परिणामी: Difference between revisions

गणित में, दो [[बहुपद]]ों का परिणाम उनके गुणांकों की एक [[बहुपद अभिव्यक्ति]] है, जो शून्य के बराबर है अगर और केवल अगर बहुपदों में एक समारोह की एक सामान्य जड़ है (संभवतः एक क्षेत्र विस्तार में), या, समतुल्य, एक सामान्य कारक ( उनके गुणांक के क्षेत्र में)। कुछ पुराने ग्रन्थों में परिणामी को निर्मूलक भी कहा गया है।{{sfn|Salmon|1885|loc=lesson VIII, p. 66}}

परिणामी का व्यापक रूप से [[संख्या सिद्धांत]] में उपयोग किया जाता है, या तो सीधे या विवेचक के माध्यम से, जो अनिवार्य रूप से एक बहुपद और उसके व्युत्पन्न का परिणाम है। परिमेय संख्या या बहुपद गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की कंप्यूटर पर कुशलता से गणना की जा सकती है। यह [[कंप्यूटर बीजगणित]] का एक बुनियादी उपकरण है, और अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों का एक अंतर्निहित कार्य है। इसका उपयोग, दूसरों के बीच, [[बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन]], [[तर्कसंगत कार्य]]ों के [[प्रतीकात्मक एकीकरण]] और बहुपद # चर [[बहुपद समीकरण]]ों की संख्या द्वारा परिभाषित [[वक्र]]ों के चित्रण के लिए किया जाता है।

एन वेरिएबल्स में एन [[सजातीय बहुपद]]ों का परिणाम (सामान्य परिणाम से इसे अलग करने के लिए 'बहुभिन्नरूपी परिणाम' या 'मैकाले का परिणाम' भी कहा जाता है) एक सामान्यीकरण है, जो सामान्य परिणाम के [[फ्रांसिस सोवर मैकाले द्वारा]] द्वारा पेश किया गया है।{{sfn|Macaulay|1902}} यह ग्रोबनर आधार के साथ है | ग्रोबनर आधार, [[उन्मूलन सिद्धांत]] के मुख्य उपकरणों में से एक है।

परिणामी के कई अनुप्रयोगों में, बहुपद कई अनिर्धारकों पर निर्भर करते हैं और उनके एक अनिर्धारक में अविभाजित बहुपद के रूप में माना जा सकता है, अन्य अनिर्धारक में गुणांक के रूप में बहुपद के साथ। इस मामले में, परिणामी को परिभाषित करने और गणना करने के लिए चुने गए अनिश्चित को एक सबस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया गया है: <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> या <math>\operatorname{Res}_x(A,B).</math>

परिणामी की परिभाषा में बहुपदों की डिग्री का उपयोग किया जाता है। हालांकि, डिग्री का एक बहुपद {{math|''d''}} उच्च डिग्री के बहुपद के रूप में भी माना जा सकता है जहां प्रमुख गुणांक शून्य हैं। यदि परिणामी के लिए ऐसी उच्च डिग्री का उपयोग किया जाता है, तो इसे आमतौर पर सबस्क्रिप्ट या सुपरस्क्रिप्ट के रूप में दर्शाया जाता है, जैसे <math>\operatorname{res}_{d,e}(A,B)</math> या <math>\operatorname{res}_x^{d,e}(A,B).</math>

एक [[क्षेत्र (गणित)]] या क्रमविनिमेय वलय पर दो अविभाजित बहुपदों के परिणाम को आमतौर पर उनके [[सिल्वेस्टर मैट्रिक्स]] के निर्धारक के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक सटीक, चलो

डिग्री के शून्येतर बहुपद हों {{math|''d''}} और {{math|''e''}} क्रमश। आइए हम द्वारा निरूपित करें <math>\mathcal{P}_i</math> आयाम का सदिश स्थान (या मुक्त मॉड्यूल यदि गुणांक एक क्रमविनिमेय वलय से संबंधित हैं)। {{math|''i''}} जिनके तत्व डिग्री के बहुपद हैं सख्ती से कम {{math|''i''}}. वो नक्शा

एक ही आयाम के दो स्थानों के बीच एक रेखीय नक्शा है। की शक्तियों के आधार पर {{math|''x''}} (अवरोही क्रम में सूचीबद्ध), यह नक्शा आयाम के वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है {{math|''d'' + ''e''}}का सिल्वेस्टर मैट्रिक्स कहा जाता है {{math|''A''}} और {{math|''B''}} (कई लेखकों के लिए और सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के लेख में, सिल्वेस्टर मैट्रिक्स को इस मैट्रिक्स के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है; इस सम्मेलन का उपयोग यहां नहीं किया गया है, क्योंकि यह एक रेखीय मानचित्र के मैट्रिक्स को लिखने के लिए सामान्य सम्मेलन को तोड़ता है)।

यदि बहुपदों के गुणांक एक [[अभिन्न डोमेन]] से संबंधित हैं, तो

एक क्रमविनिमेय अंगूठी {{math|''R''}}. अगर {{mvar|R}} एक क्षेत्र (गणित) या अधिक आम तौर पर एक अभिन्न डोमेन है, परिणामी दो बहुपदों के गुणांकों का अनूठा कार्य है जो इन गुणों को संतुष्ट करता है।

* अगर {{mvar|R}} एक और अंगूठी का एक [[सबरिंग]] है {{mvar|S}}, तब <math>\operatorname{res}_R(A,B) = \operatorname{res}_S(A,B).</math> वह है {{mvar|A}} और {{mvar|B}} बहुपदों पर विचार करने पर परिणाम समान होता है {{mvar|R}} या {{mvar|S}}.

*अगर {{math|1=''d'' = 0}} (यानी अगर <math>A=a_0</math> एक अशून्य स्थिरांक है) तब <math>\operatorname{res}(A,B) = a_0^e.</math> इसी प्रकार यदि {{math|1=''e'' = 0}}, तब <math>\operatorname{res}(A,B) = b_0^d.</math>

* पूर्णांकीय प्रांत में गुणांक वाले दो बहुपदों का परिणाम शून्य होता है यदि और केवल यदि उनके गुणांक वाले बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में एक सामान्य जड़ हो।

* एक बहुपद मौजूद है {{math|''P''}} डिग्री से कम {{math|''e''}} और एक बहुपद {{math|''Q''}} डिग्री से कम {{math|''d''}} ऐसा है कि <math> \operatorname{res}(A,B)=AP+BQ.</math> यह एक मनमाना क्रमविनिमेय वलय पर बहुपदों के लिए बेज़ाउट की पहचान का एक सामान्यीकरण है। दूसरे शब्दों में, दो बहुपदों का परिणाम इन बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) से संबंधित है।

होने देना {{math|''A''}} और {{math|''B''}} संबंधित डिग्री के दो बहुपद बनें {{math|''d''}} और {{math|''e''}} कम्यूटेटिव रिंग में गुणांक के साथ {{math|''R''}}, और <math>\varphi\colon R\to S</math> की एक अंगूठी समरूपता {{math|''R''}} दूसरे क्रमविनिमेय रिंग में {{math|''S''}}. को लागू करने <math>\varphi</math> एक बहुपद के गुणांकों का विस्तार होता है <math>\varphi</math> बहुपद के छल्ले के समरूपता के लिए <math>R[x]\to S[x]</math>, जिसे निरूपित भी किया जाता है <math>\varphi.</math> इस अंकन के साथ, हमारे पास है:

*अगर {{math|''A''}} और {{mvar|''B''}} ऊपर के रूप में हैं, और {{mvar|C}} एक और बहुपद है जैसे कि की डिग्री {{math|''A'' – ''CB''}} है {{math|''{{delta}}''}}, तब

इन गुणों का अर्थ है कि [[बहुपदों के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] में, और इसके सभी प्रकार (छद्म-शेष अनुक्रम), दो लगातार शेष (या छद्म-शेष) के परिणाम प्रारंभिक बहुपदों के [[परिणामी]] से भिन्न होते हैं, जो कि गणना करना आसान है . इसके विपरीत, यह किसी को प्रारंभिक बहुपदों के परिणाम को अंतिम शेष या छद्म शेष के मान से निकालने की अनुमति देता है। यह बहुपद महानतम सामान्य विभाजक का प्रारंभिक विचार है # छद्म-शेष के साथ उप-परिणामी अनुक्रम | शेषफल (बशर्ते परिणामी शून्य न हो)। यह एल्गोरिथम पूर्णांकों पर बहुपदों के लिए काम करता है या, अधिक सामान्यतः, एक अभिन्न डोमेन पर, सटीक विभाजनों के अलावा किसी भी विभाजन के बिना (अर्थात, अंशों को शामिल किए बिना)। उसमें शामिल है <math>O(de)</math> अंकगणितीय संचालन, जबकि मानक एल्गोरिदम के साथ सिल्वेस्टर मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना की आवश्यकता होती है <math>O((d+e)^3)</math> अंकगणितीय आपरेशनस।

*<math>\operatorname{res}(A,B)</math> एक बिल्कुल अलघुकरणीय बहुपद है।

होने देना <math>I=\langle A, B\rangle </math> दो बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) बनें {{math|''A''}} और {{math|''B''}} एक बहुपद अंगूठी में <math>R[x],</math> कहाँ <math>R=k[y_1,\ldots,y_n]</math> एक क्षेत्र पर स्वयं एक बहुपद वलय है। यदि कम से कम एक {{math|''A''}} और {{math|''B''}} में मोनिक बहुपद है {{mvar|x}}, तब:

* आदर्श <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> एक ही [[बीजगणितीय सेट]] को परिभाषित करें। वह {{math|''n''}}बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्वों का टपल तत्वों का एक सामान्य शून्य है <math>I\cap R</math> अगर और केवल यह शून्य है <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math> * आदर्श <math>I\cap R</math> मुख्य आदर्श के समान आदर्श का मूलांक है <math>R\operatorname{res}_x(A,B).</math> अर्थात्, प्रत्येक तत्व <math>I\cap R</math> का गुणज है <math>\operatorname{res}_x(A,B).</math>

कम से कम एक के रूप में {{math|''A''}} और {{math|''B''}} मोनिक है, ए {{math|''n''}}टपल <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n)</math> का शून्य है <math>\operatorname{res}_x(A,B)</math> अगर और केवल अगर मौजूद है <math>\alpha</math> ऐसा है कि <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n, \alpha)</math> का सामान्य शून्य है {{math|''A''}} और {{math|''B''}}. ऐसा उभयनिष्ठ शून्य भी के सभी अवयवों का शून्य होता है <math>I\cap R.</math> इसके विपरीत यदि <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n)</math> के तत्वों का एक सामान्य शून्य है <math>I\cap R,</math> यह परिणामी का शून्य है, और मौजूद है <math>\alpha</math> ऐसा है कि <math>(\beta_1,\ldots, \beta_n, \alpha)</math> का सामान्य शून्य है {{math|''A''}} और {{math|''B''}}. इसलिए <math>I\cap R</math> और <math>R\operatorname{res}_x(A,B)</math> बिल्कुल वही शून्य हैं।

सैद्धांतिक रूप से, परिणामी को जड़ों के अंतर के उत्पाद के रूप में व्यक्त करने वाले सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है। हालांकि, जैसा कि जड़ों की आम तौर पर गणना नहीं की जा सकती है, ऐसा एल्गोरिदम अक्षम और [[संख्यात्मक रूप से अस्थिर]] होगा। चूंकि परिणामी प्रत्येक बहुपद की जड़ों का एक [[सममित बहुपद]] है, इसकी गणना सममित बहुपद के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके भी की जा सकती है, लेकिन यह अत्यधिक अक्षम होगा।

यह इस प्रकार है {{slink||Invariance under change of polynomials}} कि एक परिणामी की गणना बहुपद महानतम सामान्य भाजक#यूक्लिड के एल्गोरिथम से दृढ़ता से संबंधित है। इससे पता चलता है कि डिग्री के दो बहुपदों के परिणाम की गणना {{math|''d''}} और {{math|''e''}} में किया जा सकता है <math>O(de)</math> गुणांक के क्षेत्र में अंकगणितीय संचालन।

इस समस्या को हल करने और गुणांक के किसी भी अंश और किसी भी GCD संगणना से बचने के लिए बहुपद महानतम सामान्य विभाजक#उपपरिणामी छद्म-शेष अनुक्रम|उपपरिणामस्वरूप छद्म-शेष अनुक्रम पेश किए गए थे। गुणकों पर रिंग होमोमोर्फिज्म के तहत परिणामी के अच्छे व्यवहार का उपयोग करके एक अधिक कुशल एल्गोरिथ्म प्राप्त किया जाता है: पूर्णांक गुणांक वाले दो बहुपदों के परिणाम की गणना करने के लिए, उनके परिणामी मॉडुलो की पर्याप्त रूप से कई [[अभाज्य संख्या]]ओं की गणना करता है और फिर चीनी के साथ परिणाम का पुनर्निर्माण करता है। शेष प्रमेय।

पूर्णांकों और बहुपदों के [[तेजी से गुणन]] का उपयोग परिणामी और सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए एल्गोरिदम की अनुमति देता है जिसमें बेहतर [[समय जटिलता]] होती है, जो गुणन की जटिलता के क्रम का होता है, इनपुट के आकार के लघुगणक से गुणा किया जाता है (<math>\log(s(d+e)),</math> कहाँ {{math|''s''}} इनपुट बहुपदों के अंकों की संख्या की एक ऊपरी सीमा है)।

कहाँ {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} संबंधित [[कुल डिग्री]] के बहुपद हैं {{math|''d''}} और {{math|''e''}}. तब <math>R=\operatorname{res}_y^{d,e}(P,Q)</math> में बहुपद है {{math|''x''}}, जो डिग्री की [[सामान्य संपत्ति]] है {{math|''de''}} (गुणों द्वारा {{slink||Homogeneity}}). एक कीमत <math>\alpha</math> का {{math|''x''}} की जड़ है {{math|''R''}} अगर और केवल अगर या तो मौजूद हैं <math>\beta</math> एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में जिसमें गुणांक होते हैं, जैसे कि <math>P(\alpha,\beta)=Q(\alpha,\beta)=0</math>, या <math>\deg(P(\alpha,y)) <d </math> और <math>\deg(Q(\alpha,y)) <e </math> (इस मामले में, कोई ऐसा कहता है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}} के लिए अनंत पर एक उभयनिष्ठ मूल है <math>x=\alpha</math>).

बेज़ाउट प्रमेय का परिणाम के मान से होता है <math>\deg\left(\operatorname{res}_y(P,Q)\right)\le de</math>, की डिग्री का उत्पाद {{math|''P''}} और {{math|''Q''}}. वास्तव में, चरों के रैखिक परिवर्तन के बाद, कोई यह मान सकता है कि, प्रत्येक रूट के लिए {{math|''x''}} परिणामी का, का बिल्कुल एक मान है {{math|''y''}} ऐसा है कि {{math|(''x'', ''y'')}} का सामान्य शून्य है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}}. इससे पता चलता है कि उभयनिष्ठ शून्यों की संख्या अधिक से अधिक परिणामी की डिग्री है, जो कि अधिक से अधिक डिग्री का गुणनफल है {{math|''P''}} और {{math|''Q''}}. कुछ तकनीकीताओं के साथ, इस प्रमाण को यह दिखाने के लिए बढ़ाया जा सकता है कि अनंत पर गुणा और शून्य की गिनती, शून्य की संख्या वास्तव में डिग्री का उत्पाद है।

पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि परिणामी समीकरणों की एक सामान्य बहुपद प्रणाली पर लागू हो सकते हैं

हर जोड़ी के परिणाम की गणना करके <math>(P_i,P_j)</math> इसके संबंध में <math>x_n</math> एक अज्ञात को खत्म करने के लिए, और प्रक्रिया को दोहराते हुए जब तक कि एकतरफा बहुपद न मिल जाए। दुर्भाग्य से, यह कई नकली समाधान पेश करता है, जिन्हें हटाना मुश्किल है।

19वीं शताब्दी के अंत में शुरू की गई एक विधि इस प्रकार काम करती है: परिचय {{math|''k'' − 1}} नए अनिश्चित <math>U_2, \ldots, U_k</math> और गणना करें

:<math>\operatorname{res}_{x_n}(P_1, U_2P_2 +\cdots +U_kP_k).</math> यह एक बहुपद है <math>U_2, \ldots, U_k</math> जिनके गुणांक बहुपद हैं <math>x_1, \ldots, x_{n-1},</math> जिसके पास वह संपत्ति है <math>\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}</math> इन बहुपद गुणांकों का एक सामान्य शून्य है, यदि और केवल यदि अविभाज्य बहुपद <math>P_i(\alpha_1, \ldots, \alpha_{n-1}, x_n)</math> एक सामान्य शून्य है, संभवतः अनंत पर इंगित करता है। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जा सकता है जब तक कि अविभाजित बहुपद नहीं मिलते।

एक सही एल्गोरिथम प्राप्त करने के लिए विधि में दो पूरक जोड़े जाने चाहिए। सबसे पहले, प्रत्येक चरण में, चर के एक रैखिक परिवर्तन की आवश्यकता हो सकती है ताकि अंतिम चर में बहुपदों की डिग्री उनकी कुल डिग्री के समान हो। दूसरे, यदि किसी भी चरण पर, परिणामी शून्य है, तो इसका अर्थ है कि बहुपदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है और समाधान दो घटकों में विभाजित हो जाता है: एक जहां उभयनिष्ठ गुणनखंड शून्य है, और दूसरा जो इस उभयनिष्ठ गुणनखंड को निकालकर प्राप्त किया जाता है जारी रखने से पहले कारक।

एक बहुपद का विभेदक, जो संख्या सिद्धांत में एक मौलिक उपकरण है, बहुपद के परिणामी और उसके व्युत्पन्न के प्रमुख गुणांक द्वारा भागफल है।

अगर <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> [[बीजगणितीय संख्या]]एँ हैं जैसे कि <math>P(\alpha)=Q(\beta)=0</math>, तब <math>\gamma=\alpha+\beta</math> परिणामी की जड़ है <math>\operatorname{res}_x(P(x),Q(z-x)),</math> और <math>\tau = \alpha\beta</math> की जड़ है <math>\operatorname{res}_x(P(x),x^nQ(z/x))</math>, कहाँ <math>n</math> के बहुपद की घात है <math>Q(y)</math>. इस तथ्य के साथ संयुक्त <math>1/\beta</math> की जड़ है <math>y^nQ(1/y) = 0</math>, यह दर्शाता है कि बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय एक क्षेत्र (गणित) है।

होने देना <math>K(\alpha)</math> एक तत्व द्वारा उत्पन्न एक बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार हो <math>\alpha,</math> जो है <math>P(x)</math> [