परिणामी: Difference between revisions

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परिणामी का व्यापक रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह [[कंप्यूटर बीजगणित]] का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, [[बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन]], [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत कार्यों]] के [[प्रतीकात्मक एकीकरण]] और बहुपद चर [[बहुपद समीकरण|बहुपद समीकरणों]] की संख्या द्वारा परिभाषित [[वक्र|वक्रों]] के चित्रण के लिए किया जाता है।
परिणामी का व्यापक रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह [[कंप्यूटर बीजगणित]] का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, [[बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन]], [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत कार्यों]] के [[प्रतीकात्मक एकीकरण]] और बहुपद चर [[बहुपद समीकरण|बहुपद समीकरणों]] की संख्या द्वारा परिभाषित [[वक्र|वक्रों]] के चित्रण के लिए किया जाता है।


एन वेरिएबल्स में एन [[सजातीय बहुपद|सजातीय बहुपदों]] का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के [[फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा]] द्वारा पेश किया गया है।{{sfn|Macaulay|1902}} यह ग्रोबनेर के साथ [[उन्मूलन सिद्धांत]] के मुख्य उपकरणों में से एक है।
{{math|''n''}} वेरिएबल्स में {{math|''n''}} [[सजातीय बहुपद|सजातीय बहुपदों]] का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के [[फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा]] द्वारा पेश किया गया है।{{sfn|Macaulay|1902}} यह ग्रोबनेर के साथ [[उन्मूलन सिद्धांत]] के मुख्य उपकरणों में से एक है।


== नोटेशन ==
== नोटेशन ==
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:परिणामी का वर्ग-मुक्त गुणनखंड हो जो दाईं ओर दिखाई देता है। ट्रैगर ने साबित कर दिया कि प्रतिपक्षी है
:परिणामी का वर्ग-मुक्त गुणनखंड हो जो दाईं ओर दिखाई देता है। ट्रैगर ने साबित कर दिया कि प्रतिपक्षी है
:<math>\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\sum_{i=1}^k\sum_{S_i(\alpha)=0} \alpha \log(T_i(\alpha,x)),</math>
:<math>\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\sum_{i=1}^k\sum_{S_i(\alpha)=0} \alpha \log(T_i(\alpha,x)),</math>
जहां आंतरिक योग की मूलों पर चलते हैं <math>S_i</math> (यदि <math>S_i=1</math> योग शून्य है, [[खाली योग]] होने के नाते), और <math>T_i(r,x)</math> डिग्री का बहुपद है {{math|''i''}} में {{math|''x''}}. Lazard-Rioboo योगदान इसका प्रमाण है <math>T_i(r,x)</math> डिग्री का बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक#उपपरिणाम है {{math|''i''}} का <math>rQ'(x)-P(x)</math> और <math>Q(x).</math> इस प्रकार यह मुफ्त में प्राप्त किया जाता है यदि परिणामी की गणना बहुपद महानतम सामान्य विभाजक#उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम|उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम द्वारा की जाती है।
जहां आंतरिक योग <math>S_i</math> (यदि <math>S_i=1</math> योग शून्य है, [[खाली योग]] होने के नाते) की मूलों पर चलते हैं, और <math>T_i(r,x)</math> {{math|''x''}} में डिग्री {{math|''i''}} का बहुपद है. लाजार्ड-रियोबू योगदान इसका प्रमाण है कि <math>T_i(r,x)</math> डिग्री {{math|''i''}} का <math>rQ'(x)-P(x)</math> और <math>Q(x).</math> बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक उपपरिणाम है इस प्रकार यह मुफ्त में प्राप्त किया जाता है यदि परिणामी की गणना बहुपद महानतम सामान्य विभाजक उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम|उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम द्वारा की जाती है।


=== कंप्यूटर बीजगणित ===
=== कंप्यूटर बीजगणित ===
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सजातीय परिणामी में अनिवार्य रूप से सामान्य परिणाम के समान गुण होते हैं, अनिवार्य रूप से दो अंतरों के साथ: बहुपद मूलों के बजाय, प्रक्षेपी रेखा में शून्य पर विचार किया जाता है, और बहुपद की डिग्री रिंग होमोमोर्फिज्म के तहत नहीं बदल सकती है।
सजातीय परिणामी में अनिवार्य रूप से सामान्य परिणाम के समान गुण होते हैं, अनिवार्य रूप से दो अंतरों के साथ: बहुपद मूलों के बजाय, प्रक्षेपी रेखा में शून्य पर विचार किया जाता है, और बहुपद की डिग्री रिंग होमोमोर्फिज्म के तहत नहीं बदल सकती है।
वह है:
वह है:
* अभिन्न डोमेन पर दो सजातीय बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर गैर-शून्य सामान्य शून्य होता है।
* अभिन्न डोमेन पर दो सजातीय बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर गैर-शून्य सामान्य शून्य होता है।
* यदि {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} क्रमविनिमेय वलय में गुणांक वाले दो द्विभाजित सजातीय बहुपद हैं {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की रिंग समरूपता {{math|''R''}} दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में {{math|''S''}}, फिर बढ़ा रहा है <math>\varphi</math> बहुपदों पर {{math|''R''}}, वाले हैं
* यदि {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} क्रमविनिमेय वलय में गुणांक वाले दो द्विभाजित सजातीय {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> बहुपद हैं {{math|''R''}} की रिंग समरूपता {{math|''S''}} दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में , फिर बढ़ा रहा है <math>\varphi</math> बहुपदों पर {{math|''R''}}, वाले हैं
::<math>\operatorname{Res}(\varphi(P), \varphi(Q)) = \varphi(\operatorname{Res}(P,Q)).</math>
::<math>\operatorname{Res}(\varphi(P), \varphi(Q)) = \varphi(\operatorname{Res}(P,Q)).</math>
* चर के किसी भी अनुमानित परिवर्तन के तहत शून्य होने के लिए सजातीय परिणामी की गुण अपरिवर्तनीय है।
* चर के किसी भी अनुमानित परिवर्तन के तहत शून्य होने के लिए सजातीय परिणामी की गुण अपरिवर्तनीय है।
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==मैकाले का परिणाम ==
==मैकाले का परिणाम ==


मैकाले का परिणामी, जिसका नाम फ्रांसिस सॉवरबी मैकाले के नाम पर रखा गया है, जिसे बहुभिन्नरूपी परिणामी, या बहुपद परिणामी भी कहा जाता है,<ref>{{Citation | last1=Cox | first1=David | last2=Little | first2=John | last3=O'Shea | first3=Donal | title=Using Algebraic Geometry | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | isbn=978-0387207339 | year=2005}}, Chapter 3. Resultants</ref> सजातीय परिणाम का सामान्यीकरण है {{math|''n''}} सजातीय बहुपद में {{math|''n''}} अनिश्चित (चर)। इनके गुणांकों में मैकाले का परिणामी बहुपद है {{math|''n''}} सजातीय बहुपद जो लुप्त हो जाते हैं यदि और केवल यदि बहुपदों का बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में सामान्य गैर-शून्य समाधान होता है जिसमें गुणांक होते हैं, या, समकक्ष, यदि {{math|''n''}} बहुपदों द्वारा परिभाषित हाइपर सतहों में सामान्य शून्य होता है {{math|''n''  –1}} आयामी प्रक्षेपण स्थान। ग्रोबनर आधार के साथ बहुभिन्नरूपी परिणामी | ग्रोबनर आधार, प्रभावी उन्मूलन सिद्धांत (कंप्यूटर पर उन्मूलन सिद्धांत) के मुख्य उपकरणों में से है।
मैकाले का परिणामी, जिसका नाम फ्रांसिस सॉवरबी मैकाले के नाम पर रखा गया है, जिसे {{math|''n''}} बहुभिन्नरूपी परिणामी, या बहुपद परिणामी भी कहा जाता है,<ref>{{Citation | last1=Cox | first1=David | last2=Little | first2=John | last3=O'Shea | first3=Donal | title=Using Algebraic Geometry | publisher=[[Springer Science+Business Media]] | isbn=978-0387207339 | year=2005}}, Chapter 3. Resultants</ref> सजातीय परिणामी का {{math|''n''}} अनिश्चित में सजातीय बहुपदों का एक सामान्यीकरण है। मैकाले का परिणामी इन {{math|''n''}} सजातीय बहुपदों के गुणांकों में एक बहुपद है जो गायब हो जाता है अगर और केवल अगर बहुपदों में गुणांक वाले बीजीय रूप से बंद क्षेत्र में एक आम गैर-शून्य समाधान होता है, या समकक्ष, यदि बहुपदों द्वारा परिभाषित {{math|''n''}} हाइपर सतहें {{math|''n''  –1}} आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस में एक आम शून्य है। मल्टीवेरिएट परिणामी, ग्रोबनेर बेस के साथ, प्रभावी उन्मूलन सिद्धांत (कंप्यूटर पर उन्मूलन सिद्धांत) के मुख्य उपकरणों में से एक है।


सजातीय परिणामी की तरह, मैकाले को [[निर्धारकों]] के साथ परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार रिंग होमोमोर्फिज़्म के तहत अच्छा व्यवहार करता है। हालाँकि, इसे निर्धारक द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि पहले इसे [[सामान्य बहुपद]]ों पर परिभाषित करना आसान है।
सजातीय परिणामी की तरह, मैकाले को [[निर्धारकों]] के साथ परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार रिंग होमोमोर्फिज़्म के तहत अच्छा व्यवहार करता है। हालाँकि, इसे निर्धारक द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि पहले इसे [[सामान्य बहुपद|सामान्य बहुपदों]]पर परिभाषित करना आसान है।


=== सामान्य सजातीय बहुपदों का परिणाम ===
=== सामान्य सजातीय बहुपदों का परिणाम ===
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:<math>\sum_{i=1}^n\binom{n+d_i-1}{n-1}</math>
:<math>\sum_{i=1}^n\binom{n+d_i-1}{n-1}</math>
अनिश्चित गुणांक।
अनिश्चित गुणांक।
मान लीजिये {{math|''C''}} इन सभी में पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो
मान लीजिये {{math|''C''}} इन सभी में पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो
अनिश्चित गुणांक। बहुपद <math>P_1, \ldots, P_n</math> इस प्रकार से हैं <math>C[x_1,\ldots, x_n],</math> और उनका परिणामी (अभी भी परिभाषित किया जाना है) संबंधित है {{math|''C''}}.


मैकाले की डिग्री पूर्णांक है <math>D=d_1+\cdots+d_n-n+1,</math> जो मैकाले के सिद्धांत में मौलिक है। परिणामी को परिभाषित करने के लिए, कोई मैकाले मैट्रिक्स पर विचार करता है, जो कि के मोनोमियल आधार पर मैट्रिक्स है {{math|''C''}}-रैखिक नक्शा
अनिश्चित गुणांक। बहुपद <math>P_1, \ldots, P_n</math> इस प्रकार <math>C[x_1,\ldots, x_n],</math> से हैं और उनका परिणामी {{math|''C''}} से (अभी भी परिभाषित किया जाना है) संबंधित है.
:<math>(Q_1, \ldots, Q_n)\mapsto Q_1P_1+\cdots+Q_nP_n,</math>
जिसमें प्रत्येक <math>Q_i</math> डिग्री के सजातीय बहुपदों पर चलता है <math>D-d_i,</math> और [[कोडोमेन]] है {{math|''C''}}डिग्री के सजातीय बहुपदों का मॉड्यूल {{math|''D''}}.


यदि {{math|1=''n'' = 2}}, मैकाले मैट्रिक्स [[स्क्वायर मैट्रिक्स]] है, और वर्ग मैट्रिक्स है, लेकिन यह अब सत्य नहीं है {{math|''n'' > 2}}. इस प्रकार, निर्धारक पर विचार करने के बजाय, सभी अधिकतम लघु (रैखिक बीजगणित) पर विचार किया जाता है, जो वर्ग उपमात्रियों के निर्धारक होते हैं जिनकी मैकाले मैट्रिक्स के रूप में कई पंक्तियाँ होती हैं। मैकाले ने सिद्ध किया कि {{math|''C''}}-आदर्श इन प्रमुख नाबालिगों द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श है, जो इन नाबालिगों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा उत्पन्न होता है। जैसा कि पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के साथ काम कर रहा है, यह सबसे बड़ा सामान्य विभाजक इसके चिह्न तक परिभाषित किया गया है। सामान्य मैकाले का परिणाम सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है जो बन जाता है {{math|1}}, कब, प्रत्येक के लिए {{math|''i''}}, शून्य के सभी गुणांकों के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है <math>P_i,</math> के गुणांक को छोड़कर <math>x_i^{d_i},</math> जिसके लिए प्रतिस्थापित किया गया है।
मैकाले की डिग्री <math>D=d_1+\cdots+d_n-n+1,</math> पूर्णांक है जो मैकाले के सिद्धांत में मौलिक है। परिणामी को परिभाषित करने के लिए, कोई मैकाले मैट्रिक्स पर विचार करता है, जो कि {{math|''C''}}-रैखिक नक्शा के मोनोमियल आधार पर मैट्रिक्स है
 
<math>(Q_1, \ldots, Q_n)\mapsto Q_1P_1+\cdots+Q_nP_n,</math>
 
जिसमें प्रत्येक <math>Q_i</math> डिग्री <math>D-d_i,</math> के सजातीय बहुपदों पर चलता है और [[कोडोमेन]] {{math|''C''}} है {{math|''D''}} डिग्री के सजातीय बहुपदों का मॉड्यूल हैं.
 
यदि {{math|1=''n'' = 2}}, मैकाले मैट्रिक्स [[स्क्वायर मैट्रिक्स]] है, और वर्ग मैट्रिक्स है, लेकिन यह {{math|''n'' > 2}} अब सत्य नहीं है. इस प्रकार, निर्धारक पर विचार करने के बजाय, सभी अधिकतम लघु (रैखिक बीजगणित) पर विचार किया जाता है, जो वर्ग उपमात्रियों के निर्धारक होते हैं जिनकी मैकाले मैट्रिक्स के रूप में कई पंक्तियाँ होती हैं। मैकाले ने सिद्ध किया कि {{math|''C''}}-आदर्श इन प्रमुख नाबालिगों द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श है, जो इन नाबालिगों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा उत्पन्न होता है। जैसा कि पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के साथ काम कर रहा है, यह सबसे बड़ा सामान्य विभाजक इसके चिह्न तक परिभाषित किया गया है। सामान्य मैकाले का परिणाम सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है जो {{math|1}} बन जाता है, जब, प्रत्येक {{math|''i''}} के लिए , शून्य के सभी गुणांकों <math>P_i,</math> के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है  <math>x_i^{d_i},</math> के गुणांक को छोड़कर  जिसके लिए प्रतिस्थापित किया गया है।


====जेनेरिक मैकाले परिणामी के गुण ====
====जेनेरिक मैकाले परिणामी के गुण ====
*जेनेरिक मैकाले परिणामी अलघुकरणीय बहुपद है।
*जेनेरिक मैकाले परिणामी अलघुकरणीय बहुपद है।
* यह डिग्री का सजातीय है <math>B/d_i</math> के गुणांक में <math>P_i,</math> जहाँ <math>B=d_1 \cdots d_n</math> बेज़ाउट प्रमेय है|बेज़ाउट बाउंड।
* यह डिग्री का सजातीय है <math>B/d_i</math> के गुणांक में <math>P_i,</math> जहाँ <math>B=d_1 \cdots d_n</math> बेज़ाउट प्रमेय है।
*डिग्री के प्रत्येक एकपदी के परिणाम के साथ उत्पाद {{math|''D''}} में <math>x_1,\dots, x_n</math> के आदर्श के अंतर्गत आता है <math>C[x_1,\dots,x_n]</math> द्वारा उत्पन्न <math>P_1,\dots,P_n.</math>
*डिग्री के प्रत्येक एकपदी के परिणाम के साथ उत्पाद {{math|''D''}} में <math>x_1,\dots, x_n</math> के आदर्श के अंतर्गत <math>C[x_1,\dots,x_n]</math> आता द्वारा उत्पन्न <math>P_1,\dots,P_n.</math> है 




=== क्षेत्र पर बहुपदों का परिणाम ===
=== क्षेत्र पर बहुपदों का परिणाम ===
अब से, हम मानते हैं कि सजातीय बहुपद <math>P_1,\ldots,P_n</math> डिग्रियों का <math>d_1,\ldots,d_n</math> क्षेत्र में उनके गुणांक हैं (गणित) {{math|''k''}}, अर्थात् वे इससे संबंधित हैं <math>k[x_1,\dots,x_n].</math> उनके परिणामी को के तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''k''}} के वास्तविक गुणांकों द्वारा अनिश्चित गुणांकों को सामान्य परिणामी में प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है <math>P_i.</math>
अब से, हम मानते हैं कि सजातीय बहुपद <math>P_1,\ldots,P_n</math> डिग्रियों का <math>d_1,\ldots,d_n</math> क्षेत्र में उनके गुणांक हैं (गणित) {{math|''k''}}, अर्थात् वे <math>k[x_1,\dots,x_n].</math> इससे संबंधित हैं  उनके परिणामी को के तत्व के रूप में परिभाषित किया गया है {{math|''k''}} के वास्तविक गुणांकों द्वारा अनिश्चित गुणांकों को सामान्य परिणामी में प्रतिस्थापित करके <math>P_i.</math> प्राप्त किया जाता है  
परिणामी की मुख्य गुण यह है कि यह शून्य है यदि और केवल यदि <math>P_1,\ldots,P_n</math> के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में शून्येतर सामान्य शून्य है {{math|''k''}}.


केवल यदि इस प्रमेय का हिस्सा पूर्ववर्ती पैराग्राफ की अंतिम गुण से निकलता है, और हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज#प्रोजेक्टिव नलस्टेलेंसैट्ज का प्रभावी संस्करण है: यदि परिणामी गैर-शून्य है, तो
परिणामी की मुख्य गुण यह है कि यह शून्य है यदि और केवल यदि <math>P_1,\ldots,P_n</math> के [[बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार]] में शून्येतर {{math|''k''}} सामान्य शून्य है.
 
केवल यदि इस प्रमेय का हिस्सा पूर्ववर्ती पैराग्राफ की अंतिम गुण से निकलता है, और हिल्बर्ट के नलस्टेलेंसैट्ज प्रोजेक्टिव नलस्टेलेंसैट्ज का प्रभावी संस्करण है: यदि परिणामी गैर-शून्य है, तो
:<math>\langle x_1,\ldots, x_n\rangle^D \subseteq \langle P_1,\ldots,P_n\rangle,</math>
:<math>\langle x_1,\ldots, x_n\rangle^D \subseteq \langle P_1,\ldots,P_n\rangle,</math>
जहाँ <math>D=d_1+\cdots +d_n-n+1</math> मैकाले डिग्री है, और <math>\langle x_1,\ldots, x_n\rangle</math> अधिकतम सजातीय आदर्श है। इसका अर्थ यह है कि <math>P_1,\ldots,P_n</math> अद्वितीय सामान्य शून्य के अलावा कोई अन्य सामान्य शून्य नहीं है, {{math|(0, ..., 0)}}, का <math>x_1,\ldots,x_n.</math>
जहाँ <math>D=d_1+\cdots +d_n-n+1</math> मैकाले डिग्री है, और <math>\langle x_1,\ldots, x_n\rangle</math> अधिकतम सजातीय आदर्श है। इसका अर्थ यह है कि <math>P_1,\ldots,P_n</math> अद्वितीय सामान्य शून्य के अलावा कोई अन्य सामान्य शून्य, {{math|(0, ..., 0)}}, का <math>x_1,\ldots,x_n.</math>नहीं है
 




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इसलिए, परिणामी की गणना करना केवल उन बहुपदों के लिए समझ में आता है जिनके गुणांक क्षेत्र से संबंधित हैं या क्षेत्र में कुछ अनिश्चित में बहुपद हैं।
इसलिए, परिणामी की गणना करना केवल उन बहुपदों के लिए समझ में आता है जिनके गुणांक क्षेत्र से संबंधित हैं या क्षेत्र में कुछ अनिश्चित में बहुपद हैं।


क्षेत्र में गुणांक वाले इनपुट बहुपदों के मामले में, परिणामी का त्रुटिहीन मूल्य शायद ही कभी महत्वपूर्ण होता है, केवल इसकी समानता (या नहीं) शून्य मायने रखती है। जैसा कि परिणामी शून्य है यदि और केवल यदि मैकाले मैट्रिक्स की रैंक इसकी पंक्तियों की संख्या से कम है, तो यह समानता शून्य हो सकती है, जिसे मैकाले मैट्रिक्स में गॉसियन विलोपन लागू करके परीक्षण किया जा सकता है। यह समय जटिलता प्रदान करता है <math>d^{O(n)},</math> जहाँ {{math|''d''}} इनपुट बहुपद की अधिकतम डिग्री है।
क्षेत्र में गुणांक वाले इनपुट बहुपदों के मामले में, परिणामी का त्रुटिहीन मूल्य शायद ही कभी महत्वपूर्ण होता है, केवल इसकी समानता (या नहीं) शून्य मायने रखती है। जैसा कि परिणामी शून्य है यदि और केवल यदि मैकाले मैट्रिक्स की रैंक इसकी पंक्तियों की संख्या से कम है, तो यह समानता शून्य हो सकती है, जिसे मैकाले मैट्रिक्स में गॉसियन विलोपन लागू करके परीक्षण किया जा सकता है। यह समय जटिलता <math>d^{O(n)},</math> प्रदान करता है जहाँ {{math|''d''}} इनपुट बहुपद की अधिकतम डिग्री है।


और मामला जहां परिणामी की गणना उपयोगी जानकारी प्रदान कर सकती है, जब इनपुट बहुपद के गुणांक कम संख्या में बहुपद होते हैं, जिन्हें अक्सर पैरामीटर कहा जाता है। इस मामले में, परिणामी, यदि शून्य नहीं है, तो पैरामीटर स्थान में [[ऊनविम पृष्ठ]] को परिभाषित करता है। बिंदु इस हाइपर सतह से संबंधित है, यदि और केवल यदि के मान हैं <math>x_1, \ldots,x_n</math> जो, बिंदु के निर्देशांक के साथ इनपुट बहुपदों का शून्य है। दूसरे शब्दों में, परिणामी के उन्मूलन सिद्धांत का परिणाम है <math>x_1, \ldots,x_n</math> इनपुट बहुपदों से।
और मामला जहां परिणामी की गणना उपयोगी जानकारी प्रदान कर सकती है, जब इनपुट बहुपद के गुणांक कम संख्या में बहुपद होते हैं, जिन्हें अक्सर पैरामीटर कहा जाता है। इस मामले में, परिणामी, यदि शून्य नहीं है, तो पैरामीटर स्थान में [[ऊनविम पृष्ठ]] को परिभाषित करता है। बिंदु इस हाइपर सतह से संबंधित है, यदि और केवल यदि <math>x_1, \ldots,x_n</math> के मान हैं जो, बिंदु के निर्देशांक के साथ इनपुट बहुपदों का शून्य है। दूसरे शब्दों में, परिणामी के उन्मूलन सिद्धांत का <math>x_1, \ldots,x_n</math> इनपुट बहुपदों का परिणाम है ।


=== यू-परिणामस्वरूप ===
=== यू-परिणामस्वरूप ===
मैकाले का परिणामी विधि प्रदान करता है, जिसे मैकाले द्वारा यू-परिणाम कहा जाता है, बहुपद समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए।
मैकाले का परिणामी, बहुपद समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए, मैकाले द्वारा "यू-परिणाम" नामक एक विधि प्रदान करता है।


दिया गया {{math|''n'' − 1}} सजातीय बहुपद <math>P_1, \ldots, P_{n-1},</math> डिग्रियों का <math>d_1, \ldots, d_{n-1},</math> में  {{math|''n''}} अनिश्चित <math>x_1, \ldots, x_n,</math> मैदान के ऊपर {{math|''k''}}, उनका 'यू'-परिणाम का परिणाम है {{math|''n''}} बहुआयामी पद <math>P_1, \ldots, P_{n-1}, P_n,</math> जहाँ
दिया गया {{math|''n'' − 1}} सजातीय बहुपद <math>P_1, \ldots, P_{n-1},</math> डिग्रियों का <math>d_1, \ldots, d_{n-1},</math> में  {{math|''n''}} अनिश्चित <math>x_1, \ldots, x_n,</math> मैदान के ऊपर {{math|''k''}}, उनका 'यू'-परिणाम का परिणाम है {{math|''n''}} बहुआयामी पद <math>P_1, \ldots, P_{n-1}, P_n,</math> जहाँ
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सामान्य रेखीय रूप है जिसके गुणांक नए अनिश्चित हैं <math>u_1, \ldots, u_n.</math> नोटेशन <math>u_i</math> या <math>U_i</math> इन सामान्य गुणांकों के लिए पारंपरिक है, और यू-परिणामी शब्द का मूल है।
सामान्य रेखीय रूप है जिसके गुणांक नए अनिश्चित हैं <math>u_1, \ldots, u_n.</math> नोटेशन <math>u_i</math> या <math>U_i</math> इन सामान्य गुणांकों के लिए पारंपरिक है, और यू-परिणामी शब्द का मूल है।


यू-परिणामी में सजातीय बहुपद है <math>k[u_1, \ldots, u_n].</math> यह शून्य है यदि और केवल यदि सामान्य शून्य <math>P_1, \ldots, P_{n-1}</math> बीजगणितीय विविधता के सकारात्मक आयाम का [[प्रक्षेपी बीजगणितीय सेट]] बनाएं (अर्थात, बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर असीम रूप से कई प्रक्षेपी शून्य हैं {{math|''k''}}). यदि U-परिणामी शून्य नहीं है, तो इसकी डिग्री बेज़ाउट प्रमेय है|बेज़ाउट बाउंड <math>d_1\cdots d_{n-1}.</math>
यू-परिणामी में <math>k[u_1, \ldots, u_n].</math> सजातीय बहुपद है यह शून्य है यदि और केवल यदि सामान्य शून्य <math>P_1, \ldots, P_{n-1}</math> बीजगणितीय विविधता के सकारात्मक आयाम का [[प्रक्षेपी बीजगणितीय सेट]] बनाएं (अर्थात, बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर असीम रूप से कई प्रक्षेपी शून्य हैं {{math|''k''}}). यदि U-परिणामी शून्य नहीं है, तो इसकी <math>d_1\cdots d_{n-1}.</math> डिग्री बेज़ाउट प्रमेय है
U-परिणामस्वरूप बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर गुणनखण्ड करता है {{math|''k''}} रैखिक रूपों के उत्पाद में। यदि <math>\alpha_1u_1+\ldots+\alpha_nu_n</math> ऐसा रैखिक कारक है, तब <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math> के सामान्य शून्य के [[सजातीय निर्देशांक]] हैं <math>P_1, \ldots, P_{n-1}.</math> इसके अलावा, प्रत्येक सामान्य शून्य इन रैखिक कारकों में से से प्राप्त किया जा सकता है, और कारक के रूप में बहुलता, प्रतिच्छेदन बहुलता के बराबर है <math>P_i</math> इस शून्य पर। दूसरे शब्दों में, यू-परिणामस्वरूप बेज़ाउट प्रमेय का पूर्णतः स्पष्ट संस्करण प्रदान करता है।
 
U-परिणामस्वरूप {{math|''k''}} रैखिक रूपों के उत्पाद में बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार पर गुणनखण्ड करता है। यदि <math>\alpha_1u_1+\ldots+\alpha_nu_n</math> ऐसा रैखिक कारक है, तब <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math> के सामान्य शून्य <math>P_1, \ldots, P_{n-1}.</math> के [[सजातीय निर्देशांक]] हैं  इसके अलावा, प्रत्येक सामान्य शून्य इन रैखिक कारकों में से से प्राप्त किया जा सकता है, और कारक के रूप में बहुलता, प्रतिच्छेदन बहुलता के बराबर है <math>P_i</math> इस शून्य पर। दूसरे शब्दों में, यू-परिणामस्वरूप बेज़ाउट प्रमेय का पूर्णतः स्पष्ट संस्करण प्रदान करता है।


==== अधिक बहुपदों और अभिकलन का विस्तार ====
==== अधिक बहुपदों और अभिकलन का विस्तार ====
मैकाले द्वारा परिभाषित यू-परिणाम को समीकरणों की प्रणाली में सजातीय बहुपदों की संख्या की आवश्यकता होती है <math>n-1</math>, जहाँ  <math>n</math> अनिश्चित की संख्या है। 1981 में, डैनियल लाजार्ड ने इस धारणा को उस मामले तक बढ़ाया जहां बहुपदों की संख्या भिन्न हो सकती है <math>n-1</math>, और परिणामी गणना विशेष गॉसियन उन्मूलन प्रक्रिया के माध्यम से प्रतीकात्मक निर्धारक संगणना के बाद की जा सकती है।
मैकाले द्वारा परिभाषित यू-परिणाम को समीकरणों <math>n-1</math> की प्रणाली में सजातीय बहुपदों की संख्या की आवश्यकता होती है , जहाँ  <math>n</math> अनिश्चित की संख्या है। 1981 में, डैनियल लाजार्ड ने इस धारणा को उस मामले तक बढ़ाया जहां <math>n-1</math> बहुपदों की संख्या भिन्न हो सकती है, और परिणामी गणना विशेष गॉसियन उन्मूलन प्रक्रिया के माध्यम से प्रतीकात्मक निर्धारक संगणना के बाद की जा सकती है।


मान लीजिये <math>P_1, \ldots, P_k</math> सजातीय बहुपद हो <math>x_1, \ldots, x_n,</math> डिग्रियों का <math>d_1, \ldots, d_k,</math> मैदान के ऊपर {{math|''k''}}. सामान्यता के नुकसान के बिना, कोई ऐसा मान सकता है <math>d_1\ge d_2\ge \cdots \ge d_k.</math> सेटिंग <math>d_i=1</math> के लिए {{math|''i'' > ''k''}}, मैकाले बाध्य है <math>D=d_1+\cdots + d_n-n+1.</math>
मान लीजिये <math>P_1, \ldots, P_k</math> सजातीय बहुपद हो <math>x_1, \ldots, x_n,</math> डिग्रियों का <math>d_1, \ldots, d_k,</math> मैदान के ऊपर {{math|''k''}}. सामान्यता के नुकसान के बिना, कोई ऐसा मान सकता है <math>d_1\ge d_2\ge \cdots \ge d_k.</math> सेटिंग <math>d_i=1</math> के लिए {{math|''i'' > ''k''}}, मैकाले बाध्य है <math>D=d_1+\cdots + d_n-n+1.</math>
मान लीजिये <math>u_1, \ldots, u_n</math> नए अनिश्चित बनें और परिभाषित करें <math>P_{k+1}=u_1x_1+\cdots +u_nx_n.</math> इस मामले में, मैकॉले मैट्रिक्स को मोनोमियल्स के आधार पर मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है <math>x_1, \ldots, x_n,</math> रैखिक मानचित्र का
मान लीजिये <math>u_1, \ldots, u_n</math> नए अनिश्चित बनें और परिभाषित करें <math>P_{k+1}=u_1x_1+\cdots +u_nx_n.</math> इस मामले में, मैकॉले मैट्रिक्स को मोनोमियल्स के आधार पर मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है <math>x_1, \ldots, x_n,</math> रैखिक मानचित्र का
:<math>(Q_1, \ldots, Q_{k+1}) \mapsto P_1Q_1+\cdots+P_{k+1}Q_{k+1},</math>
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Revision as of 06:14, 16 February 2023

This article is about दो बहुपदों का परिणाम. For विशेषण के रूप में प्रयोग करता है, see परिणामी (बहुविकल्पी).


गणित में, दो बहुपदों का परिणाम उनके गुणांकों की बहुपद व्यंजक है, जो शून्य के बराबर है यदि और केवल यदि बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।[1]

परिणामी का व्यापक रूप से संख्या सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह कंप्यूटर बीजगणित का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन, तर्कसंगत कार्यों के प्रतीकात्मक एकीकरण और बहुपद चर बहुपद समीकरणों की संख्या द्वारा परिभाषित वक्रों के चित्रण के लिए किया जाता है।

n वेरिएबल्स में n सजातीय बहुपदों का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा द्वारा पेश किया गया है।[2] यह ग्रोबनेर के साथ उन्मूलन सिद्धांत के मुख्य उपकरणों में से एक है।

नोटेशन

दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम A और B सामान्य रूप से या द्वारा निरूपित किया जाता है

परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिश्चितताओं पर निर्भर करते हैं और गुणांक के रूप में अन्य अनिश्चितताओं में बहुपदों के साथ उनके अनिश्चित में से एक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है। इस मामले में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को सबस्क्रिप्ट: या