लॉगिट: Difference between revisions

Revision as of 12:34, 4 August 2023

0 से 1 के डोमेन में लॉगिट (x) का प्लॉट, जहां लघुगणक का आधार ई है।

आंकड़ों में, लॉगिट (/ˈloʊdʒɪt/ LOH-jit) फंक्शन मानक लॉजिस्टिक वितरण से जुड़ा क्वांटाइल(बिभाजक) फंक्शन है। डेटा विश्लेषण और मशीन लर्निंग में इसके कई उपयोग हैं, विशेष रूप से इसका उपयोग डेटा परिवर्तन (सांख्यिकी) में है |

गणितीय रूप से लॉगिट, लॉजिस्टिक फंक्शन $\sigma (x)=1/(1+e^{-x})$ का व्युत्क्रम फंक्शन है, इसलिए लॉगिट को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\operatorname {logit} p=\sigma ^{-1}(p)=\ln {\frac {p}{1-p}}\quad {\text{for}}\quad p\in (0,1)

.

इस वजह से, लॉगिट को लॉग-ऑड्स भी कहा जाता है क्योंकि यह ऑड्स के लघुगणक ${\frac {p}{1-p}}$ के बराबर है जहां $p$ एक प्रायिकता है। इस प्रकार लॉगिट एक प्रकार का फंक्शन है जो $(0,1)$ वास्तविक संख्याओं में $(-\infty ,+\infty )$ ,^[1] प्रोबिट फंक्शन के समान संभावित मानों को मैप करता है।

परिभाषा

यदि p एक संभावना है, तो p/(1 − p) संगत संभावना है; लॉगिट का लघुगणक ऑड्स का लघुगणक है, अर्थात:

\operatorname {logit} (p)=\ln \left({\frac {p}{1-p}}\right)=\ln(p)-\ln(1-p)=-\ln \left({\frac {1}{p}}-1\right)=2\operatorname {atanh} (2p-1)

वर्तमान लेख में प्रयुक्त लघुगणक फंक्शन का आधार बहुत कम महत्व रखता है,जब तक यह 1 से अधिक है, लेकिन आधार ई के साथ प्राकृतिक लघुगणक $e$ सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। आधार का चयन मान के लिए लघुगणकीय इकाई के चयन के सामान होता है: इसीप्रकार से आधार 2 एक शैनन (इकाई), आधार $e$ एक "नैट (इकाई)", और आधार 10 से एक हार्टले (इकाई) के सामान होता है ; इन इकाइयों का उपयोग विशेष रूप से सूचना-सैद्धांतिक व्याख्याओं के रूप में किया जाता है। इनआधार के प्रत्येक विकल्प के लिए लॉगिट फंक्शन ऋणात्मक और धनात्मक अनंत के बीच के मान को प्राप्त करता है।

किसी भी संख्या $\alpha$ का लॉजिस्टिक फंक्शन व्युत्क्रम- $logit$ द्वारा दिया गया है

\operatorname {logit} ^{-1}(\alpha )=\operatorname {logistic} (\alpha )={\frac {1}{1+\operatorname {exp} (-\alpha )}}={\frac {\operatorname {exp} (\alpha )}{\operatorname {exp} (\alpha )+1}}={\frac {\tanh({\frac {\alpha }{2}})+1}{2}}

दो संभावनाओं के लघुगणक के बीच का अंतर विषम अनुपात ( $R$ ) का लघुगणक है, इस प्रकार केवल जोड़कर और घटाकर विषम अनुपातों का सही संयोजन लिखने के लिए एक संक्षिप्त लिपि प्रदान की जाती है:

\ln (R) = \ln (\frac{p_{1} / (1 - p_{1})}{p_{2} / (1 - p_{2})}) = \ln (\frac{p_{1}}{1 - p_{1}}) - \ln (\frac{p_{2}}{1 - p_{2}})

[1]

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 ==उपयोग और गुण==
-* [[ संभार तन्त्र परावर्तन ]] में लॉगिट एक [[सामान्यीकृत रैखिक मॉडल]] में एक [[लिंक फ़ंक्शन|लिंक  फंक्शन]] का एक विशेष मामला है: यह [[बर्नौली वितरण]] के लिए कैनोनिकल लिंक  फंक्शन है।
+* लॉजिस्टिक रिग्रेशन में लॉगिट एक [[सामान्यीकृत रैखिक मॉडल]] में एक लिंक फंक्शन का एक विशेष कारक है: यह [[बर्नौली वितरण]] के लिए कैनोनिकल [[लिंक फ़ंक्शन|लिंक फंक्शन]] है।
-* लॉगिट  फंक्शन [[बाइनरी एन्ट्रॉपी फ़ंक्शन|बाइनरी एन्ट्रॉपी  फंक्शन]] के व्युत्पन्न का नकारात्मक है।
+* लॉगिट फंक्शन [[बाइनरी एन्ट्रॉपी फ़ंक्शन|बाइनरी एन्ट्रॉपी फंक्शन]] के व्युत्पन्न का  ऋणात्मक है।
-* लॉगिट [[माप]] के लिए संभाव्य [[ तीव्र मॉडल ]] का भी केंद्र है, जिसमें अन्य क्षेत्रों के अलावा मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक मूल्यांकन में अनुप्रयोग हैं।
+* लॉगिट माप के लिए संभाव्य रैश मॉडल का भी केंद्र है, जिसमें अन्य क्षेत्रों के अलावा मनोवैज्ञानिक और शैक्षिक मूल्यांकन में अनुप्रयोग हैं।
-* व्युत्क्रम-लॉगिट  फंक्शन (यानी, लॉजिस्टिक  फंक्शन) को कभी-कभी ''एक्सपिट''  फंक्शन के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |title=R: Inverse logit function |access-date=2011-02-18 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110706132209/http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |archive-date=2011-07-06 }}</ref>
+* व्युत्क्रम-लॉगिट फंक्शन (यानी, लॉजिस्टिक  फंक्शन) को कभी-कभी ''एक्सपिट'' फंक्शन के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |title=R: Inverse logit function |access-date=2011-02-18 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20110706132209/http://www.stat.ucl.ac.be/ISdidactique/Rhelp/library/msm/html/expit.html |archive-date=2011-07-06 }}</ref>
-* पादप रोग महामारी विज्ञान में डेटा को लॉजिस्टिक मॉडल में फिट करने के लिए लॉगिट का उपयोग किया जाता है। गोम्पर्ट्ज़ और मोनोमोलेक्यूलर मॉडल के साथ तीनों को रिचर्ड्स परिवार मॉडल के रूप में जाना जाता है।
+* पादप रोग महामारी विज्ञान में डेटा को लॉजिस्टिक मॉडल में उपयुक्त करने के लिए लॉगिट का उपयोग किया जाता है। गोम्पर्ट्ज और मोनोमोलेक्यूलर मॉडल के साथ तीनों को रिचर्ड्स परिवार मॉडल के रूप में जाना जाता है।
-* संभावनाओं का लॉग-ऑड्स  फंक्शन अक्सर राज्य अनुमान एल्गोरिदम में उपयोग किया जाता है<ref>{{Cite journal|last=Thrun|first=Sebastian|title=फॉरवर्ड सेंसर मॉडल के साथ अधिभोग ग्रिड मानचित्र सीखना|journal=Autonomous Robots|language=en|volume=15|issue=2|pages=111–127|doi=10.1023/A:1025584807625|issn=0929-5593|year=2003|s2cid=2279013 }}</ref> छोटी संभावनाओं के मामले में इसके संख्यात्मक लाभ के कारण। बहुत छोटी फ़्लोटिंग पॉइंट संख्याओं को गुणा करने के बजाय, लॉग-ऑड्स संभावनाओं को केवल (लॉग-ऑड्स) संयुक्त संभावना की गणना करने के लिए सारांशित किया जा सकता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.cs.cmu.edu/~16831-f12/notes/F12/16831_lecture05_vh.pdf|title=रोबोटिक्स में सांख्यिकीय तकनीकें|last=Styler|first=Alex|date=2012|page=2|access-date=2017-01-26}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Dickmann|first1=J.|last2=Appenrodt|first2=N.|last3=Klappstein|first3=J.|last4=Bloecher|first4=H. L.|last5=Muntzinger|first5=M.|last6=Sailer|first6=A.|last7=Hahn|first7=M.|last8=Brenk|first8=C.|date=2015-01-01|title=Making Bertha See Even More: Radar Contribution|journal=IEEE Access|volume=3|pages=1233–1247|doi=10.1109/ACCESS.2015.2454533|issn=2169-3536|doi-access=free}}</ref>
+* छोटी संभवित के कारकों में इसके संख्यात्मक लाभ के कारण संभवित लॉग-ऑड्स फंक्शन का उपयोग हमेशा स्टेट एस्टीमेशन एल्गोरिदम में उपयोग किया जाता है ।<ref>{{Cite journal|last=Thrun|first=Sebastian|title=फॉरवर्ड सेंसर मॉडल के साथ अधिभोग ग्रिड मानचित्र सीखना|journal=Autonomous Robots|language=en|volume=15|issue=2|pages=111–127|doi=10.1023/A:1025584807625|issn=0929-5593|year=2003|s2cid=2279013 }}</ref> बहुत छोटी फ्लोटिंग बिंदु संख्याओं को गुणा करने के बजाय, लॉग-ऑड्स संभावनाओं को केवल (लॉग-ऑड्स) संयुक्त प्रायिकता की गणना करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।<ref>{{Cite web|url=https://www.cs.cmu.edu/~16831-f12/notes/F12/16831_lecture05_vh.pdf|title=रोबोटिक्स में सांख्यिकीय तकनीकें|last=Styler|first=Alex|date=2012|page=2|access-date=2017-01-26}}</ref><ref>{{Cite journal|last1=Dickmann|first1=J.|last2=Appenrodt|first2=N.|last3=Klappstein|first3=J.|last4=Bloecher|first4=H. L.|last5=Muntzinger|first5=M.|last6=Sailer|first6=A.|last7=Hahn|first7=M.|last8=Brenk|first8=C.|date=2015-01-01|title=Making Bertha See Even More: Radar Contribution|journal=IEEE Access|volume=3|pages=1233–1247|doi=10.1109/ACCESS.2015.2454533|issn=2169-3536|doi-access=free}}</ref>
 == प्रोबिट के साथ तुलना ==
-[[File:Logit-probit.svg|right|300px|thumb|स्केल्ड प्रोबिट (यानी [[सामान्य वितरण]] का व्युत्क्रम संचयी वितरण  फंक्शन) के साथ [[लॉगिट फ़ंक्शन|लॉगिट  फंक्शन]] की तुलना, तुलना <math>\operatorname{logit}(x)</math> बनाम <math>\tfrac{\Phi^{-1}(x)}{\,\sqrt{\pi/8\,}\,}</math>, जो ढलानों को समान बनाता है {{mvar|y}}-मूल।]]से निकटता से संबंधित है {{math|logit}}  फंक्शन (और [[लॉगिट मॉडल]]) [[प्रोबिट फ़ंक्शन|प्रोबिट  फंक्शन]] और [[प्रोबिट मॉडल]] हैं। वह {{math|logit}} और {{math|probit}} दोनों [[सिग्मॉइड फ़ंक्शन|सिग्मॉइड  फंक्शन]] हैं जिनका डोमेन 0 और 1 के बीच है, जो उन दोनों को क्वांटाइल  फंक्शन बनाता है - यानी, संभाव्यता वितरण के संचयी वितरण  फंक्शन (सीडीएफ) के व्युत्क्रम। वास्तव में, {{math|logit}} लॉजिस्टिक वितरण का मात्रात्मक कार्य है, जबकि {{math|probit}} सामान्य वितरण का मात्रात्मक फलन है। वह {{math|probit}}  फंक्शन दर्शाया गया है <math>\Phi^{-1}(x)</math>, कहाँ <math>\Phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण कार्य है, जैसा कि अभी बताया गया है:
+[[File:Logit-probit.svg|right|300px|thumb|स्केल्ड प्रोबिट (यानी [[सामान्य वितरण]] का व्युत्क्रम संचयी वितरण  फंक्शन) के साथ [[लॉगिट फ़ंक्शन|लॉगिट  फंक्शन]] की तुलना, तुलना <math>\operatorname{logit}(x)</math> बनाम <math>\tfrac{\Phi^{-1}(x)}{\,\sqrt{\pi/8\,}\,}</math>, जो ढलानों को समान बनाता है {{mvar|y}}-मूल।]]लॉगिट फंक्शन (और लॉगिट मॉडल) से निकटता से संबंधित [[प्रोबिट फ़ंक्शन|प्रोबिट फंक्शन]] और [[प्रोबिट मॉडल]] हैं। वह लॉगिट और [[प्रोबिट मॉडल|प्रोबिट]] दोनों [[सिग्मॉइड फ़ंक्शन|सिग्मॉइड फंक्शन]] हैं जिनका डोमेन 0 और 1 के बीच है, जो उन दोनों को क्वांटाइल फंक्शन बनाता है, अर्थात संभाव्यता वितरण, संचयी वितरण फंक्शन (सीडीएफ) के व्युत्क्रम है। वास्तव में, लॉगिट लॉजिस्टिक वितरण का क्वांटाइल फंक्शन है, जबकि प्रोबिट सामान्य वितरण का क्वांटाइल फंक्शन है। प्रोबिट फंक्शन को <math>\Phi^{-1}(x)</math> दर्शाया गया है, जहां <math>\Phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण का सीडीएफ है, जैसा कि नीचे समीकरण में बताया गया है:
 :<math>\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}  e^{-\frac{y^2}{2}} dy.</math>
-जैसा कि दाईं ओर ग्राफ़ में दिखाया गया है {{math|logit}} और {{math|probit}} फ़ंक्शंस बेहद समान होते हैं जब {{math|probit}}  फंक्शन को स्केल किया गया है, ताकि इसका ढलान हो {{math|''y'' {{=}} 0}} के ढलान से मेल खाता है {{math|logit}}. परिणामस्वरूप, कभी-कभी लॉगिट मॉडल के स्थान पर प्रोबिट मॉडल का उपयोग किया जाता है क्योंकि कुछ अनुप्रयोगों के लिए (उदाहरण के लिए, बायेसियन सांख्यिकी में) कार्यान्वयन आसान होता है।
+जैसा कि दाईं ओर ग्राफ में दिखाया गया है कि जब प्रोबिट फंक्शन को स्केल किया जाता है तो लॉगिट और [[प्रोबिट मॉडल|प्रोबिट]] फंक्शन लगभग एक दुसरे के समान होते हैं, ताकि y = 0 पर इसका स्लोप लॉगिट के स्लोप के सामान हो। परिणामस्वरूप, कभी-कभी लॉगिट मॉडल के स्थान पर प्रोबिट मॉडल का उपयोग किया जाता है क्योंकि कुछ अनुप्रयोगों के लिए (उदाहरण के लिए, बायेसियन सांख्यिकी में) कार्यान्वयन आसान होता है।
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