हॉसडॉर्फ आयाम: Difference between revisions

Revision as of 01:48, 16 November 2022

गैर-पूर्णांक आयामों का उदाहरण। कोच हिमपात के पहले चार पुनरावृत्तियों, जहां प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद, सभी मूल रेखा खंडों को चार के साथ बदल दिया जाता है, प्रत्येक एक स्व-समान प्रतिलिपि जो मूल की लंबाई 1/3 है। हॉसडॉर्फ आयाम की एक औपचारिकता डी = (लॉग एन)/(लॉग) होने के पहले पुनरावृत्ति के बाद आयाम, डी की गणना करने के लिए स्केल फैक्टर (एस = 3) और स्वयं-समान वस्तुओं की संख्या (एन = 4) का उपयोग करती है। एस) = (लॉग 4)/(लॉग 3) ≈ 1.26।^[1]

गणित में, हॉसडॉर्फ आयाम 'खुरदरापन', या अधिक विशेष रूप से, फ्रैक्टल आयाम का एक माप है, जिसे पहली बार 1918 में गणितज्ञ फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ द्वारा पेश किया गया था।^[2] उदाहरण के लिए, एक बिंदु (ज्यामिति) का हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है, एक रेखा खंड का 1 है, एक वर्ग का 2 है, और एक घन का 3 है। यानी, उन बिंदुओं के सेट के लिए जो एक समतल आकृति या एक आकार को परिभाषित करते हैं जिसमें कोनों की संख्या छोटी होती है - पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान के आकार- हॉसडॉर्फ आयाम आयाम की सामान्य भावना से सहमत एक पूर्णांक है, जिसे आगमनात्मक आयाम भी कहा जाता है। हालांकि, सूत्र भी विकसित किए गए हैं जो अन्य कम सरल वस्तुओं के आयाम की गणना की अनुमति देते हैं, जहां पूरी तरह से प्रवर्धन और आत्म-समानता के उनके गुणों के आधार पर यह निष्कर्ष निकाला जाता है कि विशेष वस्तुएं- भग्न सहित - गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम हैं। अब्राम समोइलोविच बेसिकोविच द्वारा महत्वपूर्ण तकनीकी प्रगति के कारण अत्यधिक अनियमित या मोटे सेट के लिए आयामों की गणना की अनुमति देना, इस आयाम को आमतौर पर हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम के रूप में भी जाना जाता है।

अधिक विशेष रूप से, हॉसडॉर्फ आयाम एक मात्रिक स्थान से एक आयामी संख्या है, अर्थात् एक सेट जहां सभी सदस्यों के बीच की दूरी परिभाषित की जाती है। आयाम विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से खींचा गया है, ${\overline {\mathbb {R} }}$ , आयाम की अधिक सहज धारणा के विपरीत, जो सामान्य मात्रिक रिक्त स्थान से संबद्ध नहीं है, और केवल गैर-ऋणात्मक मूल्यों में मान लेता है।

गणितीय शब्दों में, हॉसडॉर्फ आयाम एक वास्तविक सदिश स्थान के आयाम की धारणा को सामान्य करता है। अर्थात्, n-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान का हॉसडॉर्फ आयाम n के बराबर होता है। यह पहले के कथन को रेखांकित करता है कि एक बिंदु का हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है, एक रेखा का एक है, आदि, और उस फ्रैक्टल में गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाया गया कॉख हिमकण एक समबाहु त्रिभुज से निर्मित है; प्रत्येक पुनरावृत्ति में, इसके घटक रेखा खंडों को एकांक लंबाई के 3 खंडों में विभाजित किया जाता है, नव निर्मित मध्य खंड का उपयोग एक नए समबाहु त्रिभुज के आधार के रूप में किया जाता है जो बाहर की ओर इंगित करता है, और 4 की इकाई लंबाई का पुनरावृति इस आधार खंड को फिर से एक अंतिम वस्तु छोड़ने के लिए हटा दिया जाता है।^[3] अर्थात्, पहले पुनरावृत्ति के बाद, प्रत्येक मूल रेखा खंड को N=4 से बदल दिया गया है, जहां प्रत्येक स्व-समान प्रतिलिपि मूल के रूप में 1/S = 1/3 है।^[1]दूसरे तरीके से वर्णन किया गया है, हमने यूक्लिडियन आयाम, D के साथ एक वस्तु ली है, और प्रत्येक दिशा में इसके रैखिक पैमाने को 1/3 कम कर दिया है, ताकि इसकी लंबाई बढ़कर N=SD हो जाए।^{^[4]}

^{इस समीकरण को D के लिए आसानी से हल किया जाता है, आंकड़ों में दिखाई देने वाले लघुगणक (या प्राकृतिक लघुगणक ) के अनुपात की उपज, और कॉख और अन्य आंशिक मामलों में-इन वस्तुओं के लिए गैर-पूर्णांक आयाम देना।}

हॉसडॉर्फ आयाम सरल, लेकिन आमतौर पर समकक्ष, पेटी-गणना या मिंकोव्स्की-बौलिगैंड आयाम का उत्तराधिकारी है।

अन्तर्ज्ञान

एक ज्यामितीय वस्तु X के आयाम की सहजज्ञ अवधारणा स्वतंत्र मापदंडों की संख्या है जिसे किसी को अंदर एक अद्वितीय बिंदु चुनने की आवश्यकता होती है। तथापि, दो मापदंडों द्वारा विनिर्दिष्ट किसी भी बिंदु को इसके बजाय एक द्वारा विनिर्दिष्ट किया जा सकता है, क्योंकि वास्तविक समतल के गणनांक वास्तविक रेखा के गणनांक के बराबर है (इसे कैंटर के विकर्ण तर्क द्वारा देखा जा सकता है जिसमें दो नंबरों के अंकों को अंतर्गुफन करना शामिल है। जो की एक ही जानकारी को कूटबद्ध करता है)। एक स्थल-भरण वक्र के उदाहरण से पता चलता है कि कोई भी वास्तविक रेखा को वास्तविक तल पर प्रक्षेपित फलन के लिए प्रतिचित्र कर सकता है (एक वास्तविक संख्या को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी में इस तरह से लेना कि सभी संख्याओं के जोड़ों को कवर किया जाए) और लगातार, इसलिए कि एक आयामी वस्तु एक उच्च-आयामी वस्तु को पूर्ण तरह से भर दे।

प्रत्येक स्थान-भरने वाला वक्र कुछ बिंदुओं पर कई बार प्रहार करता है और इसमें निरंतर प्रतीलोम नहीं होता है। दो आयामों को एक पर इस तरह से प्रतिचित्र करना असंभव है जो निरंतर और लगातार उल्टा हो। सांस्थितिक परिमाप जिसे लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम भी कहा जाता है, बताता है कि क्यों। यह आयाम सबसे बड़ा पूर्णांक n है जैसे कि छोटी खुली गेंदों द्वारा X के प्रत्येक आवरण में कम से कम एक बिंदु होता है जहाँ n + 1 गेंदें अधिव्यापन होती हैं। उदाहरण के लिए, जब कोई छोटे खुले अंतराल के साथ एक रेखा को समाविष्ट करता है, तो कुछ बिंदुओं को आयाम n = 1 देते हुए दो बार समाविष्ट किया जाना चाहिए।

लेकिन सांस्थितिक आयाम एक स्थान के स्थानीय आकार (एक बिंदु के पास आकार) का एक बहुत ही अशोधित माप है। एक वक्र जो लगभग स्थान-भरने वाला है, अभी भी सांस्थितिक आयाम एक हो सकता है, भले ही वह किसी क्षेत्र के अधिकांश क्षेत्र को भरता हो। एक आंशिक में एक पूर्णांक सांस्थितिक आयाम होता है, लेकिन समष्टि की मात्रा के संदर्भ में, �

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 अधिक विशेष रूप से, हॉसडॉर्फ आयाम एक [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Metric_space मात्रिक स्थान]  से एक आयामी संख्या है, अर्थात् एक सेट जहां सभी सदस्यों के बीच की दूरी परिभाषित की जाती है। आयाम  [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]  से खींचा गया है, <math>\overline{\mathbb{R}}</math>, आयाम की अधिक सहज धारणा के विपरीत, जो सामान्य मात्रिक रिक्त स्थान से संबद्ध नहीं है, और केवल गैर-ऋणात्मक मूल्यों में मान लेता है।
-गणितीय शब्दों में, हॉसडॉर्फ आयाम एक वास्तविक सदिश स्थान के आयाम की धारणा को सामान्य करता है। अर्थात्, n-आयामी  [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space आंतरिक उत्पाद स्थान]  का हॉसडॉर्फ आयाम n के बराबर होता है। यह पहले के कथन को रेखांकित करता है कि एक बिंदु का हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है, एक रेखा का एक है, आदि, और उस [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fractal फ्रैक्टल] में गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाया गया [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake कॉख हिमकण] एक समबाहु त्रिभुज से निर्मित है; प्रत्येक पुनरावृत्ति में, इसके घटक रेखा खंडों को एकांक लंबाई के 3 खंडों में विभाजित किया जाता '''है,''' नव निर्मित मध्य खंड का उपयोग एक नए समबाहु त्रिभुज के आधार के रूप में किया जाता है जो बाहर की ओर इंगित करता है, और 4 की इकाई लंबाई का पुनरावृति इस आधार खंड को फिर से एक अंतिम वस्तु छोड़ने के लिए हटा दिया जाता '''है'''।<ref>Larry Riddle, 2014, "Classic Iterated Function Systems: Koch Snowflake", Agnes Scott College e-Academy (online), see [http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/ksnow/ksnow.htm], accessed 5 March 2015.</ref> अर्थात्, पहले पुनरावृत्ति के बाद, प्रत्येक मूल रेखा खंड को N=4 से बदल दिया गया है, जहां प्रत्येक स्व-समान प्रतिलिपि मूल के रूप में 1/S = 1/3 है।<ref name=CampbellAnnenberg15/>दूसरे तरीके से वर्णन किया गया है, हमने यूक्लिडियन आयाम, D के साथ एक वस्तु ली है, और प्रत्येक दिशा में इसके रैखिक पैमाने को 1/3 कम कर दिया है, ताकि इसकी लंबाई बढ़कर N=SD हो जाए।<sup><ref name=ClaytonSCTPLS96>Keith Clayton, 1996, "Fractals and the Fractal Dimension," ''Basic Concepts in Nonlinear Dynamics and Chaos'' (workshop), Society for Chaos Theory in Psychology and the Life Sciences annual meeting, June 28, 1996, Berkeley, California, see [http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Workshop.html], accessed 5 March 2015.</ref> इस समीकरण को D के लिए आसानी से हल किया जाता है, आंकड़ों में दिखाई देने वाले लघुगणक (या [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm प्राकृतिक लघुगणक] ) के अनुपात की उपज, और कॉख और अन्य आंशिक मामलों में-इन वस्तुओं के लिए गैर-पूर्णांक आयाम देना।
+== गणितीय शब्दों में, हॉसडॉर्फ आयाम एक वास्तविक सदिश स्थान के आयाम की धारणा को सामान्य करता है। अर्थात्, n-आयामी  [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Inner_product_space आंतरिक उत्पाद स्थान]  का हॉसडॉर्फ आयाम n के बराबर होता है। यह पहले के कथन को रेखांकित करता है कि एक बिंदु का हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है, एक रेखा का एक है, आदि, और उस [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Fractal फ्रैक्टल] में गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाया गया [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake कॉख हिमकण] एक समबाहु त्रिभुज से निर्मित है; प्रत्येक पुनरावृत्ति में, इसके घटक रेखा खंडों को एकांक लंबाई के 3 खंडों में विभाजित किया जाता '''है,''' नव निर्मित मध्य खंड का उपयोग एक नए समबाहु त्रिभुज के आधार के रूप में किया जाता है जो बाहर की ओर इंगित करता है, और 4 की इकाई लंबाई का पुनरावृति इस आधार खंड को फिर से एक अंतिम वस्तु छोड़ने के लिए हटा दिया जाता '''है'''।<ref>Larry Riddle, 2014, "Classic Iterated Function Systems: Koch Snowflake", Agnes Scott College e-Academy (online), see [http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/ksnow/ksnow.htm], accessed 5 March 2015.</ref> अर्थात्, पहले पुनरावृत्ति के बाद, प्रत्येक मूल रेखा खंड को N=4 से बदल दिया गया है, जहां प्रत्येक स्व-समान प्रतिलिपि मूल के रूप में 1/S = 1/3 है।<ref name="CampbellAnnenberg15" />दूसरे तरीके से वर्णन किया गया है, हमने यूक्लिडियन आयाम, D के साथ एक वस्तु ली है, और प्रत्येक दिशा में इसके रैखिक पैमाने को 1/3 कम कर दिया है, ताकि इसकी लंबाई बढ़कर N=SD हो जाए।<sup><ref name="ClaytonSCTPLS96">Keith Clayton, 1996, "Fractals and the Fractal Dimension," ''Basic Concepts in Nonlinear Dynamics and Chaos'' (workshop), Society for Chaos Theory in Psychology and the Life Sciences annual meeting, June 28, 1996, Berkeley, California, see [http://www.vanderbilt.edu/AnS/psychology/cogsci/chaos/workshop/Workshop.html], accessed 5 March 2015.</ref>   ==
+== <sup>इस समीकरण को D के लिए आसानी से हल किया जाता है, आंकड़ों में दिखाई देने वाले लघुगणक (या [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Natural_logarithm प्राकृतिक लघुगणक] ) के अनुपात की उपज, और कॉख और अन्य आंशिक मामलों में-इन वस्तुओं के लिए गैर-पूर्णांक आयाम देना। ==
 हॉसडॉर्फ आयाम सरल, लेकिन आमतौर पर समकक्ष, पेटी-गणना या [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Minkowski%E2%80%93Bouligand_dimension मिंकोव्स्की-बौलिगैंड] आयाम का उत्तराधिकारी है।
-हॉसडॉर्फ आयाम सरल, लेकिन आमतौर पर समकक्ष, बॉक्स-गिनती या मिंकोव्स्की-बौलिगैंड आयाम का उत्तराधिकारी है।
 {{refimprove section|date=March 2015}}
-अन्तर्ज्ञान
-एक ज्यामितीय वस्तु X के आयाम की सहज अवधारणा स्वतंत्र मापदंडों की संख्या है जिसे किसी को अंदर एक अद्वितीय बिंदु चुनने की आवश्यकता होती है। हालांकि, दो मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट किसी भी बिंदु को इसके बजाय एक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, क्योंकि वास्तविक विमान की [[ प्रमुखता | प्रमुखता]] [[ वास्तविक रेखा | वास्तविक रेखा]] की कार्डिनैलिटी के बराबर है (इसे कैंटर के विकर्ण तर्क द्वारा देखा जा सकता है जिसमें दो नंबरों के अंकों को इंटरविविंग शामिल करना शामिल है) एक ही नंबर एक ही जानकारी को कूटबद्ध करता है)। एक स्थान-भरने वाले वक्र के उदाहरण से पता चलता है कि कोई भी वास्तविक रेखा को वास्तविक तल पर प्रक्षेपित फलन के लिए मैप कर सकता है (एक वास्तविक संख्या को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी में इस तरह से लेना कि सभी जोड़े संख्याओं को कवर किया जाए) और लगातार, इसलिए कि एक आयामी वस्तु एक उच्च-आयामी वस्तु को पूरी तरह से भर देती है।
+=== अन्तर्ज्ञान ===
+एक ज्यामितीय वस्तु X के आयाम की सहजज्ञ अवधारणा स्वतंत्र मापदंडों की संख्या है जिसे किसी को अंदर एक अद्वितीय बिंदु चुनने की आवश्यकता होती है। तथापि, दो मापदंडों द्वारा विनिर्दिष्ट किसी भी बिंदु को इसके बजाय एक द्वारा विनिर्दिष्ट किया जा सकता है, क्योंकि [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Plane_(geometry) वास्तविक समतल] के [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Cardinality गणनांक] [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Number_line वास्तविक रेखा] के गणनांक के बराबर है (इसे कैंटर के विकर्ण तर्क द्वारा देखा जा सकता है जिसमें दो नंबरों के अंकों को अंतर्गुफन करना शामिल है। जो की एक ही जानकारी को कूटबद्ध करता है)। एक [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve स्थल-भरण वक्र] के उदाहरण से पता चलता है कि कोई भी वास्तविक रेखा को वास्तविक तल पर प्रक्षेपित फलन के लिए प्रतिचित्र कर सकता है (एक वास्तविक संख्या को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी में इस तरह से लेना कि सभी  संख्याओं के जोड़ों को कवर किया जाए) और लगातार, इसलिए कि एक आयामी वस्तु एक उच्च-आयामी वस्तु को पूर्ण तरह से भर दे।
-प्रत्येक स्थान-भरने वाला वक्र कुछ बिंदुओं को कई बार हिट करता है और इसमें निरंतर उलटा नहीं होता है। दो आयामों को एक पर इस तरह से मैप करना असंभव है जो निरंतर और लगातार उलटा हो। टोपोलॉजिकल डायमेंशन, जिसे [[ लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम ]] भी कहा जाता है, बताता है कि क्यों। यह आयाम सबसे बड़ा पूर्णांक n है जैसे कि छोटी खुली गेंदों द्वारा X के प्रत्येक आवरण में कम से कम एक बिंदु होता है जहाँ n + 1 गेंदें ओवरलैप होती हैं। उदाहरण के लिए, जब कोई छोटे खुले अंतराल के साथ एक रेखा को कवर करता है, तो कुछ बिंदुओं को दो बार कवर किया जाना चाहिए, आयाम n = 1 देते हुए।
+प्रत्येक स्थान-भरने वाला वक्र कुछ बिंदुओं पर कई बार प्रहार करता है और इसमें निरंतर प्रतीलोम नहीं होता है। दो आयामों को एक पर इस तरह से प्रतिचित्र करना असंभव है जो निरंतर और लगातार उल्टा हो। सांस्थितिक परिमाप जिसे [[ लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम | लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम]] भी कहा जाता है, बताता है कि क्यों। यह आयाम सबसे बड़ा पूर्णांक n है जैसे कि छोटी खुली गेंदों द्वारा X के प्रत्येक आवरण में कम से कम एक बिंदु होता है जहाँ n + 1 गेंदें अधिव्यापन होती हैं। उदाहरण के लिए, जब कोई छोटे खुले अंतराल के साथ एक रेखा को समाविष्ट करता है, तो कुछ बिंदुओं को आयाम n = 1 देते हुए दो बार समाविष्ट किया जाना चाहिए।
-लेकिन टोपोलॉजिकल आयाम एक स्थान के स्थानीय आकार (एक बिंदु के पास आकार) का एक बहुत ही कच्चा माप है। एक वक्र जो लगभग स्थान-भरने वाला है, अभी भी टोपोलॉजिकल आयाम एक हो सकता है, भले ही वह किसी क्षेत्र के अधिकांश क्षेत्र को भरता हो। एक फ्रैक्टल में एक पूर्णांक टोपोलॉजिकल आयाम होता है, लेकिन अंतरिक्ष की मात्रा के संदर्भ में, यह एक उच्च-आयामी स्थान की तरह व्यवहार करता है।
+लेकिन सांस्थितिक आयाम एक स्थान के स्थानीय आकार (एक बिंदु के पास आकार) का एक बहुत ही अशोधित माप है। एक वक्र जो लगभग स्थान-भरने वाला है, अभी भी सांस्थितिक आयाम एक हो सकता है, भले ही वह किसी क्षेत्र के अधिकांश क्षेत्र को भरता हो। एक आंशिक में एक पूर्णांक सांस्थितिक आयाम होता है, लेकिन समष्टि की मात्रा के संदर्भ में, यह एक उच्च-आयामी स्थान की तरह व्यवहार करता है।
-हॉसडॉर्फ आयाम, अंकों के बीच की दूरी, मीट्रिक स्थान को ध्यान में रखते हुए स्थान के स्थानीय आकार को मापता है। त्रिज्या की [[ गेंद (गणित) ]] की संख्या N(r) पर विचार करें, जो X को पूरी तरह से कवर करने के लिए आवश्यक है। जब r बहुत छोटा होता है, N(r) 1/r के साथ बहुपद रूप से बढ़ता है। पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किए गए एक्स के लिए, हॉसडॉर्फ आयाम अद्वितीय संख्या डी है जैसे कि एन (आर) 1/आर के रूप में बढ़ता है<sup>d</sup> जैसे ही r शून्य के करीब पहुंचता है। अधिक सटीक रूप से, यह मिंकोव्स्की-बौलिगैंड आयाम | बॉक्स-गिनती आयाम को परिभाषित करता है, जो हॉसडॉर्फ आयाम के बराबर होता है, जब मूल्य डी विकास दर के बीच एक महत्वपूर्ण सीमा होती है जो अंतरिक्ष को कवर करने के लिए अपर्याप्त होती है, और विकास दर जो अत्यधिक होती है।
+हॉसडॉर्फ आयाम, अंकों के बीच की दूरी, [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Metric_space मापीय] स्थान को ध्यान में रखते हुए स्थान के समष्टि आकार को मापता है। त्रिज्या की  [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Ball_(mathematics) गेंद (गणित)]  की संख्या N(r) पर विचार करें, जो X को पूरी तरह से कवर करने के लिए आवश्यक है। जब r बहुत छोटा होता है, N(r) 1/r के साथ बहुपदीय रूप से बढ़ता है। पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किए गए X लिए, हॉसडॉर्फ आयाम अद्वितीय संख्या d है जैसे कि N(r) 1/r<sup>d</sup> के रूप में बढ़ता है जैसे ही r शून्य के करीब पहुंचता है। यथावत्, यह [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Minkowski%E2%80%93Bouligand_dimension पेटी-गणन आयाम] को परिभाषित करता है, जो हॉसडॉर्फ आयाम के बराबर होता है, जब मूल्य d विकास दर के बीच एक महत्वपूर्ण सीमा होती है जो समष्टि समाविष्ट करने के लिए अपर्याप्त होती है, और विकास दर जो अत्यधिक होती है।
-उन आकृतियों के लिए जो चिकने हैं, या कम संख्या में कोनों वाली आकृतियों के लिए, पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान के आकार, हॉसडॉर्फ आयाम टोपोलॉजिकल आयाम से सहमत एक पूर्णांक है। लेकिन [[ बेनोइट मंडेलब्रोट ]] ने देखा कि फ्रैक्टल, गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयामों के साथ सेट, प्रकृति में हर जगह पाए जाते हैं। उन्होंने देखा कि आपके द्वारा अपने आस-पास दिखाई देने वाली अधिकांश खुरदरी आकृतियों का उचित आदर्शीकरण चिकने आदर्शीकृत आकृतियों के संदर्भ में नहीं है, बल्कि भग्न आदर्शित आकृतियों के संदर्भ में है:
+उन आकृतियों के लिए जो निर्बाध हैं, या कम संख्या में कोनों वाली आकृतियों के लिए, पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान के आकार, हॉसडॉर्फ आयाम सांस्थितिक आयाम से सहमत एक पूर्णांक है। लेकिन [https://en.m.wikipedia.org/wiki/Benoit_Mandelbrot बेनोइट मंडेलब्रोट] ने देखा कि आंशिक, गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयामों के साथ श्रेणी, प्रकृति में हर जगह पाए जाते हैं। उन्होंने देखा कि आपके द्वारा अपने आस-पास दिखाई देने वाली अधिकांश खुरदरी आकृतियों का उचित आदर्शीकरण निर्बाध आदर्शीकृत आकृतियों के संदर्भ में नहीं है, बल्कि भग्न आदर्शित आकृतियों के संदर्भ में है:
-<blockquote>बादल गोले नहीं हैं, पहाड़ शंकु नहीं हैं, समुद्र तट वृत्त नहीं हैं, और छाल चिकनी नहीं है, और न ही बिजली एक सीधी रेखा में यात्रा करती है।<ref name="mandelbrot">{{cite book   | last = Mandelbrot   | first = Benoît   | author-link = Benoit Mandelbrot   | title = नेचर की फ़्रैक्टर जियोमीट्री| publisher = W. H. Freeman   | series = Lecture notes in mathematics 1358   | year = 1982   | isbn = 0-7167-1186-9   | url-access = registration   | url = https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno   }}</ref></blockquote>
+बादल गोल नहीं हैं, पहाड़ शंकु नहीं हैं, समुद्र तट वृत्त नहीं हैं, और छाल निर्बाध नहीं है, और न ही बिजली एक सीधी रेखा में यात्रा करती है।<ref name="mandelbrot">{{cite book   | last = Mandelbrot   | first = Benoît   | author-link = Benoit Mandelbrot   | title = नेचर की फ़्रैक्टर जियोमीट्री| publisher = W. H. Freeman   | series = Lecture notes in mathematics 1358   | year = 1982   | isbn = 0-7167-1186-9   | url-access = registration   | url = https://archive.org/details/fractalgeometryo00beno   }}</ref>
-प्रकृति में होने वाले भग्न के लिए, हॉसडॉर्फ और मिंकोव्स्की-बौलिगैंड आयाम | बॉक्स-गिनती आयाम मेल खाते हैं। [[ पैकिंग आयाम ]] अभी तक एक और समान धारणा है जो कई आकारों के लिए समान मूल्य देता है, लेकिन अच्छी तरह से प्रलेखित अपवाद हैं जहां ये सभी आयाम भिन्न होते हैं।{{Example needed|s|date=January 2022}}
+प्रकृति में होने वाले भग्न के लिए, हॉसडॉर्फ और मिंकोव्स्की-बौलिगैंड आयाम | बॉक्स-गिनती आयाम मेल खाते हैं। [[ पैकिंग आयाम | पैकिंग आयाम]] अभी तक एक और समान धारणा है जो कई आकारों के लिए समान मूल्य देता है, लेकिन अच्छी तरह से प्रलेखित अपवाद हैं जहां ये सभी आयाम भिन्न होते हैं।{{Example needed|s|date=January 2022}}
 == औपचारिक परिभाषा ==
 {{main| Hausdorff measure}}
-हॉसडॉर्फ आयाम की औपचारिक परिभाषा पहले हॉसडॉर्फ माप को परिभाषित करके प्राप्त की जाती है, जो लेबेस्ग माप का एक भिन्न-आयाम एनालॉग है। सबसे पहले, एक बाहरी माप का निर्माण किया जाता है:
+हॉसडॉर्फ आयाम की औपचारिक परिभाषा पहले [[:en:Hausdorff_measure|हॉसडॉर्फ माप]] को परिभाषित करके प्राप्त की जाती है, जो [[:en:Lebesgue_measure|लेबेस्ग माप]] का एक भिन्न-आयाम समधर्मी  है। सबसे पहले, एक [[:en:Outer_measure|बाहरी माप]] का निर्माण किया जाता है:
-मान लीजिए कि X एक मीट्रिक स्थान है। अगर एस एक्स और डी ∈ [0, ∞),
+मान लीजिए कि X एक [[:en:Metric_space|मीट्रिक स्थल]] है। अगर S ⊂ X and d ∈ [0, ∞),
 :<math>H^d_\delta(S)=\inf\left \{\sum_{i=1}^\infty (\operatorname{diam} U_i)^d: \bigcup_{i=1}^\infty U_i\supseteq S, \operatorname{diam} U_i<\delta\right \},</math>
-जहां सभी गणनीय कवरों पर सबसे अधिक लिया जाता है U<sub>i</sub>एस। हॉसडॉर्फ बाहरी माप को तब परिभाषित किया जाता है <math>\mathcal{H}^d(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math>, और [[ गैर-मापनीय सेट ]]ों के लिए मानचित्रण का प्रतिबंध इसे एक माप के रूप में सही ठहराता है, जिसे डी-आयामी हॉसडॉर्फ माप कहा जाता है।<ref>{{cite web| last1=Briggs| first1=Jimmy| last2=Tyree|first2=Tim| title=हॉसडॉर्फ उपाय| url=https://sites.math.washington.edu/~farbod/teaching/cornell/math6210pdf/math6210Hausdorff.pdf| date=3 December 2016| access-date=3 February 2022| publisher=University of Washington}}</ref>
+जहां सभी न्यूनतम कवरों पर सबसे अधिक लिया जाता है U<sub>i</sub> S। हॉसडॉर्फ बाहरी माप को तब इस तरह परिभाषित किया जाता है <math>\mathcal{H}^d(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)</math>, और [[:en:Non-measurable_set|गैर मानपीय सेटों]] के लिए मानचित्रण का प्रतिबंध इसे एक माप के रूप में सही ठहराता है, जिसे D-आयामी हॉसडॉर्फ माप कहा जाता है।<ref>{{cite web| last1=Briggs| first1=Jimmy| last2=Tyree|first2=Tim| title=हॉसडॉर्फ उपाय| url=https://sites.math.washington.edu/~farbod/teaching/cornell/math6210pdf/math6210Hausdorff.pdf| date=3 December 2016| access-date=3 February 2022| publisher=University of Washington}}</ref>
+==== हॉसडॉर्फ आयाम ====
-=== हॉसडॉर्फ आयाम ===
+हॉसडॉर्फ आयाम <math>\dim_{\operatorname{H}}{(X)}</math> एक्स के द्वारा परिभाषित किया गया है।
-हॉसडॉर्फ आयाम <math>\dim_{\operatorname{H}}{(X)}</math> एक्स के द्वारा परिभाषित किया गया है
-:<math>\dim_{\operatorname{H}}{(X)}:=\inf\{d\ge 0: \mathcal{H}^d(X)=0\}.</math>
-यह d ∈ [0, ∞) के समुच्चय के सर्वोच्च के समान है, जैसे कि X का d-आयामी हॉसडॉर्फ माप अनंत है (सिवाय इसके कि जब संख्याओं का यह बाद वाला सेट d खाली होता है तो हॉसडॉर्फ आयाम शून्य होता है)।
 === हॉसडॉर्फ सामग्री ===

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