कसंगत फलनों, या जीनस 1 स्थिति के लिए थीटा फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त किया जा सके, इस मॉडल में उच्च जीनस थीटा फलन सम्मिलित है कार्य, जिनके लिए सिद्धांत कम विकसित है।
संबंधित चिरल क्लॉक मॉडल, जिसे 1980 के दशक में डेविड ह्युस और स्टेलन ओस्टलुंड द्वारा स्वतंत्र रूप से प्रस्तुत किया गया था, चिरल पॉट्स मॉडल के विपरीत, बिल्कुल सॉल्व करने योग्य नहीं है।
मॉडल
यह मॉडल पहले से ज्ञात सभी मॉडलों की श्रेणी से बाहर है और कई अनसुलझे प्रश्न उठाता है जो बीजगणितीय ज्यामिति की कुछ सबसे जटिल समस्याओं से संबंधित हैं जो 150 वर्षों से हमारे साथ हैं। चिरल पॉट्स मॉडल का उपयोग अनुरूप-असमान चरण संक्रमण को समझने के लिए किया जाता है।[5] एन = 3 और 4 के लिए, अभिन्न मामला 1986 में स्टोनी ब्रुक में खोजा गया और अगले वर्ष प्रकाशित हुआ।[1][6]
स्व-द्वैत मामला
यदि वेट फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण समान फ़ंक्शन लौटाता है तो मॉडल को आत्म दोहरी कहा जाता है। विशेष (जीनस 1) मामला 1982 में फतेयेव और अलेक्जेंडर ज़मोलोडचिकोव द्वारा सॉल्व किया गया था।[7] अलकराज और सैंटोस के काम पर लगे कुछ प्रतिबंधों को हटाकर,[8] इंटीग्रेबल चिरल पॉट्स मॉडल का अधिक सामान्य स्व-दोहरा मामला खोजा गया था।[1]भार उत्पाद के रूप में दिया गया है[9][10] और भार में पैरामीटर्स को फ़र्मेट वक्र पर दिखाया गया है, जिसमें जीनस 1 से अधिक है।
सामान्य मामला
सभी k (तापमान चर) के लिए सामान्य समाधान पाया गया।[2]भार भी उत्पाद के रूप में दिया गया था और यह कम्प्यूटेशनल रूप से (फोरट्रान पर) परीक्षण किया गया था कि वे स्टार-त्रिकोण संबंध को संतुष्ट करते हैं। इसका प्रमाण बाद में प्रकाशित हुआ।[11]
परिणाम
ऑर्डर पैरामीटर
श्रृंखला से[5][12] ऑर्डर पैरामीटर का अनुमान लगाया गया था[13] सरल रूप होना
इस अनुमान को सिद्ध करने में कई साल लग गए, क्योंकि उच्च जीनस वक्र के कारण सामान्य कॉर्नर ट्रांसफर मैट्रिक्स तकनीक का उपयोग नहीं किया जा सका। यह अनुमान 2005 में बैक्सटर द्वारा सिद्ध किया गया था[14][15] कार्यात्मक समीकरणों और मिचियो जिम्बो एट अल की टूटी हुई रैपिडिटी लाइन तकनीक का उपयोग करना।[16] दो हल्के विश्लेषणात्मक कार्यों को मानते हुए
यांग-बैक्सटर इंटीग्रेबल मॉडल के क्षेत्र में आमतौर पर उपयोग की जाने वाली प्रकार की स्थितियाँ। हाल ही में, पत्रों की श्रृंखला में[17][18][19][20][21][22][23]
ऑर्डर पैरामीटर प्राप्त करने का बीजगणितीय (आइसिंग मॉडल | आइसिंग-जैसा) तरीका दिया गया है, जो बीजगणितीय संरचना में अधिक जानकारी देता है।
छह वर्टेक्स मॉडल से कनेक्शन
1990 में बज़ानोव और स्ट्रोगनोव[24] दिखाया कि एल-ऑपरेटर (लैक्स जोड़ी) मौजूद हैं जो यांग-बैक्सटर समीकरण को संतुष्ट करते हैं