बैकस्टेपिंग: Difference between revisions
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| doi = 10.1109/37.165507 | | doi = 10.1109/37.165507 | ||
| s2cid = 27196262 | | s2cid = 27196262 | ||
}}</ref><ref name=LB92>{{cite journal | first1=R.|last1=Lozano| first2=B.|last2=Brogliato | year=1992 | title=लचीले जोड़ों के साथ रोबोट मैनिपुलेटर्स का अनुकूली नियंत्रण| journal= IEEE Transactions on Automatic Control | volume=37 | issue=2 | pages=174–181 | doi=10.1109/9.121619|url=https://hal.inria.fr/hal-03592568/file/RLBB_FJ_TAC1992.pdf }}</ref> किसी [[ अरेखीय प्रणाली |अरेखीय प्रणाली]] तथा [[गतिशील प्रणाली]] के विशेष वर्ग के लिए [[ल्यपुनोव स्थिरता]] नियंत्रण को डिजाइन करने के लिए बनाया गया हैं। ये प्रणालियाँ उन उपप्रणालियों से निर्मित होती हैं, जो | }}</ref><ref name=LB92>{{cite journal | first1=R.|last1=Lozano| first2=B.|last2=Brogliato | year=1992 | title=लचीले जोड़ों के साथ रोबोट मैनिपुलेटर्स का अनुकूली नियंत्रण| journal= IEEE Transactions on Automatic Control | volume=37 | issue=2 | pages=174–181 | doi=10.1109/9.121619|url=https://hal.inria.fr/hal-03592568/file/RLBB_FJ_TAC1992.pdf }}</ref> किसी [[ अरेखीय प्रणाली |अरेखीय प्रणाली]] तथा [[गतिशील प्रणाली]] के विशेष वर्ग के लिए [[ल्यपुनोव स्थिरता]] नियंत्रण को डिजाइन करने के लिए बनाया गया हैं। ये प्रणालियाँ उन उपप्रणालियों से निर्मित होती हैं, जो अपरिवर्तनीयता के कारण उपप्रणाली से निकलती हैं, जिन्हें किसी अन्य विधि का उपयोग करके स्थिर किया जा सकता है। इस [[ प्रत्यावर्तन |प्रत्यावर्तन]] संरचना के कारण डिज़ाइनर इस प्रकार की ज्ञात स्थिर प्रणालियों पर संरचना प्रक्रिया को प्रारंभ कर सकते हैं, और इसके लिए नए नियंत्रकों को वापस ले सकते है, जो इस प्रकार प्रत्येक बाहरी उपप्रणाली को उत्तरोत्तर स्थिर करते हैं। इस प्रकार अंतिम बाह्य नियंत्रण पर पहुँचने पर प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। इसलिए इस प्रक्रिया को बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है।<ref name="Khalil">{{cite book | ||
| last = Khalil | | last = Khalil | ||
| first = H.K. | | first = H.K. | ||
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* {{mvar|u}} प्रणाली के लिए अदिश (गणित) इनपुट है, | * {{mvar|u}} प्रणाली के लिए अदिश (गणित) इनपुट है, | ||
* <math>f_x, f_1, f_2, \ldots, f_i, \ldots, f_{k-1}, f_k</math> मूल में विलुप्त (अर्थात, <math>f_i(0,0,\dots,0) = 0</math>), | * <math>f_x, f_1, f_2, \ldots, f_i, \ldots, f_{k-1}, f_k</math> मूल में विलुप्त (अर्थात, <math>f_i(0,0,\dots,0) = 0</math>), | ||
* <math>g_1, g_2, \ldots, g_i, \ldots, g_{k-1}, g_k</math> | * <math>g_1, g_2, \ldots, g_i, \ldots, g_{k-1}, g_k</math> के लिए इसका मान इस क्षेत्र पर शून्येत्तर हैं, (अर्थात्, <math>g_i(\mathbf{x},z_1,\ldots,z_k) \neq 0</math> के लिए <math>1 \leq i \leq k</math>) के समान हैं। | ||
यह भी मान लें कि उपप्रणाली | यह भी मान लें कि उपप्रणाली | ||
:<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | :<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | ||
मूल (गणित) (अर्थात, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>) के लिए ल्यपुनोव स्थिरता है, इनमें से कुछ के लिए ज्ञात मान के आधार पर नियंत्रण द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math> मान प्राप्त होता हैं, यह मान इस प्रकार है कि <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math> के समान हैं, यह भी माना जाता है, कि [[ल्यपुनोव समारोह|ल्यपुनोव फलन]] <math>V_x</math> के लिए स्थिर उपप्रणाली को जाना जाता है। इस प्रकार प्राप्त होने वाला मान {{math|'''x'''}} हैं जो इसकी उपप्रणाली को किसी अन्य विधि द्वारा स्थिर किया जाता है, और बैकस्टेपिंग इसकी स्थिरता <math>\textbf{z}</math> को बढ़ाता है, जो इसके चारों ओर विवृत रहता हैं। | मूल (गणित) (अर्थात, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>) के लिए ल्यपुनोव स्थिरता के समान है, इनमें से कुछ के लिए ज्ञात मान के आधार पर नियंत्रण द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math> मान प्राप्त होता हैं, यह मान इस प्रकार है कि <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math> के समान हैं, यह भी माना जाता है, कि [[ल्यपुनोव समारोह|ल्यपुनोव फलन]] <math>V_x</math> के लिए स्थिर उपप्रणाली को जाना जाता है। इस प्रकार प्राप्त होने वाला मान {{math|'''x'''}} के समान हैं जो इसकी उपप्रणाली को किसी अन्य विधि द्वारा स्थिर किया जाता है, और बैकस्टेपिंग इसकी स्थिरता <math>\textbf{z}</math> को बढ़ाता है, जो इसके चारों ओर विवृत रहता हैं। | ||
इस कठोर प्रतिक्रिया के लिए इन प्रणालियों में स्थिरता के चारों ओर {{math|'''x'''}} उपप्रणाली वाले फॉर्म होते है, | इस कठोर प्रतिक्रिया के लिए इन प्रणालियों में स्थिरता के चारों ओर {{math|'''x'''}} उपप्रणाली वाले फॉर्म होते है, | ||
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* यहाँ पर <math>z_n</math> स्थिति पर स्थिर नियंत्रण के समान कार्य करता है, इससे पहले यह मान <math>z_{n-1}</math> के समान हैं। | * यहाँ पर <math>z_n</math> स्थिति पर स्थिर नियंत्रण के समान कार्य करता है, इससे पहले यह मान <math>z_{n-1}</math> के समान हैं। | ||
* यह प्रक्रिया निरंतर रहती है, जिससे कि इसकी प्रत्येक स्थिति <math>z_i</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>z_{i+1}</math> द्वारा स्थिर किया जाता है। | * यह प्रक्रिया निरंतर रहती है, जिससे कि इसकी प्रत्येक स्थिति <math>z_i</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>z_{i+1}</math> द्वारा स्थिर किया जाता है। | ||
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण यह निर्धारित करता है कि इसे कैसे स्थिर किया जाए {{math|'''x'''}} उपप्रणाली <math>z_1</math> का उपयोग करना होता हैं, और फिर यह निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ता है कि अगला स्थिति <math>z_2</math> कैसे बनायी जा सकती हैं, इसके आधार पर गाड़ी चलाना <math>z_1</math> को स्थिर करने के लिए आवश्यक नियंत्रण के लिए {{math|'''x'''}} का मान आवश्यक हैं, इसलिए प्रक्रिया पीछे की ओर अग्रसर रहती है, इसके आधार पर {{math|'''x'''}} अंतिम नियंत्रण तक कठोर प्रतिक्रिया प्रपत्र प्रणाली से बाहर {{mvar|u}} बनाया गया है। | बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण यह निर्धारित करता है कि इसे कैसे स्थिर किया जाए {{math|'''x'''}} उपप्रणाली <math>z_1</math> का उपयोग करना होता हैं, और फिर यह निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ता है कि अगला स्थिति <math>z_2</math> कैसे बनायी जा सकती हैं, इसके आधार पर गाड़ी चलाना <math>z_1</math> को स्थिर करने के लिए आवश्यक नियंत्रण के लिए {{math|'''x'''}} का मान आवश्यक हैं, इसलिए इस प्रकार की प्रक्रिया पीछे की ओर अग्रसर रहती है, इसके आधार पर {{math|'''x'''}} अंतिम नियंत्रण तक कठोर प्रतिक्रिया प्रपत्र प्रणाली से बाहर {{mvar|u}} बनाया गया है। | ||
==पुनरावर्ती नियंत्रण डिज़ाइन अवलोकन== | ==पुनरावर्ती नियंत्रण डिज़ाइन अवलोकन== | ||
| Line 63: | Line 63: | ||
#::<math>V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2</math> | #::<math>V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2</math> | ||
#:यह नियंत्रण <math>u_1</math> बाध्य करने के <math>\dot{V}_1</math> शून्य से दूरी के लिए चुना जाता है, | #:यह नियंत्रण <math>u_1</math> बाध्य करने के <math>\dot{V}_1</math> शून्य से दूरी के लिए चुना जाता है, | ||
# नियंत्रण <math>u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)</math> इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि प्रणाली | # नियंत्रण <math>u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)</math> इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि प्रणाली कुछ इस प्रकार प्राप्त होती हैं- | ||
#::<math>\dot{z}_2 = f_2(\mathbf{x},z_1,z_2) + g_2(\mathbf{x},z_1,z_2) u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)</math> | #::<math>\dot{z}_2 = f_2(\mathbf{x},z_1,z_2) + g_2(\mathbf{x},z_1,z_2) u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)</math> | ||
#:इसके आधार पर यह स्थिर किया जा सकता है, जिससे कि <math>z_2</math> वांछित <math>u_1</math> नियंत्रण का पालन करता है। इसके आधार पर नियंत्रण डिज़ाइन संवर्धित ल्यपुनोव फलन | #:इसके आधार पर यह स्थिर किया जा सकता है, जिससे कि <math>z_2</math> वांछित <math>u_1</math> नियंत्रण का पालन करता है। इसके आधार पर नियंत्रण डिज़ाइन संवर्धित ल्यपुनोव फलन पर आधारित है | ||
#::<math>V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x},z_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x},z_1) )^2</math> | #::<math>V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x},z_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x},z_1) )^2</math> | ||
#:इस नियंत्रण <math>u_2</math> बाध्य करने के लिए <math>\dot{V}_2</math> शून्य से मान को चुना जा सकता है, | #:इस नियंत्रण <math>u_2</math> बाध्य करने के लिए <math>\dot{V}_2</math> शून्य से मान को चुना जा सकता है, | ||
# यह प्रक्रिया वास्तविक होने तक उपयोग किया जा सकता है, यहाँ पर {{mvar|u}} का मान ज्ञात है, और | # यह प्रक्रिया वास्तविक होने तक उपयोग किया जा सकता है, यहाँ पर {{mvar|u}} का मान ज्ञात है, और | ||
#* वास्तविक नियंत्रण {{mvar|u}} स्थिर करता है, <math>z_k</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-1}</math> के लिए प्राप्त होता | #* वास्तविक नियंत्रण {{mvar|u}} स्थिर करता है, <math>z_k</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-1}</math> के लिए प्राप्त होता हैं। | ||
#* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-1}</math> स्थिर <math>z_{k-1}</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-2}</math> के लिए प्राप्त होता | #* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-1}</math> स्थिर <math>z_{k-1}</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-2}</math> के लिए प्राप्त होता हैं। | ||
#* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-2}</math> स्थिर <math>z_{k-2}</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-3}</math> के लिए प्राप्त होता | #* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-2}</math> स्थिर <math>z_{k-2}</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_{k-3}</math> के लिए प्राप्त होता हैं। | ||
#* ... | #* ... | ||
#* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_2</math> स्थिर <math>z_2</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_1</math> के लिए उपयोग किया जाता हैं, | #* काल्पनिक नियंत्रण <math>u_2</math> स्थिर <math>z_2</math> काल्पनिक नियंत्रण <math>u_1</math> के लिए उपयोग किया जाता हैं, | ||
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| {{EquationRef|1}}}} | | {{EquationRef|1}}}} | ||
जहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> अदिश राशि है, यह प्रणाली [[ करनेवाला |करने वाला]] का [[कैस्केड कनेक्शन]] है, इस प्रकार {{math|'''x'''}} उपप्रणाली (अर्थात, इनपुट {{mvar|u}} इंटीग्रेटर और [[ अभिन्न |अभिन्न]] में प्रवेश करता है <math>z_1</math> | जहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> अदिश राशि है, यह प्रणाली [[ करनेवाला |करने वाला]] का [[कैस्केड कनेक्शन]] है, इस प्रकार {{math|'''x'''}} उपप्रणाली (अर्थात, इनपुट {{mvar|u}} इंटीग्रेटर और [[ अभिन्न |अभिन्न]] में प्रवेश करता है, जहाँ पर <math>z_1</math> {{math|'''x'''}} उपप्रणाली के अनुसार प्रविष्ट होता है।) | ||
हम मानते हैं कि <math>f_x(\mathbf{0})=0</math>, और यदि ऐसा है <math>u_1=0</math>, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> और <math>z_1 = 0</math> | हम मानते हैं कि <math>f_x(\mathbf{0})=0</math>, और यदि ऐसा है <math>u_1=0</math>, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> और <math>z_1 = 0</math> के समान होने पर हमें यह समीकरण प्राप्त होता हैं। | ||
:<math>\begin{cases} | :<math>\begin{cases} | ||
\dot{\mathbf{x}} = f_x(\underbrace{\mathbf{0}}_{\mathbf{x}}) + ( g_x(\underbrace{\mathbf{0}}_{\mathbf{x}}) )(\underbrace{0}_{z_1}) = 0 + ( g_x(\mathbf{0}) )(0) = \mathbf{0} & \quad \text{ (i.e., } \mathbf{x} = \mathbf{0} \text{ is stationary)}\\ | \dot{\mathbf{x}} = f_x(\underbrace{\mathbf{0}}_{\mathbf{x}}) + ( g_x(\underbrace{\mathbf{0}}_{\mathbf{x}}) )(\underbrace{0}_{z_1}) = 0 + ( g_x(\mathbf{0}) )(0) = \mathbf{0} & \quad \text{ (i.e., } \mathbf{x} = \mathbf{0} \text{ is stationary)}\\ | ||
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:हमारा काम नियंत्रण ढूंढना है, इसके आधार पर {{mvar|u}} जो हमारे कैस्केड बनाता है, इसके लिए बिन्दु <math>(\mathbf{x},z_1)</math> प्रणाली भी स्थिर रहता हैं इसलिए हमें इस नई प्रणाली के लिए नया ल्यपुनोव फलन 'उम्मीदवार' ढूंढना होगा। वह उम्मीदवार नियंत्रण {{mvar|u}} पर निर्भर रहेगा, और इस प्रकार नियंत्रण को सही ढंग से चुनकर, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह हर स्थान पर भी क्षय हो रहा है। | :हमारा काम नियंत्रण ढूंढना है, इसके आधार पर {{mvar|u}} जो हमारे कैस्केड बनाता है, इसके लिए बिन्दु <math>(\mathbf{x},z_1)</math> प्रणाली भी स्थिर रहता हैं इसलिए हमें इस नई प्रणाली के लिए नया ल्यपुनोव फलन 'उम्मीदवार' ढूंढना होगा। वह उम्मीदवार नियंत्रण {{mvar|u}} पर निर्भर रहेगा, और इस प्रकार नियंत्रण को सही ढंग से चुनकर, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह हर स्थान पर भी क्षय हो रहा है। | ||
* | * <math>g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> के आगे 'और' जोड़कर घटाएँ (अर्थात, हम प्रणाली को किसी भी तरह से यह मान नहीं बदलते क्योंकि हम कोई शुद्ध प्रभाव नहीं डालते हैं)। इसके आधार पर <math>\dot{\mathbf{x}}</math> बड़े का भाग <math>(\mathbf{x},z_1)</math> प्रणाली यह बन जाता है। | ||
::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 + \mathord{\underbrace{\left( g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) - g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{0}}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ::<math>\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 + \mathord{\underbrace{\left( g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) - g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{0}}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ||
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::<math>\begin{cases}\dot{x} = \mathord{\underbrace{\left( f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{F(\mathbf{x})}} + g_x(\mathbf{x}) \underbrace{\left( z_1 - u_x(\mathbf{x}) \right)}_{z_1 \text{ error tracking } u_x}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ::<math>\begin{cases}\dot{x} = \mathord{\underbrace{\left( f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{F(\mathbf{x})}} + g_x(\mathbf{x}) \underbrace{\left( z_1 - u_x(\mathbf{x}) \right)}_{z_1 \text{ error tracking } u_x}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}</math> | ||
:तो हमारा कैस्केड | :तो हमारा कैस्केड उपप्रणाली ज्ञात-स्थिर <math>\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x})</math> को समाहित करता है, इसके कारण उपप्रणाली प्लस इंटीग्रेटर द्वारा उत्पन्न कुछ त्रुटि पायी गयी हैं। | ||
* अब हम वेरिएबल्स को परविर्तित कर सकते हैं, जैसे <math>(\mathbf{x}, z_1)</math> को <math>(\mathbf{x}, e_1)</math> में परिवर्तित करने से <math>e_1 \triangleq z_1 - u_x(\mathbf{x})</math> भी मान प्राप्त हो सकता हैं। इसलिए | * अब हम वेरिएबल्स को परविर्तित कर सकते हैं, जैसे <math>(\mathbf{x}, z_1)</math> को <math>(\mathbf{x}, e_1)</math> में परिवर्तित करने से <math>e_1 \triangleq z_1 - u_x(\mathbf{x})</math> भी मान प्राप्त हो सकता हैं। इसलिए | ||
| Line 159: | Line 159: | ||
::<math>\dot{V}_1 = \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))}^{{} \leq -W(\mathbf{x})} + \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1 \leq -W(\mathbf{x})+ \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1</math> | ::<math>\dot{V}_1 = \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))}^{{} \leq -W(\mathbf{x})} + \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1 \leq -W(\mathbf{x})+ \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1</math> | ||
: यह सुनिश्चित करने के लिए <math>\dot{V}_1 \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math> अर्थात, | : यह सुनिश्चित करने के लिए <math>\dot{V}_1 \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math> अर्थात, उपप्रणाली की स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए हम नियंत्रण नियम को ही चुनते हैं। | ||
::<math>v_1 = -\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})- k_1 e_1</math> | ::<math>v_1 = -\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})- k_1 e_1</math> | ||
| Line 194: | Line 194: | ||
: याद रखें कि <math>u_1</math> समीकरण में ({{EquationNote|3}}) इंटीग्रेटर के इनपुट को चलाता है जो उपप्रणाली से जुड़ा होता है जो नियंत्रण नियम <math>u_x</math> द्वारा फीडबैक-स्थिर होता है, यहाँ पर आश्चर्य की बात नहीं हैं, क्यूंकि नियंत्रण <math>u_1</math> <math>\dot{u}_x</math> वह शब्द जिसे स्थिरीकरण नियंत्रण नियम का पालन करने के लिए एकीकृत किया जाएगा, तथा <math>\dot{u}_x</math> के साथ ही कुछ ऑफसेट भी मिल जाते हैं। इस प्रकार इसकी अन्य शर्तें उस ऑफसेट और किसी अन्य त्रुटियों के प्रभाव को हटाने के लिए डंपिंग प्रदान करती हैं जिसे इंटीग्रेटर द्वारा बढ़ाया जाएगा। | : याद रखें कि <math>u_1</math> समीकरण में ({{EquationNote|3}}) इंटीग्रेटर के इनपुट को चलाता है जो उपप्रणाली से जुड़ा होता है जो नियंत्रण नियम <math>u_x</math> द्वारा फीडबैक-स्थिर होता है, यहाँ पर आश्चर्य की बात नहीं हैं, क्यूंकि नियंत्रण <math>u_1</math> <math>\dot{u}_x</math> वह शब्द जिसे स्थिरीकरण नियंत्रण नियम का पालन करने के लिए एकीकृत किया जाएगा, तथा <math>\dot{u}_x</math> के साथ ही कुछ ऑफसेट भी मिल जाते हैं। इस प्रकार इसकी अन्य शर्तें उस ऑफसेट और किसी अन्य त्रुटियों के प्रभाव को हटाने के लिए डंपिंग प्रदान करती हैं जिसे इंटीग्रेटर द्वारा बढ़ाया जाएगा। | ||
इसलिए क्योंकि यह प्रणाली फीडबैक <math>u_1(\mathbf{x}, z_1)</math> द्वारा स्थिर है, और इसमें ल्यपुनोव फलन <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math> साथ <math>\dot{V}_1(\mathbf{x}, z_1) \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math> है , इसका उपयोग किसी अन्य सिंगल-इंटीग्रेटर कैस्केड प्रणाली में ऊपरी उपप्रणाली के रूप में किया जा सकता है। | इसलिए क्योंकि यह प्रणाली फीडबैक <math>u_1(\mathbf{x}, z_1)</math> द्वारा स्थिर है, और इसमें ल्यपुनोव फलन <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math> साथ <math>\dot{V}_1(\mathbf{x}, z_1) \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math> के समान है , इसका उपयोग किसी अन्य सिंगल-इंटीग्रेटर कैस्केड प्रणाली में ऊपरी उपप्रणाली के रूप में किया जा सकता है। | ||
=== प्रेरक उदाहरण: दो-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग === | === प्रेरक उदाहरण: दो-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग === | ||
| Line 228: | Line 228: | ||
* सबसे पहले, गतिशील प्रणाली पर विचार करें | * सबसे पहले, गतिशील प्रणाली पर विचार करें | ||
::<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x</math> | ::<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x</math> | ||
:उसमें अदिश इनपुट है <math>u_x</math> और आउटपुट स्थितियाँ <math>\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^{\text{T}} \in \mathbb{R}^n</math> | :उसमें अदिश इनपुट है <math>u_x</math> और आउटपुट स्थितियाँ <math>\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^{\text{T}} \in \mathbb{R}^n</math> | ||
*<math>f_x(\mathbf{x}) = \mathbf{0}</math> जिससे कि शून्य-इनपुट (अर्थात, <math>u_x = 0</math>) प्रणाली मूल बिंदु पर स्थिर बिंदु <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> है, इस स्थिति में, उत्पत्ति को प्रणाली का संतुलन कहा जाता है। | |||
*फीडबैक नियंत्रण नियम <math>u_x(\mathbf{x})</math> प्रणाली को मूल बिंदु पर संतुलन पर स्थिर करता है। | |||
*इस प्रणाली के अनुरूप ल्यपुनोव फलन <math>V_x(\mathbf{x})</math> का वर्णन किया गया है। | |||
:अर्थात्, यदि आउटपुट बताता है {{math|'''x'''}} को वापस इनपुट में <math>u_x</math> का मान फीड किया जाता है, इस प्रकार नियंत्रण नियम द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math>, फिर आउटपुट स्थिति (और ल्यपुनोव फलन) एकल त्रुटि के बाद मूल पर लौट आती है, उदाहरण के लिए, गैर-शून्य प्रारंभिक स्थिति या तेज त्रुटि के बाद यह मान प्राप्त होता हैं। यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण नियम <math>u_x</math> द्वारा स्थिर रहता है। | :अर्थात्, यदि आउटपुट बताता है {{math|'''x'''}} को वापस इनपुट में <math>u_x</math> का मान फीड किया जाता है, इस प्रकार नियंत्रण नियम द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math>, फिर आउटपुट स्थिति (और ल्यपुनोव फलन) एकल त्रुटि के बाद मूल पर लौट आती है, उदाहरण के लिए, गैर-शून्य प्रारंभिक स्थिति या तेज त्रुटि के बाद यह मान प्राप्त होता हैं। यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण नियम <math>u_x</math> द्वारा स्थिर रहता है। | ||
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:अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के अनुसार <math>u_1</math>, ल्यपुनोव फलन <math>V_1</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, जो बाद में शून्य हो जाती है। | :अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के अनुसार <math>u_1</math>, ल्यपुनोव फलन <math>V_1</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, जो बाद में शून्य हो जाती है। | ||
* इनपुट के लिए नया इंटीग्रेटर <math>u_1</math>कनेक्ट करते हैं, जिससे कि संवर्धित प्रणाली में इनपुट हो <math>u_2</math> और आउटपुट स्थितियाँ {{math|'''x'''}} | * इनपुट के लिए नया इंटीग्रेटर <math>u_1</math>कनेक्ट करते हैं, जिससे कि संवर्धित प्रणाली में इनपुट हो <math>u_2</math> और आउटपुट स्थितियाँ {{math|'''x'''}} परिणामी संवर्धित गतिशील प्रणाली है | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ | \dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ | ||
| Line 260: | Line 260: | ||
\dot{z}_2 = u_2 | \dot{z}_2 = u_2 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
:<math>\mathbf{x}_1</math>, <math>f_1</math>, और <math>g_1</math> के आधार पर इन परिभाषाओं का उपयोग करना, जिसके लिए इस प्रकार की प्रणाली को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता | :<math>\mathbf{x}_1</math>, <math>f_1</math>, और <math>g_1</math> के आधार पर इन परिभाषाओं का उपयोग करना, जिसके लिए इस प्रकार की प्रणाली को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है। | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\dot{\mathbf{x}}_1 = f_1(\mathbf{x}_1) + g_1(\mathbf{x}_1) z_2 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_1, \text{ subsystem stabilized by } u_1(\textbf{x}_1) \text{ )}\\ | \dot{\mathbf{x}}_1 = f_1(\mathbf{x}_1) + g_1(\mathbf{x}_1) z_2 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_1, \text{ subsystem stabilized by } u_1(\textbf{x}_1) \text{ )}\\ | ||
| Line 278: | Line 278: | ||
\dot{z}_3 = u_3 | \dot{z}_3 = u_3 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
:जिसे एकल-एकीकरणकर्ता प्रणाली के रूप में पुनः समूहीकृत किया जा सकता | :जिसे एकल-एकीकरणकर्ता प्रणाली के रूप में पुनः समूहीकृत किया जा सकता है। | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}\\ \dot{z}_1\\ \dot{z}_2 \end{bmatrix} }^{\triangleq \, \dot{\mathbf{x}}_2} | \overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}\\ \dot{z}_1\\ \dot{z}_2 \end{bmatrix} }^{\triangleq \, \dot{\mathbf{x}}_2} | ||
| Line 287: | Line 287: | ||
\dot{z}_3 = u_3 | \dot{z}_3 = u_3 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
:इस परिभाषा के अनुसार <math>\mathbf{x}_1</math>, <math>f_1</math>, और <math>g_1</math> पिछले चरण से, इस प्रणाली का भी प्रतिनिधित्व किया जाता | :इस परिभाषा के अनुसार <math>\mathbf{x}_1</math>, <math>f_1</math>, और <math>g_1</math> पिछले चरण से, इस प्रणाली का भी प्रतिनिधित्व किया जाता है। | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1\\ \dot{z}_2 \end{bmatrix} }^{\dot{\mathbf{x}}_2} | \overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1\\ \dot{z}_2 \end{bmatrix} }^{\dot{\mathbf{x}}_2} | ||
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\dot{z}_3 = u_3 | \dot{z}_3 = u_3 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
:आगे, इन परिभाषाओं का उपयोग करते हुए <math>\mathbf{x}_2</math>, <math>f_2</math>, और <math>g_2</math>, इस प्रणाली को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता | :आगे, इन परिभाषाओं का उपयोग करते हुए <math>\mathbf{x}_2</math>, <math>f_2</math>, और <math>g_2</math>, इस प्रणाली को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है। | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\dot{\mathbf{x}}_2 = f_2(\mathbf{x}_2) + g_2(\mathbf{x}_2) z_3 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_2, \text{ subsystem stabilized by } u_2(\textbf{x}_2) \text{ )}\\ | \dot{\mathbf{x}}_2 = f_2(\mathbf{x}_2) + g_2(\mathbf{x}_2) z_3 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_2, \text{ subsystem stabilized by } u_2(\textbf{x}_2) \text{ )}\\ | ||
\dot{z}_3 = u_3 | \dot{z}_3 = u_3 | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
:तो पुनः समूहित प्रणाली में समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना है ({{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया को फिर से लागू किया जा सकता है। अर्थात, यदि हम | :तो पुनः समूहित प्रणाली में समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना है ({{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया को फिर से लागू किया जा सकता है। अर्थात, यदि हम <math>z_1</math> से जुड़ी इस स्थिति फीडबैक करते हैं , तो इसके अनुसार <math>z_2</math>, <math>z_3</math>, और {{math|'''x'''}} निवेश करने के लिए <math>u_3</math> नियंत्रण नियम के अनुसार इस समीकरण द्वारा दर्शाया जाता हैं। | ||
::<math>u_3(\mathbf{x},z_1,z_2,z_3)=-\frac{\partial V_2}{\partial \mathbf{x}_2 } g_2(\mathbf{x}_2)-k_3(z_3-u_2(\mathbf{x}_2)) + \frac{\partial u_2}{\partial \mathbf{x}_2}(f_2(\mathbf{x}_2)+g_2(\mathbf{x}_2)z_3)</math> | ::<math>u_3(\mathbf{x},z_1,z_2,z_3)=-\frac{\partial V_2}{\partial \mathbf{x}_2 } g_2(\mathbf{x}_2)-k_3(z_3-u_2(\mathbf{x}_2)) + \frac{\partial u_2}{\partial \mathbf{x}_2}(f_2(\mathbf{x}_2)+g_2(\mathbf{x}_2)z_3)</math> | ||
:लाभ के साथ <math>k_3 > 0</math>, फिर स्थिति <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, <math>z_3</math>, और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math>, <math>z_2 = 0</math>, <math>z_3 = 0</math>, और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> ही इस उपप्रणाली के फीडबैक नियंत्रण नियम <math>u_3</math> द्वारा स्थिर है, और संबंधित ल्यपुनोव फलन | :इस प्रकार लाभ के साथ <math>k_3 > 0</math>, फिर स्थिति <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, <math>z_3</math>, और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math>, <math>z_2 = 0</math>, <math>z_3 = 0</math>, और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> ही इस उपप्रणाली के फीडबैक नियंत्रण नियम <math>u_3</math> द्वारा स्थिर है, और संबंधित ल्यपुनोव फलन है। | ||
::<math>V_3(\mathbf{x},z_1,z_2,z_3) = V_2(\mathbf{x}_2) + \frac{1}{2}( z_3 - u_2(\mathbf{x}_2) )^2</math> | ::<math>V_3(\mathbf{x},z_1,z_2,z_3) = V_2(\mathbf{x}_2) + \frac{1}{2}( z_3 - u_2(\mathbf{x}_2) )^2</math> | ||
:अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के तहत <math>u_3</math>, ल्यपुनोव फलन <math>V_3</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है। | :अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के तहत <math>u_3</math>, ल्यपुनोव फलन <math>V_3</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है। | ||
| Line 363: | Line 363: | ||
==जेनेरिक बैकस्टेपिंग== | ==जेनेरिक बैकस्टेपिंग== | ||
विशेष प्रकार की कठोर प्रतिक्रिया के लिए उचित फॉर्म में प्रणाली में कई-इंटीग्रेटर प्रणाली संरचना के समान पुनरावर्ती संरचना होती है। इसी प्रकार उन्हें सबसे छोटे कैस्केड प्रणाली को स्थिर करके और फिर अगले कैस्केड प्रणाली पर वापस जाकर प्रक्रिया को दोहराकर स्थिर किया जाता है। इसलिए एकल-चरणीय प्रक्रिया विकसित करना महत्वपूर्ण है | विशेष प्रकार की कठोर प्रतिक्रिया के लिए उचित फॉर्म में प्रणाली में कई-इंटीग्रेटर प्रणाली संरचना के समान पुनरावर्ती संरचना होती है। इसी प्रकार उन्हें सबसे छोटे कैस्केड प्रणाली को स्थिर करके और फिर अगले कैस्केड प्रणाली पर वापस जाकर प्रक्रिया को दोहराकर स्थिर किया जाता है। इसलिए एकल-चरणीय प्रक्रिया विकसित करना महत्वपूर्ण है, इस प्रक्रिया को कई विभिन्न स्थितियों को कवर करने के लिए पुनरावर्ती रूप से लागू किया जा सकता है। इसके कारण सौभाग्य से इस प्रकार की कठोर प्रतिक्रिया के लिए फॉर्म में किए गए कार्यों पर आवश्यकताओं के कारण, प्रत्येक एकल-चरण प्रणाली को एकल-एकीकृत प्रणाली में फीडबैक द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है, और उस एकल-एकीकृत प्रणाली को ऊपर चर्चा की गई विधियों का उपयोग करके स्थिर किया जा सकता है। | ||
===एकल-चरणीय प्रक्रिया=== | ===एकल-चरणीय प्रक्रिया=== | ||
| Line 482: | Line 482: | ||
इस निर्माण से, परम नियंत्रण <math>u(\mathbf{x},z_1,z_2,\ldots,z_k) = u_k(\mathbf{x}_k)</math> (अर्थात, अंतिम पुनरावृत्ति <math>i=k</math> पर अंतिम नियंत्रण पाया जाता है)। | इस निर्माण से, परम नियंत्रण <math>u(\mathbf{x},z_1,z_2,\ldots,z_k) = u_k(\mathbf{x}_k)</math> (अर्थात, अंतिम पुनरावृत्ति <math>i=k</math> पर अंतिम नियंत्रण पाया जाता है)। | ||
इसलिए, किसी भी कठोर प्रतिक्रिया प्रणाली को सीधी प्रक्रिया का उपयोग करके प्रतिक्रिया को स्थिर किया जा सकता है जिसे स्वचालित भी किया जा सकता है, जैसे उदाहरण के लिए | इसलिए, किसी भी कठोर प्रतिक्रिया प्रणाली को सीधी प्रक्रिया का उपयोग करके प्रतिक्रिया को स्थिर किया जा सकता है जिसे स्वचालित भी किया जा सकता है, जैसे उदाहरण के लिए अनुकूली नियंत्रण एल्गोरिदम के हिस्से के रूप में किया जाता हैं। | ||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
Revision as of 02:20, 6 October 2023
नियंत्रण सिद्धांत में, बैकस्टेपिंग ऐसी तकनीक है, जिसे लगभग 1990 में पेटार वी. कोकोटोविक और अन्य सहयोगियों द्वारा विकसित किया गया है।[1][2] किसी अरेखीय प्रणाली तथा गतिशील प्रणाली के विशेष वर्ग के लिए ल्यपुनोव स्थिरता नियंत्रण को डिजाइन करने के लिए बनाया गया हैं। ये प्रणालियाँ उन उपप्रणालियों से निर्मित होती हैं, जो अपरिवर्तनीयता के कारण उपप्रणाली से निकलती हैं, जिन्हें किसी अन्य विधि का उपयोग करके स्थिर किया जा सकता है। इस प्रत्यावर्तन संरचना के कारण डिज़ाइनर इस प्रकार की ज्ञात स्थिर प्रणालियों पर संरचना प्रक्रिया को प्रारंभ कर सकते हैं, और इसके लिए नए नियंत्रकों को वापस ले सकते है, जो इस प्रकार प्रत्येक बाहरी उपप्रणाली को उत्तरोत्तर स्थिर करते हैं। इस प्रकार अंतिम बाह्य नियंत्रण पर पहुँचने पर प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। इसलिए इस प्रक्रिया को बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है।[3]
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण मुख्य रूप से कठोर प्रतिक्रिया रूप में इस प्रणाली की उत्पत्ति (गणित) की ल्यपुनोव स्थिरता के लिए रिकर्सन विधि प्रदान करता है। इस प्रकार प्रपत्र की गतिशील प्रणाली पर विचार करें[3]