आर्टिन-टिट समूह

समूह सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, आर्टिन समूह, जिसे आर्टिन-टिट समूह या सामान्यीकृत ब्रैड समूह के रूप में भी जाना जाता है, एक समूह की सरल प्रस्तुति द्वारा परिभाषित अनंत असतत समूह (गणित) का एक परिवार है। वे कॉक्सेटर समूहों से निकटता से संबंधित हैं। अन्य लोगों के अलावा, मुक्त समूह, मुक्त एबेलियन समूह, चोटी समूह और समकोण वाले आर्टिन-स्तन समूह इसके उदाहरण हैं।

1920 से 1940 के दशक में ब्रैड समूहों पर अपने शुरुआती काम के कारण समूहों का नाम एमिल आर्टिन के नाम पर रखा गया है और जैक्स स्तन जिन्होंने 1960 के दशक में समूहों के एक अधिक सामान्य वर्ग के सिद्धांत को विकसित किया।

परिभाषा

आर्टिन-स्तन प्रस्तुति एक समूह प्रस्तुति है जिसमें $\langle S\mid R\rangle$ रूप में लिखा जाता है, यहां $S$ जनरेटर का एक (आमतौर पर परिमित) सेट है और $R$ आर्टिन-टिट संबंधों का एक सेट है, अर्थात् प्रपत्र के संबंध $stst\ldots =tsts\ldots$ विशिष्ट के लिए $s,t$ में $S$, जहां दोनों पक्षों की समान लंबाई होती है, और अलग-अलग जनरेटर की प्रत्येक जोड़ी के लिए अधिकतम एक संबंध मौजूद होता है $s,t$. एक आर्टिन-स्तन समूह एक ऐसा समूह है जो एक आर्टिन-स्तन प्रस्तुति को स्वीकार करता है। इसी तरह, एक आर्टिन-टिट मोनोइड एक मोनोइड है, जो एक मोनोइड के रूप में, एक आर्टिन-टिट प्रस्तुति को स्वीकार करता है।

वैकल्पिक रूप से, एक आर्टिन-स्तन समूह को जनरेटर के सेट $S$ द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है और, प्रत्येक के लिए $s,t$ में $S$, प्राकृतिक संख्या $m_{s,t}\geqslant 2$ वह शब्दों की लंबाई है $stst\ldots$ और $tsts\ldots$ ऐसा है कि $stst\ldots =tsts\ldots$ जोड़ने वाला संबंध है $s$ और $t$, यदि कोई। अधिवेशन द्वारा, एक डालता है $m_{s,t}=\infty$ जब कोई संबंध नहीं है $stst\ldots =tsts\ldots$ . औपचारिक रूप से, यदि हम परिभाषित करते हैं $\langle s,t\rangle ^{m}$ के एक वैकल्पिक उत्पाद को निरूपित करने के लिए $s$ और $t$ लंबाई का $m$, इसके साथ शुरुआत $s$ - ताकि $\langle s,t\rangle ^{2}=st$, $\langle s,t\rangle ^{3}=sts$, आदि - आर्टिन-टिट संबंध रूप लेते हैं

$\langle s,t\rangle ^{m_{s,t}}=\langle t,s\rangle ^{m_{t,s}},{\text{ where }}m_{s,t}=m_{t,s}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}.$

पूर्णांक $m_{s,t}$ एक सममित मैट्रिक्स में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसे समूह के कॉक्सेटर मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है।

अगर $\langle S\mid R\rangle$ एक आर्टिन-स्तन समूह की एक आर्टिन-स्तन प्रस्तुति है $A$, का भागफल $A$ संबंध जोड़कर प्राप्त किया $s^{2}=1$ प्रत्येक के लिए $s$ का $R$ एक कॉक्सेटर समूह है। इसके विपरीत यदि $W$ प्रतिबिंबों और संबंधों द्वारा प्रस्तुत एक कॉक्सेटर समूह है $s^{2}=1$ हटा दिए जाते हैं, इस प्रकार प्राप्त विस्तार एक आर्टिन-स्तन समूह है। उदाहरण के लिए, $n$-स्ट्रैंड ब्रेड समूह के साथ संबंधित कॉक्सिटर समूह सभी प्रार्थनाओं के समानांतर समूह है जो निर्धारित करता $\{1,$