परिणामी: Difference between revisions

{{about|the resultant of two polynomials|the uses as an adjective|Resultant (disambiguation)}}

गणित में, दो [[बहुपद]]ों का परिणाम उनके गुणांकों की [[बहुपद अभिव्यक्ति]] है, जो शून्य के बराबर है अगर और केवल अगर बहुपदों में समारोह की सामान्य जड़ है (संभवतः क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में)। कुछ पुराने ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।{{sfn|Salmon|1885|loc=lesson VIII, p. 66}}

एन वेरिएबल्स में एन [[सजातीय बहुपद]]ों का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के [[फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा]] द्वारा पेश किया गया है।{{sfn|Macaulay|1902}} यह ग्रोबनर आधार के साथ है | ग्रोबनर आधार, [[उन्मूलन सिद्धांत]] के मुख्य उपकरणों में से है।

दो अविभाज्य बहुपदों का परिणाम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} सामान्य रूप से निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{res}(A,B)</math> या <math>\operatorname{Res}(A,B).</math>

परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिर्धारकों पर निर्भर करते हैं और उनके अनिर्धारक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है, अन्य अनिर्धारक में गुणांक के रूप में बहुपद के साथ। इस मामले में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया गया है: <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> या <math>\operatorname{Res}_x(A,B).</math>

[[क्षेत्र (गणित)]] या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को आमतौर पर उनके [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स]] के निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक सटीक, चलो

डिग्री के शून्येतर बहुपद हों {{math|''d''}} और {{math|''e''}} क्रमश। आइए हम द्वारा निरूपित करें <math>\mathcal{P}_i</math> आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त मॉड्यूल यदि गुणांक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं)। {{math|''i''}} जिनके तत्व डिग्री के बहुपद हैं सख्ती से कम {{math|''i''}}. वो नक्शा

:<math>\varphi:\mathcal{P}_{e}\times \mathcal{P}_{d} \rightarrow \mathcal{P}_{d+e}</math> ऐसा है कि

ही आयाम के दो स्थानों के बीच रेखीय नक्शा है। की शक्तियों के आधार पर {{math|''x''}} (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम के वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है {{math|''d'' + ''e''}}का सिल्वेस्टर मैट्रिक्स कहा जाता है {{math|''A''}} और {{math|''B''}} (कई लेखकों के लिए और सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के लेख में, सिल्वेस्टर मैट्रिक्स को इस मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है; इस सम्मेलन का उपयोग यहां नहीं किया गया है, क्योंकि यह रेखीय मानचित्र के मैट्रिक्स को लिखने के लिए सामान्य सम्मेलन को तोड़ता है)।

का परिणाम है {{math|''A''}} और {{math|''B''}} इस प्रकार निर्धारक है

जो है {{math|''e''}} के कॉलम {{math|''a''_''i''}} और {{math|''d''}} के कॉलम {{math|''b''_''j''}} (तथ्य यह है कि का पहला स्तंभ {{mvar|a}}का और का पहला स्तंभ है {{mvar|b}}की लंबाई समान है, अर्थात {{math|1=''d'' = ''e''}}, यहाँ केवल निर्धारक के प्रदर्शन को सरल बनाने के लिए है)।

उदाहरण के लिए, लेना {{math|1=''d'' = 3}} और {{math|1=''e'' = 2}} हम पाते हैं

कहाँ <math>\lambda_1, \dots, \lambda_d</math> और <math>\mu_1,\dots,\mu_e</math> क्रमशः जड़ें हैं, उनकी बहुलताओं के साथ गिना जाता है {{mvar|A}} और {{mvar|B}} किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड में अभिन्न डोमेन शामिल है।

=== गुणों की विशेषता ===

* पूर्णांकीय प्रांत में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में सामान्य जड़ हो।

इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है . इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है # छद्म-शेष के साथ उप-परिणामी अनुक्रम | शेषफल (बशर्ते परिणामी शून्य न हो)। यह एल्गोरिथम पूर्णांकों पर बहुपदों के लिए काम करता है या, अधिक सामान्यतः, अभिन्न डोमेन पर, सटीक विभाजनों के अलावा किसी भी विभाजन के बिना (अर्थात, अंशों को शामिल किए बिना)। उसमें शामिल है <math>O(de)</math> अंकगणितीय संचालन, जबकि मानक एल्गोरिदम के साथ सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना की आवश्यकता होती है <math>O((d+e)^3)</math> अंकगणितीय आपरेशनस।

होने देना <math>I=\langle A, B\rangle </math> दो बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) बनें {{math|''A''}} और {{math|''B''}} बहुपद अंगूठी में <math>R[x],</math> कहाँ <math>R=k[y_1,\ldots,y_n]</math> क्षेत्र पर स्वयं बहुपद वलय है। यदि कम से कम {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में मोनिक बहुपद है {{mvar|x}}, तब:

सैद्धांतिक रूप से, परिणामी को जड़ों के अंतर के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। हालांकि, जैसा कि जड़ों की आम तौर पर गणना नहीं की जा सकती है, ऐसा एल्गोरिदम अक्षम और [[संख्यात्मक रूप से अस्थिर]] होगा। चूंकि परिणामी प्रत्येक बहुपद की जड़ों का [[सममित बहुपद]] है, इसकी गणना सममित बहुपद के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके भी की जा सकती है, लेकिन यह अत्यधिक अक्षम होगा।

पूर्णांकों और बहुपदों के [[तेजी से गुणन]] का उपयोग परिणामी और सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए एल्गोरिदम की अनुमति देता है जिसमें बेहतर [[समय जटिलता]] होती है, जो गुणन की जटिलता के क्रम का होता है, इनपुट के आकार के लघुगणक से गुणा किया जाता है (<math>\log(s(d+e)),</math> कहाँ {{math|''s''}} इनपुट बहुपदों के अंकों की संख्या की ऊपरी सीमा है)।

कहाँ {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित [[कुल डिग्री]] के बहुपद हैं {{math|''d''}} और {{math|''e''}}. तब <math>R=\operatorname{res}_y^{d,e}(P,Q)</math> में बहुपद है {{math|''x''}}, जो डिग्री की [[सामान्य संपत्ति]] है {{math|''de''}} (गुणों द्वारा {{slink||Homogeneity}}). कीमत <math>\alpha</math> का {{math|''x''}} की जड़ है {{math|''R''}} अगर और केवल अगर या तो मौजूद हैं <math>\beta</math> बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में जिसमें गुणांक होते हैं, जैसे कि <math>P(\alpha,\beta)=Q(\alpha,\beta)=0</math>, या <math>\deg(P(\alpha,y)) <d </math> और <math>\deg(Q(\alpha,y)) <e </math> (इस मामले में, कोई ऐसा कहता है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} के लिए अनंत पर उभयनिष्ठ मूल है <math>x=\alpha</math>).

इसलिए, सिस्टम के समाधान की जड़ों की गणना करके प्राप्त किए जाते हैं {{math|''R''}}, और प्रत्येक जड़ के लिए <math>\alpha,</math> की सामान्य जड़ (ओं) की गणना करना <math>P(\alpha,y),</math> <math>Q(\alpha,y),</math> और <math>\operatorname{res}_x(P,Q).</math>

अगर <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> [[बीजगणितीय संख्या]]एँ हैं जैसे कि <math>P(\alpha)=Q(\beta)=0</math>, तब <math>\gamma=\alpha+\beta</math> परिणामी की जड़ है <math>\operatorname{res}_x(P(x),Q(z-x)),</math> और <math>\tau = \alpha\beta</math> की जड़ है <math>\operatorname{res}_x(P(x),x^nQ(z/x))</math>, कहाँ <math>n</math> के बहुपद की घात है <math>Q(y)</math>. इस तथ्य के साथ संयुक्त <math>1/\beta</math> की जड़ है <math>y^nQ(1/y) = 0</math>, यह दर्शाता है कि बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय क्षेत्र (गणित) है।

होने देना <math>K(\alpha)</math> तत्व द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार हो <math>\alpha,</math> जो है <math>P(x)</math> [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] के रूप में। का हर तत्व <math>\beta \in K(\alpha)</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>\beta=Q(\alpha),</math> कहाँ <math>Q</math> बहुपद है। तब <math>\beta</math> की जड़ है <math>\operatorname{res}_x(P(x),z-Q(x)),</math> और यह परिणामी के न्यूनतम बहुपद की शक्ति है <math>\beta.</math>

बहुपदों के शून्य के रूप में परिभाषित दो [[समतल बीजगणितीय वक्र]] दिए गए हैं {{math|''P''(''x'', ''y'')}} और {{math|''Q''(''x'', ''y'')}}परिणामी उनके प्रतिच्छेदन की गणना की अनुमति देता है। अधिक सटीक, की जड़ें <math>\operatorname{res}_y(P,Q)</math> प्रतिच्छेदन बिंदु और सामान्य ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख के एक्स-निर्देशांक हैं, और की जड़ें <math>\operatorname{res}_x(P,Q)</math> प्रतिच्छेदन बिंदु और सामान्य क्षैतिज स्पर्शोन्मुख के y-निर्देशांक हैं।

कहाँ {{math|''P''}}, {{math|''Q''}} और {{math|''R''}} बहुपद हैं। वक्र का अन्तर्[[निहित समीकरण]] किसके द्वारा दिया जाता है

कहाँ {{math|''Q''}} [[वर्ग मुक्त बहुपद]] है और {{math|''P''}} से कम कोटि का बहुपद है {{math|''Q''}}. इस तरह के समारोह के प्रतिपक्षी में आवश्यक रूप से [[लघुगणक]] और आम तौर पर बीजगणितीय संख्याएं शामिल होती हैं (की जड़ें {{math|''Q''}}). वास्तव में, प्रतिपक्षी है

जहां योग की सभी जटिल जड़ों पर चलता है {{math|''Q''}}.

जहां आंतरिक योग की जड़ों पर चलते हैं <math>S_i</math> (अगर <math>S_i=1</math> योग शून्य है, [[खाली योग]] होने के नाते), और <math>T_i(r,x)</math> डिग्री का बहुपद है {{math|''i''}} में {{math|''x''}}. Lazard-Rioboo योगदान इसका प्रमाण है <math>T_i(r,x)</math> डिग्री का बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक#उपपरिणाम है {{math|''i''}} का <math>rQ'(x)-P(x)</math> और <math>Q(x).</math> इस प्रकार यह मुफ्त में प्राप्त किया जाता है यदि परिणामी की गणना बहुपद महानतम सामान्य विभाजक#उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम|उपपरिणाम छद्म-शेष अनुक्रम द्वारा की जाती है।

कहाँ {{math|''A''}} डिग्री के द्विभाजित सजात