संलग्न समीकरण

संलग्न समीकरण एक रैखिक अंतर समीकरण है, जो सामान्यतः भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके इसके प्रारंभिक समीकरण से प्राप्त होता है। ब्याज की विशेष मात्रा के संबंध में क्रमिक मूल्यों की गणना संलग्न समीकरण का समाधान कुशलतापूर्वक किया जा सकता है। संलग्न समीकरणों के समाधान पर आधारित विधियों का उपयोग पंख आकार अनुकूलन, प्रवाह नियंत्रण (द्रव) और अनिश्चितता मात्रा निर्धारण में किया जाता है।

उदाहरण: संवहन-प्रसार पीडीई

प्रारंभिक समाधान के लिए निम्नलिखित रैखिक, अदिश संवहन-प्रसार समीकरण $u({\vec {x}})$ पर विचार किया जाता है, डोमेन में $\Omega$ डिरिचलेट सीमा नियम के अनुसार है:

${\begin{aligned}\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)&=f,\qquad {\vec {x}}\in \Omega ,\\u&=b,\qquad {\vec {x}}\in \partial \Omega .\end{aligned}}$

मान लीजिए कि ब्याज का आउटपुट निम्नलिखित रैखिक कार्यात्मक है:

$J(u)=\int _{\Omega }gu\ dV.$

प्रारंभिक समीकरण को भारित फलन से गुणा करके वीक सूत्रीकरण $w({\vec {x}})$ प्राप्त किया जाता है और भागों द्वारा एकीकरण करना:

${\begin{aligned}B(u,w)&=L(w),\end{aligned}}$

जहाँ,

${\begin{aligned}B(u,w)&=\int _{\Omega }w\nabla \cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV\\&=\int _{\partial \Omega }w\left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)\cdot {\vec {n}}dA-\int _{\Omega }\nabla w\cdot \left({\vec {c}}u-\mu \nabla u\right)dV,\qquad {\text{(Integration by parts)}}\\L(w)&=\int _{\Omega }wf\ dV.\end{aligned}}$

फिर, अत्यंत सूक्ष्म व्यर्थता पर विचार किया जाता है $L(w)$ जो कि अत्यंत सूक्ष्म परिवर्तन उत्पन्न करता है $u$ के निम्नलिखित नुसार:

${\begin{aligned}B(u+u',w)&=L(w)+L'(w)\\B(u',w)&=L'(w).\end{aligned}}$

ध्यान दें कि समाधान व्यर्थता $u'$ सीमा पर विलुप्त हो जाना चाहिए, क्योंकि डिरिक्लेट सीमा $\partial \Omega$ की स्थिति में परिवर्तन की अनुमति नहीं है।

उपरोक्त वीक रूप और जोड़ $\psi ({\vec {x}})$