अदिश वक्रता: Difference between revisions
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आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होती है। यह [[सामान्य सापेक्षता]] में महत्वपूर्ण होता है, जहां [[लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक]] की अदिश वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण|आइंस्टीन क्षेत्र]] [[समीकरणों]] में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए यूलर-लैग्रेज समीकरणों का [[लैग्रेंजियन]] घनत्व है जिसका संबंध शून्य में आइन्सटीन क्षेत्र समीकरण से है। | आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होती है। यह [[सामान्य सापेक्षता]] में महत्वपूर्ण होता है, जहां [[लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक]] की अदिश वक्रता [[आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण|आइंस्टीन क्षेत्र]] [[समीकरणों]] में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए यूलर-लैग्रेज समीकरणों का [[लैग्रेंजियन]] घनत्व है जिसका संबंध शून्य में आइन्सटीन क्षेत्र समीकरण से है। | ||
धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन आव्यूह की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार | धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन आव्यूह की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार नॉन कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह धनात्मक मास प्रमेय का कॉन्टेंट है जिसे 1970 के दशक में [[रिचर्ड स्कोन]] और [[शिंग-तुंग याउ]] द्वारा सिद्ध किया था और इसके तुरंत बाद [[एडवर्ड विटेन]] द्वारा विभिन्न प्रौद्योगिकी से संशोधित किया गया था। इस प्रकार शैड और याउ और स्वतंत्र रूप से [[मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ)|मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ]] और [[ब्लेन लॉसन]] ने संवृत मैनिफोल्ड्स में धनात्मक अदिश वक्रता के संघटनात्मक मैट्रिक्स के टोपोलॉजी के बारे में कई मूलभूत परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में, [[ त्वरित पेरेलमैन |ग्रिगोरी पेरेलमैन]] ने रिक्की फ्लो के निर्माण के साथ-साथ 2003 में रिक्की फ्लो के निर्माण से इन तीन आयामी स्थितियों में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रस्तुत किया गया है। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
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इस तरह के विकल्प का उद्देश्य यह है कि रिक्की और अदिश वक्रताएं अनुभागीय वक्रता के औसत मान योग के अतिरिक्त बन जाती है।{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1pp=107–108}} | इस तरह के विकल्प का उद्देश्य यह है कि रिक्की और अदिश वक्रताएं अनुभागीय वक्रता के औसत मान योग के अतिरिक्त बन जाती है।{{sfnm|1a1=do Carmo|1y=1992|1pp=107–108}} | ||
==मौलिक गुण== | ===मौलिक गुण=== | ||
यह एक मौलिक यथार्थ,है कि [[आइसोमेट्री]] के अनुसार अदिश वक्रता अपरिवर्तनीय होती है। इस प्रकार सटीक होने के लिए यदि {{mvar|f}} स्थान से भिन्नता {{mvar|M}} के लिए {{mvar|N}} तक का विभेदक रूपांतरण है और स्यूडो रीमैनियन मीट्रिक {{mvar|g}} से सुसज्जित है तो M पर पुलबैक अंतर ज्यामिति का अदिश वक्रता मानचित्र {{mvar|f}}. के साथ {{mvar|g}} कि अदिश वक्रता यह इस दावे के बराबर है कि अदिश वक्रता के बराबर होती है। इसका अर्थ यह है कि अदिश वक्रता पूरी तरह से परिभाषित है, इस प्रकार समन्वय चार्ट या स्थानीय फ्रेम के किसी भी विकल्प से स्वतंत्र है।{{sfnm|1a1=O'Neill|1y=1983|1pp=90–91}} अधिक सामान्यतः, जैसा कि [[समरूपता]] की भाषा में कहा जा सकता है, एक स्थिर कारक द्वारा मीट्रिक को स्केल करने का प्रभाव {{mvar|c}} व्युत्क्रम कारक द्वारा अदिश वक्रता को मापना {{math|''c''<sup>−1</sup>}} के रूप में होता है{{sfnm|1a1=O'Neill|1y=1983|1p=92}} | यह एक मौलिक यथार्थ,है कि [[आइसोमेट्री]] के अनुसार अदिश वक्रता अपरिवर्तनीय होती है। इस प्रकार सटीक होने के लिए यदि {{mvar|f}} स्थान से भिन्नता {{mvar|M}} के लिए {{mvar|N}} तक का विभेदक रूपांतरण है और स्यूडो रीमैनियन मीट्रिक {{mvar|g}} से सुसज्जित है तो M पर पुलबैक अंतर ज्यामिति का अदिश वक्रता मानचित्र {{mvar|f}}. के साथ {{mvar|g}} कि अदिश वक्रता यह इस दावे के बराबर है कि अदिश वक्रता के बराबर होती है। इसका अर्थ यह है कि अदिश वक्रता पूरी तरह से परिभाषित है, इस प्रकार समन्वय चार्ट या स्थानीय फ्रेम के किसी भी विकल्प से स्वतंत्र है।{{sfnm|1a1=O'Neill|1y=1983|1pp=90–91}} अधिक सामान्यतः, जैसा कि [[समरूपता]] की भाषा में कहा जा सकता है, एक स्थिर कारक द्वारा मीट्रिक को स्केल करने का प्रभाव {{mvar|c}} व्युत्क्रम कारक द्वारा अदिश वक्रता को मापना {{math|''c''<sup>−1</sup>}} के रूप में होता है{{sfnm|1a1=O'Neill|1y=1983|1p=92}} | ||
इसके अतिरिक्त, अदिश वक्रता सामान्यीकरण कारक की | इसके अतिरिक्त, अदिश वक्रता सामान्यीकरण कारक की यादृच्छिक पसंद के आधार पर मेट्रिक का एक [[मात्र निर्देशांक]] स्वतंत्र प्रकार्य है, जिसका सामान्य समन्वय चार्ट के केंद्र में मूल्यांकन किया गया है, मीट्रिक के व्युत्पन्न में एक बहुपद है और इसमें ऊपर की ओर स्केलिंग गुणधर्म है.यह वर्मेल प्रमेय का एक सूत्रीकरण है।{{sfnm|1a1=Gilkey|1y=1995|1loc=Example 2.4.3}} | ||
===बियान्ची तत्समक === | ===बियान्ची तत्समक === | ||
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और रीमैनियन मीट्रिक के स्थिति में यह एक अतिनिर्धारित अण्डाकार संकारको के रूप में होता है। यह पहले भिन्न सूत्रों का एक सीधा परिणाम है कि, पहले क्रम में एक संवृत मैनिफोल्ड पर एक रिक्की फ्लैट रीमैनियन मीट्रिक को विकृत नहीं किया जाता है जिससे कि या तो धनात्मक या ऋणात्मक अदिश वक्रता हो। इसके अतिरिक्त पहले क्रम में एक संवृत मैनिफोल्ड पर एक आइंस्टीन मीट्रिक को वॉल्यूम सामान्यीकरण के अनुसार विकृत नहीं किया जा सकता है जिससे कि अदिश वक्रता को बढ़ाया या घटाया जा सकता है ।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1K}} | और रीमैनियन मीट्रिक के स्थिति में यह एक अतिनिर्धारित अण्डाकार संकारको के रूप में होता है। यह पहले भिन्न सूत्रों का एक सीधा परिणाम है कि, पहले क्रम में एक संवृत मैनिफोल्ड पर एक रिक्की फ्लैट रीमैनियन मीट्रिक को विकृत नहीं किया जाता है जिससे कि या तो धनात्मक या ऋणात्मक अदिश वक्रता हो। इसके अतिरिक्त पहले क्रम में एक संवृत मैनिफोल्ड पर एक आइंस्टीन मीट्रिक को वॉल्यूम सामान्यीकरण के अनुसार विकृत नहीं किया जा सकता है जिससे कि अदिश वक्रता को बढ़ाया या घटाया जा सकता है ।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1K}} | ||
==आयतन और रीमैनियन अदिश वक्रता के बीच संबंध== | ===आयतन और रीमैनियन अदिश वक्रता के बीच संबंध=== | ||
जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता धनात्मक होती है, तो बिंदु के चारों ओर एक छोटी जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन क्षेत्र में समान त्रिज्या की एक गेंद की तुलना में छोटा होता है। दूसरी ओर जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता ऋणात्मक होती है, तो एक छोटी गेंद का आयतन यूक्लिडियन क्षेत्र की तुलना में बड़ा होता है। | जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता धनात्मक होती है, तो बिंदु के चारों ओर एक छोटी जियोडेसिक गेंद का आयतन यूक्लिडियन क्षेत्र में समान त्रिज्या की एक गेंद की तुलना में छोटा होता है। दूसरी ओर जब किसी बिंदु पर अदिश वक्रता ऋणात्मक होती है, तो एक छोटी गेंद का आयतन यूक्लिडियन क्षेत्र की तुलना में बड़ा होता है। | ||
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ये विस्तार कुछ बर्ट्रेंड-डिगुएट-पुइसेक्स प्रमेय को आयाम दो से उच्च आयामों तक सामान्यीकृत करते हैं। | ये विस्तार कुछ बर्ट्रेंड-डिगुएट-पुइसेक्स प्रमेय को आयाम दो से उच्च आयामों तक सामान्यीकृत करते हैं। | ||
==विशेष स्थितिया == | ===विशेष स्थितिया === | ||
===सतहें=== | ===सतहें=== | ||
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}} | }} | ||
{{term|''n''- गोलाकार }}{{defn|1= | {{term|''n''- गोलाकार }}{{defn|1= | ||
त्रिज्या ''r'' के ''n''-गोले की अनुभागीय वक्रता ''K'' = 1/''r''<sup>2</sup> है | त्रिज्या ''r'' के ''n''-गोले की अनुभागीय वक्रता ''K'' = 1/''r''<sup>2</sup> है इसलिए अदिश राशि | ||
वक्रता ''S'' = ''n''(''n'' − 1)/''r''<sup>2</sup> है. | वक्रता ''S'' = ''n''(''n'' − 1)/''r''<sup>2</sup> है. | ||
}} | }} | ||
{{term|[[ | {{term|[[हाइपरबोलिक क्षेत्र]]}}{{defn|1= | ||
हाइपरर्बोलियड मॉडल द्वारा एक ''n''-आयामी हाइपरबोलिक क्षेत्र को उपसमुच्चय के साथ पहचाना जा सकता है (''n'' + 1)-आयामी मिन्कोव्स्की स्थान | |||
: <math>x_0^2 - x_1^2 - \cdots - x_n^2 = r^2,\quad x_0 > 0.</math> | : <math>x_0^2 - x_1^2 - \cdots - x_n^2 = r^2,\quad x_0 > 0.</math> | ||
पैरामीटर ''r'' | पैरामीटर ''r'' हाइपरबोलिक क्षेत्र का एक ज्यामितीय अपरिवर्तनीय है, और अनुभागीय वक्रता ''K'' = −1/''r''<sup>2</sup> है . इस प्रकार अदिश वक्रता ''S'' = −''n''(''n'' − 1)/''r''<sup>2</sup>है. | ||
}} | }} | ||
स्थिर [[होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता]] का काहलर मीट्रिक दिए जाने पर अदिश वक्रता भी स्थिर होती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 2D}} | स्थिर [[होलोमोर्फिक अनुभागीय वक्रता]] का काहलर मीट्रिक दिए जाने पर अदिश वक्रता भी स्थिर होती है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 2D}} | ||
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जहाँ k, g की स्थिर वक्रता है।{{sfnm|1a1=O'Neill|1y=1983|1p=345}} | जहाँ k, g की स्थिर वक्रता है।{{sfnm|1a1=O'Neill|1y=1983|1p=345}} | ||
===अदिश-समतल | ===अदिश-समतल क्षेत्र === | ||
यह स्वचालित है कि किसी भी [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]] में शून्य अदिश वक्रता होती है; इस वर्ग में सबसे प्रसिद्ध | यह स्वचालित है कि किसी भी [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]] में शून्य अदिश वक्रता होती है; इस वर्ग में सबसे प्रसिद्ध क्षेत्र कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स हैं। स्यूडो -रिमानियन संदर्भ में, इसमें [[श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक]] और [[केर स्पेसटाइम]] भी सम्मिलित है। | ||
शून्य अदिश वक्रता लेकिन | शून्य अदिश वक्रता लेकिन नॉन वैनिशिंग होने वाली रिक्की वक्रता वाले आव्यूह हैं। उदाहरण के लिए, [[वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान]] पर [[टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल]] पर एक पूर्ण रीमैनियन मीट्रिक है, जो एक विकृत गुणनफल मीट्रिक के रूप में निर्मित है, जिसमें शून्य अदिश वक्रता है लेकिन गैर-शून्य रिक्की वक्रता है। इसे सिलेंडर पर शून्य अदिश वक्रता के घूर्णी रूप से सममित रीमैनियन मीट्रिक के रूप में भी देखा जा सकता है {{math|'''R''' × S<sup>''n''</sup>}}.{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Section 4.2.3}} | ||
==यामाबे समस्या== | ===यामाबे समस्या=== | ||
{{main|यामाबे समस्या}} | {{main|यामाबे समस्या}} | ||
यामाबे समस्या का समाधान 1984 में [[हिदेहिको यामाबे]], [[नील ट्रुडिंगर]], [[थिएरी औबिन]] और रिचर्ड स्कोएन द्वारा प्राप्त परिणामों के संयोजन से किया गया था।{{sfnm|1a1=Lee|1a2=Parker|1y=1987}} उन्होंने साबित किया कि एक संवृत मैनिफोल्ड पर प्रत्येक चिकनी रीमैनियन मीट्रिक को निरंतर अदिश वक्रता के साथ एक मीट्रिक प्राप्त करने के लिए कुछ चिकनी धनात्मक फलन से गुणा किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक संवृत मैनिफ़ोल्ड पर प्रत्येक रीमैनियन मीट्रिक निरंतर अदिश वक्रता वाले एक के अनुरूप ज्यामिति होती है। | यामाबे समस्या का समाधान 1984 में [[हिदेहिको यामाबे]], [[नील ट्रुडिंगर]], [[थिएरी औबिन]] और रिचर्ड स्कोएन द्वारा प्राप्त परिणामों के संयोजन से किया गया था।{{sfnm|1a1=Lee|1a2=Parker|1y=1987}} उन्होंने साबित किया कि एक संवृत मैनिफोल्ड पर प्रत्येक चिकनी रीमैनियन मीट्रिक को निरंतर अदिश वक्रता के साथ एक मीट्रिक प्राप्त करने के लिए कुछ चिकनी धनात्मक फलन से गुणा किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक संवृत मैनिफ़ोल्ड पर प्रत्येक रीमैनियन मीट्रिक निरंतर अदिश वक्रता वाले एक के अनुरूप ज्यामिति होती है। | ||
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एक संवृत रीमैनियन 2-मैनिफोल्ड M के लिए, अदिश वक्रता का M की [[टोपोलॉजी]] से स्पष्ट संबंध है, जो गॉस-बोनट प्रमेय द्वारा व्यक्त किया जाता है, इस प्रकार M की कुल अदिश वक्रता M की [[यूलर विशेषता]] 4π के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स के साथ एकमात्र संवृत सतहें धनात्मक यूलर विशेषता वाले क्षेत्र S2 और RP2 हैं और उन दो सतहों में अदिश वक्रता ≤ 0 के साथ कोई मीट्रिक नहीं है। | एक संवृत रीमैनियन 2-मैनिफोल्ड M के लिए, अदिश वक्रता का M की [[टोपोलॉजी]] से स्पष्ट संबंध है, जो गॉस-बोनट प्रमेय द्वारा व्यक्त किया जाता है, इस प्रकार M की कुल अदिश वक्रता M की [[यूलर विशेषता]] 4π के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स के साथ एकमात्र संवृत सतहें धनात्मक यूलर विशेषता वाले क्षेत्र S2 और RP2 हैं और उन दो सतहों में अदिश वक्रता ≤ 0 के साथ कोई मीट्रिक नहीं है। | ||
=== | ===नॉन एक्सिस्टेंस परिणाम=== | ||
1960 के दशक में, आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने पाया कि एक [[स्पिन मैनिफोल्ड]] पर, डिराक संकारको और [[टेंसर लाप्लासियन]] के वर्ग के बीच का अंतर अदिश वक्रता के एक-चौथाई द्वारा दिया जाता है। जैसा कि स्पिनर क्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है। यह वीट्ज़ेनबॉक सूत्र का एक मौलिक उदाहरण है। परिणामस्वरूप यदि एक संवृत मैनिफोल्ड पर रीमैनियन मीट्रिक में धनात्मक अदिश वक्रता है, तो कोई [[हार्मोनिक स्पिनर]] विद्यमान नहीं हो सकता है। यह अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय का परिणाम है कि चार से विभाज्य और धनात्मक अदिश वक्रता वाले आयाम वाले किसी भी संवृत स्पिन के लिए जीनस गायब हो जाना चाहिए। यह धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन आव्यूह के | 1960 के दशक में, आंद्रे लिचनेरोविक्ज़ ने पाया कि एक [[स्पिन मैनिफोल्ड]] पर, डिराक संकारको और [[टेंसर लाप्लासियन]] के वर्ग के बीच का अंतर अदिश वक्रता के एक-चौथाई द्वारा दिया जाता है। जैसा कि स्पिनर क्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है। यह वीट्ज़ेनबॉक सूत्र का एक मौलिक उदाहरण है। परिणामस्वरूप यदि एक संवृत मैनिफोल्ड पर रीमैनियन मीट्रिक में धनात्मक अदिश वक्रता है, तो कोई [[हार्मोनिक स्पिनर]] विद्यमान नहीं हो सकता है। यह अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय का परिणाम है कि चार से विभाज्य और धनात्मक अदिश वक्रता वाले आयाम वाले किसी भी संवृत स्पिन के लिए जीनस गायब हो जाना चाहिए। यह धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन आव्यूह के एक्सिस्टेंस में एक विशुद्ध रूप से टोपोलॉजिकल बाधा है।{{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Section 1I|2a1=Gilkey|2y=1995|2loc=Section 4.1|3a1=Jost|3y=2017|3loc=Sections 4.4 and 4.5|4a1=Lawson|4a2=Michelsohn|4y=1989|4loc=Section II.8}} | ||
डिराक संकारको का उपयोग करते हुए लिचनेरोविक्ज़ के उपपत्ति को एक सहायक [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] द्वारा घुमाया जा सकता है, जिसका प्रभाव लिचनेरोविक्ज़ सूत्र में केवल एक अतिरिक्त शब्द को सम्मिलित करना है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} फिर, सूचकांक प्रमेय के श्रेणी संस्करण और α-जीनस के रूप में जाने जाने वाले जीनस के एक परिष्कृत संस्करण का उपयोग करने के अतिरिक्त ऊपर दिए गए समान विश्लेषण के बाद, [[निगेल हिचिन]] ने साबित किया कि कुछ आयामों में [[विदेशी क्षेत्र]] होते है, जिनमें कोई रीमैनियन नहीं होते है इस प्रकार धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स ग्रोमोव और लॉसन ने बाद में लिचनेरोविक्ज़ के काम के इन रूपों को बड़े पैमाने पर नियोजित किया जाता है। इस प्रकार उनके परिणामी प्रमेय में से एक प्रमेय विस्तार की होमोटॉपी-सैद्धांतिक धारणा का परिचय देता है और कहता है कि एक बड़े स्पिन मैनिफोल्ड में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक नहीं हो सकता है। परिणाम के रूप में गैर-धनात्मक वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक संवृत मैनिफोल्ड होता है, जैसे [[ टोरस्र्स |टोरस्र्स]], में धनात्मक अदिश वक्रता वाला कोई मीट्रिक नहीं होता है। इस प्रकार धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन आव्यूह के | डिराक संकारको का उपयोग करते हुए लिचनेरोविक्ज़ के उपपत्ति को एक सहायक [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] द्वारा घुमाया जा सकता है, जिसका प्रभाव लिचनेरोविक्ज़ सूत्र में केवल एक अतिरिक्त शब्द को सम्मिलित करना है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} फिर, सूचकांक प्रमेय के श्रेणी संस्करण और α-जीनस के रूप में जाने जाने वाले जीनस के एक परिष्कृत संस्करण का उपयोग करने के अतिरिक्त ऊपर दिए गए समान विश्लेषण के बाद, [[निगेल हिचिन]] ने साबित किया कि कुछ आयामों में [[विदेशी क्षेत्र]] होते है, जिनमें कोई रीमैनियन नहीं होते है इस प्रकार धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स ग्रोमोव और लॉसन ने बाद में लिचनेरोविक्ज़ के काम के इन रूपों को बड़े पैमाने पर नियोजित किया जाता है। इस प्रकार उनके परिणामी प्रमेय में से एक प्रमेय विस्तार की होमोटॉपी-सैद्धांतिक धारणा का परिचय देता है और कहता है कि एक बड़े स्पिन मैनिफोल्ड में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक नहीं हो सकता है। परिणाम के रूप में गैर-धनात्मक वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक संवृत मैनिफोल्ड होता है, जैसे [[ टोरस्र्स |टोरस्र्स]], में धनात्मक अदिश वक्रता वाला कोई मीट्रिक नहीं होता है। इस प्रकार धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन आव्यूह के नॉन एक्सिस्टेंस पर ग्रोमोव और लॉसन के विभिन्न परिणाम धनात्मक अदिश वक्रता के साथ किसी भी संवृत स्पिन मैनिफोल्ड के टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की एक विस्तृत विविधता के लुप्त होने पर एक अनुमान का समर्थन करते हैं। यह सटीक सूत्रीकरण में बदले में [[मौलिक समूह]] के लिए [[नोविकोव अनुमान]] की एक विशेष स्थिति होती है, जो C*बीजगणित के [[ऑपरेटर के-सिद्धांत|संकारको के-सिद्धांत]] से संबंधित है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.3|2a1=Lawson|2a2=Michelsohn|2y=1989|2loc=Section IV.5}} यह बदले में मौलिक समूह के लिए बॉम-कॉन्स अनुमान की एक विशेष स्थिति है।{{sfnm|1a1=Blackadar|1y=1998|1loc=Section 24.4}} | ||
चार-आयामी मैनिफोल्ड्स की विशेष स्थिति में, सेबर्ग-विटन समीकरणों को अदिश वक्रता के अध्ययन के लिए उपयोगी रूप से लागू किया गया है। इस प्रकार लिचनेरोविक्ज़ के विश्लेषण के समान कुंजी यह साबित करने के लिए [[अधिकतम सिद्धांत]] का एक अनुप्रयोग है कि अदिश वक्रता धनात्मक होने पर सेबर्ग-विटन समीकरणों के समाधान सामान्य होने चाहिए। लिचनेरोविक्ज़ के कार्य के अनुरूप, सूचकांक प्रमेय समीकरणों के गैर-सामान्य समाधानों के | चार-आयामी मैनिफोल्ड्स की विशेष स्थिति में, सेबर्ग-विटन समीकरणों को अदिश वक्रता के अध्ययन के लिए उपयोगी रूप से लागू किया गया है। इस प्रकार लिचनेरोविक्ज़ के विश्लेषण के समान कुंजी यह साबित करने के लिए [[अधिकतम सिद्धांत]] का एक अनुप्रयोग है कि अदिश वक्रता धनात्मक होने पर सेबर्ग-विटन समीकरणों के समाधान सामान्य होने चाहिए। लिचनेरोविक्ज़ के कार्य के अनुरूप, सूचकांक प्रमेय समीकरणों के गैर-सामान्य समाधानों के एक्सिस्टेंस की गारंटी दे सकते हैं। इस तरह का विश्लेषण धनात्मक अदिश वक्रता के मैट्रिक्स की गैर-मौजूदगी के लिए नए मानदंड प्रदान करता है। [[क्लाउड लेब्रून]] ने कई पत्रों में ऐसे विचारों को आगे बढ़ाया है।{{sfnm|1a1=Jost|1y=2017|1loc=Section 11.2}} | ||
=== | ===एक्सिस्टेंस परिणाम=== | ||
उपरोक्त | उपरोक्त नॉन एक्सिस्टेंस परिणामों के विपरीत, लॉसन और याउ ने नॉनबेलियन प्रभावी समूह क्रियाओं की एक विस्तृत श्रेणी से धनात्मक अदिश वक्रता के '''रीमैनियन आव्यूह''' का निर्माण किया है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Sections II.8 and IV.3}} | ||
बाद में, स्कोएन-याउ और ग्रोमोव-लॉसन ने विभिन्न प्रौद्योगिकी का उपयोग करके मौलिक परिणाम साबित किया है कि धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन आव्यूह का | बाद में, स्कोएन-याउ और ग्रोमोव-लॉसन ने विभिन्न प्रौद्योगिकी का उपयोग करके मौलिक परिणाम साबित किया है कि धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन आव्यूह का एक्सिस्टेंस [[सर्जरी सिद्धांत]] द्वारा कम से कम तीन कोडिमेंशन में संरक्षित है और विशेष रूप से जुड़े योग द्वारा संरक्षित है। यह कई प्रकार के विविध स्तरों पर ऐसे आव्यूह के एक्सिस्टेंस को स्थापित करता है। उदाहरण के लिए यह तुरंत दिखाता है कि गोलाकार स्थान रूपों और सामान्यीकृत सिलेंडरों की प्रतियों की यादृच्छिक संख्या का [[जुड़ा हुआ योग]] {{math|S<sup>''m''</sup> × S<sup>''n''</sup>}} में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक है। ग्रिगोरी पेरेलमैन की सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह का निर्माण एक तत्काल परिणाम के रूप में त्रि-आयामी स्थिति में उलटा है इस प्रकार धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन मीट्रिक के साथ एक संवृत अभिविन्यसनीय 3-मैनिफोल्ड से जुड़ा हुआ योग होना चाहिए।{{sfnm|1a1=Perelman|1y=2003|1loc=Section 6.1|2a1=Cao|2a2=Zhu|2y=2006|2loc=Corollary 7.4.4|3a1=Kleiner|3a2=Lott|3y=2008|3loc=Lemmas 81.1 and 81.2}} | ||
ग्रोमोव-लॉसन और स्कोएन-याउ निर्माण द्वारा अनुमत सर्जरी के आधार पर ग्रोमोव और लॉसन ने देखा कि H[[एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय|-कोबॉर्डिज्म प्रमेय]] और [[कोबर्डिज्म रिंग]] का विश्लेषण सीधे लागू किया जा सकता है। उन्होंने सिद्ध किया कि चार से अधिक आयामों में किसी भी गैर-स्पिन बस जुड़े हुए संवृत मैनिफोल्ड में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक होता है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Section IV.4}} स्टीफ़न स्टोलज़ ने चार से अधिक आयामों में सरल रूप से जुड़े संवृत मैनिफोल्ड्स के लिए | ग्रोमोव-लॉसन और स्कोएन-याउ निर्माण द्वारा अनुमत सर्जरी के आधार पर ग्रोमोव और लॉसन ने देखा कि H[[एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय|-कोबॉर्डिज्म प्रमेय]] और [[कोबर्डिज्म रिंग]] का विश्लेषण सीधे लागू किया जा सकता है। उन्होंने सिद्ध किया कि चार से अधिक आयामों में किसी भी गैर-स्पिन बस जुड़े हुए संवृत मैनिफोल्ड में धनात्मक अदिश वक्रता का रीमैनियन मीट्रिक होता है।{{sfnm|1a1=Lawson|1a2=Michelsohn|1y=1989|1loc=Section IV.4}} स्टीफ़न स्टोलज़ ने चार से अधिक आयामों में सरल रूप से जुड़े संवृत मैनिफोल्ड्स के लिए एक्सिस्टेंस सिद्धांत को पूरा किया है, जिसमें दिखाया गया कि जब तक α-जीनस शून्य है, तब तक धनात्मक अदिश वक्रता का एक रीमैनियन मीट्रिक के रूप में होता है।{{sfnm|1a1=Berger|1y=2003|1loc=Section 12.3.3}} | ||
इन परिणामों के अनुसार, संवृत मैनिफोल्ड्स के लिए धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन आव्यूह का | इन परिणामों के अनुसार, संवृत मैनिफोल्ड्स के लिए धनात्मक अदिश वक्रता के रीमैनियन आव्यूह का एक्सिस्टेंस त्रि-आयामी स्थिति में और चार से अधिक आयाम के बस-जुड़े मैनिफोल्ड्स के स्थिति में पूरी तरह से तय हो जाता है। | ||
==कज़दान और वार्नर की ट्राइकोटॉमी प्रमेय== | ===कज़दान और वार्नर की ट्राइकोटॉमी प्रमेय=== | ||
अदिश वक्रता के चिन्ह का उच्च आयामों में टोपोलॉजी से कमजोर संबंध होता है। इस प्रकार कम से कम 3 आयाम के एक चिकने संवृत मैनिफोल्ड M को देखते हुए, [[जेरी काज़ से]] और वार्नर ने निर्धारित अदिश वक्रता समस्या को हल किया है, जिसमें बताया गया कि M पर कौन से सुचारू कार्य M पर कुछ रीमैनियन मीट्रिक के अदिश वक्रता के रूप में उत्पन्न होते हैं। अर्थात्, M बिल्कुल इनमें से एक होना चाहिए निम्नलिखित तीन प्रकार से दर्शाया गया है {{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Theorem 4.35}} | अदिश वक्रता के चिन्ह का उच्च आयामों में टोपोलॉजी से कमजोर संबंध होता है। इस प्रकार कम से कम 3 आयाम के एक चिकने संवृत मैनिफोल्ड M को देखते हुए, [[जेरी काज़ से]] और वार्नर ने निर्धारित अदिश वक्रता समस्या को हल किया है, जिसमें बताया गया कि M पर कौन से सुचारू कार्य M पर कुछ रीमैनियन मीट्रिक के अदिश वक्रता के रूप में उत्पन्न होते हैं। अर्थात्, M बिल्कुल इनमें से एक होना चाहिए निम्नलिखित तीन प्रकार से दर्शाया गया है {{sfnm|1a1=Besse|1y=1987|1loc=Theorem 4.35}} | ||
# M पर प्रत्येक फलन M पर कुछ मीट्रिक की अदिश वक्रता है। | # M पर प्रत्येक फलन M पर कुछ मीट्रिक की अदिश वक्रता है। | ||
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अकिटो फूटाकी ने दिखाया कि दृढ़ता से अदिश -फ्लैट आव्यूह बेहद खास हैं। जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है यह कम से कम 5 आयाम के सरल रूप से जुड़े रीमानियन मैनिफोल्ड M के लिए है, जो दृढ़ता से अदिश-सपाट रूप में होते है, M को [[ होलोनोमी |होलोनोमी]] समूह SU(n) (कैलाबी-यॉ मैनिफोल्ड्स), Sp(n) हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड्स के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का गुणनफल होना चाहिए। या स्पिन(7).{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Corollary C.4.4}} विशेष रूप से यह आव्यूह रिक्की-फ्लैट हैं न कि केवल अदिश -फ्लैट इसके विपरीत है{{sfnm|1a1=Lebanon|1y=2002}} इन होलोनॉमी समूहों के साथ कई गुना के उदाहरण हैं जैसे कि [[K3 सतह]] जो स्पिन हैं और गैर-शून्य α-अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए दृढ़ता से अदिश फ्लैट हैं। | अकिटो फूटाकी ने दिखाया कि दृढ़ता से अदिश -फ्लैट आव्यूह बेहद खास हैं। जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है यह कम से कम 5 आयाम के सरल रूप से जुड़े रीमानियन मैनिफोल्ड M के लिए है, जो दृढ़ता से अदिश-सपाट रूप में होते है, M को [[ होलोनोमी |होलोनोमी]] समूह SU(n) (कैलाबी-यॉ मैनिफोल्ड्स), Sp(n) हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड्स के साथ रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का गुणनफल होना चाहिए। या स्पिन(7).{{sfnm|1a1=Petersen|1y=2016|1loc=Corollary C.4.4}} विशेष रूप से यह आव्यूह रिक्की-फ्लैट हैं न कि केवल अदिश -फ्लैट इसके विपरीत है{{sfnm|1a1=Lebanon|1y=2002}} इन होलोनॉमी समूहों के साथ कई गुना के उदाहरण हैं जैसे कि [[K3 सतह]] जो स्पिन हैं और गैर-शून्य α-अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए दृढ़ता से अदिश फ्लैट हैं। | ||
==सांख्यिकीय अनुमान के लिए अनुप्रयोग== | ===सांख्यिकीय अनुमान के लिए अनुप्रयोग=== | ||
[[बहुपद वितरण]] मॉडल में, आपके पास एक डी-सिंप्लेक्स है। उस मॉडल के अनुरूप रिक्की अदिश d(d-1)/4 है।{{sfnm|1a1=Rodríguez|1y=2004}} | [[बहुपद वितरण]] मॉडल में, आपके पास एक डी-सिंप्लेक्स है। उस मॉडल के अनुरूप रिक्की अदिश d(d-1)/4 है।{{sfnm|1a1=Rodríguez|1y=2004}} | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
* [[घुमावदार स्पेसटाइम के गणित का बुनियादी परिचय| | * [[घुमावदार स्पेसटाइम के गणित का बुनियादी परिचय|गोलाकार स्पेसटाइम के गणित का मौलिक परिचय]] | ||
* [[यमबे अपरिवर्तनीय]] | * [[यमबे अपरिवर्तनीय]] | ||
* क्रेश्चमैन अदिश राशि | * क्रेश्चमैन अदिश राशि | ||
Revision as of 01:05, 30 November 2023
गणितीय क्षेत्र में रीमैनियन ज्यामिति अदिश वक्रता या रिक्की अदिश रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता का मापन है.प्रत्येक बिंदु पर रीमैनियन मैनिफोल्ड के प्रत्येक उस बिंदु के पास मीट्रिक की ज्यामिति द्वारा निर्धारित एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है। इसे मीट्रिक घटकों के आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में एक सम्मिश्र स्पष्ट सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है, चूंकि यह असीम रूप से छोटी जियोडेसिक गेंदों की मात्रा की विशेषता भी है। इस प्रकार सतहों की अवकल ज्यामिति के संदर्भ में अदिश वक्रता गॉसियन वक्रता से दोगुनी होती है और पूरी तरह से सतह की वक्रता को चिह्नित करती है। चूंकि, उच्च आयामों में अदिश वक्रता रीमैन वक्रता टेंसर के केवल एक विशेष भाग का प्रतिनिधित्व करती है।
आंशिक व्युत्पन्न के माध्यम से अदिश वक्रता की परिभाषा स्यूडो -रिमानियन मैनिफोल्ड्स की अधिक सामान्य सेटिंग में भी मान्य होती है। यह सामान्य सापेक्षता में महत्वपूर्ण होता है, जहां लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक की अदिश वक्रता आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में प्रमुख शब्दों में से एक है। इसके अतिरिक्त यह अदिश वक्रता आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया के लिए यूलर-लैग्रेज समीकरणों का लैग्रेंजियन घनत्व है जिसका संबंध शून्य में आइन्सटीन क्षेत्र समीकरण से है।
धनात्मक अदिश वक्रता के साथ रीमैनियन आव्यूह की ज्यामिति का व्यापक रूप से अध्ययन किया गया है। इस प्रकार नॉन कॉम्पैक्ट स्थानों पर यह धनात्मक मास प्रमेय का कॉन्टेंट है जिसे 1970 के दशक में रिचर्ड स्कोन और शिंग-तुंग याउ द्वारा सिद्ध किया था और इसके तुरंत बाद एडवर्ड विटेन द्वारा विभिन्न प्रौद्योगिकी से संशोधित किया गया था। इस प्रकार शैड और याउ और स्वतंत्र रूप से मिखाइल ग्रोमोव गणितज्ञ और ब्लेन लॉसन ने संवृत मैनिफोल्ड्स में धनात्मक अदिश वक्रता के संघटनात्मक मैट्रिक्स के टोपोलॉजी के बारे में कई मूलभूत परिणाम विकसित किए है। उनके परिणामों के संयोजन में, ग्रिगोरी पेरेलमैन ने रिक्की फ्लो के निर्माण के साथ-साथ 2003 में रिक्की फ्लो के निर्माण से इन तीन आयामी स्थितियों में इन टोपोलॉजी का संपूर्ण लक्षण का वर्णन प्रस्तुत किया गया है।
परिभाषा
एक रीमैनियन मीट्रिक दिया गया g, अदिश व