बैकस्टेपिंग: Difference between revisions
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[[नियंत्रण सिद्धांत]] में, बैकस्टेपिंग तकनीक है जिसे विक्षनरी: लगभग 1990 में पेटार वी. कोकोटोविक और अन्य द्वारा विकसित किया गया है।<ref name=Kokotovic1992>{{cite journal | |||
[[नियंत्रण सिद्धांत]] में, बैकस्टेपिंग | |||
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| doi = 10.1109/37.165507 | | doi = 10.1109/37.165507 | ||
| s2cid = 27196262 | | s2cid = 27196262 | ||
}}</ref><ref name=LB92>{{cite journal | first1=R.|last1=Lozano| first2=B.|last2=Brogliato | year=1992 | title=लचीले जोड़ों के साथ रोबोट मैनिपुलेटर्स का अनुकूली नियंत्रण| journal= IEEE Transactions on Automatic Control | volume=37 | issue=2 | pages=174–181 | doi=10.1109/9.121619|url=https://hal.inria.fr/hal-03592568/file/RLBB_FJ_TAC1992.pdf }}</ref> [[ अरेखीय प्रणाली ]] [[गतिशील प्रणाली]] के | }}</ref><ref name=LB92>{{cite journal | first1=R.|last1=Lozano| first2=B.|last2=Brogliato | year=1992 | title=लचीले जोड़ों के साथ रोबोट मैनिपुलेटर्स का अनुकूली नियंत्रण| journal= IEEE Transactions on Automatic Control | volume=37 | issue=2 | pages=174–181 | doi=10.1109/9.121619|url=https://hal.inria.fr/hal-03592568/file/RLBB_FJ_TAC1992.pdf }}</ref> [[ अरेखीय प्रणाली |अरेखीय प्रणाली]] [[गतिशील प्रणाली]] के विशेष वर्ग के लिए [[ल्यपुनोव स्थिरता]] नियंत्रण को डिजाइन करने के लिए। ये प्रणालियाँ उन उपप्रणालियों से निर्मित होती हैं जो अपरिवर्तनीय उपप्रणाली से निकलती हैं जिन्हें किसी अन्य विधि का उपयोग करके स्थिर किया जा सकता है। इस [[ प्रत्यावर्तन |प्रत्यावर्तन]] संरचना के कारण, डिज़ाइनर ज्ञात-स्थिर सिस्टम पर डिज़ाइन प्रक्रिया शुरू कर सकता है और नए नियंत्रकों को वापस ले सकता है जो प्रत्येक बाहरी उपप्रणाली को उत्तरोत्तर स्थिर करते हैं। अंतिम बाह्य नियंत्रण पर पहुँचने पर प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। इसलिए, इस प्रक्रिया को बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है।<ref name="Khalil">{{cite book | ||
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==बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण== | ==बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण== | ||
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण सख्त-प्रतिक्रिया रूप में | बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण सख्त-प्रतिक्रिया रूप में प्रणाली की [[उत्पत्ति (गणित)]] की ल्यपुनोव स्थिरता के लिए रिकर्सन विधि प्रदान करता है। अर्थात्, प्रपत्र की गतिशील प्रणाली पर विचार करें<ref name="Khalil"/> | ||
:<math>\begin{align}\begin{cases} | :<math>\begin{align}\begin{cases} | ||
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* <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> साथ <math>n \geq 1</math>, | * <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> साथ <math>n \geq 1</math>, | ||
* <math>z_1, z_2, \ldots, z_i, \ldots, z_{k-1}, z_k</math> [[अदिश (गणित)]] हैं, | * <math>z_1, z_2, \ldots, z_i, \ldots, z_{k-1}, z_k</math> [[अदिश (गणित)]] हैं, | ||
* {{mvar|u}} सिस्टम के लिए | * {{mvar|u}} सिस्टम के लिए अदिश (गणित) इनपुट है, | ||
* <math>f_x, f_1, f_2, \ldots, f_i, \ldots, f_{k-1}, f_k</math> मूल में गायब (गणित) (गणित) (यानी, <math>f_i(0,0,\dots,0) = 0</math>), | * <math>f_x, f_1, f_2, \ldots, f_i, \ldots, f_{k-1}, f_k</math> मूल में गायब (गणित) (गणित) (यानी, <math>f_i(0,0,\dots,0) = 0</math>), | ||
* <math>g_1, g_2, \ldots, g_i, \ldots, g_{k-1}, g_k</math> रुचि के क्षेत्र पर शून्येतर हैं (अर्थात्, <math>g_i(\mathbf{x},z_1,\ldots,z_k) \neq 0</math> के लिए <math>1 \leq i \leq k</math>). | * <math>g_1, g_2, \ldots, g_i, \ldots, g_{k-1}, g_k</math> रुचि के क्षेत्र पर शून्येतर हैं (अर्थात्, <math>g_i(\mathbf{x},z_1,\ldots,z_k) \neq 0</math> के लिए <math>1 \leq i \leq k</math>). | ||
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यह भी मान लें कि सबसिस्टम | यह भी मान लें कि सबसिस्टम | ||
:<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | :<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | ||
मूल (गणित) के लिए ल्यपुनोव स्थिरता है (यानी, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>) कुछ ज्ञात नियंत्रण द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math> ऐसा है कि <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math>. यह भी माना जाता है कि | मूल (गणित) के लिए ल्यपुनोव स्थिरता है (यानी, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>) कुछ ज्ञात नियंत्रण द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math> ऐसा है कि <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math>. यह भी माना जाता है कि [[ल्यपुनोव समारोह]] <math>V_x</math> इसके लिए स्थिर उपप्रणाली को जाना जाता है। वह यह है {{math|'''x'''}} सबसिस्टम को किसी अन्य विधि द्वारा स्थिर किया जाता है और बैकस्टेपिंग इसकी स्थिरता को बढ़ाता है <math>\textbf{z}</math> इसके चारों ओर खोल. | ||
इस सख्त-प्रतिक्रिया की प्रणालियों में | इस सख्त-प्रतिक्रिया की प्रणालियों में स्थिर के चारों ओर फॉर्म होता है {{math|'''x'''}} सबसिस्टम, | ||
* बैकस्टेपिंग-डिज़ाइन किया गया नियंत्रण इनपुट {{mvar|u}} का राज्य पर सबसे तात्कालिक स्थिरीकरण प्रभाव पड़ता है <math>z_n</math>. | * बैकस्टेपिंग-डिज़ाइन किया गया नियंत्रण इनपुट {{mvar|u}} का राज्य पर सबसे तात्कालिक स्थिरीकरण प्रभाव पड़ता है <math>z_n</math>. | ||
* राज्य <math>z_n</math> फिर राज्य पर | * राज्य <math>z_n</math> फिर राज्य पर स्थिर नियंत्रण की तरह कार्य करता है <math>z_{n-1}</math> इससे पहले। | ||
* यह प्रक्रिया जारी रहती है ताकि प्रत्येक राज्य <math>z_i</math> काल्पनिक नियंत्रण द्वारा स्थिर किया जाता है <math>z_{i+1}</math>. | * यह प्रक्रिया जारी रहती है ताकि प्रत्येक राज्य <math>z_i</math> काल्पनिक नियंत्रण द्वारा स्थिर किया जाता है <math>z_{i+1}</math>. | ||
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण यह निर्धारित करता है कि इसे कैसे स्थिर किया जाए {{math|'''x'''}} सबसिस्टम का उपयोग करना <math>z_1</math>, और फिर यह निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ता है कि अगला राज्य कैसे बनाया जाए <math>z_2</math> गाड़ी चलाना <math>z_1</math> स्थिर करने के लिए आवश्यक नियंत्रण के लिए {{math|'''x'''}}. इसलिए, प्रक्रिया पीछे की ओर कदम बढ़ाती है {{math|'''x'''}} अंतिम नियंत्रण तक सख्त-प्रतिक्रिया प्रपत्र प्रणाली से बाहर {{mvar|u}} बनाया गया है। | बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण यह निर्धारित करता है कि इसे कैसे स्थिर किया जाए {{math|'''x'''}} सबसिस्टम का उपयोग करना <math>z_1</math>, और फिर यह निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ता है कि अगला राज्य कैसे बनाया जाए <math>z_2</math> गाड़ी चलाना <math>z_1</math> स्थिर करने के लिए आवश्यक नियंत्रण के लिए {{math|'''x'''}}. इसलिए, प्रक्रिया पीछे की ओर कदम बढ़ाती है {{math|'''x'''}} अंतिम नियंत्रण तक सख्त-प्रतिक्रिया प्रपत्र प्रणाली से बाहर {{mvar|u}} बनाया गया है। | ||
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# यह दिया गया है कि छोटा (यानी, निचले क्रम का) सबसिस्टम | # यह दिया गया है कि छोटा (यानी, निचले क्रम का) सबसिस्टम | ||
#::<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | #::<math>\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | ||
#:पहले से ही कुछ नियंत्रण द्वारा मूल बिंदु पर स्थिर कर दिया गया है <math>u_x(\mathbf{x})</math> कहाँ <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math>. यानि की चुनाव <math>u_x</math> इस प्रणाली को स्थिर करने के लिए किसी अन्य विधि का उपयोग करना होगा। यह भी माना जाता है कि | #:पहले से ही कुछ नियंत्रण द्वारा मूल बिंदु पर स्थिर कर दिया गया है <math>u_x(\mathbf{x})</math> कहाँ <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math>. यानि की चुनाव <math>u_x</math> इस प्रणाली को स्थिर करने के लिए किसी अन्य विधि का उपयोग करना होगा। यह भी माना जाता है कि ल्यपुनोव फ़ंक्शन <math>V_x</math> इसके लिए स्थिर उपप्रणाली को जाना जाता है। बैकस्टेपिंग इस उपप्रणाली की नियंत्रित स्थिरता को बड़े सिस्टम तक विस्तारित करने का तरीका प्रदान करता है। | ||
# एक नियंत्रण <math>u_1(\mathbf{x},z_1)</math> इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि सिस्टम | # एक नियंत्रण <math>u_1(\mathbf{x},z_1)</math> इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि सिस्टम | ||
#::<math>\dot{z}_1 = f_1(\mathbf{x},z_1) + g_1(\mathbf{x},z_1) u_1(\mathbf{x},z_1)</math> | #::<math>\dot{z}_1 = f_1(\mathbf{x},z_1) + g_1(\mathbf{x},z_1) u_1(\mathbf{x},z_1)</math> | ||
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* <math>g_i</math> के लिए शून्येतर हैं <math>1 \leq i \leq k</math>, | * <math>g_i</math> के लिए शून्येतर हैं <math>1 \leq i \leq k</math>, | ||
* दिया गया नियंत्रण <math>u_x</math> है <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math>, | * दिया गया नियंत्रण <math>u_x</math> है <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math>, | ||
तब परिणामी प्रणाली के मूल में | तब परिणामी प्रणाली के मूल में संतुलन होता है (यानी, जहां <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>, <math>z_1=0</math>, <math>z_2=0</math>, ..., <math>z_{k-1}=0</math>, और <math>z_k=0</math>) वह ल्यपुनोव फ़ंक्शन#विश्व स्तर पर स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर संतुलन है। | ||
== इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग == | == इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग == | ||
सामान्य स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म डायनेमिक सिस्टम के लिए बैकस्टेपिंग प्रक्रिया का वर्णन करने से पहले, स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म सिस्टम के | सामान्य स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म डायनेमिक सिस्टम के लिए बैकस्टेपिंग प्रक्रिया का वर्णन करने से पहले, स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म सिस्टम के छोटे वर्ग के लिए दृष्टिकोण पर चर्चा करना सुविधाजनक है। ये सिस्टम इंटीग्रेटर्स की श्रृंखला को इनपुट से जोड़ते हैं | ||
एक ज्ञात फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण कानून वाला सिस्टम, और इसलिए स्थिरीकरण दृष्टिकोण को इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है। | एक ज्ञात फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण कानून वाला सिस्टम, और इसलिए स्थिरीकरण दृष्टिकोण को इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है। छोटे से संशोधन के साथ, सभी सख्त-प्रतिक्रिया फॉर्म सिस्टम को संभालने के लिए इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण को बढ़ाया जा सकता है। | ||
===एकल-एकीकरणकर्ता संतुलन=== | ===एकल-एकीकरणकर्ता संतुलन=== | ||
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| {{EquationRef|1}}}} | | {{EquationRef|1}}}} | ||
कहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> | कहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> अदिश राशि है. यह सिस्टम [[ करनेवाला |करनेवाला]] का [[कैस्केड कनेक्शन]] है {{math|'''x'''}} सबसिस्टम (यानी, इनपुट {{mvar|u}} इंटीग्रेटर और [[ अभिन्न |अभिन्न]] में प्रवेश करता है <math>z_1</math> प्रविष्ट होता है {{math|'''x'''}} सबसिस्टम). | ||
हम मानते हैं कि <math>f_x(\mathbf{0})=0</math>, और यदि ऐसा है <math>u_1=0</math>, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> और <math>z_1 = 0</math>, तब | हम मानते हैं कि <math>f_x(\mathbf{0})=0</math>, और यदि ऐसा है <math>u_1=0</math>, <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math> और <math>z_1 = 0</math>, तब | ||
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\dot{z}_1 = \overbrace{0}^{u_1} & \quad \text{ (i.e., } z_1 = 0 \text{ is stationary)} | \dot{z}_1 = \overbrace{0}^{u_1} & \quad \text{ (i.e., } z_1 = 0 \text{ is stationary)} | ||
\end{cases}</math> | \end{cases}</math> | ||
तो मूल (गणित) <math>(\mathbf{x},z_1) = (\mathbf{0},0)</math> प्रणाली का | तो मूल (गणित) <math>(\mathbf{x},z_1) = (\mathbf{0},0)</math> प्रणाली का संतुलन (अर्थात, [[स्थिर बिंदु]]) है। यदि सिस्टम कभी मूल तक पहुंचता है, तो वह उसके बाद हमेशा के लिए वहीं रहेगा। | ||
===सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग=== | ===सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग=== | ||
इस उदाहरण में, बैकस्टेपिंग का उपयोग समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम को ल्यपुनोव स्थिरता के लिए किया जाता है ({{EquationNote|1}}) मूल बिंदु पर इसके संतुलन के आसपास। कम सटीक होने के लिए, हम | इस उदाहरण में, बैकस्टेपिंग का उपयोग समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम को ल्यपुनोव स्थिरता के लिए किया जाता है ({{EquationNote|1}}) मूल बिंदु पर इसके संतुलन के आसपास। कम सटीक होने के लिए, हम नियंत्रण कानून तैयार करना चाहते हैं <math>u_1(\mathbf{x},z_1)</math> यह सुनिश्चित करता है कि राज्य <math>(\mathbf{x}, z_1)</math> को वापस <math>(\mathbf{0},0)</math> सिस्टम को कुछ मनमानी प्रारंभिक स्थिति से शुरू करने के बाद। | ||
* सबसे पहले, धारणा से, उपप्रणाली | * सबसे पहले, धारणा से, उपप्रणाली | ||
::<math>\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x}) \qquad \text{where} \qquad F(\mathbf{x}) \triangleq f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | ::<math>\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x}) \qquad \text{where} \qquad F(\mathbf{x}) \triangleq f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> | ||
:साथ <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math> | :साथ <math>u_x(\mathbf{0}) = 0</math> ल्यपुनोव फ़ंक्शन है <math>V_x(\mathbf{x}) > 0</math> ऐसा है कि | ||
::<math>\dot{V}_x=\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) \leq - W(\mathbf{x})</math> | ::<math>\dot{V}_x=\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) \leq - W(\mathbf{x})</math> | ||
:कहाँ <math>W(\mathbf{x})</math> | :कहाँ <math>W(\mathbf{x})</math> [[सकारात्मक-निश्चित कार्य]] है। यानी, हम मानते हैं कि हम पहले ही दिखा चुके हैं कि यह मौजूदा सरल है {{math|'''x'''}} सबसिस्टम ल्यपुनोव स्थिरता है|स्थिर (ल्यपुनोव के अर्थ में)। मोटे तौर पर, स्थिरता की इस धारणा का अर्थ है कि: | ||
** कार्यक्रम <math>V_x</math> की | ** कार्यक्रम <math>V_x</math> की सामान्यीकृत ऊर्जा की तरह है {{math|'''x'''}} सबसिस्टम. के रूप में {{math|'''x'''}} सिस्टम की अवस्थाएँ मूल, ऊर्जा से दूर चली जाती हैं <math>V_x(\mathbf{x})</math> भी बढ़ता है. | ||
** समय के साथ यह दिखाकर, ऊर्जा <math>V_x(\mathbf{x}(t))</math> शून्य हो जाता है, फिर {{math|'''x'''}} राज्यों की ओर क्षय होना चाहिए <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>. अर्थात् उत्पत्ति <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> प्रणाली का | ** समय के साथ यह दिखाकर, ऊर्जा <math>V_x(\mathbf{x}(t))</math> शून्य हो जाता है, फिर {{math|'''x'''}} राज्यों की ओर क्षय होना चाहिए <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>. अर्थात् उत्पत्ति <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> प्रणाली का स्थिर संतुलन होगा - the {{math|'''x'''}} जैसे-जैसे समय बढ़ेगा, राज्य लगातार मूल के करीब पहुंचेंगे। | ||
** यह कहते हुए कि <math>W(\mathbf{x})</math> सकारात्मक निश्चित का मतलब है कि <math>W(\mathbf{x}) > 0</math> को छोड़कर हर जगह <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>, और <math>W(\mathbf{0})=0</math>. | ** यह कहते हुए कि <math>W(\mathbf{x})</math> सकारात्मक निश्चित का मतलब है कि <math>W(\mathbf{x}) > 0</math> को छोड़कर हर जगह <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math>, और <math>W(\mathbf{0})=0</math>. | ||
** यह कथन <math>\dot{V}_x \leq -W(\mathbf{x})</math> मतलब कि <math>\dot{V}_x</math> को छोड़कर सभी बिंदुओं के लिए शून्य से दूर सीमाबद्ध है <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>. अर्थात्, जब तक प्रणाली मूल पर अपने संतुलन पर नहीं है, तब तक इसकी ऊर्जा कम होती रहेगी। | ** यह कथन <math>\dot{V}_x \leq -W(\mathbf{x})</math> मतलब कि <math>\dot{V}_x</math> को छोड़कर सभी बिंदुओं के लिए शून्य से दूर सीमाबद्ध है <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>. अर्थात्, जब तक प्रणाली मूल पर अपने संतुलन पर नहीं है, तब तक इसकी ऊर्जा कम होती रहेगी। | ||
** चूँकि ऊर्जा का सदैव क्षय होता रहता है, तो प्रणाली स्थिर होनी चाहिए; इसके प्रक्षेप पथ को मूल बिंदु तक पहुंचना चाहिए। | ** चूँकि ऊर्जा का सदैव क्षय होता रहता है, तो प्रणाली स्थिर होनी चाहिए; इसके प्रक्षेप पथ को मूल बिंदु तक पहुंचना चाहिए। | ||
:हमारा काम नियंत्रण ढूंढना है {{mvar|u}} जो हमारे कैस्केड बनाता है <math>(\mathbf{x},z_1)</math> सिस्टम भी स्थिर. इसलिए हमें इस नई प्रणाली के लिए | :हमारा काम नियंत्रण ढूंढना है {{mvar|u}} जो हमारे कैस्केड बनाता है <math>(\mathbf{x},z_1)</math> सिस्टम भी स्थिर. इसलिए हमें इस नई प्रणाली के लिए नया ल्यपुनोव फ़ंक्शन 'उम्मीदवार' ढूंढना होगा। वह उम्मीदवार नियंत्रण पर निर्भर रहेगा {{mvar|u}}, और नियंत्रण को सही ढंग से चुनकर, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह हर जगह भी क्षय हो रहा है। | ||
* आगे 'और' जोड़कर घटाएँ <math>g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> (यानी, हम सिस्टम को किसी भी तरह से नहीं बदलते क्योंकि हम कोई शुद्ध प्रभाव नहीं डालते हैं)। <math>\dot{\mathbf{x}}</math> बड़े का हिस्सा <math>(\mathbf{x},z_1)</math> सिस्टम, यह बन जाता है | * आगे 'और' जोड़कर घटाएँ <math>g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})</math> (यानी, हम सिस्टम को किसी भी तरह से नहीं बदलते क्योंकि हम कोई शुद्ध प्रभाव नहीं डालते हैं)। <math>\dot{\mathbf{x}}</math> बड़े का हिस्सा <math>(\mathbf{x},z_1)</math> सिस्टम, यह बन जाता है | ||
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\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
: तो हमारे उम्मीदवार ल्यपुनोव कार्य करते हैं <math>V_1</math> | : तो हमारे उम्मीदवार ल्यपुनोव कार्य करते हैं <math>V_1</math> सच्चा ल्यपुनोव फ़ंक्शन है, और हमारा सिस्टम इस नियंत्रण कानून के तहत स्थिर है <math>v_1</math> (जो नियंत्रण कानून से मेल खाता है <math>u_1</math> क्योंकि <math>v_1 \triangleq u_1 - \dot{u}_x</math>). मूल समन्वय प्रणाली से चर का उपयोग करते हुए, समतुल्य ल्यपुनोव फ़ंक्शन | ||
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: राज्य {{math|'''x'''}} और <math>z_1</math> और कार्य <math>f_x</math> और <math>g_x</math> सिस्टम से आओ. कार्यक्रम <math>u_x</math> हमारे ज्ञात-स्थिर से आता है <math>\dot{\mathbf{x}}=F(\mathbf{x})</math> उपप्रणाली. लाभ पैरामीटर <math>k_1 > 0</math> अभिसरण दर या हमारे सिस्टम को प्रभावित करता है। इस नियंत्रण कानून के तहत, हमारी प्रणाली मूल में ल्यपुनोव स्थिरता है <math>(\mathbf{x},z_1)=(\mathbf{0},0)</math>. | : राज्य {{math|'''x'''}} और <math>z_1</math> और कार्य <math>f_x</math> और <math>g_x</math> सिस्टम से आओ. कार्यक्रम <math>u_x</math> हमारे ज्ञात-स्थिर से आता है <math>\dot{\mathbf{x}}=F(\mathbf{x})</math> उपप्रणाली. लाभ पैरामीटर <math>k_1 > 0</math> अभिसरण दर या हमारे सिस्टम को प्रभावित करता है। इस नियंत्रण कानून के तहत, हमारी प्रणाली मूल में ल्यपुनोव स्थिरता है <math>(\mathbf{x},z_1)=(\mathbf{0},0)</math>. | ||
: याद करें कि <math>u_1</math> समीकरण में ({{EquationNote|3}}) | : याद करें कि <math>u_1</math> समीकरण में ({{EquationNote|3}}) इंटीग्रेटर के इनपुट को चलाता है जो सबसिस्टम से जुड़ा होता है जो नियंत्रण कानून द्वारा फीडबैक-स्थिर होता है <math>u_x</math>. आश्चर्य की बात नहीं, नियंत्रण <math>u_1</math> <math>\dot{u}_x</math> वह शब्द जिसे स्थिरीकरण नियंत्रण कानून का पालन करने के लिए एकीकृत किया जाएगा <math>\dot{u}_x</math> साथ ही कुछ ऑफसेट भी। अन्य शर्तें उस ऑफसेट और किसी अन्य गड़बड़ी प्रभाव को हटाने के लिए डंपिंग प्रदान करती हैं जिसे इंटीग्रेटर द्वारा बढ़ाया जाएगा। | ||
इसलिए क्योंकि यह सिस्टम फीडबैक द्वारा स्थिर है <math>u_1(\mathbf{x}, z_1)</math> और इसमें ल्यपुनोव फ़ंक्शन है <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math> साथ <math>\dot{V}_1(\mathbf{x}, z_1) \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math>, इसका उपयोग किसी अन्य सिंगल-इंटीग्रेटर कैस्केड सिस्टम में ऊपरी सबसिस्टम के रूप में किया जा सकता है। | इसलिए क्योंकि यह सिस्टम फीडबैक द्वारा स्थिर है <math>u_1(\mathbf{x}, z_1)</math> और इसमें ल्यपुनोव फ़ंक्शन है <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math> साथ <math>\dot{V}_1(\mathbf{x}, z_1) \leq -W(\mathbf{x}) < 0</math>, इसका उपयोग किसी अन्य सिंगल-इंटीग्रेटर कैस्केड सिस्टम में ऊपरी सबसिस्टम के रूप में किया जा सकता है। | ||
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| {{EquationRef|4}}}} | | {{EquationRef|4}}}} | ||
कहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> और <math>z_2</math> अदिश हैं. यह सिस्टम समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम का कैस्केड कनेक्शन है ({{EquationNote|1}}) दूसरे इंटीग्रेटर के साथ (यानी, इनपुट <math>u_2</math> | कहाँ <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n</math> और <math>z_1</math> और <math>z_2</math> अदिश हैं. यह सिस्टम समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम का कैस्केड कनेक्शन है ({{EquationNote|1}}) दूसरे इंटीग्रेटर के साथ (यानी, इनपुट <math>u_2</math> इंटीग्रेटर के माध्यम से प्रवेश करता है, और उस इंटीग्रेटर का आउटपुट समीकरण में सिस्टम में प्रवेश करता है ({{EquationNote|1}}) इसके द्वारा <math>u_1</math> इनपुट). | ||
जैसे भी हो | जैसे भी हो | ||
| Line 220: | Line 219: | ||
| {{EquationRef|5}}}} | | {{EquationRef|5}}}} | ||
एकल-एकीकरणकर्ता प्रक्रिया द्वारा, नियंत्रण कानून <math>u_y(\mathbf{y}) \triangleq u_1(\mathbf{x},z_1)</math> ऊपरी भाग को स्थिर करता है <math>z_2</math>-को-{{math|'''y'''}} ल्यपुनोव फ़ंक्शन का उपयोग कर सबसिस्टम <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math>, और इसलिए समीकरण ({{EquationNote|5}}) | एकल-एकीकरणकर्ता प्रक्रिया द्वारा, नियंत्रण कानून <math>u_y(\mathbf{y}) \triangleq u_1(\mathbf{x},z_1)</math> ऊपरी भाग को स्थिर करता है <math>z_2</math>-को-{{math|'''y'''}} ल्यपुनोव फ़ंक्शन का उपयोग कर सबसिस्टम <math>V_1(\mathbf{x},z_1)</math>, और इसलिए समीकरण ({{EquationNote|5}}) नया सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम है जो संरचनात्मक रूप से समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम के बराबर है ({{EquationNote|1}}). तो स्थिर नियंत्रण <math>u_2</math> उसी एकल-इंटीग्रेटर प्रक्रिया का उपयोग करके पाया जा सकता है जिसका उपयोग खोजने के लिए किया गया था <math>u_1</math>. | ||
===अनेक-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग=== | ===अनेक-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग=== | ||
दो-इंटीग्रेटर मामले में, ऊपरी सिंगल-इंटीग्रेटर सबसिस्टम को | दो-इंटीग्रेटर मामले में, ऊपरी सिंगल-इंटीग्रेटर सबसिस्टम को नया सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम प्रदान करते हुए स्थिर किया गया था जिसे समान रूप से स्थिर किया जा सकता है। इस पुनरावर्ती प्रक्रिया को किसी भी सीमित संख्या में इंटीग्रेटर्स को संभालने के लिए बढ़ाया जा सकता है। इस दावे को औपचारिक रूप से [[गणितीय प्रेरण]] के साथ सिद्ध किया जा सकता है। यहां, पहले से स्थिर मल्टीपल-इंटीग्रेटर सबसिस्टम के सबसिस्टम से स्थिर मल्टीपल-इंटीग्रेटर सिस्टम बनाया गया है। | ||
* सबसे पहले, गतिशील प्रणाली पर विचार करें | * सबसे पहले, गतिशील प्रणाली पर विचार करें | ||
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**<math>f_x(\mathbf{x}) = \mathbf{0}</math> ताकि शून्य-इनपुट (यानी, <math>u_x = 0</math>) प्रणाली मूल बिंदु पर स्थिर बिंदु है <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>. इस मामले में, उत्पत्ति को प्रणाली का संतुलन कहा जाता है। | **<math>f_x(\mathbf{x}) = \mathbf{0}</math> ताकि शून्य-इनपुट (यानी, <math>u_x = 0</math>) प्रणाली मूल बिंदु पर स्थिर बिंदु है <math> \mathbf{x} = \mathbf{0}\,</math>. इस मामले में, उत्पत्ति को प्रणाली का संतुलन कहा जाता है। | ||
**फीडबैक नियंत्रण कानून <math>u_x(\mathbf{x})</math> प्रणाली को मूल बिंदु पर संतुलन पर स्थिर करता है। | **फीडबैक नियंत्रण कानून <math>u_x(\mathbf{x})</math> प्रणाली को मूल बिंदु पर संतुलन पर स्थिर करता है। | ||
**इस प्रणाली के अनुरूप | **इस प्रणाली के अनुरूप ल्यपुनोव फ़ंक्शन का वर्णन किया गया है <math>V_x(\mathbf{x})</math>. | ||
:अर्थात्, यदि आउटपुट बताता है {{math|'''x'''}} को वापस इनपुट में फीड किया जाता है <math>u_x</math> नियंत्रण कानून द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math>, फिर आउटपुट स्थिति (और ल्यपुनोव फ़ंक्शन) | :अर्थात्, यदि आउटपुट बताता है {{math|'''x'''}} को वापस इनपुट में फीड किया जाता है <math>u_x</math> नियंत्रण कानून द्वारा <math>u_x(\mathbf{x})</math>, फिर आउटपुट स्थिति (और ल्यपुनोव फ़ंक्शन) एकल गड़बड़ी के बाद मूल पर लौट आती है (उदाहरण के लिए, गैर-शून्य प्रारंभिक स्थिति या तेज गड़बड़ी के बाद)। यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण कानून द्वारा स्थिर है <math>u_x</math>. | ||
* इसके बाद, | * इसके बाद, इंटीग्रेटर को इनपुट से कनेक्ट करें <math>u_x</math> ताकि संवर्धित सिस्टम में इनपुट हो <math>u_1</math> (इंटीग्रेटर के लिए) और आउटपुट स्थिति {{math|'''x'''}}. परिणामी संवर्धित गतिशील प्रणाली है | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ | \dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ | ||
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:यह कैस्केड सिस्टम समीकरण के फॉर्म से मेल खाता है ({{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया समीकरण में स्थिर नियंत्रण कानून की ओर ले जाती है ({{EquationNote|3}}). यानी, अगर हम राज्यों को फीड बैक करते हैं <math>z_1</math> और {{math|'''x'''}} निवेश करने के लिए <math>u_1</math> नियंत्रण कानून के अनुसार | :यह कैस्केड सिस्टम समीकरण के फॉर्म से मेल खाता है ({{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया समीकरण में स्थिर नियंत्रण कानून की ओर ले जाती है ({{EquationNote|3}}). यानी, अगर हम राज्यों को फीड बैक करते हैं <math>z_1</math> और {{math|'''x'''}} निवेश करने के लिए <math>u_1</math> नियंत्रण कानून के अनुसार | ||
::<math>u_1(\mathbf{x},z_1)=-\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})-k_1(z_1-u_x(\mathbf{x})) + \frac{\partial u_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})z_1)</math> | ::<math>u_1(\mathbf{x},z_1)=-\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})-k_1(z_1-u_x(\mathbf{x})) + \frac{\partial u_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})z_1)</math> | ||
: लाभ के साथ <math>k_1 > 0</math>, फिर राज्य <math>z_1</math> और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math> और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> | : लाभ के साथ <math>k_1 > 0</math>, फिर राज्य <math>z_1</math> और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math> और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> ही झंझट के बाद. यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण कानून द्वारा स्थिर है <math>u_1</math>, और समीकरण से संबंधित ल्यपुनोव फ़ंक्शन ({{EquationNote|2}}) है | ||
::<math>V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2</math> | ::<math>V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2</math> | ||
:अर्थात, फीडबैक नियंत्रण कानून के तहत <math>u_1</math>, ल्यपुनोव फ़ंक्शन <math>V_1</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है। | :अर्थात, फीडबैक नियंत्रण कानून के तहत <math>u_1</math>, ल्यपुनोव फ़ंक्शन <math>V_1</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है। | ||
* इनपुट के लिए | * इनपुट के लिए नया इंटीग्रेटर कनेक्ट करें <math>u_1</math> ताकि संवर्धित सिस्टम में इनपुट हो <math>u_2</math> और आउटपुट स्थितियाँ {{math|'''x'''}}. परिणामी संवर्धित गतिशील प्रणाली है | ||
::<math>\begin{cases} | ::<math>\begin{cases} | ||
\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ | \dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ | ||
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:यह प्रणाली समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना से मेल खाती है।{{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया को फिर से लागू किया जा सकता है। यानी, अगर हम राज्यों को फीड बैक करते हैं <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, और {{math|'''x'''}} निवेश करने के लिए <math>u_2</math> नियंत्रण कानून के अनुसार | :यह प्रणाली समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना से मेल खाती है।{{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया को फिर से लागू किया जा सकता है। यानी, अगर हम राज्यों को फीड बैक करते हैं <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, और {{math|'''x'''}} निवेश करने के लिए <math>u_2</math> नियंत्रण कानून के अनुसार | ||
::<math>u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)=-\frac{\partial V_1}{\partial \mathbf{x}_1 } g_1(\mathbf{x}_1)-k_2(z_2-u_1(\mathbf{x}_1)) + \frac{\partial u_1}{\partial \mathbf{x}_1}(f_1(\mathbf{x}_1)+g_1(\mathbf{x}_1)z_2)</math> | ::<math>u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)=-\frac{\partial V_1}{\partial \mathbf{x}_1 } g_1(\mathbf{x}_1)-k_2(z_2-u_1(\mathbf{x}_1)) + \frac{\partial u_1}{\partial \mathbf{x}_1}(f_1(\mathbf{x}_1)+g_1(\mathbf{x}_1)z_2)</math> | ||
:लाभ के साथ <math>k_2 > 0</math>, फिर राज्य <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math>, <math>z_2 = 0</math>, और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> | :लाभ के साथ <math>k_2 > 0</math>, फिर राज्य <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math>, <math>z_2 = 0</math>, और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> ही झंझट के बाद. यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण कानून द्वारा स्थिर है <math>u_2</math>, और संबंधित ल्यपुनोव फ़ंक्शन है | ||
::<math>V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x}_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x}_1) )^2</math> | ::<math>V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x}_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x}_1) )^2</math> | ||
:अर्थात, फीडबैक नियंत्रण कानून के तहत <math>u_2</math>, ल्यपुनोव फ़ंक्शन <math>V_2</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है। | :अर्थात, फीडबैक नियंत्रण कानून के तहत <math>u_2</math>, ल्यपुनोव फ़ंक्शन <math>V_2</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है। | ||
| Line 303: | Line 302: | ||
:तो पुनः समूहित प्रणाली में समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना है ({{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया को फिर से लागू किया जा सकता है। यानी, अगर हम राज्यों को फीड बैक करते हैं <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, <math>z_3</math>, और {{math|'''x'''}} निवेश करने के लिए <math>u_3</math> नियंत्रण कानून के अनुसार | :तो पुनः समूहित प्रणाली में समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना है ({{EquationNote|1}}), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया को फिर से लागू किया जा सकता है। यानी, अगर हम राज्यों को फीड बैक करते हैं <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, <math>z_3</math>, और {{math|'''x'''}} निवेश करने के लिए <math>u_3</math> नियंत्रण कानून के अनुसार | ||
::<math>u_3(\mathbf{x},z_1,z_2,z_3)=-\frac{\partial V_2}{\partial \mathbf{x}_2 } g_2(\mathbf{x}_2)-k_3(z_3-u_2(\mathbf{x}_2)) + \frac{\partial u_2}{\partial \mathbf{x}_2}(f_2(\mathbf{x}_2)+g_2(\mathbf{x}_2)z_3)</math> | ::<math>u_3(\mathbf{x},z_1,z_2,z_3)=-\frac{\partial V_2}{\partial \mathbf{x}_2 } g_2(\mathbf{x}_2)-k_3(z_3-u_2(\mathbf{x}_2)) + \frac{\partial u_2}{\partial \mathbf{x}_2}(f_2(\mathbf{x}_2)+g_2(\mathbf{x}_2)z_3)</math> | ||
:लाभ के साथ <math>k_3 > 0</math>, फिर राज्य <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, <math>z_3</math>, और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math>, <math>z_2 = 0</math>, <math>z_3 = 0</math>, और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> | :लाभ के साथ <math>k_3 > 0</math>, फिर राज्य <math>z_1</math>, <math>z_2</math>, <math>z_3</math>, और {{math|'''x'''}} पर वापस आ जाएगा <math>z_1 = 0</math>, <math>z_2 = 0</math>, <math>z_3 = 0</math>, और <math> \mathbf{x}=\mathbf{0}\,</math> ही झंझट के बाद. यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण कानून द्वारा स्थिर है <math>u_3</math>, और संबंधित ल्यपुनोव फ़ंक्शन है | ||
::<math>V_3(\mathbf{x},z_1,z_2,z_3) = V_2(\mathbf{x}_2) + \frac{1}{2}( z_3 - u_2(\mathbf{x}_2) )^2</math> | ::<math>V_3(\mathbf{x},z_1,z_2,z_3) = V_2(\mathbf{x}_2) + \frac{1}{2}( z_3 - u_2(\mathbf{x}_2) )^2</math> | ||
:अर्थात, फीडबैक नियंत्रण कानून के तहत <math>u_3</math>, ल्यपुनोव फ़ंक्शन <math>V_3</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है। | :अर्थात, फीडबैक नियंत्रण कानून के तहत <math>u_3</math>, ल्यपुनोव फ़ंक्शन <math>V_3</math> जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है। | ||