परिणामी: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 83: | Line 83: | ||
* अगर <math>\deg(\varphi(A)) < d</math> और <math>\deg(\varphi(B))< e,</math> तब | * अगर <math>\deg(\varphi(A)) < d</math> और <math>\deg(\varphi(B))< e,</math> तब | ||
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = 0.</math> | ::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = 0.</math> | ||
* अगर <math>\deg(\varphi(A)) = d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) =f < e,</math> और | * अगर <math>\deg(\varphi(A)) = d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) =f < e,</math> और {{math|''A''}} के अग्रणी गुणांक <math>a_0</math> है तब | ||
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\varphi(a_0)^{e-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\varphi(a_0)^{e-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ||
* अगर <math>\deg(\varphi(A)) = f<d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) = e,</math> और | * अगर <math>\deg(\varphi(A)) = f<d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) = e,</math> और {{math|''B''}} के अग्रणी गुणांक <math>b_0</math> है तब | ||
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ||
निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह आम तौर पर [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की रिंग है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई रिंग {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस तरह से बहाल किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा डिग्री को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह संपत्ति मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए। | निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह आम तौर पर [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की रिंग है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई रिंग {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस तरह से बहाल किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा डिग्री को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह संपत्ति मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए। | ||
| Line 106: | Line 106: | ||
:और अगर {{math|1=''f'' = deg ''C'' > deg ''A'' – deg ''B'' = ''d'' – ''e''}}, तब | :और अगर {{math|1=''f'' = deg ''C'' > deg ''A'' – deg ''B'' = ''d'' – ''e''}}, तब | ||
::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(A,B). </math> | ::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(A,B). </math> | ||
इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है. इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है, जो उपरोक्त फॉर्मूलों का उपयोग छद्म-शेष के रूप में सब-रिजल्टेंट बहुपदों को प्राप्त करने के लिए, और परिणामी को अंतिम | इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है. इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है, जो उपरोक्त फॉर्मूलों का उपयोग छद्म-शेष के रूप में सब-रिजल्टेंट बहुपदों को प्राप्त करने के लिए, और परिणामी को अंतिम गैर-शून्य छद्म-शेष के रूप में (बशर्ते कि परिणामी शून्य न हो) करता है। यह एल्गोरिथम पूर्णांकों पर बहुपदों के लिए काम करता है या आम तौर पर सटीक विभाजनों के अलावा किसी भी विभाजन के बिना एक अभिन्न डोमेन पर काम करता है (अर्थात, अंशों को शामिल किए बिना)। इसमें <math>O(de)</math> अंकगणितीय संक्रियाएँ शामिल हैं, जबकि मानक एल्गोरिदम के साथ सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए <math>O((d+e)^3)</math> अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। | ||
=== सामान्य गुण === | === सामान्य गुण === | ||
| Line 124: | Line 124: | ||
=== एकरूपता === | === एकरूपता === | ||
डिग्री के लिए सामान्य परिणाम {{math|''d''}} और {{math|''e''}} विभिन्न तरीकों से सजातीय बहुपद है। ज्यादा ठीक: | डिग्री के लिए सामान्य परिणाम {{math|''d''}} और {{math|''e''}} विभिन्न तरीकों से सजातीय बहुपद है। ज्यादा ठीक: | ||
* यह | * यह <math>a_0, \ldots, a_d.</math> में डिग्री {{math|''e''}} का सजातीय है | ||
* यह <math>b_0, \ldots, b_e.</math> में डिग्री {{math|''d''}} का सजातीय है | |||
* यह सभी चर <math>a_i</math> और <math>b_j.</math> में डिग्री {{math|''d'' + ''e''}} का सजातीय है | |||
* अगर <math>a_i</math> और <math>b_i</math> | * अगर <math>a_i</math> और <math>b_i</math> को परिणामी {{math|''i''}} दिया जाता है (यानी, प्रत्येक गुणांक का परिणामी [[प्राथमिक सममित बहुपद]] के रूप में इसकी डिग्री है), तो यह कुल परिणामी का {{math|''de''}} का [[अर्ध-सजातीय बहुपद]] है | | ||
*अगर {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित डिग्री | *अगर {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित डिग्री {{math|''d''}} और {{math|''e''}} के सजातीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं , तो उनका परिणाम डिग्री {{math|''d''}} और {{math|''e''}} में अनिश्चित {{math|''x''}} के संबंध में , निरूपित <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(P,Q)</math> में {{slink||अंकन}}, अन्य अनिश्चित में डिग्री {{math|''de''}} का सजातीय है। | ||
=== उन्मूलन संपत्ति | === उन्मूलन संपत्ति === | ||
मन लीजिये <math>I=\langle A, B\rangle </math> एक बहुपद वलय (रिंग थ्योरी) <math>R[x],</math> में दो बहुपद रिंग {{math|''A''}} और {{math|''B''}} द्वारा उत्पन्न आदर्श है, जहां <math>R=k[y_1,\ldots,y_n]</math> क्षेत्र पर स्वयं बहुपद वलय है। यदि कम से कम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में {{mvar|x}} मोनिक बहुपद है, तब: | |||
* <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math> | * <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math> | ||
* आदर्श <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> ही [[बीजगणितीय सेट]] को परिभाषित करें। वह {{math|''n''}}बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्वों का टपल तत्वों का सामान्य शून्य है <math>I\cap R</math> अगर और केवल | * आदर्श <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> ही [[बीजगणितीय सेट]] को परिभाषित करें। वह {{math|''n''}}बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्वों का टपल तत्वों का सामान्य शून्य है <math>I\cap R</math> अगर और केवल <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> यह शून्य है | ||
* के सभी [[अलघुकरणीय बहुपद]] <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> के हर तत्व को | *आदर्श <math>I\cap R</math> मुख्य आदर्श के समान आदर्श <math>R\operatorname{res}_x(A,B).</math> का मूलांक है अर्थात्, प्रत्येक <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> तत्व <math>I\cap R</math> का गुणज है | ||
* के सभी [[अलघुकरणीय बहुपद]] <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> के हर तत्व को <math>I\cap R.</math> में विभाजित करें | |||
पहला अभिकथन परिणामी का मूल गुण है। अन्य अभिकथन दूसरे के तत्काल परिणाम हैं, जिन्हें निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है। | पहला अभिकथन परिणामी का मूल गुण है। अन्य अभिकथन दूसरे के तत्काल परिणाम हैं, जिन्हें निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है। | ||
जैसा की {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में से कम से कम एक मोनिक है, एक {{math|''n''}}टपल <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n)</math> का <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> शून्य है अगर और केवल अगर <math>\alpha</math> मौजूद है जैसे कि <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n, \alpha)</math> का {{math|''A''}} और {{math|''B''}} सामान्य शून्य है. ऐसा उभयनिष्ठ शून्य <math>I\cap R.</math> भी के सभी अवयवों का शून्य होता है इसके विपरीत यदि <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n)</math> के तत्वों का सामान्य <math>I\cap R,</math> शून्य है यह परिणामी का शून्य है, और मौजूद है <math>\alpha</math> ऐसा है कि <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n, \alpha)</math> का सामान्य शून्य है {{math|''A''}} और {{math|''B''}}. इसलिए <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> बिल्कुल वही शून्य हैं। | |||
== संगणना == | == संगणना == | ||
| Line 143: | Line 144: | ||
सैद्धांतिक रूप से, परिणामी को मूलों के अंतर के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। हालांकि, जैसा कि मूलों की आम तौर पर गणना नहीं की जा सकती है, ऐसा एल्गोरिदम अक्षम और [[संख्यात्मक रूप से अस्थिर]] होगा। चूंकि परिणामी प्रत्येक बहुपद की मूलों का [[सममित बहुपद]] है, इसकी गणना सममित बहुपद के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके भी की जा सकती है, लेकिन यह अत्यधिक अक्षम होगा। | सैद्धांतिक रूप से, परिणामी को मूलों के अंतर के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। हालांकि, जैसा कि मूलों की आम तौर पर गणना नहीं की जा सकती है, ऐसा एल्गोरिदम अक्षम और [[संख्यात्मक रूप से अस्थिर]] होगा। चूंकि परिणामी प्रत्येक बहुपद की मूलों का [[सममित बहुपद]] है, इसकी गणना सममित बहुपद के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके भी की जा सकती है, लेकिन यह अत्यधिक अक्षम होगा। | ||
जैसा कि परिणामी सिल्वेस्टर मैट्रिक्स (और बेज़ाउट मैट्रिक्स) का निर्धारक है, इसकी गणना निर्धारकों की गणना के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके की जा सकती है। | जैसा कि परिणामी सिल्वेस्टर मैट्रिक्स (और बेज़ाउट मैट्रिक्स) का निर्धारक है, इसकी गणना निर्धारकों की गणना के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म का उपयोग करके की जा सकती है। इसके लिये <math>O(n^3)</math> अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता है। जैसा कि एल्गोरिदम बेहतर जटिलता के साथ जाना जाता है (नीचे देखें), इस पद्धति का व्यवहार में उपयोग नहीं किया जाता है। | ||
यह | यह {{slink||बहुपदों के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीयता}} से आता है कि परिणामी की गणना बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिदम से दृढ़ता से संबंधित है। इससे पता चलता है कि डिग्री {{math|''d''}} और {{math|''e''}} के दो बहुपदों के परिणाम की गणना गुणांक के क्षेत्र में अंकगणितीय संचालन <math>O(de)</math> में की जा सकती है। | ||
हालाँकि, जब गुणांक पूर्णांक, परिमेय संख्या या बहुपद होते हैं, तो ये अंकगणितीय संचालन गुणांक के कई GCD संगणनाओं को लागू करते हैं जो समान क्रम के होते हैं और एल्गोरिथ्म को अक्षम बनाते हैं। | हालाँकि, जब गुणांक पूर्णांक, परिमेय संख्या या बहुपद होते हैं, तो ये अंकगणितीय संचालन गुणांक के कई GCD संगणनाओं को लागू करते हैं जो समान क्रम के होते हैं और एल्गोरिथ्म को अक्षम बनाते हैं। | ||
इस समस्या को हल करने और गुणांक के किसी भी अंश और किसी भी GCD संगणना से बचने के लिए | इस समस्या को हल करने और गुणांक के किसी भी अंश और किसी भी GCD संगणना से बचने के लिए उपपरिणामस्वरूप छद्म-शेष अनुक्रम पेश किए गए थे। पूर्णांक गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए गुणांकों पर रिंग समरूपता के तहत परिणामी के अच्छे व्यवहार का उपयोग करके एक अधिक कुशल एल्गोरिथ्म प्राप्त किया जाता है, एक उनके परिणामी मॉडुलो की पर्याप्त रूप से कई [[अभाज्य संख्या|अभाज्य संख्याओं]] की गणना करता है और फिर चीनी शेष प्रमेय के साथ परिणाम का पुनर्निर्माण करता है। | ||
पूर्णांकों और बहुपदों के [[तेजी से गुणन]] का उपयोग परिणामी और सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए एल्गोरिदम की अनुमति देता है जिसमें बेहतर [[समय जटिलता]] होती है, जो गुणन की जटिलता के क्रम का होता है, इनपुट के आकार के लघुगणक | पूर्णांकों और बहुपदों के [[तेजी से गुणन]] का उपयोग परिणामी और सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए एल्गोरिदम की अनुमति देता है जिसमें बेहतर [[समय जटिलता]] होती है, जो गुणन की जटिलता के क्रम का होता है, इनपुट के आकार के लघुगणक (<math>\log(s(d+e)),</math> से गुणा किया जाता है जहाँ {{math|''s''}} इनपुट बहुपदों के अंकों की संख्या की ऊपरी सीमा है)। | ||
== बहुपद प्रणालियों के लिए आवेदन == | == बहुपद प्रणालियों के लिए आवेदन == | ||
| Line 163: | Line 164: | ||
Q(x,y)&=0, | Q(x,y)&=0, | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहाँ {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित | जहाँ {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित {{math|''d''}} और {{math|''e''}} [[कुल डिग्री]] के बहुपद हैं. तब <math>R=\operatorname{res}_y^{d,e}(P,Q)</math> में {{math|''x''}} बहुपद है, जो {{math|''de''}} डिग्री की [[सामान्य संपत्ति]] है (गुणों द्वारा {{slink||एकरूपता}}). मान <math>\alpha</math> का {{math|''x''}} की {{math|''R''}} मूल है अगर और केवल अगर या तो <math>\beta</math> मौजूद हैं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में जिसमें गुणांक होते हैं, जैसे कि <math>P(\alpha,\beta)=Q(\alpha,\beta)=0</math>, या <math>\deg(P(\alpha,y)) <d </math> और <math>\deg(Q(\alpha,y)) <e </math> (इस मामले में, कोई ऐसा कहता है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} के लिए अनंत पर उभयनिष्ठ मूल <math>x=\alpha</math> है ). | ||
इसलिए, सिस्टम के समाधान की मूलों की गणना करके प्राप्त किए जाते हैं {{math|''R''}}, और प्रत्येक मूल के लिए <math>\alpha,</math> की सामान्य मूल (ओं) | इसलिए, सिस्टम के समाधान की मूलों की गणना करके प्राप्त किए जाते हैं {{math|''R''}}, और प्रत्येक मूल के लिए <math>\alpha,</math> की सामान्य मूल (ओं) <math>P(\alpha,y),</math> <math>Q(\alpha,y),</math> और <math>\operatorname{res}_x(P,Q).</math> की गणना करना हैं | ||
बेज़ाउट प्रमेय का परिणाम | |||
बेज़ाउट प्रमेय का परिणाम <math>\deg\left(\operatorname{res}_y(P,Q)\right)\le de</math>, के मान से होता है की {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} डिग्री का उत्पाद . वास्तव में, चरों के रैखिक परिवर्तन के बाद, कोई यह मान सकता है कि, प्रत्येक रूट के लिए {{math|''x''}} परिणामी का, {{math|''y''}} का बिल्कुल मान है जैसे कि {{math|(''x'', ''y'')}} का सामान्य शून्य {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} है. इससे पता चलता है कि उभयनिष्ठ शून्यों की संख्या अधिक से अधिक परिणामी की डिग्री है, जो कि {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} अधिक से अधिक डिग्री का गुणनफल है. कुछ तकनीकीताओं के साथ, इस प्रमाण को यह दिखाने के लिए बढ़ाया जा सकता है कि अनंत पर गुणा और शून्य की गिनती, शून्य की संख्या वास्तव में डिग्री का उत्पाद है। | |||
=== सामान्य मामला === | === सामान्य मामला === | ||
| Line 189: | Line 191: | ||
अगर <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> [[बीजगणितीय संख्या]]एँ हैं जैसे कि <math>P(\alpha)=Q(\beta)=0</math>, तब <math>\gamma=\alpha+\beta</math> परिणामी की मूल है <math>\operatorname{res}_x(P(x),Q(z-x)),</math> और <math>\tau = \alpha\beta</math> की मूल है <math>\operatorname{res}_x(P(x),x^nQ(z/x))</math>, जहाँ <math>n</math> के बहुपद की घात है <math>Q(y)</math>. इस तथ्य के साथ संयुक्त <math>1/\beta</math> की मूल है <math>y^nQ(1/y) = 0</math>, यह दर्शाता है कि बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय क्षेत्र (गणित) है। | अगर <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> [[बीजगणितीय संख्या]]एँ हैं जैसे कि <math>P(\alpha)=Q(\beta)=0</math>, तब <math>\gamma=\alpha+\beta</math> परिणामी की मूल है <math>\operatorname{res}_x(P(x),Q(z-x)),</math> और <math>\tau = \alpha\beta</math> की मूल है <math>\operatorname{res}_x(P(x),x^nQ(z/x))</math>, जहाँ <math>n</math> के बहुपद की घात है <math>Q(y)</math>. इस तथ्य के साथ संयुक्त <math>1/\beta</math> की मूल है <math>y^nQ(1/y) = 0</math>, यह दर्शाता है कि बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय क्षेत्र (गणित) है। | ||
मान लीजिये <math>K(\alpha)</math> तत्व द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार हो <math>\alpha,</math> जो है <math>P(x)</math> [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] के रूप में। का हर तत्व <math>\beta \in K(\alpha)</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>\beta=Q(\alpha),</math> जहाँ <math>Q</math> बहुपद है। तब <math>\beta</math> की मूल है <math>\operatorname{res}_x(P(x),z-Q(x)),</math> और यह परिणामी <math>\beta.</math> के न्यूनतम बहुपद की शक्ति है | |||
| Line 207: | Line 209: | ||
प्रतीकात्मक एकीकरण में, [[तर्कसंगत अंश]] के प्रतिपक्षी की गणना करने के लिए, [[आंशिक अंश अपघटन]] का उपयोग तर्कसंगत भाग में अभिन्न को विघटित करने के लिए किया जाता है, जो तर्कसंगत अंशों का योग होता है, जिनके प्रतिपक्षी तर्कसंगत अंश होते हैं, और लघुगणकीय भाग जो तर्कसंगत अंश का योग होता है रूप के अंश | प्रतीकात्मक एकीकरण में, [[तर्कसंगत अंश]] के प्रतिपक्षी की गणना करने के लिए, [[आंशिक अंश अपघटन]] का उपयोग तर्कसंगत भाग में अभिन्न को विघटित करने के लिए किया जाता है, जो तर्कसंगत अंशों का योग होता है, जिनके प्रतिपक्षी तर्कसंगत अंश होते हैं, और लघुगणकीय भाग जो तर्कसंगत अंश का योग होता है रूप के अंश | ||
:<math>\frac{P(x)}{Q(x)},</math> | :<math>\frac{P(x)}{Q(x)},</math> | ||
जहाँ {{math|''Q''}} [[वर्ग मुक्त बहुपद]] है और {{math|''P''}} से कम कोटि | जहाँ {{math|''Q''}} [[वर्ग मुक्त बहुपद]] है और {{math|''P''}} से कम कोटि {{math|''Q''}} का बहुपद है. इस तरह के फलन के प्रतिपक्षी में आवश्यक रूप से [[लघुगणक]] और आम तौर पर बीजगणितीय संख्याएं(की मूलें {{math|''Q''}}) शामिल होती हैं. वास्तव में, प्रतिपक्षी है | ||
:<math>\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\sum_{Q(\alpha)=0} \frac{P(\alpha)}{Q'(\alpha)}\log(x-\alpha),</math> | :<math>\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\sum_{Q(\alpha)=0} \frac{P(\alpha)}{Q'(\alpha)}\log(x-\alpha),</math> | ||
जहां योग की सभी जटिल मूलों पर चलता है {{math|''Q''}}. | जहां योग की सभी जटिल मूलों पर चलता है {{math|''Q''}}. | ||
इस व्यंजक में शामिल [[बीजगणितीय संख्या]]ओं की संख्या आम तौर पर | इस व्यंजक में शामिल [[बीजगणितीय संख्या]]ओं की संख्या आम तौर पर {{math|''Q''}} की डिग्री के बराबर होती है, लेकिन यह अक्सर होता है कि कम बीजगणितीय संख्याओं वाले व्यंजक की गणना की जा सकती है। डैनियल लाजार्ड-रिओबू-[[बैरी ट्रैगर]] विधि एक अभिव्यक्ति उत्पन्न करती है, जहां बीजगणितीय संख्याओं की संख्या बीजगणितीय संख्याओं के साथ किसी भी गणना के बिना न्यूनतम होती है। | ||
मान लीजिये | |||
:<math> S_1(r) S_2(r)^2 \cdots S_k(r)^k = \operatorname{res}_r (rQ'(x)-P(x), Q(x))</math> परिणामी का वर्ग-मुक्त गुणनखंड हो जो दाईं ओर दिखाई देता है। | :<math> S_1(r) S_2(r)^2 \cdots S_k(r)^k = \operatorname{res}_r (rQ'(x)-P(x), Q(x))</math> | ||
:परिणामी का वर्ग-मुक्त गुणनखंड हो जो दाईं ओर दिखाई देता है। ट्रैगर ने साबित कर दिया कि प्रतिपक्षी है | |||
:<math>\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\sum_{i=1}^k\sum_{S_i(\alpha)=0} \alpha \log(T_i(\alpha,x)),</math> | :<math>\int \frac{P(x)}{Q(x)}dx=\sum_{i=1}^k\sum_{S_i(\alpha)=0} \alpha \log(T_i(\alpha,x)),</math> | ||
जहां आंतरिक योग की मूलों पर चलते हैं <math>S_i</math> (अगर <math>S_i=1</math> योग शून्य है, [[खाली योग]] होने के नाते), और <math>T_i(r,x)</math> डिग्री का बहुपद है {{math|''i''}} में {{math|''x''}}. Lazard-Rioboo योगदान इसका प्रमाण है <math>T_i(r,x)</math> डिग्री का बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक#उपपरिणाम है {{math|''i''}} का <math>rQ'(x)-P(x)</math> और <math>Q(x).</math> इस प्रकार यह मुफ्त में प्राप्त किया जाता है यदि परिणामी की गणना बहुपद महानतम सामान्य विभाजक#उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम|उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम द्वारा की जाती है। | जहां आंतरिक योग की मूलों पर चलते हैं <math>S_i</math> (अगर <math>S_i=1</math> योग शून्य है, [[खाली योग]] होने के नाते), और <math>T_i(r,x)</math> डिग्री का बहुपद है {{math|''i''}} में {{math|''x''}}. Lazard-Rioboo योगदान इसका प्रमाण है <math>T_i(r,x)</math> डिग्री का बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक#उपपरिणाम है {{math|''i''}} का <math>rQ'(x)-P(x)</math> और <math>Q(x).</math> इस प्रकार यह मुफ्त में प्राप्त किया जाता है यदि परिणामी की गणना बहुपद महानतम सामान्य विभाजक#उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम|उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम द्वारा की जाती है। | ||
| Line 250: | Line 253: | ||
गुणांक; इसे सामान्य कहा जाता है, यदि ये गुणांक अलग-अलग अनिश्चित हैं। | गुणांक; इसे सामान्य कहा जाता है, यदि ये गुणांक अलग-अलग अनिश्चित हैं। | ||
मान लीजिये <math>P_1, \ldots, P_n</math> होना {{math|''n''}} में सामान्य सजातीय बहुपद {{math|''n''}} संबंधित कुल डिग्री के अनिश्चित <math>d_1, \dots, d_n.</math> साथ में, वे शामिल होते हैं | |||
:<math>\sum_{i=1}^n\binom{n+d_i-1}{n-1}</math> | :<math>\sum_{i=1}^n\binom{n+d_i-1}{n-1}</math> | ||
अनिश्चित गुणांक। | अनिश्चित गुणांक। | ||
मान लीजिये {{math|''C''}} इन सभी में पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो | |||
अनिश्चित गुणांक। बहुपद <math>P_1, \ldots, P_n</math> इस प्रकार से हैं <math>C[x_1,\ldots, x_n],</math> और उनका परिणामी (अभी भी परिभाषित किया जाना है) संबंधित है {{math|''C''}}. | अनिश्चित गुणांक। बहुपद <math>P_1, \ldots, P_n</math> इस प्रकार से हैं <math>C[x_1,\ldots, x_n],</math> और उनका परिणामी (अभी भी परिभाषित किया जाना है) संबंधित है {{math|''C''}}. | ||
| Line 301: | Line 304: | ||
मैकाले द्वारा परिभाषित यू-परिणाम को समीकरणों की प्रणाली में सजातीय बहुपदों की संख्या की आवश्यकता होती है <math>n-1</math>, जहाँ <math>n</math> अनिश्चित की संख्या है। 1981 में, डैनियल लाजार्ड ने इस धारणा को उस मामले तक बढ़ाया जहां बहुपदों की संख्या भिन्न हो सकती है <math>n-1</math>, और परिणामी गणना विशेष गॉसियन उन्मूलन प्रक्रिया के माध्यम से प्रतीकात्मक निर्धारक संगणना के बाद की जा सकती है। | मैकाले द्वारा परिभाषित यू-परिणाम को समीकरणों की प्रणाली में सजातीय बहुपदों की संख्या की आवश्यकता होती है <math>n-1</math>, जहाँ <math>n</math> अनिश्चित की संख्या है। 1981 में, डैनियल लाजार्ड ने इस धारणा को उस मामले तक बढ़ाया जहां बहुपदों की संख्या भिन्न हो सकती है <math>n-1</math>, और परिणामी गणना विशेष गॉसियन उन्मूलन प्रक्रिया के माध्यम से प्रतीकात्मक निर्धारक संगणना के बाद की जा सकती है। | ||
मान लीजिये <math>P_1, \ldots, P_k</math> सजातीय बहुपद हो <math>x_1, \ldots, x_n,</math> डिग्रियों का <math>d_1, \ldots, d_k,</math> मैदान के ऊपर {{math|''k''}}. सामान्यता के नुकसान के बिना, कोई ऐसा मान सकता है <math>d_1\ge d_2\ge \cdots \ge d_k.</math> सेटिंग <math>d_i=1</math> के लिए {{math|''i'' > ''k''}}, मैकाले बाध्य है <math>D=d_1+\cdots + d_n-n+1.</math> | |||
मान लीजिये <math>u_1, \ldots, u_n</math> नए अनिश्चित बनें और परिभाषित करें <math>P_{k+1}=u_1x_1+\cdots +u_nx_n.</math> इस मामले में, मैकॉले मैट्रिक्स को मोनोमियल्स के आधार पर मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है <math>x_1, \ldots, x_n,</math> रैखिक मानचित्र का | |||
:<math>(Q_1, \ldots, Q_{k+1}) \mapsto P_1Q_1+\cdots+P_{k+1}Q_{k+1},</math> | :<math>(Q_1, \ldots, Q_{k+1}) \mapsto P_1Q_1+\cdots+P_{k+1}Q_{k+1},</math> | ||
जहाँ, प्रत्येक के लिए {{math|''i''}}, <math>Q_i</math> शून्य और डिग्री के सजातीय बहुपदों से मिलकर रैखिक स्थान पर चलता है <math>D-d_i</math>. | जहाँ, प्रत्येक के लिए {{math|''i''}}, <math>Q_i</math> शून्य और डिग्री के सजातीय बहुपदों से मिलकर रैखिक स्थान पर चलता है <math>D-d_i</math>. | ||
Revision as of 05:35, 16 February 2023
गणित में, दो बहुपदों का परिणाम उनके गुणांकों की बहुपद व्यंजक है, जो शून्य के बराबर है अगर और केवल अगर बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।[1]
परिणामी का व्यापक रूप से संख्या सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह कंप्यूटर बीजगणित का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन, तर्कसंगत कार्यों के प्रतीकात्मक एकीकरण और बहुपद चर बहुपद समीकरणों की संख्या द्वारा परिभाषित वक्रों के चित्रण के लिए किया जाता है।
एन वेरिएबल्स में एन सजातीय बहुपदों का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा द्वारा पेश किया गया है।[2] यह ग्रोबनेर के साथ उन्मूलन सिद्धांत के मुख्य उपकरणों में से एक है।