Nवे मूल: Difference between revisions

Revision as of 13:06, 25 July 2023

गणित में, nवाँ मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। n वाँ मूल लेते हुए इसे ${\sqrt[{n}]{x}}$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवाँ मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:

r^{n}=x,

डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल ${\sqrt {x}}$ के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल ${\sqrt[{3}]{x}}$ के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। $n$ मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3²= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3)² = 9 है.

सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र $n$ वें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए 0 का $n$ ' मूल शून्य होता है, जबसे $0 n = 0$ . विशेष रूप से, यदि $n$ सम है और $x$ धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका $n$ मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब $n > 2$ ) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि $n$ सम है और $x$ ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं $n$ वीं मूल वास्तविक हैं। यदि $n$ विषम है और $x$ वास्तविक है, $n$ मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह $x$ के समान है , जबकि अन्य ( $n - 1$ ) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि $x$ वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं $n$ वें मूल वास्तविक हैं।

वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक ${\sqrt {{~^{~}}^{~}\!\!}}$ का उपयोग करके लिखी जाती हैं , यदि $x$ धनात्मक है जिसके साथ ${\sqrt {x}}$ $x$ के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना होता है; यदि $n$ विषम है तो ${\sqrt[{n}]{x}}$ वास्तविक $n$ की मूल को दर्शाता है उच्च मूलों के लिए, यदि है $n$ सम है और $x$ धनात्मक है। और धनात्मक nवाँ मूल अन्य स्थितियों में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में ${\sqrt[{n}]{x}}$ , पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है $x$ रेडिकैंड कहा जाता है।

जब सम्मिश्र $n$ वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे सिद्धांत मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। सामान्य पसंद सिद्धांत चुनना है कि $x$ के रूप में $n$ वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग $n$ की मूल के साथ चुना जाये, और जब दो होते हैं ( $x$ वास्तविक और नकारात्मक के लिए) हों, तो एक धनात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह $n$ वें मूल फलन (गणित) बनाता है जो $x$ वास्तविक और धनात्मक के लिए वास्तविक और धनात्मक है, और $x$ के वास्तविक और ऋणात्मक मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है

इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन $n$ मूल असली नहीं है। उदाहरण के लिए, $-8$ तीन घनमूल हैं, $-2$ , $1+i{\sqrt {3}}$ तथा $1-i{\sqrt {3}}.$ वास्तविक घनमूल $-2$ है और मुख्य घनमूल $1+i{\sqrt {3}}$ है

एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी^[1] या कट्टरपंथी के रूप में जाना जाता है।^[2] कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को मूल व्यंजक कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे बीजगणितीय व्यंजक कहा जाता है।

मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:

{\sqrt[{n}]{x}}=x^{1/n}.

<डिव क्लास = राइट>

[1]

[2]

@@ Line 74: / Line 74: @@
 ऋणात्मक या सम्मिश्र संख्याओं के nवें मूल को लेते समय सूक्ष्मताएँ उत्पन्न हो सकती हैं। उदाहरण के लिए:
-:<math>\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} \neq \sqrt{-1 \times -1} = 1,\quad</math> बल्कि, <math>\quad\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = i \times i = i^2 = -1.</math>
+<math>\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} \neq \sqrt{-1 \times -1} = 1,\quad</math>किंतु,<math>\quad\sqrt{-1}\times\sqrt{-1} = i \times i = i^2 = -1.</math>
 नियम से <math>\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} =  \sqrt[n]{ab} </math> केवल गैर-ऋणात्मक वास्तविक रेडिकैंड्स के लिए सख्ती से प्रयुक्त  होता है, इसके आवेदन से उपरोक्त पहले चरण में असमानता हो जाती है।
-== एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति का सरलीकृत रूप                            ==
+== एक कट्टरपंथी अभिव्यक्ति का सरलीकृत रूप                      ==
 एक गैर-नेस्टेड कट्टरपंथी अभिव्यक्ति को सरलीकृत रूप में कहा जाता है यदि<ref>{{cite book|last=McKeague|first=Charles P.|title=प्राथमिक बीजगणित|page=470|year=2011|url=https://books.google.com/books?id=etTbP0rItQ4C&q=editions:q0hGn6PkOxsC|isbn=978-0-8400-6421-9}}</ref>
 # रेडिकैंड का कोई कारक नहीं है जिसे सूचकांक से अधिक या उसके सामान्तर शक्ति के रूप में लिखा जा सके।
 # मूलांक चिह्न के नीचे कोई अंश नहीं हैं।
-# हर में कोई रेडिकल नहीं हैं।
+# सभी में कोई रेडिकल नहीं हैं।
 उदाहरण के लिए, मूल अभिव्यक्ति लिखने के लिए <math>\sqrt{\tfrac{32}{5}}</math> सरलीकृत रूप में, हम निम्नानुसार आगे बढ़ सकते हैं। सबसे पहले, वर्गमूल चिन्ह के नीचे पूर्ण वर्ग की तलाश करें और इसे हटा दें:
@@ Line 88: / Line 89: @@
 :<math>4 \sqrt{\tfrac{2}{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}</math>
 अंत में, हम निम्न प्रकार से भाजक से मूलांक को हटाते हैं:
-:<math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{10}</math>
+:<math>\frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{4 \sqrt{10}}{5} = \frac{4}{5}\sqrt{10}                          </math>
-जब करणी में भाजक होता है तब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को गुणा करने के लिए कारक खोजना सदैव  संभव होता है।<ref>B.F. Caviness, R.J. Fateman, [http://www.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/radcan.pdf "Simplification of Radical Expressions"], ''Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation'', p.&nbsp;329.</ref><ref>Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", ''Journal of Symbolic Computation'' '''1''':189–210 (1985) {{doi|10.1016/S0747-7171(85)80014-6}}.</ref> उदाहरण के लिए दो घनों के गुणनखंडन#योग/अंतर का उपयोग करना:
+जब करणी में भाजक होता है तब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए अंश और हर दोनों को गुणा करने के लिए कारक खोजना सदैव  संभव होता है।<ref>B.F. Caviness, R.J. Fateman, [http://www.eecs.berkeley.edu/~fateman/papers/radcan.pdf "Simplification of Radical Expressions"], ''Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation'', p.&nbsp;329.</ref><ref>Richard Zippel, "Simplification of Expressions Involving Radicals", ''Journal of Symbolic Computation'' '''1''':189–210 (1985) {{doi|10.1016/S0747-7171(85)80014-6}}.</ref> उदाहरण के लिए दो घनों के गुणनखंडन या योग/अंतर का उपयोग करना :
 :<math>
    \frac{1}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} =
    \frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{\left(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}\right)} =
    \frac{\sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}}{a + b} .
 </math>
 नेस्टेड रेडिकल्स से जुड़े रेडिकल एक्सप्रेशंस को सरल बनाना अधिक कठिनाई हो सकता है। उदाहरण के लिए यह स्पष्ट नहीं है कि:
@@ Line 100: / Line 101: @@
 :<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = 1 + \sqrt{2}</math>
 उपरोक्त के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है:
-:<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}^2} = \sqrt{\left(1 + \sqrt{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2}</math>
+:<math>\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{1 + 2\sqrt{2} + 2} = \sqrt{1^2 + 2\sqrt{2} + \sqrt{2}^2} = \sqrt{\left(1 + \sqrt{2}\right)^2} = 1 + \sqrt{2}                     </math>
-होने देना <math>r=p/q</math>, साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} कोप्राइम और धनात्मक  पूर्णांक। फिर <math>\sqrt[n]r = \sqrt[n]{p}/\sqrt[n]{q}</math> तर्कसंगत है यदि और केवल यदि दोनों <math>\sqrt[n]{p}</math> तथा <math>\sqrt[n]{q}</math> पूर्णांक हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} किसी पूर्णांक की nवीं घात हैं।
+मान लीजिये  <math>r=p/q</math>, साथ {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} कोप्राइम और धनात्मक पूर्णांक। फिर <math>\sqrt[n]r = \sqrt[n]{p}/\sqrt[n]{q}</math> तर्कसंगत है यदि और केवल यदि दोनों <math>\sqrt[n]{p}</math> तथा <math>\sqrt[n]{q}</math> पूर्णांक हैं, जिसका अर्थ है कि दोनों {{mvar|p}} तथा {{mvar|q}} किसी पूर्णांक की nवीं घात हैं।
 == अनंत श्रृंखला ==
 रेडिकल या मूल को अनंत श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है:
-:<math>(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s-kt)}{n!t^n}x^n</math>
+:<math>(1+x)^\frac{s}{t} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\prod_{k=0}^{n-1} (s-kt)}{n!t^n}x^n                                                                                               </math>
 साथ <math>|x|<1</math>. यह अभिव्यक्ति द्विपद श्रृंखला से प्राप्त की जा सकती है।
-== कंप्यूटिंग सिद्धांत  मूल्स ==
+== कंप्यूटिंग सिद्धांत  मूल्स                                                    ==
+<nowiki>=== न्यूटन की विधि का प्रयोग ===</nowiki>
+किसी संख्या {{math|''A''}} की nवें मूल की गणना न्यूटन की विधि से की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान {{math|''x''<sub>0</sub>}} से प्रारंभ होती है और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है
+:<math>x_{k+1} = x_k-\frac{x_k^n-A}{nx_k^{n-1}}                                                                                                          </math>
+जब तक वांछित स्पष्टता  प्राप्त नहीं हो जाती। कम्प्यूटेशनल दक्षता के लिए, पुनरावृत्ति संबंध सामान्यतः फिर से लिखा जाता है
+:<math>x_{k+1} = \frac{n-1}{n}\,x_k+\frac{A}{n}\,\frac 1{x_k^{n-1}}                                                                                                                      </math>
+यह केवल घातांक रखने की अनुमति देता है, और प्रत्येक शब्द के पहले कारक के लिए बार गणना करने की अनुमति देता है।
+उदाहरण के लिए, 34 का पाँचवाँ मूल ज्ञात करने के लिए, हम {{math|1=''n'' = 5, ''A'' = 34}} तथा {{math|1=''x''<sub>0</sub> = 2}} (आरंभिक अनुमान) योग करते हैं । पहले 5 पुनरावृत्तियाँ हैं,
+लगभग:
+''x''<sub>0</sub> = 2
+''x''<sub>1</sub> = 2.025
+''x''<sub>2</sub> = 2.02439 7...
+''x''<sub>3</sub> = 2.02439 7458...
-=== न्यूटन की विधि का प्रयोग === {{math|''n''}}<nowiki>'}}एक संख्या की मूल </nowiki>{{math|''A''}} न्यूटन की विधि से गणना की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान से प्रारंभ होती है {{math|''x''<sub>0</sub>}} और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है
+''x''<sub>4</sub> = 2.02439 74584 99885 04251 08172...
-:<math>x_{k+1} = x_k-\frac{x_k^n-A}{nx_k^{n-1}}</math>
-जब तक वांछित स्पष्टता  प्राप्त नहीं हो जाती। कम्प्यूटेशनल दक्षता के लिए, पुनरावृत्ति संबंध सामान्यतः फिर से लिखा जाता है
-:<math>x_{k+1} = \frac{n-1}{n}\,x_k+\frac{A}{n}\,\frac 1{x_k^{n-1}}.</math>
-यह केवल घातांक रखने की अनुमति देता है, और प्रत्येक शब्द के पहले कारक के लिए बार गणना करने की अनुमति देता है।
-उदाहरण के लिए, 34 का पाँचवाँ मूल ज्ञात करने के लिए, हम प्लग इन करते हैं {{math|1=''n'' = 5, ''A'' = 34}} तथा {{math|1=''x''<sub>0</sub> = 2}} (आरंभिक अनुमान)। पहले 5 पुनरावृत्तियाँ हैं, लगभग:
+''x''<sub>5</sub> = 2.02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...                          <br>(सभी सही अंक दिखाए गए हैं।)
-<br>
-{{math|1=''x''<sub>0</sub> = 2}}
-<br>
-{{math|1=''x''<sub>1</sub> = 2.025}}
-<br>
-{{math|1=''x''<sub>2</sub> = 2.02439 7...}}
-<br>
-{{math|1=''x''<sub>3</sub> = 2.02439 7458...}}
-<br>
-{{math|1=''x''<sub>4</sub> = 2.02439 74584 99885 04251 08172...}}
-<br>
-{{math|1=''x''<sub>5</sub> = 2.02439 74584 99885 04251 08172 45541 93741 91146 21701 07311 8...}}
-<br>
-(सभी सही अंक दिखाए गए हैं।)
-सन्निकटन {{math|''x''<sub>4</sub>}} 25 दशमलव स्थानों के लिए सटीक है और {{math|''x''<sub>5</sub>}} 51 के लिए अच्छा है।
+सन्निकटन {{math|''x''<sub>4</sub>}}  दशमलव 25 स्थानों के लिए सटीक है और {{math|''x''<sub>5</sub>}} 51 के लिए अच्छा है।
-न्यूटन की विधि को nवें मूल के लिए धनात्मक संख्याओं के विभिन्न सामान्यीकृत निरंतर भिन्न#मूल उत्पन्न करने के लिए संशोधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,
+न्यूटन की विधि को nवें मूल के लिए धनात्मक संख्याओं के विभिन्न सामान्यीकृत निरंतर भिन्न या मूल उत्पन्न करने के लिए संशोधित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,
 :<math>
    \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{x^n+y} = x+\cfrac{y} {nx^{n-1}+\cfrac{(n-1)y} {2x+\cfrac{(n+1)y} {3nx^{n-1}+\cfrac{(2n-1)y} {2x+\cfrac{(2n+1)y} {5nx^{n-1}+\cfrac{(3n-1)y} {2x+\ddots}}}}}}.
 </math>
 === दशमलव के प्रमुख मूल (आधार 10) संख्याओं की अंक-दर-अंकीय गणना ===
-[[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के विधियों पर निर्माण#दशमलव (आधार 10)|एक वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना, यह देखा जा सकता है कि सूत्र का उपयोग किया गया है, <math>x(20p + x) \le c</math>, या <math>x^2 + 20xp \le c</math>, पास्कल के त्रिकोण से जुड़े पैटर्न का अनुसरण करता है। किसी संख्या के nवें मूल के लिए <math>P(n,i)</math> तत्व के मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>i</math> पंक्ति में <math>n</math> पास्कल के त्रिभुज का ऐसा है कि <math>P(4,1) = 4</math>, हम अभिव्यक्ति को फिर से लिख सकते हैं <math>\sum_{i=0}^{n-1}10^i P(n,i)p^i x^{n-i}</math>. सुविधा के लिए, इस व्यंजक के परिणाम को कॉल करें <math>y</math>. इस अधिक सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, किसी भी धनात्मक  मूल मूल की गणना, अंक-दर-अंक, निम्नानुसार की जा सकती है।
+[[Image:PascalForDecimalRoots.svg|right|thumb|पास्कल का त्रिभुज | पास्कल का त्रिभुज दिखा रहा है <math>P(4,1) = 4</math>.]]वर्गमूल की गणना के विधियों पर निर्माण या दशमलव (आधार 10 है | वर्गमूल की अंक-दर-अंक गणना के आधार पर , यह देखा जा सकता है कि वंहा प्रयुक्त सूत्र <math>x(20p + x) \le c</math> या <math>x^2 + 20xp \le c</math>  का उपयोग किया गया है, , पास्कल के त्रिकोण से जुड़े पैटर्न का अनुसरण करता है। किसी संख्या के nवें मूल के लिए <math>P(n,i)</math> को पास्कल के त्रिभुज की पंक्ति <math>n</math> में तत्व <math>i</math> के मूल्य के रूप में परिभाषित किया गया है कि <math>P(4,1) = 4</math>, हम अभिव्यक्ति को <math>\sum_{i=0}^{n-1}10^i P(n,i)p^i x^{n-i}</math> के रूप में फिर से लिख सकते हैं . सुविधा के लिए, इस व्यंजक के परिणाम को <math>y</math> कॉल करें . इस अधिक सामान्य अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, किसी भी धनात्मक  मूल मूल की गणना करते है , जिसे अंक-दर-अंक, निम्नानुसार उपयोग किया जा सकती है।
 मूल संख्या को दशमलव रूप में लिखिए। संख्याएँ दीर्घ विभाजन एल्गोरिथम के समान लिखी जाती हैं, और, दीर्घ विभाजन की तरह, मूल को ऊपर की रेखा पर लिखा जाएगा। अभी अंकों को दशमलव बिंदु से प्रारंभ करते हुए और बाएँ और दाएँ दोनों ओर जाते हुए, निकाले जा रहे मूल के सामान्तर अंकों के समूहों में भिन्न  करें। मूल का दशमलव बिंदु रेडिकैंड के दशमलव बिंदु से ऊपर होगा। मूल संख्या के अंकों के प्रत्येक समूह के ऊपर मूल का अंक दिखाई देगा।
 अंकों के सबसे बाएँ समूह से प्रारंभ करते हुए, प्रत्येक समूह के लिए निम्न प्रक्रिया करें:
-# बाईं ओर से प्रारंभ करते हुए, अभी तक उपयोग नहीं किए गए अंकों के सबसे महत्वपूर्ण (सबसे बाएं) समूह को नीचे लाएं (यदि सभी अंकों का उपयोग किया गया है, तब 0 को समूह बनाने के लिए आवश्यक संख्या लिखें) और उन्हें शेष के दाईं ओर लिखें पिछले चरण से (पहले चरण पर, कोई शेष नहीं रहेगा)। दूसरे शब्दों में, शेष को गुणा करें <math>10^n</math> और अगले समूह से अंक जोड़ें। यह वर्तमान मूल्य 'सी' होगा।
+# बाईं ओर से प्रारंभ करते हुए, अभी तक उपयोग नहीं किए गए अंकों के सबसे महत्वपूर्ण (सबसे बाएं) समूह को नीचे लाएं (यदि सभी अंकों का उपयोग किया गया है, तब समूह बनाने के लिए आवश्यक संख्या 0 को लिखें) और उन्हें शेष के दाईं ओर लिखें पिछले चरण से (पहले चरण पर, कोई शेष नहीं रहेगा)। दूसरे शब्दों में, शेषफल को <math>10^n</math> से गुणा करें  और अगले समूह से अंक जोड़ें। यह वर्तमान मूल्य 'सी' होगा।
-# इस प्रकार ''पी'' और ''एक्स'' खोजें:
+#इस प्रकार ''p'' और ''x'' खोजें:
-#* होने देना <math>p</math> किसी भी दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, अभी तक प्राप्त मूल का हिस्सा बनें। (पहले चरण के लिए, <math>p = 0</math>).
+#* मान लीजिये कि किसी भी दशमलव बिंदु को अनदेखा करते हुए, <math>p</math> को अभी तक प्राप्त मूल का हिस्सा होना चाहिए था । (पहले चरण के लिए, <math>p = 0</math>).
-#* सबसे बड़ा अंक निर्धारित करें <math>x</math> ऐसा है कि <math>y \le c</math>.
+#* सबसे बड़ा अंक <math>x</math> निर्धारित करें जैसा  कि <math>y \le c</math>.
-#* अंक लगाएं <math>x</math> मूल के अगले अंक के रूप में, अर्थात अंकों के उस समूह के ऊपर जिसे आपने अभी नीचे लाया है। इस प्रकार अगला पी पुराना पी गुणा 10 प्लस एक्स होगा।
+#* अंक <math>x</math> को मूल के अगले अंक के रूप में लगाएं, अर्थात अंकों के उस समूह के ऊपर जिसे आपने अभी नीचे लाया है। इस प्रकार अगला p पुराना p गुणा 10 प्लस x होगा।
-# घटाना <math>y</math> से <math>c</math> नया अवशेष बनाने के लिए।
+# नया अवशेष बनाने के लिए <math>c</math> में से <math>y</math> घटाना चाहिए ।
 # यदि शेषफल शून्य है और नीचे लाने के लिए और अंक नहीं हैं, तब एल्गोरिथम समाप्त हो गया है। अन्यथा दूसरे पुनरावृत्ति के लिए चरण 1 पर वापस जाएँ।
-==== उदाहरण ====
+==== उदाहरण                                                     ====
 .2756 का वर्गमूल ज्ञात कीजिए।<syntaxhighlight>
   2. 3  4

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