लॉगिट: Difference between revisions

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{{Short description|Function in statistics}}
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[[Image:Logit.svg|thumbnail|upright=1.3|0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।]]आंकड़ों में, '''लॉगिट''' ({{IPAc-en|ˈ|l|oʊ|dʒ|ɪ|t}} {{respell|LOH|jit}}) फंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा क्वांटाइल(बिभाजक) फंक्शन है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से इसका उपयोग [[डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)]] में है |
[[Image:Logit.svg|thumbnail|upright=1.3|0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।]]आंकड़ों में '''लॉगिट''' ({{IPAc-en|ˈ|l|oʊ|dʒ|ɪ|t}} {{respell|LOH|jit}}) फंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा एक क्वांटाइल(बिभाजक) फंक्शन है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से इसका उपयोग [[डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)]] में किया जाता है|


गणितीय रूप से लॉगिट, [[लॉजिस्टिक फ़ंक्शन|लॉजिस्टिक फंक्शन]]<math>\sigma(x) = 1/(1+e^{-x})</math> का व्युत्क्रम फंक्शन है, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
गणितीय रूप से लॉगिट, [[लॉजिस्टिक फ़ंक्शन|लॉजिस्टिक फंक्शन]]<math>\sigma(x) = 1/(1+e^{-x})</math> का व्युत्क्रम फंक्शन है, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
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:<math>\operatorname{logit} p = \sigma^{-1}(p) = \ln \frac{p}{1-p} \quad \text{for} \quad p \in (0,1)</math>.
:<math>\operatorname{logit} p = \sigma^{-1}(p) = \ln \frac{p}{1-p} \quad \text{for} \quad p \in (0,1)</math>.


इस वजह से, लॉगिट को [[लॉग-ऑड्स]] भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक <math>\frac{p}{1-p}</math> के बराबर है जहां {{mvar|p}} एक प्रायिकता है। इस प्रकार लॉगिट एक प्रकार का फंक्शन है जो <math>(0, 1)</math>वास्तविक संख्याओं में <math>(-\infty, +\infty)</math>,<ref>{{Cite web|url=http://www.columbia.edu/~so33/SusDev/Lecture_9.pdf|title=Logit/Probit}}</ref> प्रोबिट फंक्शन के समान संभावित मानों को मैप करता है।
इसके लिय लॉगिट को [[लॉग-ऑड्स]] भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक <math>\frac{p}{1-p}</math> के बराबर है जहां {{mvar|p}} एक प्रायिकता है। इस प्रकार लॉगिट एक प्रकार का फंक्शन है जो <math>(0, 1)</math>वास्तविक संख्याओं में <math>(-\infty, +\infty)</math>,<ref>{{Cite web|url=http://www.columbia.edu/~so33/SusDev/Lecture_9.pdf|title=Logit/Probit}}</ref> प्रोबिट फंक्शन के समान संभावित मानों को मैप करता है।


==परिभाषा==
==परिभाषा==
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:<math>\operatorname{logit}(p)=\ln\left( \frac{p}{1-p} \right) =\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln\left( \frac{1}{p}-1\right)=2\operatorname{atanh}(2p-1)</math>
:<math>\operatorname{logit}(p)=\ln\left( \frac{p}{1-p} \right) =\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln\left( \frac{1}{p}-1\right)=2\operatorname{atanh}(2p-1)</math>
वर्तमान लेख में प्रयुक्त लघुगणक फंक्शन का आधार बहुत कम महत्व रखता है,जब तक यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार ई के साथ प्राकृतिक लघुगणक {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}} सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए [[लघुगणकीय इकाई]] के चयन के सामान होता है: इसीप्रकार से आधार 2 एक [[शैनन (इकाई)]], आधार{{mvar|e}} एक "नैट (इकाई)", और आधार 10 से एक [[हार्टले (इकाई)|हार्टले (इकाई) के सामान होता है]] ; इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं के रूप में किया जाता है। इनआधार के प्रत्येक विकल्प के लिए लॉगिट फंक्शन ऋणात्मक और धनात्मक अनंत के बीच के मान को प्राप्त करता है।
वर्तमान लेख में प्रयुक्त लघुगणक फंक्शन का आधार बहुत कम महत्व रखता है, जब तक यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार {{mvar|e}} के साथ प्राकृतिक लघुगणक {{mvar|[[e (mathematical constant)|e]]}} सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए [[लघुगणकीय इकाई]] के चयन के सामान होता है: इसीप्रकार से आधार 2 एक [[शैनन (इकाई)]], आधार{{mvar|e}} एक "नैट (इकाई)", और आधार 10 से एक [[हार्टले (इकाई)|हार्टले (इकाई) के सामान होता है]] ; इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं के रूप में किया जाता है। इन आधार के प्रत्येक विकल्प के लिए लॉगिट फंक्शन ऋणात्मक और धनात्मक अनंत के बीच के मान को प्राप्त करता है।


किसी भी संख्या <math>\alpha</math> का लॉजिस्टिक फंक्शन व्युत्क्रम-{{math|logit}} द्वारा दिया गया है
किसी भी संख्या <math>\alpha</math> का लॉजिस्टिक फंक्शन व्युत्क्रम-लॉगिट द्वारा दिया गया है


:<math>\operatorname{logit}^{-1}(\alpha) = \operatorname{logistic}(\alpha) = \frac{1}{1 + \operatorname{exp}(-\alpha)} = \frac{\operatorname{exp}(\alpha)}{ \operatorname{exp}(\alpha) + 1} = \frac{\tanh(\frac{\alpha}{2})+1}{2}</math>
:<math>\operatorname{logit}^{-1}(\alpha) = \operatorname{logistic}(\alpha) = \frac{1}{1 + \operatorname{exp}(-\alpha)} = \frac{\operatorname{exp}(\alpha)}{ \operatorname{exp}(\alpha) + 1} = \frac{\tanh(\frac{\alpha}{2})+1}{2}</math>
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रैखिक प्रतिगमन विधियों को ऐसे डोमेन में रूपांतरित करने के कई प्रयास किए गए हैं जहां किसी वास्तविक संख्या<math>(-\infty, +\infty)</math> के अतिरिक्त आउटपुट का संभावित मान<math>(0, 1)</math> है, कई कारकों में ऐसे प्रयासों ने रेंज <math>(0, 1)</math> से <math>(-\infty, +\infty)</math> को मैप करके और फिर इन परिवर्तित मानों पर रैखिक प्रतिगमन बिधि को लागू करके इस समस्या को मॉडलिंग करने पर ध्यान केंद्रित किया गया।
रैखिक प्रतिगमन विधियों को ऐसे डोमेन में रूपांतरित करने के कई प्रयास किए गए हैं जहां किसी वास्तविक संख्या<math>(-\infty, +\infty)</math> के अतिरिक्त आउटपुट का संभावित मान<math>(0, 1)</math> है, कई कारकों में ऐसे प्रयासों ने रेंज <math>(0, 1)</math> से <math>(-\infty, +\infty)</math> को मैप करके और फिर इन परिवर्तित मानों पर रैखिक प्रतिगमन बिधि को लागू करके इस समस्या को मॉडलिंग करने पर ध्यान केंद्रित किया गया।


1934 में [[चेस्टर इटनर ब्लिस]] ने इस मैपिंग को करने के लिए संचयी सामान्य वितरण फंक्शन का उपयोग किया और अपने मॉडल प्रोबिट को संभावित इकाई का संक्षिप्त नाम दिया।<ref name="Cramer2003">{{Cite web|url=http://www.cambridge.org/resources/0521815886/1208_default.pdf|title=लॉगिट मॉडल की उत्पत्ति और विकास|author=J. S. Cramer|year=2003|publisher=Cambridge UP}}</ref> हालाँकि, यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है। 1944 में [[जोसेफ बर्कसन]] ने ऑड्स के लॉग का उपयोग किया और इस फंक्शन को लॉगिट कहा, प्रोबिट के सादृश्य के बाद 'लॉजिस्टिक यूनिट' का संक्षिप्त नाम दिया:{{sfn|Berkson|1944|loc=p. 361, footnote 2}}
1934 में [[चेस्टर इटनर ब्लिस]] ने इस मैपिंग को करने के लिए संचयी सामान्य वितरण फंक्शन का उपयोग किया और अपने मॉडल प्रोबिट को संभावित इकाई का संक्षिप्त नाम दिया।<ref name="Cramer2003">{{Cite web|url=http://www.cambridge.org/resources/0521815886/1208_default.pdf|title=लॉगिट मॉडल की उत्पत्ति और विकास|author=J. S. Cramer|year=2003|publisher=Cambridge UP}}</ref> हालाँकि, यह कम्प्यूटेशनल रूप से अधिक महंगा है। 1944 में [[जोसेफ बर्कसन]] ने ऑड्स लॉग का उपयोग किया और इस फंक्शन को लॉगिट कहा गया, प्रोबिट के एनालॉग के बाद 'लॉजिस्टिक यूनिट' का संक्षिप्त नाम दिया:{{sfn|Berkson|1944|loc=p. 361, footnote 2}}


लॉग ऑड्स का उपयोग [[चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स]] (19वीं सदी के अंत में) द्वारा बड़े पैमाने पर किया गया था।<ref>{{cite book |title=The history of statistics : the measurement of uncertainty before 1900 |last=Stigler |first=Stephen M. |author-link=Stephen M. Stigler |year=1986 |publisher=Belknap Press of Harvard University Press |location=Cambridge, Massachusetts |isbn=978-0-674-40340-6 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/historyofstatist00stig }}</ref> 1949 में जी. ए. बरनार्ड ने सामान्यत: प्रयोग होने वाले शब्द लॉग-ऑड्स का चयन किया ;<ref>{{citation|title=Logistic Regression Models|first=Joseph M.|last=Hilbe|authorlink=Joseph Hilbe|publisher=CRC Press|year=2009|isbn=9781420075779|page=3|url=https://books.google.com/books?id=tmHMBQAAQBAJ&pg=PA3}}.</ref>{{sfn|Barnard|1949|p=120}}किसी घटना का लॉग-ऑड्स घटना की प्रायिकता का लॉगिट है।<ref>{{citation|title=Logit Models from Economics and Other Fields|first=J. S.|last=Cramer|publisher=Cambridge University Press|year=2003|isbn=9781139438193|page=13|url=https://books.google.com/books?id=1Od2d72pPXUC&pg=PA13}}.</ref> बरनार्ड ने लॉग-ऑड्स के रूप में लॉड्स शब्द का चयन किया,{{sfn|Barnard|1949|p=120,128}} लेकिन यह सुझाव दिया गया कि व्यवहार में 'ऑड्स' शब्द को सामान्य रूप से उपयोग किया जाना चाहिए, क्योंकि यह जीवन में प्रतिदिन प्रयोग होने वाला शब्द है।{{sfn|Barnard|1949|p=136}}
लॉग ऑड्स का उपयोग [[चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स]] (19वीं सदी के अंत में) द्वारा बड़े पैमाने पर किया गया था।<ref>{{cite book |title=The history of statistics : the measurement of uncertainty before 1900 |last=Stigler |first=Stephen M. |author-link=Stephen M. Stigler |year=1986 |publisher=Belknap Press of Harvard University Press |location=Cambridge, Massachusetts |isbn=978-0-674-40340-6 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/historyofstatist00stig }}</ref> 1949 में जी. ए. बरनार्ड ने सामान्यत: प्रयोग होने वाले शब्द लॉग-ऑड्स का चयन किया ;<ref>{{citation|title=Logistic Regression Models|first=Joseph M.|last=Hilbe|authorlink=Joseph Hilbe|publisher=CRC Press|year=2009|isbn=9781420075779|page=3|url=https://books.google.com/books?id=tmHMBQAAQBAJ&pg=PA3}}.</ref>{{sfn|Barnard|1949|p=120}}किसी घटना का लॉग-ऑड्स घटना की प्रायिकता का लॉगिट है।<ref>{{citation|title=Logit Models from Economics and Other Fields|first=J. S.|last=Cramer|publisher=Cambridge University Press|year=2003|isbn=9781139438193|page=13|url=https://books.google.com/books?id=1Od2d72pPXUC&pg=PA13}}.</ref> बरनार्ड ने लॉग-ऑड्स के रूप में लॉड्स शब्द का चयन किया,{{sfn|Barnard|1949|p=120,128}} लेकिन यह सुझाव दिया गया कि व्यवहार में 'ऑड्स' शब्द को सामान्य रूप से उपयोग किया जाना चाहिए, क्योंकि यह जीवन में प्रतिदिन प्रयोग होने वाला शब्द है।{{sfn|Barnard|1949|p=136}}
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==उपयोग और गुण==
==उपयोग और गुण==


* लॉजिस्टिक रिग्रेशन में लॉगिट एक [[सामान्यीकृत रैखिक मॉडल]] में एक लिंक फंक्शन का एक विशेष कारक है: यह [[बर्नौली वितरण]] के लिए कैनोनिकल [[लिंक फ़ंक्शन|लिंक फंक्शन]] है।
* लॉजिस्टिक परावर्तन में लॉगिट एक [[सामान्यीकृत रैखिक मॉडल]] में एक लिंक फंक्शन का एक विशेष कारक है: यह [[बर्नौली वितरण]] के लिए कैनोनिकल [[लिंक फ़ंक्शन|लिंक फंक्शन]] है।
* लॉगिट फंक्शन [[बाइनरी एन्ट्रॉपी फ़ंक्शन|बाइनरी एन्ट्रॉपी फंक्शन]] के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है।
* लॉगिट फंक्शन [[बाइनरी एन्ट्रॉपी फ़ंक्शन|बाइनरी एन्ट्रॉपी फंक्शन]] के व्युत्पन्न का ऋणात्मक है।
* लॉगिट माप के लिए संभाव्य रैश मॉडल का भी केंद्र है, जिसमें अन्य क्षेत्रों के अलावा मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक मूल्यांकन में अनुप्रयोग हैं।
* लॉगिट माप के लिए संभाव्य रैश मॉडल का भी केंद्र है, जिसमें अन्य क्षेत्रों के अलावा मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक मूल्यांकन में अनुप्रयोग हैं।
* व्युत्क्रम-लॉगिट फंक्शन (यानी, लॉजिस्टिक  फंक्शन) को कभी-कभी ''एक्सपिट'' फंक्शन के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |title=R: Inverse logit function |access-date=2011-02-18 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110706132209/http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |archive-date=2011-07-06 }}</ref>
* व्युत्क्रम-लॉगिट फंक्शन (यानी, लॉजिस्टिक  फंक्शन) को कभी-कभी ''एक्सपिट'' फंक्शन के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |title=R: Inverse logit function |access-date=2011-02-18 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110706132209/http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |archive-date=2011-07-06 }}</ref>
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:<math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}  e^{-\frac{y^2}{2}} dy.</math>
:<math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}  e^{-\frac{y^2}{2}} dy.</math>
जैसा कि दाईं ओर ग्राफ में दिखाया गया है कि जब प्रोबिट फंक्शन को स्केल किया जाता है तो लॉगिट और [[प्रोबिट मॉडल|प्रोबिट]] फंक्शन लगभग एक दुसरे के समान होते हैं, ताकि y = 0 पर इसका स्लोप लॉगिट के स्लोप के सामान हो। परिणामस्वरूप, कभी-कभी लॉगिट मॉडल के स्थान पर प्रोबिट मॉडल का उपयोग किया जाता है क्योंकि कुछ अनुप्रयोगों के लिए (उदाहरण के लिए, बायेसियन सांख्यिकी में) कार्यान्वयन आसान होता है।
जैसा कि दाईं ओर ग्राफ में दिखाया गया है कि जब प्रोबिट फंक्शन को स्केल किया जाता है तो लॉगिट और [[प्रोबिट मॉडल|प्रोबिट]] फंक्शन लगभग एक दुसरे के समान होते हैं, ताकि y = 0 पर इसका स्लोप लॉगिट के स्लोप के सामान हो। परिणामस्वरूप कभी-कभी लॉगिट मॉडल के स्थान पर प्रोबिट मॉडल का उपयोग किया जाता है क्योंकि कुछ अनुप्रयोगों के लिए (उदाहरण के लिए, बायेसियन सांख्यिकी में) कार्यान्वयन आसान होता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
Line 53: Line 53:
* [[द्विज्या]], समान आकृति वाला वक्र
* [[द्विज्या]], समान आकृति वाला वक्र
* [[परसेप्ट्रॉन]]
* [[परसेप्ट्रॉन]]
* प्रोबिट, लॉगिट के समान डोमेन और रेंज वाला एक अन्य फंक्शन
* प्रोबिट, लॉगिट के समान डोमेन और रेंज वाला एक अन्य फंक्शन
* [[ सवारी स्कोरिंग ]]
* [[ सवारी स्कोरिंग | रिदित स्कोरिंग]]
* डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)
* डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी)
* [[आर्कसिन]] (परिवर्तन)
* [[आर्कसिन]] (परिवर्तन)
* [[ तीव्र मॉडल ]]
* [[ तीव्र मॉडल | रैश मॉडल]]


== वेबलिंक ==
== वेबलिंक ==

Revision as of 13:36, 4 August 2023

0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।

आंकड़ों में लॉगिट (/ˈloʊdʒɪt/ LOH-jit) फंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा एक क्वांटाइल(बिभाजक) फंक्शन है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से इसका उपयोग डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) में किया जाता है|

गणितीय रूप से लॉगिट, लॉजिस्टिक फंक्शन का व्युत्क्रम फंक्शन है, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

.

इसके लिय लॉगिट को लॉग-ऑड्स भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक के बराबर है जहां p एक प्रायिकता है। इस प्रकार लॉगिट एक प्रकार का फंक्शन है जो वास्तविक संख्याओं में ,[1] प्रोबिट फंक्शन के समान संभावित मानों को मैप करता है।

परिभाषा

यदि p एक संभावना है, तो p/(1 − p) संगत संभावना है; लॉगिट का लघुगणक ऑड्स का लघुगणक है, अर्थात:

वर्तमान लेख में प्रयुक्त लघुगणक फंक्शन का आधार बहुत कम महत्व रखता है, जब तक यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार e के साथ प्राकृतिक लघुगणक e सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए लघुगणकीय इकाई के चयन के सामान होता है: इसीप्रकार से आधार 2 एक शैनन (इकाई), आधारe एक "नैट (इकाई)", और आधार 10 से एक हार्टले (इकाई) के सामान होता है ; इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं के रूप में किया जाता है। इन आधार के प्रत्येक विकल्प के लिए लॉगिट फंक्शन ऋणात्मक और धनात्मक अनंत के बीच के मान को प्राप्त करता है।

किसी भी संख्या का लॉजिस्टिक फंक्शन व्युत्क्रम-लॉगिट द्वारा दिया गया है

दो संभावनाओं के लघुगणक के बीच का अंतर विषम अनुपात (R) का लघुगणक है, इस प्रकार केवल जोड़कर और घटाकर विषम अनुपातों का सही संयोजन लिखने के लिए एक संक्षिप्त लिपि प्रदान की जाती है: