अंकगणितीय औसत: Difference between revisions

Revision as of 10:36, 3 October 2023

गणित और सांख्यिकी में, अंकगणितीय माध्य ( /ˌærɪθˈmɛtɪk ˈmiːn/ arr-ith-MET-ik), अंकगणितीय औसत, या केवल माध्य या औसत (जब संदर्भ स्पष्ट होता है), संग्रह में संख्याओं की संख्या से विभाजित संख्याओं के संग्रह का योग होता है।^[1] संग्रह अधिकांशतः विशेष प्रयोग, अवलोकन संबंधी अध्ययन, या सर्वेक्षण (सांख्यिकी) से परिणामों का समूह होता है। इस प्रकार ''अंकगणित माध्य'' शब्द को कुछ गणित और सांख्यिकी संदर्भों में पसंद किया जाता है जिससे कि यह इसे अन्य प्रकार के साधनों, जैसे कि ज्यामितीय माध्य और अनुकूल माध्य से भिन्न करने में सहायता करता है।

गणित और सांख्यिकी के अतिरिक्त, अंकगणित माध्य अधिकांशतः अर्थशास्त्र, नृविज्ञान, इतिहास और लगभग प्रत्येक शैक्षणिक क्षेत्र में कुछ सीमा तक उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, प्रति व्यक्ति आय किसी देश की जनसंख्या की अंकगणितीय औसत आय होती है।

जबकि अंकगणित माध्य का उपयोग अधिकांशतः केंद्रीय प्रवृत्ति की सूची करने के लिए किया जाता है, यह शक्तिशाली आँकड़ा नहीं है। यह ग़ैर से अधिक (अधिकांश अन्य की तुलना में बहुत बड़ा या छोटा मान) प्रभावित होता है। इस प्रकार विषम वितरण के लिए, जैसे कि आय का वितरण जिसके लिए कुछ लोगों की आय अधिकांश लोगों की तुलना में अधिक होती है, अतः अंकगणितीय माध्य किसी की "मध्यम" की धारणा के साथ मेल नहीं खा सकता है। उस स्थिति में, माध्यिका जैसे मजबूत आँकड़े, केंद्रीय प्रवृत्ति का उत्तम विवरण प्रदान कर सकते हैं।

परिभाषा

डेटा समूह दिया गया $X=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}$ , अंकगणितीय माध्य (माध्य या औसत भी), निरूपित ${\bar {x}}$ (पढ़ना $x$ बार), $n$ मान $x_{1},\ldots ,x_{n}$ का माध्य है।^[2]

अंकगणित माध्य किसी डेटा समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला और सरलता से समझा जाने वाला माप है। सामान्यतः सांख्यिकी में, औसत शब्द केंद्रीय प्रवृत्ति के किसी भी माप को संदर्भित करता है। अवलोकन किए गए डेटा के समूह का अंकगणितीय माध्य प्रत्येक अवलोकन के संख्यात्मक मानों के योग के सामान्तर होता है, जिसे प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है। इस प्रकार सांकेतिक रूप से, मानों से युक्त डेटा समूह के लिए $x_{1},\dots ,x_{n}$ , अंकगणितीय माध्य सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}}{n}}

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( योग ऑपरेटर की व्याख्या के लिए, समेशन देखें।)

उदाहरण के लिए, यदि मासिक वेतन $10$ कर्मचारी हैं $\{2500,2700,2400,2300,2550,2650,2750,2450,2600,2400\}$ , तो अंकगणितीय माध्य है:

{\frac {2500+2700+2400+2300+2550+2650+2750+2450+2600+2400}{10}}=2530

यदि डेटा समूह सांख्यिकीय जनसंख्या है (अर्थात्, इसमें प्रत्येक संभव अवलोकन सम्मिलित है और न केवल उनका उपसमुच्चय), तब उस जनसंख्या के माध्य को जनसंख्या माध्य कहा जाता है और इसे ग्रीक वर्णमाला $\mu$ द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि डेटा समूह नमूनाकरण (सांख्यिकी) (जनसंख्या का उपसमूह) है, तब इसे नमूना माध्य कहा जाता है (जो डेटा समूह $X$ के लिए ${\overline {X}}$ के रूप में दर्शाया गया है)।

अंकगणित माध्य को समान रूप से सदिश (गणित और भौतिकी) के लिए अनेक आयामों में परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल अदिश (गणित) मान में परिभाषित किया जा सकता है। इसे अधिकांशतः केन्द्रक के रूप में जाना जाता है। सामान्यतः, जिससे कि अंकगणितीय माध्य उत्तल संयोजन है (अर्थात् इसके गुणांकों का योग $1$ होता है), इसे उत्तल स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल सदिश स्थान पर।

प्रेरक गुण

विशेष रूप से केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के रूप में अंकगणितीय माध्य में अनेक गुण होते हैं जो इसे रोचक बनाते हैं। इसमे सम्मिलित है:

यदि अंक $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ का माध्य ${\bar {x}}$ है, तब $(x_{1}-{\bar {x}})+\dotsb +(x_{n}-{\bar {x}})=0$ . तब से $x_{i}-{\bar {x}}$ किसी दी गई संख्या से माध्य की दूरी होती है, इस गुण की व्याख्या करने की विधि यह है कि माध्य के बाईं ओर की संख्या को दाईं ओर की संख्या द्वारा संतुलित किया जाता है। इस प्रकार माध्य ही एकमात्र ऐसी संख्या है जिसके लिए आंकड़ों में त्रुटियां और अवशेष (अनुमान से विचलन) का योग शून्य होता है। इसे यह कहते हुए भी व्याख्यायित किया जा सकता है कि कारण किसी भी वास्तविक संख्या के अर्थ में अनुवादिक समरूपता ${\overline {x+a}}={\bar {x}}+a$ है।
यदि ज्ञात संख्याओं के समूह के लिए विशिष्ट मान के रूप में एकल संख्या $x_{1},\dotsc ,x_{n}$ का उपयोग करना आवश्यक होता है, तब संख्याओं का अंकगणितीय माध्य यह सबसे अच्छा करता है जिससे कि यह विशिष्ट मान से वर्ग विचलन के योग को कम करता है। इसका योग ${(x_{i} - \bar{x})}^{}$

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 == परिभाषा ==
-[[डेटा सेट|डेटा समूह]] दिया गया <math>X=\{x_1,\ldots,x_n\}</math>, अंकगणितीय माध्य (माध्य या औसत भी), निरूपित <math>\bar{x}</math> (पढ़ना <math>x</math> बार),  <math>n</math> मान <math>x_1,\ldots,x_n</math> का माध्य है।<ref name="JM">{{cite book|last=Medhi|first=Jyotiprasad|title=Statistical Methods: An Introductory Text|url=https://books.google.com/books?id=bRUwgf_q5RsC|year=1992|publisher=New Age International|isbn=9788122404197|pages=53–58}}</ref>
+[[डेटा सेट|डेटा समूह]] दिया गया <math>X=\{x_1,\ldots,x_n\}</math>, अंकगणितीय माध्य (माध्य या औसत भी), निरूपित <math>\bar{x}</math> (पढ़ना <math>x</math> बार), <math>n</math> मान <math>x_1,\ldots,x_n</math> का माध्य है।<ref name="JM">{{cite book|last=Medhi|first=Jyotiprasad|title=Statistical Methods: An Introductory Text|url=https://books.google.com/books?id=bRUwgf_q5RsC|year=1992|publisher=New Age International|isbn=9788122404197|pages=53–58}}</ref>
 अंकगणित माध्य किसी डेटा समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला और सरलता से समझा जाने वाला माप है। सामान्यतः सांख्यिकी में, औसत शब्द केंद्रीय प्रवृत्ति के किसी भी माप को संदर्भित करता है। अवलोकन किए गए डेटा के समूह का अंकगणितीय माध्य प्रत्येक अवलोकन के संख्यात्मक मानों के योग के सामान्तर होता है, जिसे प्रेक्षणों की कुल संख्या से विभाजित किया जाता है। इस प्रकार सांकेतिक रूप से, मानों से युक्त डेटा समूह के लिए <math>x_1,\dots,x_n</math>, अंकगणितीय माध्य सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:
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 यदि डेटा समूह [[सांख्यिकीय जनसंख्या]] है (अर्थात्, इसमें प्रत्येक संभव अवलोकन सम्मिलित है और न केवल उनका उपसमुच्चय), तब उस जनसंख्या के माध्य को जनसंख्या माध्य कहा जाता है और इसे [[ग्रीक वर्णमाला]] <math>\mu</math>द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि डेटा समूह [[नमूनाकरण (सांख्यिकी)]] (जनसंख्या का उपसमूह) है, तब इसे [[नमूना माध्य]] कहा जाता है (जो डेटा समूह <math>X</math> के लिए <math>\overline{X}</math> के रूप में दर्शाया गया है)।
-अंकगणित माध्य को समान रूप से सदिश (गणित और भौतिकी) के लिए अनेक आयामों में परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल [[अदिश (गणित)]] मान  में परिभाषित किया जा सकता है। इसे अधिकांशतः [[केन्द्रक]] के रूप में जाना जाता है। सामान्यतः, जिससे कि अंकगणितीय माध्य [[उत्तल संयोजन]] है (अर्थात् इसके गुणांकों का योग <math>1</math> होता है), इसे [[उत्तल स्थान]] पर परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल सदिश स्थान पर।
+अंकगणित माध्य को समान रूप से सदिश (गणित और भौतिकी) के लिए अनेक आयामों में परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल [[अदिश (गणित)]] मान में परिभाषित किया जा सकता है। इसे अधिकांशतः [[केन्द्रक]] के रूप में जाना जाता है। सामान्यतः, जिससे कि अंकगणितीय माध्य [[उत्तल संयोजन]] है (अर्थात् इसके गुणांकों का योग <math>1</math> होता है), इसे [[उत्तल स्थान]] पर परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल सदिश स्थान पर।
 == प्रेरक गुण ==
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 === सतत संभाव्यता वितरण ===
-[[File:Comparison mean median mode.svg|thumb|300px|दो [[ लॉग-सामान्य वितरण |लॉग-सामान्य वितरण]] की तुलना समान माध्यिका के साथ, किन्तु भिन्न-भिन्न [[तिरछापन]], जिसके परिणामस्वरूप विभिन्न साधन और मोड (आँकड़े) होते हैं]]यदि कोई संख्यात्मक गुण, और उससे प्राप्त डेटा का कोई भी नमूना, उदाहरण के लिए, केवल पूर्णांकों के अतिरिक्त निरंतर श्रेणी से कोई भी मान ले सकता है, तब किसी संख्या के संभावित मानों की किसी सीमा में गिरने की [[संभावना]] को एकीकृत करके वर्णित किया जा सकता है। इस श्रेणी में [[निरंतर संभाव्यता वितरण]], तब भी जब नमूना संख्या के लिए असीम रूप से अनेक से निश्चित मान लेने की सहज संभावना शून्य होती है। इस संदर्भ में, भारित औसत का एनालॉग, जिसमें प्रत्येक श्रेणी में चर के त्रुटिहीन मान के लिए अपरिमित रूप से अनेक संभावनाएँ होती हैं, अतः संभाव्यता बंटन का माध्य कहलाता है। इस प्रकार सबसे व्यापक रूप से सामना किए जाने वाले संभाव्यता वितरण को [[सामान्य वितरण]] कहा जाता है। इसकी संपत्ति है कि इसकी केंद्रीय प्रवृत्ति के सभी उपाय, न केवल माध्य किंतु ऊपर वर्णित माध्यिका और मोड (तीन एमएस),<ref name=ThreeMs>{{cite web|url=https://www.visualthesaurus.com/cm/lessons/the-three-ms-of-statistics-mode-median-mean/|title=The Three M's of Statistics: Mode, Median, Mean June 30, 2010|website=www.visualthesaurus.com|author=Thinkmap Visual Thesaurus|date=2010-06-30|access-date=2018-12-03}}</ref> सामान्तर होते हैं। यह समानता अन्य संभाव्यता वितरणों के लिए नहीं होता है, जैसा कि यहां लॉग-सामान्य वितरण के लिए सचित्र होता है।
+[[File:Comparison mean median mode.svg|thumb|300px|'''दो [[ लॉग-सामान्य वितरण |लॉग-सामान्य वितरण]] की तुलना समान माध्यिका के साथ, किन्तु भिन्न-भिन्न [[तिरछापन]], जिसके परिणामस्वरूप विभिन्न साधन और मोड (आँकड़े) होते हैं''']]यदि कोई संख्यात्मक गुण, और उससे प्राप्त डेटा का कोई भी नमूना, उदाहरण के लिए, केवल पूर्णांकों के अतिरिक्त निरंतर श्रेणी से कोई भी मान ले सकता है, तब किसी संख्या के संभावित मानों की किसी सीमा में गिरने की [[संभावना]] को एकीकृत करके वर्णित किया जा सकता है। इस श्रेणी में [[निरंतर संभाव्यता वितरण]], तब भी जब नमूना संख्या के लिए असीम रूप से अनेक से निश्चित मान लेने की सहज संभावना शून्य होती है। इस संदर्भ में, भारित औसत का एनालॉग, जिसमें प्रत्येक श्रेणी में चर के त्रुटिहीन मान के लिए अपरिमित रूप से अनेक संभावनाएँ होती हैं, अतः संभाव्यता बंटन का माध्य कहलाता है। इस प्रकार सबसे व्यापक रूप से सामना किए जाने वाले संभाव्यता वितरण को [[सामान्य वितरण]] कहा जाता है। इसकी संपत्ति है कि इसकी केंद्रीय प्रवृत्ति के सभी उपाय, न केवल माध्य किंतु ऊपर वर्णित माध्यिका और मोड (तीन एमएस),<ref name=ThreeMs>{{cite web|url=https://www.visualthesaurus.com/cm/lessons/the-three-ms-of-statistics-mode-median-mean/|title=The Three M's of Statistics: Mode, Median, Mean June 30, 2010|website=www.visualthesaurus.com|author=Thinkmap Visual Thesaurus|date=2010-06-30|access-date=2018-12-03}}</ref> सामान्तर होते हैं। यह समानता अन्य संभाव्यता वितरणों के लिए नहीं होता है, जैसा कि यहां लॉग-सामान्य वितरण के लिए सचित्र होता है।
 === कोण ===
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 *{{cite book|last=Huff|first=Darrell|title=How to Lie with Statistics|year=1993|publisher=W. W. Norton|isbn=978-0-393-31072-6|url-access=registration|url=https://archive.org/details/howtoliewithstat00huff}}
 ==बाहरी संबंध==
-*[http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm Calculations and comparisons between arithmetic mean and geometric mean of two numbers]
+*[http://www.sengpielaudio.com/calculator-geommean.htm दो संख्याओं के अंकगणितीय माध्य और ज्यामितीय माध्य के बीच गणना और तुलना]
-*[http://www.fxsolver.com/browse/formulas/Arithmetic+Mean Calculate the arithmetic mean of a series of numbers on fxSolver]
+*[http://www.fxsolver.com/browse/formulas/Arithmetic+Mean fxSolver पर संख्याओं की श्रृंखला के अंकगणितीय माध्य की गणना करें]
 {{DEFAULTSORT:Arithmetic Mean}}[[Category: साधन]]

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