Nवे मूल: Difference between revisions

Revision as of 13:24, 25 July 2023

गणित में, nवाँ मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। n वाँ मूल लेते हुए इसे ${\sqrt[{n}]{x}}$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवाँ मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:

r^{n}=x,

डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल ${\sqrt {x}}$ के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल ${\sqrt[{3}]{x}}$ के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। $n$ मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3²= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3)² = 9 है.

सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र $n$ वें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए 0 का $n$ ' मूल शून्य होता है, जबसे $0 n = 0$ . विशेष रूप से, यदि $n$ सम है और $x$ धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका $n$ मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब $n > 2$ ) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि $n$ सम है और $x$ ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं $n$ वीं मूल वास्तविक हैं। यदि $n$ विषम है और $x$ वास्तविक है, $n$ मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह $x$ के समान है , जबकि अन्य ( $n - 1$ ) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि $x$ वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं $n$ वें मूल वास्तविक हैं।

वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$ का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि $x$ धनात्मक है जिसके साथ ${\sqrt {x}}$ $x$ के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना होता है; यदि $n$ विषम है तो ${\sqrt[{n}]{x}}$ वास्तविक $n$ की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है $n$ सम है और $x$ धनात्मक है। और धनात्मक nवाँ मूल अन्य स्थितियों में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में ${\sqrt[{n}]{x}}$ , पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है $x$ रेडिकैंड कहा जाता है।

जब सम्मिश्र $n$ वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि $x$ के रूप में $n$ वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग $n$ की मूल के साथ चुना जाये, और जब दो होते हैं ( $x$ वास्तविक और नकारात्मक के लिए) हों, तो एक धनात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह $n$ वें मूल फलन (गणित) बनाता है जो $x$ वास्तविक और धनात्मक के लिए वास्तविक और धनात्मक है, और $x$ के वास्तविक और ऋणात्मक मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है

इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन $n$ मूल असली नहीं है। उदाहरण के लिए, $-8$ तीन घनमूल हैं, $-2$ , $1+i{\sqrt {3}}$ तथा $1-i{\sqrt {3}}.$ वास्तविक घनमूल $-2$ है और मुख्य घनमूल $1+i{\sqrt {3}}$ है

एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी^[1] या कट्टरपंथी के रूप में जाना जाता है।^[2] कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को मूल व्यंजक कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है।

मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:

{\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.

<डिव क्लास = राइट>

[1]

[2]

@@ Line 196: / Line 196: @@
 </syntaxhighlight>
-=== लघुगणकीय गणना ===
+=== लघुगणकीय गणना                                                                                                                                                     ===
-एक धनात्मक संख्या का मूल nवाँ मूल लघुगणक का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है। उस समीकरण से प्रारंभ करना जो r को x के nवें मूल के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात् <math>r^n=x,</math> x धनात्मक के साथ और इसलिए इसकी प्रमुख मूल भी धनात्मक हैं, प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक (कोई भी लघुगणक # विशेष आधार करेगा) लेते हैं
+एक धनात्मक संख्या का मूल nवाँ मूल लघुगणक का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है। उस समीकरण से प्रारंभ करना जो r को x के nवें मूल के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात् <math>r^n=x,</math> x धनात्मक के साथ और इसलिए इसकी प्रमुख मूल भी धनात्मक हैं, प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक (कोई भी लघुगणक या विशेष आधार करेगा) लेते हैं
-:<math>n \log_b r = \log_b x \quad \quad \text{hence} \quad \quad \log_b r = \frac{\log_b x}{n}.</math>
+:<math>n \log_b r = \log_b x \quad \quad \text{hence} \quad \quad \log_b r = \frac{\log_b x}{n}.                                                                               </math>
 एंटीलॉग लेकर इससे मूल r प्राप्त किया जाता है:
 :<math>r = b^{\frac{1}{n}\log_b x}.</math>
 (ध्यान दें: वह सूत्र b को विभाजन के परिणाम की घात दिखाता है, न कि b को विभाजन के परिणाम से गुणा करता है।)
-उस स्थिति के लिए जिसमें x ऋणात्मक है और n विषम है, वास्तविक मूल r है जो ऋणात्मक भी है। यह पहले परिभाषित समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है <math>|r|^n = |x|,</math> फिर |r| खोजने के लिए पहले की तरह आगे बढ़ें, और उपयोग करें {{nowrap|''r'' {{=}} −{{!}}''r''{{!}}}}.
+उस स्थिति के लिए जिसमें x ऋणात्मक है और n विषम है, वास्तविक मूल r है जो ऋणात्मक भी है। यह पहले परिभाषित समीकरण के दोनों पक्षों को -1 से गुणा करके <math>|r|^n = |x|,</math> प्राप्त किया जा सकता है  फिर |r| खोजने के लिए पहले की तरह आगे बढ़ें, और {{nowrap|''r'' {{=}} −{{!}}''r''{{!}}}} उपयोग करें .
-== ज्यामितीय निर्माण ==
+== ज्यामितीय निर्माण                                                                        ==
 प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ जानते थे कि दी गई लंबाई के वर्गमूल के सामान्तर लंबाई का निर्माण करने के लिए कम्पास-एंड-सीधा निर्माण कैसे किया जाता है, जब इकाई लंबाई की सहायक रेखा दी जाती है। 1837 में पियरे वांजेल ने सिद्ध किया कि यदि n 2 की शक्ति नहीं है तब दी गई लंबाई की nवीं मूल का निर्माण नहीं किया जा सकता है।<ref>{{Citation|first = [[Monsieur|M.]] L.|last = Wantzel|title = Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas |journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|year = 1837|volume = 1|issue = 2|pages = 366–372|url = http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF}}.</ref>
-== सम्मिश्र मूल ==
+== सम्मिश्र मूल                             ==
-के अलावा हर सम्मिश्र संख्या के n भिन्न nवें मूल होते हैं।
+के अलावा हर सम्मिश्र संख्या  n भिन्न के nवें मूल होते हैं।
 ===वर्गमूल===
-[[Image:Imaginary2Root.svg|thumb|right|''मैं'' का वर्गमूल]]एक सम्मिश्र संख्या के दो वर्गमूल सदैव दूसरे के ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, के वर्गमूल {{math|−4}} हैं {{math|2''i''}} तथा {{math|−2''i''}}, और का वर्गमूल {{math|''i''}} हैं
+[[Image:Imaginary2Root.svg|thumb|right|''मैं'' का वर्गमूल]]एक सम्मिश्र संख्या के दो वर्गमूल सदैव दूसरे के ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, {{math|−4}} के वर्गमूल  {{math|2''i''}} तथा {{math|−2''i''}} होते है , और {{math|''i''}} का वर्गमूल  हैं
-:<math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) \quad\text{and}\quad -\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i).</math>
+:<math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) \quad\text{and}\quad -\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i)                                                                                                     </math>
 यदि हम सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करते हैं, तब त्रिज्या का वर्गमूल लेकर और कोण को आधा करके वर्गमूल प्राप्त किया जा सकता है:
 :<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \pm\sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}.</math>
 उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या का मुख्य मूल विभिन्न विधियों से चुना जा सकता है
 :<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}</math>
-जो स्थिति के साथ धनात्मक  वास्तविक अक्ष के साथ सम्मिश्र विमान में शाखा का परिचय देता है {{math|0&nbsp;≤&nbsp;''θ''&nbsp;<&nbsp;2{{pi}}}}, या ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के साथ {{math|−{{pi}}&nbsp;<&nbsp;''θ''&nbsp;≤&nbsp;{{pi}}}}.
+जो स्थिति {{math|0&nbsp;≤&nbsp;''θ''&nbsp;<&nbsp;2{{pi}}}} के साथ धनात्मक  वास्तविक अक्ष के साथ, या {{math|−{{pi}}&nbsp;<&nbsp;''θ''&nbsp;≤&nbsp;{{pi}}}}  के साथ ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के साथ सम्मिश्र विमान में शाखा कटौती का परिचय देता है ,  .
 पहली (अंतिम) शाखा का उपयोग करते हुए मुख्य वर्गमूल को काटें <math>\scriptstyle \sqrt z</math> एमएपीएस <math>\scriptstyle z</math> गैर-ऋणात्मक काल्पनिक (वास्तविक) भाग के साथ आधा विमान। मैटलैब या साइलैब जैसे गणितीय सॉफ़्टवेयर में अंतिम ब्रांच कट को माना जाता है।
-=== एकता की मूल ===
+=== एकता की मूल                                                   ===
 [[File:3rd roots of unity.svg|thumb|right|1 की तीन तीसरी मूल ]]
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