वक्र: Difference between revisions

Revision as of 13:32, 16 November 2022

एक परवलय , सबसे सरल वक्रों में से एक, (सीधी) रेखाओं के बाद

गणित में, वक्र (जिसे पुराने ग्रंथों में एक वक्रित रेखा भी कहा जाता है) एक रेखा के समान एक विषय है, परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि वह सीधा हो।

सहज रूप से, किसी गतिमान बिंदुको एक स्थान से छोड़ने पर प्राप्त वक्रित रेखा के रूप में विचारित किया जा सकता है। यह वह परिभाषा है जो यूक्लिड के तत्वों में 2000 से भी अधिक वर्ष पहले दिखाई दी थी: "[वक्रित] रेखा^{[lower-alpha 1]} [...] मात्रा की पहली प्रजाति है, जिसका केवल एक ही आयाम होता है, अर्थात् लंबाई, बिना किसी चौड़ाई या गहराई के, तथा बिंदु के प्रवाह या भाग के अलावा तथा कुछ नहीं है जो [...] अपनी काल्पनिकता से लंबाई में कुछ अवशेष छोड़ देगा, किसी भी चौड़ाई से मुक्त होगा।"^[1]

आधुनिक गणित में वक्र की इस परिभाषा को औपचारिक रूप दिया गया है: वक्र एक अंतराल की छवि है जो एक सतत फलन द्वारा एक सांस्थितिक (टोपोलॉजिकल) समष्टि के लिए होता है। कुछ संदर्भों में, फलन जो वक्र को परिभाषित करता है उसे प्राचलीकरण (पैरामीट्रिजेशन) कहा जाता है, तथा वक्र एक पैरामीट्रिक वक्र होता है। इस लेख में, इन वक्रों को कभी-कभी सांस्थितिक वक्र कहा जाता है ताकि उन्हें अलग-अलग वक्रों जैसे अलग-अलग वक्रों से अलग किया जा सके। यह परिभाषा गणित में अध्ययन किए जाने वाले अधिकांश वक्रों को शामिल करती है; उल्लेखनीय अपवाद स्तर वक्र हैं (जो वक्र तथा अलग-अलग बिंदुओं के संघ हैं), तथा बीजगणितीय वक्र (नीचे देखें)। स्तर वक्र तथा बीजगणितीय वक्रों को कभी-कभी अंतर्निहित वक्र कहा जाता है, क्योंकि वे सामान्यतः अंतर्निहित समीकरणों द्वारा परिभाषित होते हैं।

फिर भी, सांस्थितिक वक्रों का वर्गीकरण बहुत व्यापक होता है, तथा इसमें कुछ वक्र होते हैं जो किसी वक्र की अपेक्षा के अनुरूप नहीं दिखते हैं, या यहां तक कि खींचे नहीं जा सकते। यह स्थान-पूरक वक्र तथा भग्न वक्रों की स्थितियाँ है। अधिक नियमितता सुनिश्चित करने के लिए, वक्र को परिभाषित करने वाले फलन को प्रायः अवकलनीय माना जाता है, तथा वक्र को एक अवकलनीय वक्र कहा जाता है।

समतल बीजगणितीय वक्र दो अनिर्धारकों में बहुपद का शून्य समुच्चय होता है। सामान्यतः, एक बीजगणितीय वक्र बहुपदों के परिमित समुच्चय का शून्य समुच्चय होता है, जो एक आयाम के बीजगणितीय विविधता होने की आगे की स्थिति को पूरा करता है। यदि बहुपदों के गुणांक एक क्षेत्र $k$ से संबंधित हैं, तो वक्र को $k$ पर परिभाषित किया जाता है। एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र के सामान्य मामले में, जहाँ $k$ वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र है, बीजगणितीय वक्र सांस्थितिक वक्रों का एक परिमित संघ है। जब जटिल शून्यों पर विचार किया जाता है, तो एक जटिल बीजगणितीय वक्र होता है, जो सांस्थितिक दृष्टिकोण से, एक वक्र नहीं है, बल्कि एक सतह है, तथा प्रायः इसे रीमैन सतह कहा जाता है। हालांकि सामान्य ज्ञान में वक्र नहीं होने के बावजूद, अन्य क्षेत्रों में परिभाषित बीजगणितीय वक्रों का व्यापक अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, आधुनिक क्रिप्टोग्राफी में सीमित क्षेत्र पर बीजगणितीय वक्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

इतिहास

न्यूग्रेंज की महापाषाण कला वक्रों में प्रारंभिक रुचि दिखा रही है

वक्रों में रुचि गणितीय अध्ययन का विषय होने से बहुत पहले से ही शुरू हो गई थी। इसे कला में तथा प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं में उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है।^[2] वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय निरूपण, बनाने में सरल हैं, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ।

ऐतिहासिक रूप से, शब्द रेखा का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द वक्र के स्थान पर किया जाता था। इसलिए सीधी रेखा तथा दाहिनी रेखा शब्दों का इस्तेमाल वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ। 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ। 3)।^[3] बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:^[4]

समग्र रेखाएँ (कोण बनाने वाली रेखाएँ)
मिश्रित पंक्तियाँ
- निर्धारित करें (ऐसी रेखाएं जो अनिश्चित काल तक विस्तारित नहीं होती हैं, जैसे वृत्त)
- अनिश्चित (ऐसी रेखाएं जो अनिश्चित काल तक विस्तारित होती हैं, जैसे कि सीधी रेखा तथा परवलय)

एक शंकु (शंकु खंड ) को काटकर बनाए गए वक्र प्राचीन ग्रीस में अध्ययन किए गए वक्रों में से थे।

ग्रीक जियोमीटर ने कई अन्य प्रकार के वक्रों का अध्ययन किया था। एक कारण ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में उनकी रुचि थी जिसे मानक कंपास तथा स्ट्रेटएज निर्माण का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था। इन वक्रों में शामिल हैं:इन वक्रों में शामिल हैं:

पेरगा के एपोलोनियस द्वारा गहराई से अध्ययन किए गए शंकु वर्ग
डिओक्लेस के सिस्सोइड, डिओक्लेस द्वारा अध्ययन किया गया तथा घन को दोगुना करने के लिए एक विधि के रूप में उपयोग किया जाता है।^[5]
निकोमेड्स का शंखभ, निकोमेडिस द्वारा घन को दोगुना करने तथा एक कोण को समत्रिभाजित करने की एक विधि के रूप में अध्ययन किया गया।^[6]
आर्किमिडीज सर्पिल, जिसका अध्ययन आर्किमिडीज़ द्वारा एक कोण को समद्विभाजित करने तथा वृत्त को वर्गाकार करने की एक विधि के रूप में किया गया था।^[7]
स्पाइरिक सेक्शन, पर्सियस द्वारा शंकु के वर्गों के रूप में अध्ययन किए गए टोरी के वर्गों का अध्ययन एपोलोनियस द्वारा किया गया था।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति ने वक्रों की अनुमति दी, जैसे कि डेसकार्टेस के फोलियम, को ज्यामितीय निर्माण के बजाय समीकरणों का उपयोग करके परिभाषित किया जाना चाहिए।

सत्रहवीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा विश्लेषणात्मक ज्यामिति की शुरुआत कर्व के सिद्धांत में एक मौलिक प्रगति थी। इसने एक वक्र को एक विस्तृत ज्यामितीय निर्माण के बजाय एक समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया। इसने न केवल नए वक्रों को परिभाषित तथा अध्ययन करने की अनुमति दी, बल्कि इसने बीजगणितीय वक्रों के बीच एक औपचारिक अंतर को सक्षम किया जिसे बहुपद समीकरणों का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, तथा ट्रान्सेंडैंटल वक्र जो नहीं कर सकते हैं। पहले, वक्रों को "ज्यामितीय" या "मैकेनिकल" के रूप में वर्णित किया गया था, इस आधार पर कि वे कैसे उत्पन्न हुए थे, या माना जा सकता था।^[2]

केप्लर द्वारा खगोल विज्ञान में शंकु वर्गों का प्रयोग किया गया था। न्यूटन ने विभिन्नताओं की कलन में एक प्रारंभिक उदाहरण पर भी फलन किया। वैरिएबल समस्याओं के समाधान, जैसे कि ब्राचिस्टोक्रोन तथा टॉटोक्रोन प्रश्न, वक्र के गुणों को नए तरीकों से पेश करते हैं (इस मामले में, चक्रज)। कैटेनरी का नाम हैंगिंग चेन की समस्या के समाधान के रूप में मिलता है, एक ऐसा प्रश्न जो डिफरेंशियल कैलकुलस के माध्यम से नियमित रूप से सुलभ हो गया।

अठारहवीं शताब्दी में, सामान्य तौर पर समतल बीजगणितीय वक्रों के सिद्धांत की शुरुआत हुई। न्यूटन ने क्यूबिक वक्रों का अध्ययन किया था, वास्तविक बिंदुओं के सामान्य विवरण में 'अंडाकार'। बेज़ाउट के प्रमेय के बयान ने कई पहलुओं को दिखाया जो कि उस समय की ज्यामिति के लिए सीधे सुलभ नहीं थे, एकवचन बिंदुओं तथा जटिल समाधानों के साथ करना।

उन्नीसवीं सदी के बाद से, वक्र सिद्धांत को कई गुना तथा बीजगणितीय किस्मों के सिद्धांत के आयाम के विशेष मामले के रूप में देखा जाता है। फिर भी, कई प्रश्न घटता के लिए विशिष्ट हैं, जैसे कि स्थान भरने वाले वक्र, जॉर्डन वक्र प्रमेय तथा हिल्बर्ट की सोलहवीं समस्या।

सांस्थितिक कर्व

एक सांस्थितिक कर्व को वास्तविक संख्याओं के अंतराल $I$ से एक सांस्थितिक समष्टि $X$ में एक सतत फलन $\gamma \colon I\rightarrow X$ द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। ठीक से बोलना, वक्र $\gamma .$ की छवि है। हालांकि, कुछ संदर्भों में, $\gamma$ को ही एक वक्र कहा जाता है, विशेष रूप से जब छवि वैसी नहीं दिखती है जिसे सामान्यतः वक्र कहा जाता है तथा यह पर्याप्त रूप से $\gamma .$ को चित्रित नहीं करती है।

उदाहरण के लिए, पीनो वक्र की छवि या, अधिक सामान्यतः, एक स्थान-भरने वाला वक्र पूरी तरह से एक वर्ग भरता है, तथा इसलिए $\gamma$ को कैसे परिभाषित किया जाता है, इस पर कोई जानकारी नहीं देता है।

एक वक्र $\gamma$ बंद है^[8] या एक लूप है यदि $I=[a,b]$ तथा $\gamma (a)=\gamma (b)$ है। इस प्रकार एक बंद वक्र एक वृत्त के निरंतर मानचित्रण की छवि है।

यदि एक सांस्थितिक वक्र का डोमेन एक बंद तथा परिबद्ध अंतराल $I=[a,b]$ है, तो वक्र को एक पथ कहा जाता है, जिसे सांस्थितिक आर्क (या सिर्फ आर्क) भी कहा जाता है।

एक वक्र सरल होता है यदि यह एक अंतःक्षेपण या अंतःक्षेपी सतत फलन द्वारा एक वृत्त की छवि हो। दूसरे शब्दों में, यदि एक वक्र को एक डोमेन के रूप में एक अंतराल के साथ एक निरंतर फलन $\gamma$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो वक्र सरल होता है यदि तथा केवल यदि अंतराल के किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग छवियां हों, सिवाय इसके कि, यदि बिंदु अंतराल के अंत बिंदु हैं। सहज रूप से, एक साधारण वक्र एक वक्र है जो "स्वयं को पार नहीं करता है तथा कोई लापता बिंदु नहीं है" (एक सतत गैर-स्व-प्रतिच्छेदी वक्र)।^[9]

एक सकारात्मक क्षेत्र के साथ एक ड्रैगन वक्र

एक समतल सरल बंद वक्र को जॉर्डन वक्र भी कहते हैं। इसे विमान में एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन निरंतर लूप के रूप में भी परिभाषित किया गया है।^[10] जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक विमान में समुच्चय पूरक में दो जुड़े घटक होते हैं (अर्थात वक्र विमान को दो गैर-प्रतिच्छेदन क्षेत्रों में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)।

एक समतल वक्र एक वक्र है जिसके लिए $X$ यूक्लिडियन तल है - ये ऐसे उदाहरण हैं जो पहली बार मिले हैं - या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। स्पेस कर्व एक ऐसा कर्व है जिसके लिए $X$ कम से कम त्रि-आयामी है; तिरछा वक्र एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी तल में नहीं होता है। समतल, स्थान तथा तिरछा वक्रों की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय वक्रों पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र डिस्कनेक्ट हो सकता है)।

एक वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े शामिल होते हैं जिन्हें आम उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र की छवि समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक वर्ग को कवर कर सकती है तथा इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है।^[11] फ्रैक्टल वक्रों में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, एक फ्रैक्टल वक्र का हॉसडॉर्फ आयाम एक से बड़ा हो सकता है (कोच स्नोफ्लेक देखें) तथा यहां तक कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन कर्व है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण होते हैं।

विभेदनीय वक्र

मोटे तौर पर एक अलग-अलग वक्र बोलना एक वक्र है जिसे स्थानीय रूप से एक इंजेक्शन अलग-अलग फलन $\gamma \colon I\rightarrow X$ की छवि के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वास्तविक संख्याओं के अंतराल $I$ से एक अलग-अलग कई गुना $X$ , प्रायः $\mathbb {R} ^{n}$ में होता है।

अधिक सटीक रूप से, एक अवकलनीय वक्र $X$ का एक उपसमुच्चय $C$ होता है, जहां $C$ के प्रत्येक बिंदु का पड़ोस $U$ होता है, जैसे कि $C\cap U$ वास्तविक संख्याओं के अंतराल के लिए भिन्न होता है।^{[clarification needed]} दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय वक्र, आयाम एक का भिन्न-भिन्न बहुगुणित होता है।

अवकलनीय चाप

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक चाप (प्रतीक: ) एक अवकलनीय वक्र का एक जुड़ा उपसमुच्चय होता है।

रेखाओं के चापों को खंड, किरणें या रेखाएँ कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे किस प्रकार परिबद्ध हैं।

एक सामान्य वक्रित उदाहरण एक वृत्त का चाप है, जिसे एक वृत्ताकार चाप कहा जाता है।

एक गोले (या एक गोलाकार) में, एक बड़े वृत्त (या एक महान दीर्घवृत्त) के एक चाप को एक बड़ा चाप कहा जाता है।

वक्र की लंबाई

यदि $X=\mathbb {R} ^{n}$ $n$ -आयामी यूक्लिडियन स्थान है, तथा यदि $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ एक इंजेक्शन तथा लगातार अलग-अलग फलन है, तो $\gamma$ की लंबाई को मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.

वक्र की लंबाई पैरामीट्रिजेशन $\gamma$ से स्वतंत्र है।

विशेष रूप से, एक बंद अंतराल $[a,b]$ पर परिभाषित एक सतत भिन्न फलन $y=f(x)$ के ग्राफ की लंबाई $s$ है

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x}.

अधिक सामान्यतः, यदि $X$ मीट्रिक $d$ के साथ एक मीट्रिक स्थान है, तो हम वक्र $\gamma :[a,b]\to X$ की लंबाई को परिभाषित कर सकते हैं

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},

जहां सर्वोच्चता सभी $n\in \mathbb {N}$ तथा $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ के सभी विभाजनों $[a,b]$ पर ले ली गई है।

एक सुधार योग्य वक्र एक परिमित लंबाई वाला वक्र है। एक वक्र $\gamma :[a,b]\to X$ को प्राकृतिक (या इकाई-गति या चाप लंबाई द्वारा पैरामीट्रिज्ड) कहा जाता है यदि किसी भी $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ के लिए $t_{1}\leq t_{2}$ , हमारे पास है

\operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.

यदि $\gamma :[a,b]\to X$ एक लिप्सचिट्ज़-निरंतर फलन है, तो यह स्वतः सुधार योग्य है। इसके अलावा, इस मामले में, कोई $\gamma$ की गति (या मीट्रिक व्युत्पन्न) को $t\in [a,b]$ पर परिभाषित कर सकता है

{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}

तथा फिर दिखाओ कि

\operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.

विभेदक ज्यामिति

जबकि मिलने वाले वक्रों के पहले उदाहरण ज्यादातर समतल वक्र हैं (अर्थात, रोज़मर्रा के शब्दों में, द्वि-आयामी अंतरिक्ष में वक्रित रेखाएँ), ऐसे स्पष्ट उदाहरण हैं जैसे कि हेलिक्स जो तीन आयामों में स्वाभाविक रूप से मौजूद हैं। ज्यामिति की जरूरतें, तथा उदाहरण के लिए शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए किसी भी संख्या में आयामों के अंतरिक्ष में वक्र की धारणा होना है। सामान्य सापेक्षता में, स्पेसटाइम में एक विश्व रेखा एक वक्र है।

यदि $X$ एक अवकलनीय गुणक है, तो हम $X$ में अवकलनीय वक्र की धारणा को परिभाषित कर सकते हैं। यह सामान्य विचार गणित में वक्रों के अनेक अनुप्रयोगों को समाविष्ट करने के लिए पर्याप्त है। स्थानीय दृष्टिकोण से कोई भी $X$ को यूक्लिडियन स्थान मान सकता है। दूसरी ओर, यह अधिक सामान्य होना उपयोगी है, इसमें (उदाहरण के लिए) वक्र की इस धारणा के माध्यम से स्पर्शरेखा सदिशों को $X$ में परिभाषित करना संभव है।

यदि $X$ एक चिकने मैनिफ़ोल्ड है, तो $X$ में एक स्मूद कर्व एक स्मूद मैप है

\gamma \colon I\rightarrow X

.

यह एक मूल धारणा है। कम तथा अधिक सीमित विचार भी हैं। यदि $X$ $C^{k}$ कई गुना है (यानी, एक कई गुना जिसका चार्ट लगातार $k$ बार अलग-अलग होता है), तो $X$ में एक $C^{k}$ वक्र ऐसा वक्र होता है जिसे केवल $C^{k}$ माना जाता है (यानी $k$ बार निरंतर अलग-अलग होता है)। यदि $X$ एक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है (अर्थात असीम रूप से भिन्न तथा चार्ट शक्ति श्रृंखला के रूप में अभिव्यक्त होते हैं), तथा $\gamma$ एक विश्लेषणात्मक नक्शा है, तो $\gamma$ को एक विश्लेषणात्मक वक्र कहा जाता है।

एक अवकलनीय वक्र को नियमित कहा जाता है यदि इसकी व्युत्पत्ति कभी लुप्त न हो। (शब्दों में, एक नियमित वक्र कभी भी रुकने के लिए धीमा नहीं होता या अपने आप पीछे नहीं हटता।) दो $C^{k}$ अलग-अलग वक्र

\gamma _{1}\colon I\rightarrow X

तथा

\gamma _{2}\colon J\rightarrow X

एक आपत्ति होने पर समकक्ष कहा जाता है $C^{k}$ नक्शा

p\colon J\rightarrow I

ऐसा है कि उलटा नक्शा

p^{-1}\colon I\rightarrow J

ई आल्सो $C^{k}$ , तथा

\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))

सभी $t$ के लिए मानचित्र $\gamma _{2}$ को $\gamma _{1}$ का पुन:परमिश्रण कहा जाता है; तथा यह $X$ में सभी $C^{k}$ अवकलनीय वक्रों के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध बनाता है। एक $C^{k}$ चाप पुनर्मूल्यांकन के संबंध के तहत $C^{k}$ वक्रों का एक तुल्यता वर्ग है।

बीजगणितीय वक्र

बीजगणितीय वक्र वे वक्र हैं जिन्हें बीजगणितीय ज्यामिति में माना जाता है। एक समतल बीजगणितीय वक्र निर्देशांक $x, y$ के बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि $f (x, y) = 0$ , जहां $f$ किसी क्षेत्र $F$ पर परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है। एक कहता है कि वक्र $F$ पर परिभाषित है। बीजगणितीय ज्यामिति सामान्यतः न केवल $F$ में निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार करती है बल्कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र $K$ में निर्देशांक वाले सभी बिंदुओं पर विचार करती है।

यदि C, F में गुणांकों वाले बहुपद $f$ द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तो वक्र को $F$ के ऊपर परिभाषित किया गया है।

वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित एक वक्र के मामले में, सामान्य रूप से जटिल निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार किया जाता है। इस मामले में, वास्तविक निर्देशांक वाला एक बिंदु एक वास्तविक बिंदु होता है, तथा सभी वास्तविक बिंदुओं का समुच्चय वक्र का वास्तविक भाग होता है। इसलिए यह केवल एक बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग है जो एक सामयिक वक्र हो सकता है (यह हमेशा मामला नहीं होता है, क्योंकि बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग डिस्कनेक्ट हो सकता है तथा इसमें अलग-अलग बिंदु शामिल हो सकते हैं)। संपूर्ण वक्र, जो इसके जटिल बिंदु का समुच्चय है, स्थलीय दृष्टिकोण से एक सतह है। विशेष रूप से, गैर-एकवचन जटिल प्रक्षेपी बीजगणितीय वक्रों को रिमेंन सतह कहा जाता है।

एक क्षेत्र $G$ में निर्देशांक वाले वक्र $C$ के बिंदु $G$ के ऊपर परिमेय कहे जाते हैं तथा इन्हें $C (G)$ से दर्शाया जा सकता है। जब $G$ परिमेय संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो व्यक्ति केवल परिमेय बिंदुओं की बात करता है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को इस प्रकार पुनर्कथित किया जा सकता है: $n > 2$ के लिए, डिग्री $n$ के फ़र्मेट वक्र के प्रत्येक तर्कसंगत बिंदु का शून्य निर्देशांक होता है।

बीजगणितीय वक्र स्थान वक्र भी हो सकते हैं, या उच्च आयाम वाले स्थान में वक्र हो सकते हैं, जैसे कि $n$ । उन्हें आयाम एक के बीजगणितीय किस्मों के रूप में परिभाषित किया गया है। उन्हें n चरों में कम से कम $n -1$ बहुपद समीकरणों के सामान्य हल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। यदि $n -1$ बहुपद आयाम $n$ के एक स्थान में एक वक्र को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं, तो वक्र को एक पूर्ण प्रतिच्छेदन कहा जाता है। चर को समाप्त करके (उन्मूलन सिद्धांत के किसी भी उपकरण द्वारा), एक बीजगणितीय वक्र को समतल बीजगणितीय वक्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है, जो हालांकि क्यूप्स या दोहरे बिंदुओं जैसी नई विलक्षणता का परिचय दे सकता है।

प्रोजेक्टिव प्लेन में एक वक्र के लिए एक समतल वक्र भी पूरा किया जा सकता है: यदि एक वक्र को कुल डिग्री $d$ के बहुपद $f$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $w d f (u / w, v / w)$ एक सजातीय बहुपद $g (u, v, w)$ को सरल बनाता है। $u, v, w$ के मान जैसे कि $g (u, v, w) = 0$ प्रोजेक्टिव प्लेन में वक्र के पूरा होने के बिंदुओं के सजातीय निर्देशांक हैं तथा प्रारंभिक वक्र के अंक ऐसे हैं कि $w$ है शून्य नहीं। एक उदाहरण फ़र्मेट कर्व $u n + v n = w n$ है, जिसका एक affine रूप $x n + y n = 1$ है। उच्च आयामी स्थानों में घटता के लिए समरूपीकरण की एक समान प्रक्रिया को परिभाषित किया जा सकता है।

रेखाओं को छोड़कर, बीजगणितीय वक्रों के सबसे सरल उदाहरण शांकव हैं, जो दो डिग्री तथा जीनस शून्य के गैर-एकवचन वक्र हैं। अण्डाकार वक्र, जो कि जीनस एक के गैर-एकवचन वक्र हैं, संख्या सिद्धांत में अध्ययन किए जाते हैं, तथा क्रिप्टोग्राफी के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

यह भी देखें

समन्वय वक्र
झुर्रीदार चाप
वक्र फिटिंग
वक्र अभिविन्यास
वक्र रेखाचित्र
वक्रों की विभेदक ज्यामिति
वक्रों की गैलरी
वक्र विषयों की सूची
वक्रों की सूची
ओस्कुलेटिंग सर्कल
पैरामीट्रिक सतह
पथ (टोपोलॉजी)
बहुभुज वक्र
स्थिति वेक्टर
वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन
- अनंत-आयामी वेक्टर फ़ंक्शन
घुमावदार संख्या

संदर्भ

↑ In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).
↑ ^2.0 ^2.1 Lockwood p. ix
↑ Heath p. 153
↑ Heath p. 160
↑ Lockwood p. 132
↑ Lockwood p. 129
↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Spiral of Archimedes", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews
↑ This term my be ambiguous, as a non-closed curve may be a closed set, as is a line in a plane
↑ "Dictionary.com पर जॉर्डन आर्क परिभाषा। Dictionary.com संक्षिप्त। रैंडम हाउस, इंक". Dictionary.reference.com. Retrieved 2012-03-14.
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A.S. Parkhomenko (2001) [1994], "Line (curve)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
B.I. Golubov (2001) [1994], "Rectifiable curve", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
Euclid, commentary and trans. by T. L. Heath Elements Vol. 1 (1908 Cambridge) Google Books
E. H. Lockwood A Book of Curves (1961 Cambridge)

बाहरी संबंध

Famous Curves Index, School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland
Mathematical curves A collection of 874 two-dimensional mathematical curves
Gallery of Space Curves Made from Circles, includes animations by Peter Moses
Gallery of Bishop Curves and Other Spherical Curves, includes animations by Peter Moses
The Encyclopedia of Mathematics article on lines.
The Manifold Atlas page on 1-manifolds.

[1] In current mathematical usage, a line is straight. Previously lines could be either curved or straight.

[2] In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions, by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).

[Lockwood-3] 2.0 ^2.1 Lockwood p. ix

[4] Heath p. 153

[5] Heath p. 160

[6] Lockwood p. 132

[7] Lockwood p. 129

[8] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Spiral of Archimedes", MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews

[9] This term my be ambiguous, as a non-closed curve may be a closed set, as is a line in a plane

[10] "Dictionary.com पर जॉर्डन आर्क परिभाषा। Dictionary.com संक्षिप्त। रैंडम हाउस, इंक". Dictionary.reference.com. Retrieved 2012-03-14.

[11] Sulovský, Marek (2012). असतत ज्यामिति में गहराई, क्रॉसिंग और संघर्ष (in English). Logos Verlag Berlin GmbH. p. 7. ISBN 9783832531195.

[12] Osgood, William F. (January 1903). "सकारात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र". Transactions of the American Mathematical Society. American Mathematical Society. 4 (1): 107–112. doi:10.2307/1986455. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455.

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 {{short description|Mathematical idealization of the trace left by a moving point}}
 {{other uses}}
-[[File:Parabola.svg|right|thumb|एक [[ परवलय ]], सबसे सरल वक्रों में से एक, (सीधी) रेखाओं के बाद]]वक्र, जिसे गणित में भी सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त गणित ग्रंथों में वक्र रेखा कहा जाता है, गणितीय वस्तु है जो अक्षीय सीधी समतल [[ रेखा (ज्यामिति) |रेखाओं]] के समान या भिन्न है, घुमावदार रेखा एक सीधी रेखा नहीं है, लेकिन एक [[ समारोह |फ़ंक्शन]] हो सकती है, या घुमावदार रेखा एक गैर सीधी रेखा (गैर आयताकार वस्तु) का हिस्सा हो सकती है या एक गोले या गोलाकार वस्तु का हिस्सा, या एक घुमावदार विमान, आदि, और वहाँ भी अलग (यह "विपरीत नहीं" है, अर्थात लंबवत या समांतर नहीं है) [[ रैखिकता |सीधी]] रेखाओं के लिए है जो सीधे विमानों का हिस्सा हैं लेकिन कुछ कार्यों के लिए सीधे विमानों में सीधे विमान में प्रक्षेपित किया जा सकता है।
+[[File:Parabola.svg|right|thumb|एक [[ परवलय ]], सबसे सरल वक्रों में से एक, (सीधी) रेखाओं के बाद]]गणित में, '''वक्र''' (जिसे पुराने ग्रंथों में एक '''वक्रित रेखा''' भी कहा जाता है) एक रेखा के समान एक विषय है, परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि वह सीधा हो।
-अक्षीय क्षेत्रों और घुमावदार गोलाकार वस्तुओं में, रेखाएं शायद "ऑब्जेक्ट ज्यामिति" को परिभाषित करती हैं।
+सहज रूप से, किसी गतिमान [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]]को एक स्थान से छोड़ने पर प्राप्त वक्रित रेखा के रूप में विचारित किया जा सकता है। यह वह परिभाषा है जो यूक्लिड के ''तत्वों'' में 2000 से भी अधिक वर्ष पहले दिखाई दी थी: "[वक्रित] रेखा{{efn|In current mathematical usage, a line is straight. Previously lines could be either curved or straight.}} [...] मात्रा की पहली प्रजाति है, जिसका केवल एक ही आयाम होता है, अर्थात् लंबाई, बिना किसी चौड़ाई या गहराई के, तथा बिंदु के प्रवाह या भाग के अलावा तथा कुछ नहीं है जो [...] अपनी काल्पनिकता से लंबाई में कुछ अवशेष छोड़ देगा, किसी भी चौड़ाई से मुक्त होगा।"<ref>In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of ''Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions'', by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).</ref>
-सहज रूप से, एक वक्र को एक गतिमान [[ बिंदु (ज्यामिति) |बिंदु]] द्वारा छोड़े गए निशान के रूप में सोचा जा सकता है। यूक्लिड के तत्वों में यह परिभाषा 2000 से भी अधिक वर्ष पहले सामने आई थी: "[घुमावदार] रेखा{{efn|In current mathematical usage, a line is straight. Previously lines could be either curved or straight.}} मात्रा की पहली प्रजाति है, जिसका केवल एक आयाम है, अर्थात् लंबाई, बिना किसी चौड़ाई और गहराई के, और उस बिंदु के प्रवाह या भाग के अलावा और कुछ नहीं है जो […]<ref>In (rather old) French: "La ligne est la première espece de quantité, laquelle a tant seulement une dimension à sçavoir longitude, sans aucune latitude ni profondité, & n'est autre chose que le flux ou coulement du poinct, lequel […] laissera de son mouvement imaginaire quelque vestige en long, exempt de toute latitude." Pages 7 and 8 of ''Les quinze livres des éléments géométriques d'Euclide Megarien, traduits de Grec en François, & augmentez de plusieurs figures & demonstrations, avec la corrections des erreurs commises és autres traductions'', by Pierre Mardele, Lyon, MDCXLV (1645).</ref>
+आधुनिक गणित में वक्र की इस परिभाषा को औपचारिक रूप दिया गया है: ''वक्र एक [[ अंतराल (गणित) |अंतराल]] की [[ छवि (गणित) |छवि]] है जो एक [[ समारोह |सतत फलन]] द्वारा एक [[ टोपोलॉजिकल स्पेस |सांस्थितिक (टोपोलॉजिकल) समष्टि]] के लिए होता है।'' कुछ संदर्भों में, फलन जो वक्र को परिभाषित करता है उसे ''प्राचलीकरण'' (''पैरामीट्रिजेशन'') कहा जाता है, तथा वक्र एक [[ पैरामीट्रिक वक्र |पैरामीट्रिक वक्र]] होता है। इस लेख में, इन वक्रों को कभी-कभी ''सांस्थितिक वक्र'' कहा जाता है ताकि उन्हें अलग-अलग वक्रों जैसे अलग-अलग वक्रों से अलग किया जा सके। यह परिभाषा गणित में अध्ययन किए जाने वाले अधिकांश वक्रों को शामिल करती है; उल्लेखनीय अपवाद स्तर वक्र हैं (जो वक्र तथा अलग-अलग बिंदुओं के [[ संघ (सेट सिद्धांत) |संघ]] हैं), तथा [[ बीजीय वक्र |बीजगणितीय वक्र]] (नीचे देखें)। [[ स्तर वक्र |स्तर वक्र]] तथा बीजगणितीय वक्रों को कभी-कभी [[ निहित वक्र |अंतर्निहित वक्र]] कहा जाता है, क्योंकि वे सामान्यतः [[ निहित समीकरण |अंतर्निहित समीकरणों]] द्वारा परिभाषित होते हैं।
-वक्र की इस परिभाषा को आधुनिक गणित में इस प्रकार औपचारिक रूप दिया गया है: एक वक्र एक निरंतर कार्य द्वारा एक [[ टोपोलॉजिकल स्पेस |टोपोलॉजिकल स्पेस]] के [[ अंतराल (गणित) |अंतराल]] की [[ छवि (गणित) |छवि]] है। कुछ संदर्भों में, वक्र को परिभाषित करने वाले फ़ंक्शन को पैरामीट्रिज़ेशन कहा जाता है, और वक्र एक [[ पैरामीट्रिक वक्र |पैरामीट्रिक वक्र]] है। इस लेख में, इन वक्रों को कभी-कभी टोपोलॉजिकल कर्व्स कहा जाता है ताकि उन्हें अधिक विवश वक्रों से अलग किया जा सके, जैसे कि अवकलनीय वक्र। यह परिभाषा गणित में अध्ययन किए जाने वाले अधिकांश वक्रों को समाहित करती है; उल्लेखनीय अपवाद स्तर वक्र हैं (जो वक्र और पृथक बिंदुओं के [[ संघ (सेट सिद्धांत) |संघ]] हैं), और [[ बीजीय वक्र |बीजीय वक्र]] (नीचे देखें)। [[ स्तर वक्र |स्तर वक्र]] और बीजगणितीय वक्रों को कभी-कभी [[ निहित वक्र |निहित वक्र]] कहा जाता है, क्योंकि वे आमतौर पर [[ निहित समीकरण |निहित समीकरणों]] द्वारा परिभाषित होते हैं।
+फिर भी, सांस्थितिक वक्रों का वर्गीकरण बहुत व्यापक होता है, तथा इसमें कुछ वक्र होते हैं जो किसी वक्र की अपेक्षा के अनुरूप नहीं दिखते हैं, या यहां तक कि खींचे नहीं जा सकते। यह [[ अंतरिक्ष भरने वाला वक्र |स्थान-पूरक वक्र]] तथा [[ भग्न वक्र |भग्न वक्रों]] की स्थितियाँ है। अधिक नियमितता सुनिश्चित करने के लिए, वक्र को परिभाषित करने वाले फलन को प्रायः अवकलनीय माना जाता है, तथा वक्र को एक अवकलनीय वक्र कहा जाता है।
-फिर भी, टोपोलॉजिकल कर्व्स का वर्ग बहुत व्यापक है, और इसमें कुछ कर्व्स होते हैं जो किसी वक्र की अपेक्षा के अनुरूप नहीं दिखते हैं, या यहां तक कि खींचे नहीं जा सकते। यह [[ अंतरिक्ष भरने वाला वक्र |स्थान भरने वाले वक्रों]] और [[ भग्न वक्र |भग्न वक्रों]] का मामला है। अधिक नियमितता सुनिश्चित करने के लिए, एक वक्र को परिभाषित करने वाले कार्य को अक्सर अवकलनीय माना जाता है, और फिर वक्र को एक अवकलनीय वक्र कहा जाता है।
+[[ समतल बीजीय वक्र |समतल बीजगणितीय वक्र]] दो अनिर्धारकों में [[ बहुपद |बहुपद]] का शून्य समुच्चय होता है। सामान्यतः, एक बीजगणितीय वक्र बहुपदों के परिमित समुच्चय का शून्य समुच्चय होता है, जो एक आयाम के [[ बीजीय किस्म |बीजगणितीय विविधता]] होने की आगे की स्थिति को पूरा करता है। यदि बहुपदों के गुणांक एक [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र]] {{mvar|k}} से संबंधित हैं, तो वक्र को {{mvar|k}} पर परिभाषित किया जाता है। एक [[ वास्तविक बीजीय वक्र |वास्तविक बीजगणितीय वक्र]] के सामान्य मामले में, जहाँ {{mvar|k}} [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याओं]] का क्षेत्र है, बीजगणितीय वक्र सांस्थितिक वक्रों का एक परिमित संघ है। जब जटिल शून्यों पर विचार किया जाता है, तो एक ''[[ जटिल संख्या |जटिल]] बीजगणितीय वक्र'' होता है, जो [[ टोपोलॉजी |सांस्थितिक]] दृष्टिकोण से, एक वक्र नहीं है, बल्कि एक [[ सतह (गणित) |सतह]] है, तथा प्रायः इसे [[ रीमैन सतह |रीमैन सतह]] कहा जाता है। हालांकि सामान्य ज्ञान में वक्र नहीं होने के बावजूद, अन्य क्षेत्रों में परिभाषित बीजगणितीय वक्रों का व्यापक अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, आधुनिक [[ क्रिप्टोग्राफी |क्रिप्टोग्राफी]] में [[ परिमित क्षेत्र |सीमित क्षेत्र]] पर बीजगणितीय वक्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
-एक [[ समतल बीजीय वक्र |समतल बीजगणितीय वक्र]] दो अनिश्चितों में [[ बहुपद |बहुपद]] का शून्य समुच्चय है। अधिक सामान्यतः, एक बीजीय वक्र बहुपदों के एक परिमित समुच्चय का शून्य समुच्चय होता है, जो एक आयाम की [[ बीजीय किस्म |बीजीय विविधता]] होने की आगे की शर्त को संतुष्ट करता है। यदि बहुपदों के गुणांक एक [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्र]] {{mvar|k}} से संबंधित हैं, तो वक्र को {{mvar|k}} के ऊपर परिभाषित किया गया कहा जाता है। एक [[ वास्तविक बीजीय वक्र |वास्तविक बीजगणितीय वक्र]] के सामान्य मामले में, जहां {{mvar|k}} [[ वास्तविक संख्या |वास्तविक संख्याओं]] का क्षेत्र है, बीजीय वक्र [[ टोपोलॉजी |टोपोलॉजिकल]] वक्रों का एक परिमित संघ है। जब [[ जटिल संख्या |जटिल]] शून्यों पर विचार किया जाता है, तो एक जटिल बीजगणितीय वक्र होता है, जो कि स्थलीय दृष्टिकोण से, एक वक्र नहीं है, बल्कि एक [[ सतह (गणित) |सतह]] है, और इसे अक्सर [[ रीमैन सतह |रीमैन सतह]] कहा जाता है। हालांकि सामान्य ज्ञान में वक्र नहीं होने पर, अन्य क्षेत्रों में परिभाषित बीजीय वक्रों का व्यापक अध्ययन किया गया है। विशेष रूप से, आधुनिक [[ क्रिप्टोग्राफी |क्रिप्टोग्राफी]] में एक [[ परिमित क्षेत्र |सीमित क्षेत्र]] में बीजीय वक्र व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।
 ==इतिहास==
-[[File:Newgrange Entrance Stone.jpg|thumb|225px|न्यूग्रेंज की [[ महापाषाण कला ]] वक्रों में प्रारंभिक रुचि दिखा रही है]]वक्रों में रुचि गणितीय अध्ययन का विषय होने से बहुत पहले से ही शुरू हो गई थी। इसे कला में और प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं में उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है।<ref name="Lockwood">Lockwood p. ix</ref> वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय निरूपण, बनाने में सरल हैं, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ।
+[[File:Newgrange Entrance Stone.jpg|thumb|225px|न्यूग्रेंज की [[ महापाषाण कला ]] वक्रों में प्रारंभिक रुचि दिखा रही है]]वक्रों में रुचि गणितीय अध्ययन का विषय होने से बहुत पहले से ही शुरू हो गई थी। इसे कला में तथा प्रागैतिहासिक काल की रोजमर्रा की वस्तुओं में उनके सजावटी उपयोग के कई उदाहरणों में देखा जा सकता है।<ref name="Lockwood">Lockwood p. ix</ref> वक्र, या कम से कम उनके चित्रमय निरूपण, बनाने में सरल हैं, उदाहरण के लिए समुद्र तट पर रेत पर एक छड़ी के साथ।
-ऐतिहासिक रूप से, शब्द रेखा का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द वक्र के स्थान पर किया जाता था। इसलिए सीधी रेखा और दाहिनी रेखा शब्दों का इस्तेमाल वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ। 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ। 3)।<ref>Heath p. 153</ref> बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:<ref>Heath p. 160</ref>
+ऐतिहासिक रूप से, शब्द रेखा का प्रयोग अधिक आधुनिक शब्द वक्र के स्थान पर किया जाता था। इसलिए सीधी रेखा तथा दाहिनी रेखा शब्दों का इस्तेमाल वक्र रेखाओं से आज की रेखा को अलग करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक I में, एक रेखा को "चौड़ाई रहित लंबाई" (डिफ। 2) के रूप में परिभाषित किया गया है, जबकि एक सीधी रेखा को "एक ऐसी रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है जो समान रूप से अपने आप पर स्थित बिंदुओं के साथ स्थित है" (डिफ। 4)। रेखा के बारे में यूक्लिड के विचार को शायद इस कथन से स्पष्ट किया गया है "एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं," (डिफ। 3)।<ref>Heath p. 153</ref> बाद में टिप्पणीकारों ने विभिन्न योजनाओं के अनुसार पंक्तियों को वर्गीकृत किया। उदाहरण के लिए:<ref>Heath p. 160</ref>
 *समग्र रेखाएँ (कोण बनाने वाली रेखाएँ)
 *मिश्रित पंक्तियाँ
 **निर्धारित करें (ऐसी रेखाएं जो अनिश्चित काल तक विस्तारित नहीं होती हैं, जैसे वृत्त)
-**अनिश्चित (ऐसी रेखाएं जो अनिश्चित काल तक विस्तारित होती हैं, जैसे कि सीधी रेखा और परवलय)
+**अनिश्चित (ऐसी रेखाएं जो अनिश्चित काल तक विस्तारित होती हैं, जैसे कि सीधी रेखा तथा परवलय)
-[[File:Conic sections with plane.svg|thumb|225px|एक शंकु ([[ शंकु खंड ]]) को काटकर बनाए गए वक्र प्राचीन ग्रीस में अध्ययन किए गए वक्रों में से थे।]]ग्रीक जियोमीटर ने कई अन्य प्रकार के वक्रों का अध्ययन किया था। एक कारण ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में उनकी रुचि थी जिसे मानक कंपास और स्ट्रेटएज निर्माण का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था। इन वक्रों में शामिल हैं:इन वक्रों में शामिल हैं:
+[[File:Conic sections with plane.svg|thumb|225px|एक शंकु ([[ शंकु खंड ]]) को काटकर बनाए गए वक्र प्राचीन ग्रीस में अध्ययन किए गए वक्रों में से थे।]]ग्रीक जियोमीटर ने कई अन्य प्रकार के वक्रों का अध्ययन किया था। एक कारण ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में उनकी रुचि थी जिसे मानक कंपास तथा स्ट्रेटएज निर्माण का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता था। इन वक्रों में शामिल हैं:इन वक्रों में शामिल हैं:
 *पेरगा के एपोलोनियस द्वारा गहराई से अध्ययन किए गए शंकु वर्ग
-* डिओक्लेस के सिस्सोइड, [[ Diocles (गणितज्ञ) |डिओक्लेस]] द्वारा अध्ययन किया गया और घन को दोगुना करने के लिए एक विधि के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref>Lockwood p. 132</ref>
+* डिओक्लेस के सिस्सोइड, [[ Diocles (गणितज्ञ) |डिओक्लेस]] द्वारा अध्ययन किया गया तथा घन को दोगुना करने के लिए एक विधि के रूप में उपयोग किया जाता है।<ref>Lockwood p. 132</ref>
-*[[ निकोमेडिस का शंख |निकोमेड्स का शंखभ]], [[ निकोमेडिस (गणितज्ञ) |निकोमेडिस]] द्वारा घन को दोगुना करने और एक कोण को समत्रिभाजित करने की एक विधि के रूप में अध्ययन किया गया।<ref>Lockwood p. 129</ref>
+*[[ निकोमेडिस का शंख |निकोमेड्स का शंखभ]], [[ निकोमेडिस (गणितज्ञ) |निकोमेडिस]] द्वारा घन को दोगुना करने तथा एक कोण को समत्रिभाजित करने की एक विधि के रूप में अध्ययन किया गया।<ref>Lockwood p. 129</ref>
-* [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] सर्पिल, जिसका अध्ययन आर्किमिडीज़ द्वारा एक कोण को समद्विभाजित करने और वृत्त को वर्गाकार करने की एक विधि के रूप में किया गया था।<ref>{{MacTutor|class=Curves|id=Spiral|title=Spiral of Archimedes}}</ref>
+* [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] सर्पिल, जिसका अध्ययन आर्किमिडीज़ द्वारा एक कोण को समद्विभाजित करने तथा वृत्त को वर्गाकार करने की एक विधि के रूप में किया गया था।<ref>{{MacTutor|class=Curves|id=Spiral|title=Spiral of Archimedes}}</ref>
 *स्पाइरिक सेक्शन, [[ पर्सियस (जियोमीटर) |पर्सियस]] द्वारा शंकु के वर्गों के रूप में अध्ययन किए गए [[ टोरस्र्स |टोरी]] के वर्गों का अध्ययन एपोलोनियस द्वारा किया गया था।
-[[File:Folium Of Descartes.svg|thumb|225px|left|विश्लेषणात्मक ज्यामिति ने वक्रों की अनुमति दी, जैसे कि डेसकार्टेस के फोलियम, को ज्यामितीय निर्माण के बजाय समीकरणों का उपयोग करके परिभाषित किया जाना चाहिए।]]सत्रहवीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा [[ विश्लेषणात्मक ज्यामिति |विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] की शुरुआत कर्व के सिद्धांत में एक मौलिक प्रगति थी। इसने एक वक्र को एक विस्तृत ज्यामितीय निर्माण के बजाय एक समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया। इसने न केवल नए वक्रों को परिभाषित और अध्ययन करने की अनुमति दी, बल्कि इसने बीजगणितीय वक्रों के बीच एक औपचारिक अंतर को सक्षम किया जिसे [[ बहुपद समीकरण |बहुपद समीकरणों]] का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, और ट्रान्सेंडैंटल वक्र जो नहीं कर सकते हैं। पहले, कर्व्स को "ज्यामितीय" या "मैकेनिकल" के रूप में वर्णित किया गया था, इस आधार पर कि वे कैसे उत्पन्न हुए थे, या माना जा सकता था।<ref name="Lockwood" />
+[[File:Folium Of Descartes.svg|thumb|225px|left|विश्लेषणात्मक ज्यामिति ने वक्रों की अनुमति दी, जैसे कि डेसकार्टेस के फोलियम, को ज्यामितीय निर्माण के बजाय समीकरणों का उपयोग करके परिभाषित किया जाना चाहिए।]]सत्रहवीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा [[ विश्लेषणात्मक ज्यामिति |विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] की शुरुआत कर्व के सिद्धांत में एक मौलिक प्रगति थी। इसने एक वक्र को एक विस्तृत ज्यामितीय निर्माण के बजाय एक समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया। इसने न केवल नए वक्रों को परिभाषित तथा अध्ययन करने की अनुमति दी, बल्कि इसने बीजगणितीय वक्रों के बीच एक औपचारिक अंतर को सक्षम किया जिसे [[ बहुपद समीकरण |बहुपद समीकरणों]] का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, तथा ट्रान्सेंडैंटल वक्र जो नहीं कर सकते हैं। पहले, वक्रों को "ज्यामितीय" या "मैकेनिकल" के रूप में वर्णित किया गया था, इस आधार पर कि वे कैसे उत्पन्न हुए थे, या माना जा सकता था।<ref name="Lockwood" />
-[[ जोहान्स केप्लर |केप्लर]] द्वारा [[ खगोल |खगोल]] विज्ञान में शंकु वर्गों का प्रयोग किया गया था। न्यूटन ने [[ विविध |विभिन्नताओं]] की कलन में एक प्रारंभिक उदाहरण पर भी कार्य किया। वैरिएबल समस्याओं के समाधान, जैसे कि [[ ब्राचिस्टोक्रोन |ब्राचिस्टोक्रोन]] और [[ टॉटोक्रोन |टॉटोक्रोन]] प्रश्न, वक्र के गुणों को नए तरीकों से पेश करते हैं (इस मामले में, [[ चक्रज |चक्रज]])। [[ ज़ंजीर का |कैटेनरी]] का नाम हैंगिंग चेन की समस्या के समाधान के रूप में मिलता है, एक ऐसा प्रश्न जो डिफरेंशियल कैलकुलस के माध्यम से नियमित रूप से सुलभ हो गया।
+[[ जोहान्स केप्लर |केप्लर]] द्वारा [[ खगोल |खगोल]] विज्ञान में शंकु वर्गों का प्रयोग किया गया था। न्यूटन ने [[ विविध |विभिन्नताओं]] की कलन में एक प्रारंभिक उदाहरण पर भी फलन किया। वैरिएबल समस्याओं के समाधान, जैसे कि [[ ब्राचिस्टोक्रोन |ब्राचिस्टोक्रोन]] तथा [[ टॉटोक्रोन |टॉटोक्रोन]] प्रश्न, वक्र के गुणों को नए तरीकों से पेश करते हैं (इस मामले में, [[ चक्रज |चक्रज]])। [[ ज़ंजीर का |कैटेनरी]] का नाम हैंगिंग चेन की समस्या के समाधान के रूप में मिलता है, एक ऐसा प्रश्न जो डिफरेंशियल कैलकुलस के माध्यम से नियमित रूप से सुलभ हो गया।
-अठारहवीं शताब्दी में, सामान्य तौर पर समतल बीजीय वक्रों के सिद्धांत की शुरुआत हुई। न्यूटन ने [[ घन वक्र |क्यूबिक कर्व्स]] का अध्ययन किया था, वास्तविक बिंदुओं के सामान्य विवरण में 'अंडाकार'। बेज़ाउट के प्रमेय के बयान ने कई पहलुओं को दिखाया जो कि उस समय की ज्यामिति के लिए सीधे सुलभ नहीं थे, एकवचन बिंदुओं और जटिल समाधानों के साथ करना।
+अठारहवीं शताब्दी में, सामान्य तौर पर समतल बीजगणितीय वक्रों के सिद्धांत की शुरुआत हुई। न्यूटन ने [[ घन वक्र |क्यूबिक वक्रों]] का अध्ययन किया था, वास्तविक बिंदुओं के सामान्य विवरण में 'अंडाकार'। बेज़ाउट के प्रमेय के बयान ने कई पहलुओं को दिखाया जो कि उस समय की ज्यामिति के लिए सीधे सुलभ नहीं थे, एकवचन बिंदुओं तथा जटिल समाधानों के साथ करना।
-उन्नीसवीं सदी के बाद से, वक्र सिद्धांत को कई गुना और बीजगणितीय किस्मों के सिद्धांत के आयाम के विशेष मामले के रूप में देखा जाता है। फिर भी, कई प्रश्न घटता के लिए विशिष्ट हैं, जैसे कि स्थान भरने वाले वक्र, [[ जॉर्डन वक्र प्रमेय |जॉर्डन वक्र प्रमेय]] और हिल्बर्ट की सोलहवीं समस्या।
+उन्नीसवीं सदी के बाद से, वक्र सिद्धांत को कई गुना तथा बीजगणितीय किस्मों के सिद्धांत के आयाम के विशेष मामले के रूप में देखा जाता है। फिर भी, कई प्रश्न घटता के लिए विशिष्ट हैं, जैसे कि स्थान भरने वाले वक्र, [[ जॉर्डन वक्र प्रमेय |जॉर्डन वक्र प्रमेय]] तथा हिल्बर्ट की सोलहवीं समस्या।
-==टोपोलॉजिकल कर्व ==
+==सांस्थितिक कर्व ==
-एक टोपोलॉजिकल कर्व को वास्तविक संख्याओं के अंतराल {{mvar|I}} से एक टोपोलॉजिकल स्पेस {{mvar|X}} में एक सतत फ़ंक्शन <math>\gamma \colon I \rightarrow X</math> द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। ठीक से बोलना, वक्र <math>\gamma.</math> की छवि है। हालांकि, कुछ संदर्भों में, <math>\gamma</math> को ही एक वक्र कहा जाता है, विशेष रूप से जब छवि वैसी नहीं दिखती है जिसे आम तौर पर वक्र कहा जाता है और यह पर्याप्त रूप से <math>\gamma.</math> को चित्रित नहीं करती है।
+एक सांस्थितिक कर्व को वास्तविक संख्याओं के अंतराल {{mvar|I}} से एक सांस्थितिक समष्टि {{mvar|X}} में एक सतत फलन <math>\gamma \colon I \rightarrow X</math> द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। ठीक से बोलना, वक्र <math>\gamma.</math> की छवि है। हालांकि, कुछ संदर्भों में, <math>\gamma</math> को ही एक वक्र कहा जाता है, विशेष रूप से जब छवि वैसी नहीं दिखती है जिसे सामान्यतः वक्र कहा जाता है तथा यह पर्याप्त रूप से <math>\gamma.</math> को चित्रित नहीं करती है।
-उदाहरण के लिए, पीनो वक्र की छवि या, अधिक सामान्यतः, एक स्थान-भरने वाला वक्र पूरी तरह से एक वर्ग भरता है, और इसलिए <math>\gamma</math> को कैसे परिभाषित किया जाता है, इस पर कोई जानकारी नहीं देता है।
+उदाहरण के लिए, पीनो वक्र की छवि या, अधिक सामान्यतः, एक स्थान-भरने वाला वक्र पूरी तरह से एक वर्ग भरता है, तथा इसलिए <math>\gamma</math> को कैसे परिभाषित किया जाता है, इस पर कोई जानकारी नहीं देता है।
 एक वक्र <math>\gamma</math> बंद है<ref>This term my be ambiguous, as a non-closed curve may be a [[closed set]], as is a line in a plane</ref> या एक [[ लूप (टोपोलॉजी) |लूप]] है यदि <math>I = [a,
-b]</math> और <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math> है। इस प्रकार एक बंद वक्र एक [[ घेरा |वृत्त]] के निरंतर मानचित्रण की छवि है।
+b]</math> तथा <math>\gamma(a) = \gamma(b)</math> है। इस प्रकार एक बंद वक्र एक [[ घेरा |वृत्त]] के निरंतर मानचित्रण की छवि है।
-यदि एक टोपोलॉजिकल वक्र का [[ फ़ंक्शन का डोमेन |डोमेन]] एक बंद और परिबद्ध अंतराल <math>I = [a,
+यदि एक सांस्थितिक वक्र का [[ फ़ंक्शन का डोमेन |डोमेन]] एक बंद तथा परिबद्ध अंतराल <math>I = [a,
-b]</math> है, तो वक्र को एक [[ पथ (टोपोलॉजी) |पथ]] कहा जाता है, जिसे टोपोलॉजिकल आर्क (या सिर्फ आर्क) भी कहा जाता है।
+b]</math> है, तो वक्र को एक [[ पथ (टोपोलॉजी) |पथ]] कहा जाता है, जिसे सांस्थितिक आर्क (या सिर्फ आर्क) भी कहा जाता है।
-एक वक्र सरल होता है यदि यह एक [[ इंजेक्शन |अंतःक्षेपण]] या अंतःक्षेपी सतत फलन द्वारा एक वृत्त की छवि हो। दूसरे शब्दों में, यदि एक वक्र को एक डोमेन के रूप में एक अंतराल के साथ एक निरंतर फ़ंक्शन <math>\gamma</math> द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो वक्र सरल होता है यदि और केवल यदि अंतराल के किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग छवियां हों, सिवाय इसके कि, यदि बिंदु अंतराल के अंत बिंदु हैं। सहज रूप से, एक साधारण वक्र एक वक्र है जो "स्वयं को पार नहीं करता है और कोई लापता बिंदु नहीं है" (एक सतत गैर-स्व-प्रतिच्छेदी वक्र)।<ref>{{cite web|url=http://dictionary.reference.com/browse/jordan%20arc |title=Dictionary.com पर जॉर्डन आर्क परिभाषा। Dictionary.com संक्षिप्त। रैंडम हाउस, इंक|publisher=[[Dictionary.reference.com]] |access-date=2012-03-14}}</ref>
+एक वक्र सरल होता है यदि यह एक [[ इंजेक्शन |अंतःक्षेपण]] या अंतःक्षेपी सतत फलन द्वारा एक वृत्त की छवि हो। दूसरे शब्दों में, यदि एक वक्र को एक डोमेन के रूप में एक अंतराल के साथ एक निरंतर फलन <math>\gamma</math> द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो वक्र सरल होता है यदि तथा केवल यदि अंतराल के किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं में अलग-अलग छवियां हों, सिवाय इसके कि, यदि बिंदु अंतराल के अंत बिंदु हैं। सहज रूप से, एक साधारण वक्र एक वक्र है जो "स्वयं को पार नहीं करता है तथा कोई लापता बिंदु नहीं है" (एक सतत गैर-स्व-प्रतिच्छेदी वक्र)।<ref>{{cite web|url=http://dictionary.reference.com/browse/jordan%20arc |title=Dictionary.com पर जॉर्डन आर्क परिभाषा। Dictionary.com संक्षिप्त। रैंडम हाउस, इंक|publisher=[[Dictionary.reference.com]] |access-date=2012-03-14}}</ref>
 [[File:Fractal dragon curve.jpg|thumb|एक सकारात्मक क्षेत्र के साथ एक [[ ड्रैगन वक्र ]]]]
-एक समतल सरल बंद वक्र को जॉर्डन वक्र भी कहते हैं। इसे विमान में एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन निरंतर लूप के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=0Q9mbXCQRyoC&pg=PA7|title=असतत ज्यामिति में गहराई, क्रॉसिंग और संघर्ष|last=Sulovský|first=Marek|date=2012|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH| isbn=9783832531195|page=7|language=en}}</ref> जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक विमान में सेट पूरक में दो जुड़े घटक होते हैं (अर्थात वक्र विमान को दो गैर-प्रतिच्छेदन [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्रों]] में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)।
+एक समतल सरल बंद वक्र को जॉर्डन वक्र भी कहते हैं। इसे विमान में एक गैर-स्व-प्रतिच्छेदन निरंतर लूप के रूप में भी परिभाषित किया गया है।<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=0Q9mbXCQRyoC&pg=PA7|title=असतत ज्यामिति में गहराई, क्रॉसिंग और संघर्ष|last=Sulovský|first=Marek|date=2012|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH| isbn=9783832531195|page=7|language=en}}</ref> जॉर्डन वक्र प्रमेय में कहा गया है कि जॉर्डन वक्र के एक विमान में समुच्चय पूरक में दो जुड़े घटक होते हैं (अर्थात वक्र विमान को दो गैर-प्रतिच्छेदन [[ क्षेत्र (गणित) |क्षेत्रों]] में विभाजित करता है जो दोनों जुड़े हुए हैं)।
-एक [[ समतल वक्र |समतल वक्र]] एक वक्र है जिसके लिए <math>X</math> [[ यूक्लिडियन विमान |यूक्लिडियन तल]] है - ये ऐसे उदाहरण हैं जो पहली बार मिले हैं - या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। स्पेस कर्व एक ऐसा कर्व है जिसके लिए <math>X</math> कम से कम त्रि-आयामी है; तिरछा वक्र एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी तल में नहीं होता है। समतल, स्थान और तिरछा वक्रों की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय वक्रों पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र डिस्कनेक्ट हो सकता है)।
+एक [[ समतल वक्र |समतल वक्र]] एक वक्र है जिसके लिए <math>X</math> [[ यूक्लिडियन विमान |यूक्लिडियन तल]] है - ये ऐसे उदाहरण हैं जो पहली बार मिले हैं - या कुछ मामलों में प्रक्षेपी तल। स्पेस कर्व एक ऐसा कर्व है जिसके लिए <math>X</math> कम से कम त्रि-आयामी है; तिरछा वक्र एक अंतरिक्ष वक्र है जो किसी तल में नहीं होता है। समतल, स्थान तथा तिरछा वक्रों की ये परिभाषाएँ वास्तविक बीजगणितीय वक्रों पर भी लागू होती हैं, हालाँकि वक्र की उपरोक्त परिभाषा लागू नहीं होती है (एक वास्तविक बीजगणितीय वक्र डिस्कनेक्ट हो सकता है)।
-एक वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े शामिल होते हैं जिन्हें आम उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र की छवि समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक [[ वर्ग (ज्यामिति) |वर्ग]] को कवर कर सकती है और इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है।<ref>{{cite journal|last=Osgood|first=William F.|date=January 1903|title=सकारात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र|journal=Transactions of the American Mathematical Society|publisher=[[American Mathematical Society]]|volume=4|issue=1|pages=107–112|doi=10.2307/1986455|issn=0002-9947|jstor=1986455|author-link1=William Fogg Osgood|doi-access=free}}<!--|access-date=2008-06-04--></ref> फ्रैक्टल कर्व्स में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, एक फ्रैक्टल वक्र का [[ हॉसडॉर्फ आयाम |हॉसडॉर्फ आयाम]] एक से बड़ा हो सकता है ([[ कोच हिमपात |कोच स्नोफ्लेक]] देखें) और यहां तक कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन कर्व है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण होते हैं।
+एक वक्र की परिभाषा में ऐसे आंकड़े शामिल होते हैं जिन्हें आम उपयोग में शायद ही वक्र कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक साधारण वक्र की छवि समतल (अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र) में एक [[ वर्ग (ज्यामिति) |वर्ग]] को कवर कर सकती है तथा इस प्रकार एक सकारात्मक क्षेत्र हो सकता है।<ref>{{cite journal|last=Osgood|first=William F.|date=January 1903|title=सकारात्मक क्षेत्र का जॉर्डन वक्र|journal=Transactions of the American Mathematical Society|publisher=[[American Mathematical Society]]|volume=4|issue=1|pages=107–112|doi=10.2307/1986455|issn=0002-9947|jstor=1986455|author-link1=William Fogg Osgood|doi-access=free}}<!--|access-date=2008-06-04--></ref> फ्रैक्टल वक्रों में ऐसे गुण हो सकते हैं जो सामान्य ज्ञान के लिए अजीब हों। उदाहरण के लिए, एक फ्रैक्टल वक्र का [[ हॉसडॉर्फ आयाम |हॉसडॉर्फ आयाम]] एक से बड़ा हो सकता है ([[ कोच हिमपात |कोच स्नोफ्लेक]] देखें) तथा यहां तक कि एक सकारात्मक क्षेत्र भी। एक उदाहरण ड्रैगन कर्व है, जिसमें कई अन्य असामान्य गुण होते हैं।
 ==विभेदनीय वक्र==
 {{main|Differentiable curve}}
-मोटे तौर पर एक अलग-अलग वक्र बोलना एक वक्र है जिसे स्थानीय रूप से एक इंजेक्शन अलग-अलग फ़ंक्शन <math>\gamma \colon I \rightarrow X</math> की छवि के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वास्तविक संख्याओं के अंतराल {{mvar|I}} से एक अलग-अलग कई गुना {{mvar|X}}, अक्सर <math>\mathbb{R}^n</math> में होता है।
+मोटे तौर पर एक अलग-अलग वक्र बोलना एक वक्र है जिसे स्थानीय रूप से एक इंजेक्शन अलग-अलग फलन <math>\gamma \colon I \rightarrow X</math> की छवि के रूप में परिभाषित किया जाता है जो वास्तविक संख्याओं के अंतराल {{mvar|I}} से एक अलग-अलग कई गुना {{mvar|X}}, प्रायः <math>\mathbb{R}^n</math> में होता है।
 अधिक सटीक रूप से, एक अवकलनीय वक्र {{mvar|X}} का एक उपसमुच्चय {{mvar|C}} होता है, जहां {{mvar|C}} के प्रत्येक बिंदु का पड़ोस {{mvar|U}} होता है, जैसे कि <math>C\cap U</math> वास्तविक संख्याओं के अंतराल के लिए भिन्न होता है। {{clarify|reason=This contradicts the definition given in [[Differential  geometry of curves]]|date=May 2019}} दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय वक्र, आयाम एक का भिन्न-भिन्न बहुगुणित होता है।
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 [[ रेखा खंड |रेखाओं]] के चापों को [[ रेखा खंड |खंड]], [[ किरण (ज्यामिति) |किरणें]] या रेखाएँ कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे किस प्रकार परिबद्ध हैं।
-एक सामान्य घुमावदार उदाहरण एक [[ वृत्त |वृत्त]] का चाप है, जिसे एक [[ वृत्ताकार चाप |वृत्ताकार चाप]] कहा जाता है।
+एक सामान्य वक्रित उदाहरण एक [[ वृत्त |वृत्त]] का चाप है, जिसे एक [[ वृत्ताकार चाप |वृत्ताकार चाप]] कहा जाता है।
 एक गोले (या एक गोलाकार) में, एक बड़े वृत्त (या एक [[ महान दीर्घवृत्त |महान दीर्घवृत्त]]) के एक चाप को एक बड़ा चाप कहा जाता है।
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 {{main|Arc length}}
 {{further|Differentiable curve#Length}}
-यदि <math> X = \mathbb{R}^{n} </math> <math> n </math>-आयामी यूक्लिडियन स्थान है, और यदि <math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^{n} </math> एक इंजेक्शन और लगातार अलग-अलग कार्य है, तो <math> \gamma </math> की लंबाई को मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है
+यदि <math> X = \mathbb{R}^{n} </math> <math> n </math>-आयामी यूक्लिडियन स्थान है, तथा यदि <math> \gamma: [a,b] \to \mathbb{R}^{n} </math> एक इंजेक्शन तथा लगातार अलग-अलग फलन है, तो <math> \gamma </math> की लंबाई को मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है
 :<math>
 \operatorname{Length}(\gamma) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_{a}^{b} |\gamma\,'(t)| ~ \mathrm{d}{t}.
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 s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^{2}} ~ \mathrm{d}{x}.
 </math>
-अधिक आम तौर पर, यदि <math> X </math> मीट्रिक <math> d </math> के साथ एक [[ मीट्रिक स्थान |मीट्रिक स्थान]] है, तो हम वक्र <math> \gamma: [a,b] \to X </math> की लंबाई को परिभाषित कर सकते हैं
+अधिक सामान्यतः, यदि <math> X </math> मीट्रिक <math> d </math> के साथ एक [[ मीट्रिक स्थान |मीट्रिक स्थान]] है, तो हम वक्र <math> \gamma: [a,b] \to X </math> की लंबाई को परिभाषित कर सकते हैं
 :<math>
 \operatorname{Length}(\gamma)
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 \right\},
 </math>
-जहां सर्वोच्चता सभी <math> n \in \mathbb{N} </math> और <math> t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n} </math> के सभी विभाजनों <math> [a, b] </math> पर ले ली गई है।
+जहां सर्वोच्चता सभी <math> n \in \mathbb{N} </math> तथा <math> t_{0} < t_{1} < \ldots < t_{n} </math> के सभी विभाजनों <math> [a, b] </math> पर ले ली गई है।
 एक सुधार योग्य वक्र एक परिमित लंबाई वाला वक्र है। एक वक्र <math> \gamma: [a,b] \to X </math> को प्राकृतिक (या इकाई-गति या चाप लंबाई द्वारा पैरामीट्रिज्ड) कहा जाता है यदि किसी भी <math> t_{1},t_{2} \in [a,b] </math> के लिए <math> t_{1} \leq t_{2} </math>, हमारे पास है
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 \operatorname{Length} \! \left( \gamma|_{[t_{1},t_{2}]} \right) = t_{2} - t_{1}.
 </math>
-यदि <math> \gamma: [a,b] \to X </math> एक लिप्सचिट्ज़-निरंतर कार्य है, तो यह स्वतः सुधार योग्य है। इसके अलावा, इस मामले में, कोई <math> \gamma </math> की गति (या [[ मीट्रिक व्युत्पन्न |मीट्रिक व्युत्पन्न]]) को <math> t \in [a,b] </math> पर परिभाषित कर सकता है
+यदि <math> \gamma: [a,b] \to X </math> एक लिप्सचिट्ज़-निरंतर फलन है, तो यह स्वतः सुधार योग्य है। इसके अलावा, इस मामले में, कोई <math> \gamma </math> की गति (या [[ मीट्रिक व्युत्पन्न |मीट्रिक व्युत्पन्न]]) को <math> t \in [a,b] </math> पर परिभाषित कर सकता है
 :<math>
 {\operatorname{Speed}_{\gamma}}(t) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \limsup_{s \to t} \frac{d(\gamma(s),\gamma(t))}{|s - t|}
 </math>
-और फिर दिखाओ कि
+तथा फिर दिखाओ कि
 :<math>
 \operatorname{Length}(\gamma) = \int_{a}^{b} {\operatorname{Speed}_{\gamma}}(t) ~ \mathrm{d}{t}.
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 === विभेदक ज्यामिति ===
 {{main|Differential geometry of curves}}
-जबकि मिलने वाले वक्रों के पहले उदाहरण ज्यादातर समतल वक्र हैं (अर्थात, रोज़मर्रा के शब्दों में, द्वि-आयामी अंतरिक्ष में घुमावदार रेखाएँ), ऐसे स्पष्ट उदाहरण हैं जैसे कि [[ कुंडलित वक्रता |हेलिक्स]] जो तीन आयामों में स्वाभाविक रूप से मौजूद हैं। ज्यामिति की जरूरतें, और उदाहरण के लिए [[ शास्त्रीय यांत्रिकी |शास्त्रीय यांत्रिकी]] के लिए किसी भी संख्या में आयामों के अंतरिक्ष में वक्र की धारणा होना है। [[ सामान्य सापेक्षता |सामान्य सापेक्षता]] में, [[ अंतरिक्ष समय |स्पेसटाइम]] में एक [[ विश्व रेखा |विश्व रेखा]] एक वक्र है।
+जबकि मिलने वाले वक्रों के पहले उदाहरण ज्यादातर समतल वक्र हैं (अर्थात, रोज़मर्रा के शब्दों में, द्वि-आयामी अंतरिक्ष में वक्रित रेखाएँ), ऐसे स्पष्ट उदाहरण हैं जैसे कि [[ कुंडलित वक्रता |हेलिक्स]] जो तीन आयामों में स्वाभाविक रूप से मौजूद हैं। ज्यामिति की जरूरतें, तथा उदाहरण के लिए [[ शास्त्रीय यांत्रिकी |शास्त्रीय यांत्रिकी]] के लिए किसी भी संख्या में आयामों के अंतरिक्ष में वक्र की धारणा होना है। [[ सामान्य सापेक्षता |सामान्य सापेक्षता]] में, [[ अंतरिक्ष समय |स्पेसटाइम]] में एक [[ विश्व रेखा |विश्व रेखा]] एक वक्र है।
 यदि <math>X</math> एक अवकलनीय गुणक है, तो हम <math>X</math> में अवकलनीय वक्र की धारणा को परिभाषित कर सकते हैं। यह सामान्य विचार गणित में वक्रों के अनेक अनुप्रयोगों को समाविष्ट करने के लिए पर्याप्त है। स्थानीय दृष्टिकोण से कोई भी <math>X</math> को यूक्लिडियन स्थान मान सकता है। दूसरी ओर, यह अधिक सामान्य होना उपयोगी है, इसमें (उदाहरण के लिए) वक्र की इस धारणा के माध्यम से [[ वक्रों की विभेदक ज्यामिति |स्पर्शरेखा सदिशों]] को <math>X</math> में परिभाषित करना संभव है।
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 :<math>\gamma \colon I \rightarrow X</math>.
-यह एक मूल धारणा है। कम और अधिक सीमित विचार भी हैं। यदि <math>X</math> <math>C^k</math> कई गुना है (यानी, एक कई गुना जिसका [[ चार्ट (टोपोलॉजी) |चार्ट]] लगातार <math>k</math> बार अलग-अलग होता है), तो <math>X</math> में एक <math>C^k</math> वक्र ऐसा वक्र होता है जिसे केवल <math>C^k</math> माना जाता है (यानी <math>k</math> बार निरंतर अलग-अलग होता है)। यदि <math>X</math> एक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है (अर्थात असीम रूप से भिन्न और चार्ट शक्ति श्रृंखला के रूप में अभिव्यक्त होते हैं), और <math>\gamma</math> एक विश्लेषणात्मक नक्शा है, तो <math>\gamma</math> को एक विश्लेषणात्मक वक्र कहा जाता है।
+यह एक मूल धारणा है। कम तथा अधिक सीमित विचार भी हैं। यदि <math>X</math> <math>C^k</math> कई गुना है (यानी, एक कई गुना जिसका [[ चार्ट (टोपोलॉजी) |चार्ट]] लगातार <math>k</math> बार अलग-अलग होता है), तो <math>X</math> में एक <math>C^k</math> वक्र ऐसा वक्र होता है जिसे केवल <math>C^k</math> माना जाता है (यानी <math>k</math> बार निरंतर अलग-अलग होता है)। यदि <math>X</math> एक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड है (अर्थात असीम रूप से भिन्न तथा चार्ट शक्ति श्रृंखला के रूप में अभिव्यक्त होते हैं), तथा <math>\gamma</math> एक विश्लेषणात्मक नक्शा है, तो <math>\gamma</math> को एक विश्लेषणात्मक वक्र कहा जाता है।
 एक अवकलनीय वक्र को नियमित कहा जाता है यदि इसकी व्युत्पत्ति कभी लुप्त न हो। (शब्दों में, एक नियमित वक्र कभी भी रुकने के लिए धीमा नहीं होता या अपने आप पीछे नहीं हटता।) दो <math>C^k</math> अलग-अलग वक्र
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 :<math>\gamma_{2}(t) = \gamma_{1}(p(t))</math>
-सभी <math>t</math> के लिए मानचित्र <math>\gamma_2</math> को <math>\gamma_1</math> का पुन:परमिश्रण कहा जाता है; और यह <math>X</math> में सभी <math>C^k</math> अवकलनीय वक्रों के सेट पर एक [[ तुल्यता संबंध |तुल्यता संबंध]] बनाता है। एक <math>C^k</math> चाप पुनर्मूल्यांकन के संबंध के तहत <math>C^k</math> वक्रों का एक [[ तुल्यता वर्ग |तुल्यता वर्ग]] है।
+सभी <math>t</math> के लिए मानचित्र <math>\gamma_2</math> को <math>\gamma_1</math> का पुन:परमिश्रण कहा जाता है; तथा यह <math>X</math> में सभी <math>C^k</math> अवकलनीय वक्रों के समुच्चय पर एक [[ तुल्यता संबंध |तुल्यता संबंध]] बनाता है। एक <math>C^k</math> चाप पुनर्मूल्यांकन के संबंध के तहत <math>C^k</math> वक्रों का एक [[ तुल्यता वर्ग |तुल्यता वर्ग]] है।
-==बीजीय वक्र==
+==बीजगणितीय वक्र==
 {{main|Algebraic curve}}
-बीजगणितीय वक्र वे वक्र हैं जिन्हें [[ बीजगणितीय ज्यामिति |बीजगणितीय ज्यामिति]] में माना जाता है। एक समतल बीजगणितीय वक्र निर्देशांक {{math|''x'', ''y''}} के बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}}, जहां {{math|''f''}} किसी क्षेत्र {{math|''F''}} पर परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है। एक कहता है कि वक्र {{math|''F''}} पर परिभाषित है। बीजगणितीय ज्यामिति आम तौर पर न केवल {{math|''F''}} में निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार करती है बल्कि [[ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र |बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र]] {{math|''K''}} में निर्देशांक वाले सभी बिंदुओं पर विचार करती है।
+बीजगणितीय वक्र वे वक्र हैं जिन्हें [[ बीजगणितीय ज्यामिति |बीजगणितीय ज्यामिति]] में माना जाता है। एक समतल बीजगणितीय वक्र निर्देशांक {{math|''x'', ''y''}} के बिंदुओं का समुच्चय होता है, जैसे कि {{math|1=''f''(''x'', ''y'') = 0}}, जहां {{math|''f''}} किसी क्षेत्र {{math|''F''}} पर परिभाषित दो चरों में एक बहुपद है। एक कहता है कि वक्र {{math|''F''}} पर परिभाषित है। बीजगणितीय ज्यामिति सामान्यतः न केवल {{math|''F''}} में निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार करती है बल्कि [[ बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र |बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र]] {{math|''K''}} में निर्देशांक वाले सभी बिंदुओं पर विचार करती है।
 यदि C, F में गुणांकों वाले बहुपद {{math|''f''}} द्वारा परिभाषित एक वक्र है, तो वक्र को {{math|''F''}} के ऊपर परिभाषित किया गया है।
-वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित एक वक्र के मामले में, सामान्य रूप से जटिल निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार किया जाता है। इस मामले में, वास्तविक निर्देशांक वाला एक बिंदु एक वास्तविक बिंदु होता है, और सभी वास्तविक बिंदुओं का समुच्चय वक्र का वास्तविक भाग होता है। इसलिए यह केवल एक बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग है जो एक सामयिक वक्र हो सकता है (यह हमेशा मामला नहीं होता है, क्योंकि बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग डिस्कनेक्ट हो सकता है और इसमें अलग-अलग बिंदु शामिल हो सकते हैं)। संपूर्ण वक्र, जो इसके जटिल बिंदु का समुच्चय है, स्थलीय दृष्टिकोण से एक सतह है। विशेष रूप से, गैर-एकवचन जटिल प्रक्षेपी बीजगणितीय वक्रों को रिमेंन सतह कहा जाता है।
+वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित एक वक्र के मामले में, सामान्य रूप से जटिल निर्देशांक वाले बिंदुओं पर विचार किया जाता है। इस मामले में, वास्तविक निर्देशांक वाला एक बिंदु एक वास्तविक बिंदु होता है, तथा सभी वास्तविक बिंदुओं का समुच्चय वक्र का वास्तविक भाग होता है। इसलिए यह केवल एक बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग है जो एक सामयिक वक्र हो सकता है (यह हमेशा मामला नहीं होता है, क्योंकि बीजगणितीय वक्र का वास्तविक भाग डिस्कनेक्ट हो सकता है तथा इसमें अलग-अलग बिंदु शामिल हो सकते हैं)। संपूर्ण वक्र, जो इसके जटिल बिंदु का समुच्चय है, स्थलीय दृष्टिकोण से एक सतह है। विशेष रूप से, गैर-एकवचन जटिल प्रक्षेपी बीजगणितीय वक्रों को रिमेंन सतह कहा जाता है।
-एक क्षेत्र {{math|''G''}} में निर्देशांक वाले वक्र {{math|''C''}} के बिंदु {{math|''G''}} के ऊपर परिमेय कहे जाते हैं और इन्हें {{math|''C''(''G'')}} से दर्शाया जा सकता है। जब {{math|''G''}} [[ परिमेय संख्या |परिमेय संख्याओं]] का क्षेत्र होता है, तो व्यक्ति केवल परिमेय बिंदुओं की बात करता है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को इस प्रकार पुनर्कथित किया जा सकता है: {{math|''n'' > 2}} के लिए, डिग्री {{mvar|n}} के फ़र्मेट वक्र के प्रत्येक तर्कसंगत बिंदु का शून्य निर्देशांक होता है।
+एक क्षेत्र {{math|''G''}} में निर्देशांक वाले वक्र {{math|''C''}} के बिंदु {{math|''G''}} के ऊपर परिमेय कहे जाते हैं तथा इन्हें {{math|''C''(''G'')}} से दर्शाया जा सकता है। जब {{math|''G''}} [[ परिमेय संख्या |परिमेय संख्याओं]] का क्षेत्र होता है, तो व्यक्ति केवल परिमेय बिंदुओं की बात करता है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को इस प्रकार पुनर्कथित किया जा सकता है: {{math|''n'' > 2}} के लिए, डिग्री {{mvar|n}} के फ़र्मेट वक्र के प्रत्येक तर्कसंगत बिंदु का शून्य निर्देशांक होता है।
-बीजगणितीय वक्र स्थान वक्र भी हो सकते हैं, या उच्च आयाम वाले स्थान में वक्र हो सकते हैं, जैसे कि {{math|''n''}}। उन्हें आयाम एक के बीजीय किस्मों के रूप में परिभाषित किया गया है। उन्हें n चरों में कम से कम {{math|''n''–1}} बहुपद समीकरणों के सामान्य हल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। यदि {{math|''n''–1}} बहुपद आयाम {{math|''n''}} के एक स्थान में एक वक्र को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं, तो वक्र को एक पूर्ण प्रतिच्छेदन कहा जाता है। चर को समाप्त करके ([[ उन्मूलन सिद्धांत |उन्मूलन सिद्धांत]] के किसी भी उपकरण द्वारा), एक बीजगणितीय वक्र को समतल बीजगणितीय वक्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है, जो हालांकि क्यूप्स या दोहरे बिंदुओं जैसी नई विलक्षणता का परिचय दे सकता है।
+बीजगणितीय वक्र स्थान वक्र भी हो सकते हैं, या उच्च आयाम वाले स्थान में वक्र हो सकते हैं, जैसे कि {{math|''n''}}। उन्हें आयाम एक के बीजगणितीय किस्मों के रूप में परिभाषित किया गया है। उन्हें n चरों में कम से कम {{math|''n''–1}} बहुपद समीकरणों के सामान्य हल के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। यदि {{math|''n''–1}} बहुपद आयाम {{math|''n''}} के एक स्थान में एक वक्र को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं, तो वक्र को एक पूर्ण प्रतिच्छेदन कहा जाता है। चर को समाप्त करके ([[ उन्मूलन सिद्धांत |उन्मूलन सिद्धांत]] के किसी भी उपकरण द्वारा), एक बीजगणितीय वक्र को समतल बीजगणितीय वक्र पर प्रक्षेपित किया जा सकता है, जो हालांकि क्यूप्स या दोहरे बिंदुओं जैसी नई विलक्षणता का परिचय दे सकता है।
-प्रोजेक्टिव प्लेन में एक वक्र के लिए एक समतल वक्र भी पूरा किया जा सकता है: यदि एक वक्र को कुल डिग्री {{math|''d''}} के बहुपद {{math|''f''}} द्वारा परिभाषित किया गया है, तो {{math|''w''<sup>''d''</sup>''f''(''u''/''w'', ''v''/''w'')}} एक [[ सजातीय बहुपद |सजातीय बहुपद]] {{math|''g''(''u'', ''v'', ''w'')}} को सरल बनाता है। {{math|''u'', ''v'', ''w''}} के मान जैसे कि {{math|1=''g''(''u'', ''v'', ''w'') = 0}} प्रोजेक्टिव प्लेन में वक्र के पूरा होने के बिंदुओं के सजातीय निर्देशांक हैं और प्रारंभिक वक्र के अंक ऐसे हैं कि {{math|''w''}} है शून्य नहीं। एक उदाहरण फ़र्मेट कर्व {{math|1=''u''<sup>''n''</sup> + ''v''<sup>''n''</sup> = ''w''<sup>''n''</sup>}} है, जिसका एक affine रूप {{math|1=''x''<sup>''n''</sup> + ''y''<sup>''n''</sup> = 1}} है। उच्च आयामी स्थानों में घटता के लिए समरूपीकरण की एक समान प्रक्रिया को परिभाषित किया जा सकता है।
+प्रोजेक्टिव प्लेन में एक वक्र के लिए एक समतल वक्र भी पूरा किया जा सकता है: यदि एक वक्र को कुल डिग्री {{math|''d''}} के बहुपद {{math|''f''}} द्वारा परिभाषित किया गया है, तो {{math|''w''<sup>''d''</sup>''f''(''u''/''w'', ''v''/''w'')}} एक [[ सजातीय बहुपद |सजातीय बहुपद]] {{math|''g''(''u'', ''v'', ''w'')}} को सरल बनाता है। {{math|''u'', ''v'', ''w''}} के मान जैसे कि {{math|1=''g''(''u'', ''v'', ''w'') = 0}} प्रोजेक्टिव प्लेन में वक्र के पूरा होने के बिंदुओं के सजातीय निर्देशांक हैं तथा प्रारंभिक वक्र के अंक ऐसे हैं कि {{math|''w''}} है शून्य नहीं। एक उदाहरण फ़र्मेट कर्व {{math|1=''u''<sup>''n''</sup> + ''v''<sup>''n''</sup> = ''w''<sup>''n''</sup>}} है, जिसका एक affine रूप {{math|1=''x''<sup>''n''</sup> + ''y''<sup>''n''</sup> = 1}} है। उच्च आयामी स्थानों में घटता के लिए समरूपीकरण की एक समान प्रक्रिया को परिभाषित किया जा सकता है।
-रेखाओं को छोड़कर, बीजगणितीय वक्रों के सबसे सरल उदाहरण शांकव हैं, जो दो डिग्री और जीनस शून्य के गैर-एकवचन वक्र हैं। [[ अण्डाकार वक्र |अण्डाकार वक्र]], जो कि जीनस एक के गैर-एकवचन वक्र हैं, [[ संख्या सिद्धांत |संख्या सिद्धांत]] में अध्ययन किए जाते हैं, और क्रिप्टोग्राफी के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
+रेखाओं को छोड़कर, बीजगणितीय वक्रों के सबसे सरल उदाहरण शांकव हैं, जो दो डिग्री तथा जीनस शून्य के गैर-एकवचन वक्र हैं। [[ अण्डाकार वक्र |अण्डाकार वक्र]], जो कि जीनस एक के गैर-एकवचन वक्र हैं, [[ संख्या सिद्धांत |संख्या सिद्धांत]] में अध्ययन किए जाते हैं, तथा क्रिप्टोग्राफी के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
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