परिणामी: Difference between revisions
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गणित में, दो [[बहुपद|बहुपदों]] का परिणाम उनके गुणांकों की [[बहुपद अभिव्यक्ति]] है, जो शून्य के बराबर है अगर और केवल अगर बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।{{sfn|Salmon|1885|loc=lesson VIII, p. 66}} | गणित में, दो [[बहुपद|बहुपदों]] का परिणाम उनके गुणांकों की [[बहुपद अभिव्यक्ति|बहुपद व्यंजक]] है, जो शून्य के बराबर है अगर और केवल अगर बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।{{sfn|Salmon|1885|loc=lesson VIII, p. 66}} | ||
परिणामी का व्यापक रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह [[कंप्यूटर बीजगणित]] का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, [[बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन]], [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत कार्यों]] के [[प्रतीकात्मक एकीकरण]] और बहुपद चर [[बहुपद समीकरण|बहुपद समीकरणों]] की संख्या द्वारा परिभाषित [[वक्र|वक्रों]] के चित्रण के लिए किया जाता है। | परिणामी का व्यापक रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह [[कंप्यूटर बीजगणित]] का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, [[बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन]], [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत कार्यों]] के [[प्रतीकात्मक एकीकरण]] और बहुपद चर [[बहुपद समीकरण|बहुपद समीकरणों]] की संख्या द्वारा परिभाषित [[वक्र|वक्रों]] के चित्रण के लिए किया जाता है। | ||
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=== गुणों की विशेषता | === गुणों की विशेषता === | ||
गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण मान्य हैं | गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण मान्य हैं | ||
* अगर {{mvar|R}} और | क्रमविनिमेय रिंग {{math|''R''}} में गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम के लिए निम्नलिखित गुण हैं। यदि {{mvar|R}} एक क्षेत्र या अधिक आम तौर पर एक अभिन्न डोमेन है, परिणामी दो बहुपदों के गुणांकों का अनूठा कार्य है जो इन गुणों को संतुष्ट करता है। | ||
* अगर {{mvar|R}} और रिंग का [[सबरिंग]] है {{mvar|S}}, तब <math>\operatorname{res}_R(A,B) = \operatorname{res}_S(A,B).</math> अर्थात् {{mvar|A}} और {{mvar|B}} का परिणाम समान होता है जब {{mvar|R}} या {{mvar|S}} बहुपदों पर विचार किया जाता है | |||
*अगर {{math|1=''d'' = 0}} (यानी अगर <math>A=a_0</math> अशून्य स्थिरांक है) तब <math>\operatorname{res}(A,B) = a_0^e.</math> इसी प्रकार यदि {{math|1=''e'' = 0}}, तब <math>\operatorname{res}(A,B) = b_0^d.</math> | *अगर {{math|1=''d'' = 0}} (यानी अगर <math>A=a_0</math> अशून्य स्थिरांक है) तब <math>\operatorname{res}(A,B) = a_0^e.</math> इसी प्रकार यदि {{math|1=''e'' = 0}}, तब <math>\operatorname{res}(A,B) = b_0^d.</math> | ||
* <math>\operatorname{res}(x+a_1, x+b_1) = b_1-a_1</math> | * <math>\operatorname{res}(x+a_1, x+b_1) = b_1-a_1</math> | ||
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* अभिन्न डोमेन में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके पास सकारात्मक डिग्री के दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक हो। | * अभिन्न डोमेन में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके पास सकारात्मक डिग्री के दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक हो। | ||
* पूर्णांकीय प्रांत में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में सामान्य मूल हो। | * पूर्णांकीय प्रांत में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में सामान्य मूल हो। | ||
* | * {{math|''e''}} से कम डिग्री का एक बहुपद {{math|''P''}} और {{math|''d''}} से कम डिग्री का एक बहुपद {{math|''Q''}} मौजूद है जैसे कि <math> \operatorname{res}(A,B)=AP+BQ.</math> यह मनमाना क्रमविनिमेय वलय पर बहुपदों के लिए बेज़ाउट की पहचान का सामान्यीकरण है। दूसरे शब्दों में, दो बहुपदों का परिणाम इन बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) से संबंधित है। | ||
=== रिंग होमोमोर्फिज्म द्वारा इनवेरियन === | === रिंग होमोमोर्फिज्म द्वारा इनवेरियन === | ||
मान लीजिये {{math|''A''}} और {{math|''B''}} संबंधित डिग्री के दो बहुपद बनें {{math|''d''}} और {{math|''e''}} कम्यूटेटिव रिंग में गुणांक के साथ {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की रिंग समरूपता {{math|''R''}} दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में {{math|''S''}} को लागू करने <math>\varphi</math> बहुपद के गुणांकों का विस्तार होता है <math>\varphi</math> बहुपद के छल्ले के समरूपता के लिए <math>R[x]\to S[x]</math>, जिसे निरूपित भी किया जाता है <math>\varphi.</math> इस अंकन के साथ, हमारे पास है: | |||
* अगर <math>\varphi</math> की उपाधियाँ सुरक्षित रखता है {{math|''A''}} और {{math|''B''}} (यानी अगर <math>\deg(\varphi(A)) = d</math> और <math>\deg(\varphi(B))= e</math>), तब | * अगर <math>\varphi</math> की उपाधियाँ सुरक्षित रखता है {{math|''A''}} और {{math|''B''}} (यानी अगर <math>\deg(\varphi(A)) = d</math> और <math>\deg(\varphi(B))= e</math>), तब | ||
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B))=\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ||
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* अगर <math>\deg(\varphi(A)) = f<d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) = e,</math> और के अग्रणी गुणांक {{math|''B''}} है <math>b_0</math> तब | * अगर <math>\deg(\varphi(A)) = f<d</math> और <math>\deg(\varphi(B)) = e,</math> और के अग्रणी गुणांक {{math|''B''}} है <math>b_0</math> तब | ||
::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ::<math>\varphi(\operatorname{res}(A,B)) = (-1)^{e(d-f)}\varphi(b_0)^{d-f}\operatorname{res}(\varphi(A), \varphi(B)).</math> | ||
निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह आम तौर पर [[मॉड्यूलर अंकगणित]] | निर्धारक के रूप में परिणामी की परिभाषा से इन गुणों को आसानी से घटाया जा सकता है। वे मुख्य रूप से दो स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं। पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, यह आम तौर पर [[मॉड्यूलर अंकगणित|मॉड्यूलर अंकगणितीय]] कई प्राइम्स की गणना करने और [[चीनी शेष प्रमेय]] के साथ वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए तेज़ होता है। कब {{math|''R''}} अन्य अनिश्चित में बहुपद की रिंग है, और {{math|''S''}} कुछ या सभी अनिश्चित संख्यात्मक मानों की विशेषज्ञता के द्वारा प्राप्त की गई रिंग {{math|''R''}} है, इन गुणों को इस तरह से बहाल किया जा सकता है जैसे कि विशेषज्ञता द्वारा डिग्री को संरक्षित किया जाता है, दो बहुपदों के विशेषज्ञता का परिणाम परिणामी का विशेषज्ञता है। यह संपत्ति मौलिक है, उदाहरण के लिए, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन के लिए। | ||
=== चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम === | === चर के परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम === | ||
*<math>\operatorname{res}(A(x+a), B(x+a)) = \operatorname{res}(A(x), B(x))</math> | *<math>\operatorname{res}(A(x+a), B(x+a)) = \operatorname{res}(A(x), B(x))</math> | ||
*<math>\operatorname{res}(A(ax), B(ax)) = a^{de}\operatorname{res}(A(x), B(x))</math> | *<math>\operatorname{res}(A(ax), B(ax)) = a^{de}\operatorname{res}(A(x), B(x))</math> | ||
* अगर <math>A_r(x)=x^dA(1/x)</math> और <math>B_r(x)=x^eB(1/x)</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] हैं {{math|''A''}} और {{math|''B''}}, क्रमशः, फिर | * अगर <math>A_r(x)=x^dA(1/x)</math> और <math>B_r(x)=x^eB(1/x)</math> के [[पारस्परिक बहुपद]] हैं {{math|''A''}} और {{math|''B''}}, क्रमशः, फिर | ||
::<math>\operatorname{res}(A_r, B_r)= (-1)^{de}\operatorname{res}(A,B)</math> | ::<math>\operatorname{res}(A_r, B_r)= (-1)^{de}\operatorname{res}(A,B)</math> | ||
इसका मतलब यह है कि परिणामी शून्य होने का गुण चर के रैखिक और प्रक्षेपी परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है। | इसका मतलब यह है कि परिणामी शून्य होने का गुण चर के रैखिक और प्रक्षेपी परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है। | ||
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*अगर {{math|''a''}} और {{mvar|''b''}} अशून्य स्थिरांक हैं (अर्थात वे अनिश्चित से स्वतंत्र हैं {{math|''x''}}), और {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, तो | *अगर {{math|''a''}} और {{mvar|''b''}} अशून्य स्थिरांक हैं (अर्थात वे अनिश्चित से स्वतंत्र हैं {{math|''x''}}), और {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, तो | ||
::<math>\operatorname{res}(aA,bB) =a^eb^d\operatorname{res}(A,B). </math> | ::<math>\operatorname{res}(aA,bB) =a^eb^d\operatorname{res}(A,B). </math> | ||
*अगर {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, और {{mvar|C}} और बहुपद है जैसे कि | *अगर {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, और {{mvar|C}} और बहुपद है जैसे कि {{math|''A'' – ''CB''}} की डिग्री {{math|''{{delta}}''}} है, तब | ||
::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{\delta-d}\operatorname{res}(A,B). </math> | ::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{\delta-d}\operatorname{res}(A,B). </math> | ||
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::विशेष रूप से, यदि कोई हो {{mvar|B}} या {{math|deg ''C'' < deg ''A'' – deg ''B''}} [[मोनिक बहुपद]] है, तब | |||
::<math>\operatorname{res}(A-CB,B) = \operatorname{res}(A,B), </math> | ::<math>\operatorname{res}(A-CB,B) = \operatorname{res}(A,B), </math> | ||
:और अगर {{math|1=''f'' = deg ''C'' > deg ''A'' – deg ''B'' = ''d'' – ''e''}}, तब | :और अगर {{math|1=''f'' = deg ''C'' > deg ''A'' – deg ''B'' = ''d'' – ''e''}}, तब | ||
::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(A,B). </math> | ::<math>\operatorname{res}(A-CB, B)=b_0^{e+f-d}\operatorname{res}(A,B). </math> | ||
इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है . इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है | इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है. इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है, जो उपरोक्त फॉर्मूलों का उपयोग छद्म-शेष के रूप में सब-रिजल्टेंट बहुपदों को प्राप्त करने के लिए, और परिणामी को अंतिम नॉनजेरो छद्म-शेष के रूप में (बशर्ते कि परिणामी शून्य न हो) करता है। यह एल्गोरिथम पूर्णांकों पर बहुपदों के लिए काम करता है या आम तौर पर सटीक विभाजनों के अलावा किसी भी विभाजन के बिना एक अभिन्न डोमेन पर काम करता है (अर्थात, अंशों को शामिल किए बिना)। इसमें <math>O(de)</math> अंकगणितीय संक्रियाएँ शामिल हैं, जबकि मानक एल्गोरिदम के साथ सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना के लिए <math>O((d+e)^3)</math> अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होती है। | ||
=== सामान्य गुण === | === सामान्य गुण === | ||
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और | और | ||
:<math>B=b_0x^e +b_1x^{e-1} + \cdots + b_e</math> | :<math>B=b_0x^e +b_1x^{e-1} + \cdots + b_e</math> | ||
किसका {{math|''d'' + ''e'' + 2}} गुणांक विशिष्ट [[अनिश्चित (चर)]] हैं। | किसका {{math|''d'' + ''e'' + 2}} गुणांक विशिष्ट [[अनिश्चित (चर)]] हैं। मान लीजिये | ||
:<math>R=\mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_d, b_0, \ldots, b_e]</math> | :<math>R=\mathbb{Z}[a_0, \ldots, a_d, b_0, \ldots, b_e]</math> | ||
इन निर्धारकों द्वारा परिभाषित पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो। | इन निर्धारकों द्वारा परिभाषित पूर्णांकों पर बहुपद वलय हो। | ||
परिणामी <math>\operatorname{res}(A,B)</math> डिग्री के लिए | |||
परिणामी <math>\operatorname{res}(A,B)</math> डिग्री के लिए {{math|''d''}} और {{math|''e''}} अक्सर सामान्य परिणामी कहा जाता है. इसके निम्नलिखित गुण हैं। | |||
*<math>\operatorname{res}(A,B)</math> बिल्कुल अलघुकरणीय बहुपद है। | *<math>\operatorname{res}(A,B)</math> बिल्कुल अलघुकरणीय बहुपद है। | ||
*अगर <math>I</math> का आदर्श (रिंग थ्योरी) है <math>R[x]</math> द्वारा उत्पन्न {{math|''A''}} और {{math|''B''}}, तब <math>I\cap R</math> द्वारा उत्पन्न | *अगर <math>I</math> का आदर्श (रिंग थ्योरी) है <math>R[x]</math> द्वारा उत्पन्न {{math|''A''}} और {{math|''B''}}, तब <math>I\cap R</math> द्वारा उत्पन्न <math>\operatorname{res}(A,B)</math> [[प्रमुख आदर्श]] है . | ||
=== एकरूपता === | === एकरूपता === | ||
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* यह डिग्री का सजातीय है {{math|''d''}} में <math>b_0, \ldots, b_e.</math> | * यह डिग्री का सजातीय है {{math|''d''}} में <math>b_0, \ldots, b_e.</math> | ||
* यह डिग्री का सजातीय है {{math|''d'' + ''e''}} सभी चर में <math>a_i</math> और <math>b_j.</math> | * यह डिग्री का सजातीय है {{math|''d'' + ''e''}} सभी चर में <math>a_i</math> और <math>b_j.</math> | ||
* अगर <math>a_i</math> और <math>b_i</math> वजन | * अगर <math>a_i</math> और <math>b_i</math> वजन {{math|''i''}} दिया जाता है (यानी, प्रत्येक गुणांक का वजन [[प्राथमिक सममित बहुपद]] के रूप में इसकी डिग्री है), तो यह [[अर्ध-सजातीय बहुपद]] है | कुल वजन का अर्ध-सजातीय {{math|''de''}}. | ||
*अगर {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित डिग्री के सजातीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं {{math|''d''}} और {{math|''e''}}, फिर डिग्री में उनका परिणाम {{math|''d''}} और {{math|''e''}} अनिश्चित के संबंध में {{math|''x''}}, निरूपित <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(P,Q)</math> में {{slink||Notation}}, डिग्री का सजातीय है {{math|''de''}} अन्य अनिश्चित में। | *अगर {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित डिग्री के सजातीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं {{math|''d''}} और {{math|''e''}}, फिर डिग्री में उनका परिणाम {{math|''d''}} और {{math|''e''}} अनिश्चित के संबंध में {{math|''x''}}, निरूपित <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(P,Q)</math> में {{slink||Notation}}, डिग्री का सजातीय है {{math|''de''}} अन्य अनिश्चित में। | ||
=== उन्मूलन संपत्ति === | === उन्मूलन संपत्ति अससससासस === | ||
होने देना <math>I=\langle A, B\rangle </math> दो बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) बनें {{math|''A''}} और {{math|''B''}} बहुपद | होने देना <math>I=\langle A, B\rangle </math> दो बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) बनें {{math|''A''}} और {{math|''B''}} बहुपद रिंग में <math>R[x],</math> जहाँ <math>R=k[y_1,\ldots,y_n]</math> क्षेत्र पर स्वयं बहुपद वलय है। यदि कम से कम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में मोनिक बहुपद है {{mvar|x}}, तब: | ||
* <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math> | * <math>\operatorname{res}_x(A,B)\in I \cap R</math> | ||
* आदर्श <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> ही [[बीजगणितीय सेट]] को परिभाषित करें। वह {{math|''n''}}बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्वों का टपल तत्वों का सामान्य शून्य है <math>I\cap R</math> अगर और केवल यह शून्य है <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> * आदर्श <math>I\cap R</math> मुख्य आदर्श के समान आदर्श का मूलांक है <math>R\operatorname{res}_x(A,B).</math> अर्थात्, प्रत्येक तत्व <math>I\cap R</math> का गुणज है <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> | * आदर्श <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> ही [[बीजगणितीय सेट]] को परिभाषित करें। वह {{math|''n''}}बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्वों का टपल तत्वों का सामान्य शून्य है <math>I\cap R</math> अगर और केवल यह शून्य है <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> * आदर्श <math>I\cap R</math> मुख्य आदर्श के समान आदर्श का मूलांक है <math>R\operatorname{res}_x(A,B).</math> अर्थात्, प्रत्येक तत्व <math>I\cap R</math> का गुणज है <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> | ||
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जहां योग की सभी जटिल मूलों पर चलता है {{math|''Q''}}. | जहां योग की सभी जटिल मूलों पर चलता है {{math|''Q''}}. | ||
इस | इस व्यंजक में शामिल [[बीजगणितीय संख्या]]ओं की संख्या आम तौर पर की डिग्री के बराबर होती है {{math|''Q''}}, लेकिन यह अक्सर होता है कि कम बीजगणितीय संख्याओं वाले व्यंजक की गणना की जा सकती है। डैनियल लाजार्ड-रिओबू-[[बैरी ट्रैगर]] विधि व्यंजक उत्पन्न करती है, जहां बीजगणितीय संख्याओं की संख्या न्यूनतम होती है, बीजीय संख्याओं के साथ किसी भी गणना के बिना। | ||
होने देना | होने देना | ||
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वह है: | वह है: | ||
* अभिन्न डोमेन पर दो सजातीय बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर गैर-शून्य सामान्य शून्य होता है। | * अभिन्न डोमेन पर दो सजातीय बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर गैर-शून्य सामान्य शून्य होता है। | ||
* अगर {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} क्रमविनिमेय वलय में गुणांक वाले दो द्विभाजित सजातीय बहुपद हैं {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की | * अगर {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} क्रमविनिमेय वलय में गुणांक वाले दो द्विभाजित सजातीय बहुपद हैं {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की रिंग समरूपता {{math|''R''}} दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में {{math|''S''}}, फिर बढ़ा रहा है <math>\varphi</math> बहुपदों पर {{math|''R''}}, वाले हैं | ||
::<math>\operatorname{Res}(\varphi(P), \varphi(Q)) = \varphi(\operatorname{Res}(P,Q)).</math> | ::<math>\operatorname{Res}(\varphi(P), \varphi(Q)) = \varphi(\operatorname{Res}(P,Q)).</math> | ||
* चर के किसी भी अनुमानित परिवर्तन के तहत शून्य होने के लिए सजातीय परिणामी की संपत्ति अपरिवर्तनीय है। | * चर के किसी भी अनुमानित परिवर्तन के तहत शून्य होने के लिए सजातीय परिणामी की संपत्ति अपरिवर्तनीय है। | ||
Revision as of 21:51, 15 February 2023
गणित में, दो बहुपदों का परिणाम उनके गुणांकों की बहुपद व्यंजक है, जो शून्य के बराबर है अगर और केवल अगर बहुपदों में फलन की सामान्य मूल (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में) है। कुछ प्राचीन ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।[1]
परिणामी का व्यापक रूप से संख्या सिद्धांत में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह कंप्यूटर बीजगणित का आधारभूत उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन, तर्कसंगत कार्यों के प्रतीकात्मक एकीकरण और बहुपद चर बहुपद समीकरणों की संख्या द्वारा परिभाषित वक्रों के चित्रण के लिए किया जाता है।
एन वेरिएबल्स में एन सजातीय बहुपदों का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा द्वारा पेश किया गया है।[2] यह ग्रोबनेर के साथ उन्मूलन सिद्धांत के मुख्य उपकरणों में से एक है।
नोटेशन
दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम A और B सामान्य रूप से या द्वारा निरूपित किया जाता है
परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिश्चितताओं पर निर्भर करते हैं और गुणांक के रूप में अन्य अनिश्चितताओं में बहुपदों के साथ उनके अनिश्चित में से एक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है। इस मामले में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को सबस्क्रिप्ट: या के रूप में दर्शाया गया है
परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की डिग्री का उपयोग किया जाता है। हालांकि, डिग्री का बहुपद d उच्च डिग्री के बहुपद के रूप में भी माना जा सकता है जहां प्रमुख गुणांक शून्य हैं। यदि परिणामी के लिए ऐसी उच्च डिग्री का उपयोग किया जाता है, तो इसे आमतौर पर सबस्क्रिप्ट या सुपरस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे या