Nवे मूल: Difference between revisions

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{{short description|Arithmetic operation}}
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{{about|वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के nवें-मूल|अन्य उपयोग|जड़ (बहुविकल्पी) या गणित}}गणित में, nवाँ मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। nवाँ मूल लेते हुए इसे {1} के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवाँ मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:  
{{about|वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के nवें-मूल|अन्य उपयोग|जड़ (बहुविकल्पी) या गणित}}गणित में, nवाँ मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। n वाँ मूल लेते हुए इसे <math>{\sqrt[{n}]{x}}                                              </math> के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवाँ मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:  
:<math>r^n = x,</math>
:<math>r^n = x,</math>                                                                                                                                                      
डिग्री 2 की जड़ को वर्गमूल कहा जाता है जहाँ n धनात्मक पूर्णांक है, जिसे कभी-कभी मूल की घात कहा जाता है।  और डिग्री 3 की जड़ को घनमूल कहा जाता है। उच्च श्रेणी के मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी जड़, बीसवीं जड़, आदि। की गणना {{math|''n''}} जड़ जड़ निष्कर्षण है।
डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल <math>\sqrt {x}</math> के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल <math>\sqrt[{3}]{x}                                                                        </math> के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। {{math|''n''}} मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3{{sup|2}}= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3){{sup|2}} = 9 है.


<nowiki>डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (आमतौर पर n के बिना इसे केवल \sqrt {x}} के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल (\sqrt[{3}]{x}} के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की जड़ों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी जड़, बीसवीं जड़, आदि। एनवें जड़ की गणना एक जड़ निष्कर्षण है। </nowiki>
सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र {{math|''n''}}वें मूल होते है  सभी धनात्मक पूर्णांकों {{math|''n''}} के लिए 0 का {{math|''n''}}' मूल शून्य होता है, जबसे {{math|0{{sup|''n''}} {{=}} 0}}. विशेष रूप से, यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} धनात्मक  वास्तविक संख्या है, इसका {{math|''n''}} मूल वास्तविक और धनात्मक  हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब {{math|''n'' > 2}}) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं {{math|''n''}}वीं मूल वास्तविक हैं। यदि {{math|''n''}} विषम है और {{math|''x''}} वास्तविक है, {{math|''n''}}मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह {{math|''x''}} के समान है , जबकि अन्य ({{math|''n'' – 1}}) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि {{math|''x''}} वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं {{math|''n''}}वें मूल वास्तविक हैं।


उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 3 है{{sup|2}} = 9, और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3){{sup|2}} = 9.   
वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक का उपयोग करके लिखी जाती हैं <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math>, साथ <math>\sqrt{x}</math> के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना {{mvar|x}} यदि {{mvar|x}} धनात्मक  है; उच्च मूलों के लिए, <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक को दर्शाता है {{math|''n''}}की मूल {{math|''n''}} विषम है, और धनात्मक nवाँ मूल यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} धनात्मक  है। अन्य स्थितियों  में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है।


किसी भी गैर-शून्य संख्या को सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है {{math|''n''}} भिन्न  जटिल {{math|''n''}}वें मूल, वास्तविक संख्या वालों सहित (अधिकतम दो)। {{math|''n''}}<nowiki>'}}सभी धनात्मक पूर्णांकों के लिए 0 का मूल शून्य होता है </nowiki>{{math|''n''}}, जबसे {{math|0{{sup|''n''}} {{=}} 0}}. विशेष रूप से, यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} धनात्मक  वास्तविक संख्या है, इसका {{math|''n''}}जड़ें वास्तविक और धनात्मक  हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब {{math|''n'' > 2}}) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि {{math|''n''}} सम है और {{math|''x''}} ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं {{math|''n''}}वीं जड़ें असली हैं। यदि {{math|''n''}} विषम है और {{math|''x''}} वास्तविक है, {{math|''n''}}मूल वास्तविक है और इसका चिन्ह समान है {{math|''x''}}, जबकि अन्य ({{math|''n'' – 1}}) जड़ें वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि {{math|''x''}} वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं {{math|''n''}}वें मूल वास्तविक हैं।
जब सम्मिश्र {{mvar|n}}वें मूलों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः मूलों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे प्रिंसिपल मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। आम पसंद प्रिंसिपल चुनना है {{mvar|n}}की मूल {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग के साथ, और जब दो होते हैं (के लिए {{mvar|x}} वास्तविक और नकारात्मक), धनात्मक  काल्पनिक भाग वाला। यह बनाता है {{mvar|n}}वें मूल फलन (गणित) है जो वास्तविक और धनात्मक  है {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक , और के मूल्यों को छोड़कर, पूरे सम्मिश्र विमान में निरंतर कार्य करता है {{mvar|x}} जो वास्तविक और ऋणात्मक हैं।


वास्तविक संख्याओं की जड़ें सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक का उपयोग करके लिखी जाती हैं <math>\sqrt{{~^~}^~\!\!}</math>, साथ <math>\sqrt{x}</math> के धनात्मक वर्गमूल को निरूपित करना {{mvar|x}} यदि {{mvar|x}} धनात्मक  है; उच्च जड़ों के लिए, <math>\sqrt[n]{x}</math> वास्तविक को दर्शाता है {{math|''n''}}की जड़ें {{math|''n''}} विषम है, और धनात्मक nवाँ मूल यदि है {{math|''n''}} सम है और {{mvar|x}} धनात्मक  है। अन्य स्थितियों  में, प्रतीक सामान्यतः अस्पष्ट होने के रूप में उपयोग नहीं किया जाता है। अभिव्यक्ति में <math>\sqrt[n]{x}</math>, पूर्णांक n को अनुक्रमणिका और कहा जाता है {{mvar|x}} रेडिकैंड कहा जाता है।
इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}}मूल असली नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल है <math>-2</math> और मुख्य घनमूल है <math>1 + i\sqrt{3}.</math>
एक अनसुलझी मूल , विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी के रूप में जाना जाता है<ref>{{cite book |title=सीबीएसई गणित IX के लिए नया दृष्टिकोण|first=R.K. |last=Bansal |page=25 |year=2006 |isbn=978-81-318-0013-3 |publisher=Laxmi Publications |url=https://books.google.com/books?id=1C4iQNUWLBwC&pg=PA25}}</ref> या कट्टरपंथी।<ref name="silver">{{cite book|last=Silver|first=Howard A.|title=बीजगणित और त्रिकोणमिति|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-021270-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv}}</ref> कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को ''मूल व्यंजक'' कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे ''बीजगणितीय व्यंजक'' कहा जाता है। ''।''


जब जटिल {{mvar|n}}वें जड़ों पर विचार किया जाता है, यह अधिकांशतः जड़ों में से को चुनने के लिए उपयोगी होता है, जिसे प्रिंसिपल मूल कहा जाता है, मुख्य मूल्य के रूप में। आम पसंद प्रिंसिपल चुनना है {{mvar|n}}की जड़ {{mvar|x}} के रूप में {{mvar|n}}वें मूल सबसे बड़ा वास्तविक भाग के साथ, और जब दो होते हैं (के लिए {{mvar|x}} वास्तविक और नकारात्मक), धनात्मक  काल्पनिक भाग वाला। यह बनाता है {{mvar|n}}वें मूल फलन (गणित) है जो वास्तविक और धनात्मक  है {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक , और के मूल्यों को छोड़कर, पूरे जटिल विमान में निरंतर कार्य करता है {{mvar|x}} जो वास्तविक और ऋणात्मक हैं।
मूलों को घातांक के विशेष स्थितियों  के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:
 
इस विकल्प के साथ कठिनाई यह है कि, ऋणात्मक वास्तविक संख्या और विषम सूचकांक के लिए, मूलधन {{mvar|n}}जड़ असली नहीं है। उदाहरण के लिए, <math>-8</math> तीन घनमूल हैं, <math>-2</math>, <math>1 + i\sqrt{3}</math> तथा <math>1 - i\sqrt{3}.</math> वास्तविक घनमूल है <math>-2</math> और मुख्य घनमूल है <math>1 + i\sqrt{3}.</math>
एक अनसुलझी जड़, विशेष रूप से कट्टरपंथी प्रतीक का उपयोग करते हुए, कभी-कभी करणी के रूप में जाना जाता है<ref>{{cite book |title=सीबीएसई गणित IX के लिए नया दृष्टिकोण|first=R.K. |last=Bansal |page=25 |year=2006 |isbn=978-81-318-0013-3 |publisher=Laxmi Publications |url=https://books.google.com/books?id=1C4iQNUWLBwC&pg=PA25}}</ref> या कट्टरपंथी।<ref name="silver">{{cite book|last=Silver|first=Howard A.|title=बीजगणित और त्रिकोणमिति|year=1986|publisher=Prentice-Hall|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-021270-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/algebratrigonome00silv}}</ref> कोई भी व्यंजक जिसमें मूलांक हो, चाहे वह वर्गमूल हो, घनमूल हो, या उच्च मूल हो, को ''मूल व्यंजक'' कहा जाता है, और यदि इसमें कोई पारलौकिक कार्य या पारलौकिक संख्याएँ नहीं हैं, तब इसे ''बीजगणितीय व्यंजक'' कहा जाता है। ''।''
 
जड़ों को घातांक के विशेष स्थितियों  के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जहां प्रतिपादक अंश (गणित) है:
:<math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.</math>
:<math>\sqrt[n]{x} = x^{1/n}.</math>
<डिव क्लास = राइट>{{Arithmetic operations}}</div>
<डिव क्लास = राइट>{{Arithmetic operations}}


मूल परीक्षण के साथ शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए जड़ों का उपयोग किया जाता है। {{mvar|n}}n}}1 के वें मूल को एकता की जड़ कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण।
मूल परीक्षण के साथ शक्ति श्रृंखला के अभिसरण के त्रिज्या को निर्धारित करने के लिए मूलों का उपयोग किया जाता है। {{mvar|n}}<nowiki>n}}1 के वें मूल को एकता की मूल कहा जाता है और गणित के विभिन्न क्षेत्रों में मौलिक भूमिका निभाते हैं, जैसे संख्या सिद्धांत, समीकरणों का सिद्धांत, और फूरियर रूपांतरण।</nowiki>


== इतिहास ==
== इतिहास ==
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n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, <math>\sqrt[5]{-2} = -1.148698354\ldots</math> किन्तु -2 का कोई वास्तविक छठा मूल नहीं है।
n के सम मानों के लिए, धनात्मक संख्याओं का ऋणात्मक nवां मूल भी होता है, जबकि ऋणात्मक संख्याओं का वास्तविक nवां मूल नहीं होता है। n के विषम मानों के लिए, प्रत्येक ऋणात्मक संख्या x का वास्तविक ऋणात्मक nवां मूल होता है। उदाहरण के लिए, −2 का वास्तविक 5वां मूल है, <math>\sqrt[5]{-2} = -1.148698354\ldots</math> किन्तु -2 का कोई वास्तविक छठा मूल नहीं है।


प्रत्येक गैर-शून्य संख्या x, वास्तविक या जटिल संख्या, की n भिन्न जटिल संख्या nth जड़ें होती हैं। (स्थितियांमें x वास्तविक है, इस गणना में कोई भी वास्तविक nth मूल सम्मिलित है।) 0 का एकमात्र सम्मिश्र मूल 0 है।
प्रत्येक गैर-शून्य संख्या x, वास्तविक या सम्मिश्र संख्या, की n भिन्न सम्मिश्र संख्या nth मूल होती हैं। (स्थितियांमें x वास्तविक है, इस गणना में कोई भी वास्तविक nth मूल सम्मिलित है।) 0 का एकमात्र सम्मिश्र मूल 0 है।


लगभग सभी संख्याओं के nवें मूल (nवें घात को छोड़कर सभी पूर्णांक, और दो nवें घात के भागफल को छोड़कर सभी परिमेय) अपरिमेय संख्या हैं। उदाहरण के लिए,
लगभग सभी संख्याओं के nवें मूल (nवें घात को छोड़कर सभी पूर्णांक, और दो nवें घात के भागफल को छोड़कर सभी परिमेय) अपरिमेय संख्या हैं। उदाहरण के लिए,
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परिमेय संख्याओं के सभी nवें मूल बीजगणितीय संख्याएँ हैं, और पूर्णांकों के सभी nवें मूल बीजगणितीय पूर्णांक हैं।
परिमेय संख्याओं के सभी nवें मूल बीजगणितीय संख्याएँ हैं, और पूर्णांकों के सभी nवें मूल बीजगणितीय पूर्णांक हैं।


करणी शब्द ख़्वारिज़्मी|अल-ख़्वारिज़्मी (सी. 825) से जुड़ा है, जिन्होंने परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को क्रमशः श्रव्य और अश्रव्य के रूप में संदर्भित किया। यह पश्चात् में अरबी शब्द का कारण बना{{lang|tg-Arab|أصم}}(असम, जिसका अर्थ है बहरा या गूंगा) अपरिमेय संख्या के लिए लैटिन में सूरदस (अर्थात् बहरा या मूक) के रूप में अनुवादित किया जा रहा है। क्रेमोना के जेरार्ड (सी। 1150), फाइबोनैचि (1202), और फिर रॉबर्ट रिकॉर्डे (1551) सभी ने इस शब्द का उपयोग अनसुलझे अपरिमेय जड़ों को संदर्भित करने के लिए किया, जो कि रूप की अभिव्यक्ति है। <math>\sqrt[n]{i},</math> जिसमें <math>n</math> तथा <math>i</math> पूर्णांक संख्याएँ हैं और संपूर्ण व्यंजक अपरिमेय संख्या को दर्शाता है।<ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/s.html |title=गणित के कुछ शब्दों का सबसे पुराना ज्ञात उपयोग|publisher=Mathematics Pages by Jeff Miller|access-date=2008-11-30}}</ref> द्विघात अपरिमेय संख्याएँ, अर्थात् रूप की अपरिमेय संख्याएँ <math>\sqrt{i},</math> द्विघात करणी भी कहलाती हैं।
करणी शब्द ख़्वारिज़्मी|अल-ख़्वारिज़्मी (सी. 825) से जुड़ा है, जिन्होंने परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को क्रमशः श्रव्य और अश्रव्य के रूप में संदर्भित किया। यह पश्चात् में अरबी शब्द का कारण बना{{lang|tg-Arab|أصم}}(असम, जिसका अर्थ है बहरा या गूंगा) अपरिमेय संख्या के लिए लैटिन में सूरदस (अर्थात् बहरा या मूक) के रूप में अनुवादित किया जा रहा है। क्रेमोना के जेरार्ड (सी। 1150), फाइबोनैचि (1202), और फिर रॉबर्ट रिकॉर्डे (1551) सभी ने इस शब्द का उपयोग अनसुलझे अपरिमेय मूलों को संदर्भित करने के लिए किया, जो कि रूप की अभिव्यक्ति है। <math>\sqrt[n]{i},</math> जिसमें <math>n</math> तथा <math>i</math> पूर्णांक संख्याएँ हैं और संपूर्ण व्यंजक अपरिमेय संख्या को दर्शाता है।<ref>{{cite web |url=http://jeff560.tripod.com/s.html |title=गणित के कुछ शब्दों का सबसे पुराना ज्ञात उपयोग|publisher=Mathematics Pages by Jeff Miller|access-date=2008-11-30}}</ref> द्विघात अपरिमेय संख्याएँ, अर्थात् रूप की अपरिमेय संख्याएँ <math>\sqrt{i},</math> द्विघात करणी भी कहलाती हैं।


===वर्गमूल===
===वर्गमूल===
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== पहचान और गुण ==
== पहचान और गुण ==
nवें मूल की घात को उसके घातांक रूप में व्यक्त करना, जैसा कि में है <math>x^{1/n}</math>, शक्तियों और जड़ों में हेरफेर करना आसान बनाता है। यदि <math>a</math> गैर-ऋणात्मक संख्या है|गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या,
nवें मूल की घात को उसके घातांक रूप में व्यक्त करना, जैसा कि में है <math>x^{1/n}</math>, शक्तियों और मूलों में हेरफेर करना आसान बनाता है। यदि <math>a</math> गैर-ऋणात्मक संख्या है|गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या,


:<math>\sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{1/n} = a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[n]a)^m.</math>
:<math>\sqrt[n]{a^m} = (a^m)^{1/n} = a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[n]a)^m.</math>
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== कंप्यूटिंग प्रिंसिपल मूल्स ==
== कंप्यूटिंग प्रिंसिपल मूल्स ==


=== न्यूटन की विधि का प्रयोग === {{math|''n''}}'}}एक संख्या की जड़ {{math|''A''}} न्यूटन की विधि से गणना की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान से प्रारंभ होती है {{math|''x''<sub>0</sub>}} और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है
=== न्यूटन की विधि का प्रयोग === {{math|''n''}}<nowiki>'}}एक संख्या की मूल </nowiki>{{math|''A''}} न्यूटन की विधि से गणना की जा सकती है, जो प्रारंभिक अनुमान से प्रारंभ होती है {{math|''x''<sub>0</sub>}} और फिर पुनरावर्तन संबंध का उपयोग करके पुनरावृति करता है
:<math>x_{k+1} = x_k-\frac{x_k^n-A}{nx_k^{n-1}}</math>
:<math>x_{k+1} = x_k-\frac{x_k^n-A}{nx_k^{n-1}}</math>
जब तक वांछित स्पष्टता  प्राप्त नहीं हो जाती। कम्प्यूटेशनल दक्षता के लिए, पुनरावृत्ति संबंध सामान्यतः फिर से लिखा जाता है
जब तक वांछित स्पष्टता  प्राप्त नहीं हो जाती। कम्प्यूटेशनल दक्षता के लिए, पुनरावृत्ति संबंध सामान्यतः फिर से लिखा जाता है
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=== लघुगणकीय गणना ===
=== लघुगणकीय गणना ===


एक धनात्मक संख्या का मूल nवाँ मूल लघुगणक का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है। उस समीकरण से प्रारंभ करना जो r को x के nवें मूल के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात् <math>r^n=x,</math> x धनात्मक के साथ और इसलिए इसकी प्रमुख जड़ें भी धनात्मक हैं, प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक (कोई भी लघुगणक # विशेष आधार करेगा) लेते हैं
एक धनात्मक संख्या का मूल nवाँ मूल लघुगणक का उपयोग करके परिकलित किया जा सकता है। उस समीकरण से प्रारंभ करना जो r को x के nवें मूल के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात् <math>r^n=x,</math> x धनात्मक के साथ और इसलिए इसकी प्रमुख मूल भी धनात्मक हैं, प्राप्त करने के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक (कोई भी लघुगणक # विशेष आधार करेगा) लेते हैं
:<math>n \log_b r = \log_b x \quad \quad \text{hence} \quad \quad \log_b r = \frac{\log_b x}{n}.</math>
:<math>n \log_b r = \log_b x \quad \quad \text{hence} \quad \quad \log_b r = \frac{\log_b x}{n}.</math>
एंटीलॉग लेकर इससे मूल r प्राप्त किया जाता है:
एंटीलॉग लेकर इससे मूल r प्राप्त किया जाता है:
Line 208: Line 204:
== ज्यामितीय निर्माण ==
== ज्यामितीय निर्माण ==


प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ जानते थे कि दी गई लंबाई के वर्गमूल के सामान्तर लंबाई का निर्माण करने के लिए कम्पास-एंड-सीधा निर्माण कैसे किया जाता है, जब इकाई लंबाई की सहायक रेखा दी जाती है। 1837 में पियरे वांजेल ने सिद्ध किया कि यदि n 2 की शक्ति नहीं है तब दी गई लंबाई की nवीं जड़ का निर्माण नहीं किया जा सकता है।<ref>{{Citation|first = [[Monsieur|M.]] L.|last = Wantzel|title = Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas |journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|year = 1837|volume = 1|issue = 2|pages = 366–372|url = http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF}}.</ref>
प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ जानते थे कि दी गई लंबाई के वर्गमूल के सामान्तर लंबाई का निर्माण करने के लिए कम्पास-एंड-सीधा निर्माण कैसे किया जाता है, जब इकाई लंबाई की सहायक रेखा दी जाती है। 1837 में पियरे वांजेल ने सिद्ध किया कि यदि n 2 की शक्ति नहीं है तब दी गई लंबाई की nवीं मूल का निर्माण नहीं किया जा सकता है।<ref>{{Citation|first = [[Monsieur|M.]] L.|last = Wantzel|title = Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas |journal = Journal de Mathématiques Pures et Appliquées|year = 1837|volume = 1|issue = 2|pages = 366–372|url = http://visualiseur.bnf.fr/ConsulterElementNum?O=NUMM-16381&Deb=374&Fin=380&E=PDF}}.</ref>




== जटिल जड़ें ==
== सम्मिश्र मूल ==
0 के अलावा हर सम्मिश्र संख्या के n भिन्न nवें मूल होते हैं।
0 के अलावा हर सम्मिश्र संख्या के n भिन्न nवें मूल होते हैं।


Line 217: Line 213:
[[Image:Imaginary2Root.svg|thumb|right|''मैं'' का वर्गमूल]]एक सम्मिश्र संख्या के दो वर्गमूल सदैव दूसरे के ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, के वर्गमूल {{math|−4}} हैं {{math|2''i''}} तथा {{math|−2''i''}}, और का वर्गमूल {{math|''i''}} हैं
[[Image:Imaginary2Root.svg|thumb|right|''मैं'' का वर्गमूल]]एक सम्मिश्र संख्या के दो वर्गमूल सदैव दूसरे के ऋणात्मक होते हैं। उदाहरण के लिए, के वर्गमूल {{math|−4}} हैं {{math|2''i''}} तथा {{math|−2''i''}}, और का वर्गमूल {{math|''i''}} हैं
:<math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) \quad\text{and}\quad -\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i).</math>
:<math>\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i) \quad\text{and}\quad -\tfrac{1}{\sqrt{2}}(1 + i).</math>
यदि हम जटिल संख्या को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करते हैं, तब त्रिज्या का वर्गमूल लेकर और कोण को आधा करके वर्गमूल प्राप्त किया जा सकता है:
यदि हम सम्मिश्र संख्या को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करते हैं, तब त्रिज्या का वर्गमूल लेकर और कोण को आधा करके वर्गमूल प्राप्त किया जा सकता है:
:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \pm\sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}.</math>
:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \pm\sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}.</math>
उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या का मुख्य मूल विभिन्न विधियों से चुना जा सकता है
उदाहरण के लिए, सम्मिश्र संख्या का मुख्य मूल विभिन्न विधियों से चुना जा सकता है
:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}</math>
:<math>\sqrt{re^{i\theta}} = \sqrt{r} \cdot e^{i\theta/2}</math>
जो स्थिति के साथ धनात्मक  वास्तविक अक्ष के साथ जटिल विमान में शाखा का परिचय देता है {{math|0&nbsp;≤&nbsp;''θ''&nbsp;<&nbsp;2{{pi}}}}, या ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के साथ {{math|−{{pi}}&nbsp;<&nbsp;''θ''&nbsp;≤&nbsp;{{pi}}}}.
जो स्थिति के साथ धनात्मक  वास्तविक अक्ष के साथ सम्मिश्र विमान में शाखा का परिचय देता है {{math|0&nbsp;≤&nbsp;''θ''&nbsp;<&nbsp;2{{pi}}}}, या ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के साथ {{math|−{{pi}}&nbsp;<&nbsp;''θ''&nbsp;≤&nbsp;{{pi}}}}.


पहली (अंतिम) शाखा का उपयोग करते हुए मुख्य वर्गमूल को काटें <math>\scriptstyle \sqrt z</math> एमएपीएस <math>\scriptstyle z</math> गैर-ऋणात्मक काल्पनिक (वास्तविक) भाग के साथ आधा विमान। मैटलैब या साइलैब जैसे गणितीय सॉफ़्टवेयर में अंतिम ब्रांच कट को माना जाता है।
पहली (अंतिम) शाखा का उपयोग करते हुए मुख्य वर्गमूल को काटें <math>\scriptstyle \sqrt z</math> एमएपीएस <math>\scriptstyle z</math> गैर-ऋणात्मक काल्पनिक (वास्तविक) भाग के साथ आधा विमान। मैटलैब या साइलैब जैसे गणितीय सॉफ़्टवेयर में अंतिम ब्रांच कट को माना जाता है।


=== एकता की जड़ें ===
=== एकता की मूल ===
[[File:3rd roots of unity.svg|thumb|right|1 की तीन तीसरी जड़ें]]
[[File:3rd roots of unity.svg|thumb|right|1 की तीन तीसरी मूल ]]
{{Main article|एकता का मूल                                                                    }}
{{Main article|एकता का मूल                                                                    }}
संख्या 1 की जटिल तल में भिन्न -भिन्न  nth जड़ें हैं, अर्थात्
संख्या 1 की सम्मिश्र तल में भिन्न -भिन्न  nth मूल हैं, अर्थात्
:<math>1,\;\omega,\;\omega^2,\;\ldots,\;\omega^{n-1},</math>
:<math>1,\;\omega,\;\omega^2,\;\ldots,\;\omega^{n-1},</math>
कहाँ पे
कहाँ पे
:<math>\omega = e^\frac{2\pi i}{n} = \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)</math>
:<math>\omega = e^\frac{2\pi i}{n} = \cos\left(\frac{2\pi}{n}\right) + i\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)</math>
इन जड़ों को समान रूप से जटिल विमान में यूनिट सर्कल के चारों ओर कोणों पर फैलाया जाता है, जो गुणक होते हैं <math>2\pi/n</math>. उदाहरण के लिए, एकता का वर्गमूल 1 और -1 है, और एकता का चौथा मूल 1 है, <math>i</math>, -1, और <math>-i</math>.
इन मूलों को समान रूप से सम्मिश्र विमान में यूनिट सर्कल के चारों ओर कोणों पर फैलाया जाता है, जो गुणक होते हैं <math>2\pi/n</math>. उदाहरण के लिए, एकता का वर्गमूल 1 और -1 है, और एकता का चौथा मूल 1 है, <math>i</math>, -1, और <math>-i</math>.


===nth मूल ===
===nth मूल ===
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:<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math>
:<math>\eta,\;\eta\omega,\;\eta\omega^2,\;\ldots,\;\eta\omega^{n-1},</math>
जहां η अकेला nवां मूल है, और 1, ω, ω है{{sup|2}},... ओह{{sup|''n''−1}} एकता की n वीं जड़ें हैं। उदाहरण के लिए, 2 के चार भिन्न -भिन्न  चौथे मूल हैं
जहां η अकेला nवां मूल है, और 1, ω, ω है{{sup|2}},... ओह{{sup|''n''−1}} एकता की n वीं मूल हैं। उदाहरण के लिए, 2 के चार भिन्न -भिन्न  चौथे मूल हैं


:<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math>
:<math>\sqrt[4]{2},\quad i\sqrt[4]{2},\quad -\sqrt[4]{2},\quad\text{and}\quad -i\sqrt[4]{2}.</math>
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यदि n सम है, तब सम्मिश्र संख्या के nवें मूल, जिनमें से सम संख्या है, योगात्मक व्युत्क्रम युग्मों में आते हैं, जिससे कि यदि कोई संख्या r<sub>1</sub> nवें मूल में से है तब r<sub>2</sub> = -आर<sub>1</sub> दूसरा है। इसका कारण यह है कि पश्चात् वाले के गुणांक -1 को nवें घात तक बढ़ाने पर भी n के लिए 1 प्राप्त होता है: अर्थात, (–r<sub>1</sub>){{sup|''n''}} = (–1){{sup|''n''}} × आर<sub>1</sub>{{sup|''n''}} = आर<sub>1</sub>{{sup|''n''}}.
यदि n सम है, तब सम्मिश्र संख्या के nवें मूल, जिनमें से सम संख्या है, योगात्मक व्युत्क्रम युग्मों में आते हैं, जिससे कि यदि कोई संख्या r<sub>1</sub> nवें मूल में से है तब r<sub>2</sub> = -आर<sub>1</sub> दूसरा है। इसका कारण यह है कि पश्चात् वाले के गुणांक -1 को nवें घात तक बढ़ाने पर भी n के लिए 1 प्राप्त होता है: अर्थात, (–r<sub>1</sub>){{sup|''n''}} = (–1){{sup|''n''}} × आर<sub>1</sub>{{sup|''n''}} = आर<sub>1</sub>{{sup|''n''}}.


वर्गमूलों की तरह, ऊपर दिया गया सूत्र पूरे जटिल तल पर निरंतर कार्य को परिभाषित नहीं करता है, बल्कि इसके अतिरिक्त उन बिंदुओं पर शाखा को काटता है जहां θ / n असतत है।
वर्गमूलों की तरह, ऊपर दिया गया सूत्र पूरे सम्मिश्र तल पर निरंतर कार्य को परिभाषित नहीं करता है, बल्कि इसके अतिरिक्त उन बिंदुओं पर शाखा को काटता है जहां θ / n असतत है।


== बहुपदों को हल करना ==
== बहुपदों को हल करना ==
{{see also|मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम                                                        }}
{{see also|मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम                                                        }}
एक बार यह अनुमान लगाया गया था कि सभी बहुपद समीकरण बीजगणितीय समाधान हो सकते हैं (अर्थात, बहुपद की सभी जड़ों को मूलांक और प्राथमिक अंकगणित की सीमित संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है)। चूंकि , जबकि यह तीसरी डिग्री बहुपद (क्यूबिक फ़ंक्शन) और चौथी डिग्री बहुपद (क्वार्टिक फ़ंक्शन) के लिए सही है, एबेल-रफ़िनी प्रमेय (1824) से पता चलता है कि यह डिग्री 5 या उससे अधिक होने पर सामान्य रूप से सच नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण के समाधान
एक बार यह अनुमान लगाया गया था कि सभी बहुपद समीकरण बीजगणितीय समाधान हो सकते हैं (अर्थात, बहुपद की सभी मूलों को मूलांक और प्राथमिक अंकगणित की सीमित संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है)। चूंकि , जबकि यह तीसरी डिग्री बहुपद (क्यूबिक फ़ंक्शन) और चौथी डिग्री बहुपद (क्वार्टिक फ़ंक्शन) के लिए सही है, एबेल-रफ़िनी प्रमेय (1824) से पता चलता है कि यह डिग्री 5 या उससे अधिक होने पर सामान्य रूप से सच नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण के समाधान


:<math>x^5 = x + 1</math>
:<math>x^5 = x + 1</math>

Revision as of 10:36, 25 July 2023

This article is about वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं के nवें-मूल. For अन्य उपयोग, see जड़ (बहुविकल्पी) या गणित.

गणित में, nवाँ मूल लेना एक ऑपरेशन है जिसमें दो संख्याएँ, मूलांक और सूचकांक या डिग्री सम्मिलित होती हैं। n वाँ मूल लेते हुए इसे के रूप में लिखा जाता है, जहाँ x मूलांक है और n सूचकांक है (लगभग कभी-कभी इसे डिग्री भी कहा जाता है)। इसे "x का nवाँ मूल" के रूप में उच्चारित किया जाता है। किसी संख्या x के nवें मूल की परिभाषा एक संख्या r (मूल) है, जिसे जब एक धनात्मक पूर्णांक n की घात तक बढ़ाया जाता है, तो x प्राप्त होता है:

डिग्री 2 के मूल को वर्गमूल कहा जाता है (जहाँ n के बिना इसे केवल के रूप में लिखा जाता है) और डिग्री 3 के मूल को घनमूल के रूप में लिखा जाता है) कहा जाता है। उच्च डिग्री की मूलों को क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके संदर्भित किया जाता है, जैसे कि चौथी मूल , बीसवीं मूल, आदि। n मूल की गणना एक मूल निष्कर्षण है। उदाहरण के लिए, 3, 9 का वर्गमूल है, क्योंकि 32= 9 है,और −3 भी 9 का वर्गमूल है, क्योंकि (−3)2 = 9 है.

सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जाता है जिसमे किसी भी गैर-शून्य संख्या में, वास्तविक (अधिकतम दो) सहित विभिन्न सम्मिश्र nवें मूल होते है सभी धनात्मक पूर्णांकों n के लिए 0 का n' मूल शून्य होता है, जबसे 0n = 0. विशेष रूप से, यदि n सम है और x धनात्मक वास्तविक संख्या है, इसका n मूल वास्तविक और धनात्मक हैं, ऋणात्मक है, और अन्य (जब n > 2) अवास्तविक सम्मिश्र संख्याएँ हैं; यदि n सम है और x ऋणात्मक वास्तविक संख्या है, इनमें से कोई नहीं nवीं मूल वास्तविक हैं। यदि n विषम है और x वास्तविक है, nमूल वास्तविक है और इसका चिन्ह x के समान है , जबकि अन्य (n – 1) मूल वास्तविक नहीं हैं। अंत में, यदि x वास्तविक नहीं है, तब इसका कोई नहीं nवें मूल वास्तविक हैं।

वास्तविक संख्याओं की मूल सामान्यतः मूलांक प्रतीक या मूलांक का उपयोग करके लिखी जाती हैं