रेले भागफल: Difference between revisions

Revision as of 22:20, 2 August 2023

गणित में, किसी दिए गए सम्मिश्र हर्मिटियन आव्यूह $M$ और अशून्य सदिश (ज्यामिति) $x$ के लिए रेले भागफल^[1] (/ˈreɪ.li/) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:^[2]^[3]

R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}.

वास्तविक आव्यूहों और सदिशों के लिए, हर्मिटियन होने की स्थिति सममित होने की स्थिति में कम हो जाती है और संयुग्मी परिवर्त

x^{*}

को सामान्य परिवर्त

x'

में परिवर्तित कर देता है। ध्यान दें कि किसी भी अशून्य अदिश

c

के लिए

R(M,cx)=R(M,x)

है। स्मरण रखें कि हर्मिटियन (अथवा वास्तविक सममित) आव्यूह केवल वास्तविक आइगेन मान के साथ विकर्ण योग्य है। यह दिखाया जा सकता है कि, किसी दिए गए आव्यूह के लिए, रेले भागफल अपने न्यूनतम मान

\lambda _{\min }

(

M

का सबसे छोटा आइगेन मान) तक पहुँच जाता है जब

x

,

v_{\min }

(संबंधित आइगेन वेक्टर) होता है।^[4] इस प्रकार,

R(M,x)\leq \lambda _{\max }

और

R(M,v_{\max })=\lambda _{\max }

होता है।

रेले भागफल का उपयोग न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय में सभी आइगेन मानों के त्रुटिहीन मान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग आइजेनवेक्टर सन्निकटन से आइगेन मान सन्निकटन प्राप्त करने के लिए आइगेन मान एल्गोरिथ्म (जैसे कि रेले भागफल पुनरावृत्ति) में भी किया जाता है।

रेले भागफल की सीमा (किसी भी आव्यूह के लिए यह आवश्यक नहीं कि हर्मिटियन हो) को संख्यात्मक सीमा कहा जाता है और इसमें इसका स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) सम्मिलित होता है। जब आव्यूह हर्मिटियन होता है, तो संख्यात्मक त्रिज्या वर्णक्रमीय मानक के समान होती है। अभी भी कार्यात्मक विश्लेषण में, $\lambda _{\max }$ को वर्णक्रमीय त्रिज्या के रूप में जाना जाता है। $C^{\star }$ -बीजगणित अथवा बीजगणितीय क्वांटम यांत्रिकी के सन्दर्भ में, वह फलन जो $M$ बीजगणित के माध्यम से भिन्न होने वाले निश्चित $x$ और $M$ के लिए रेले-रिट्ज भागफल $R(M,x)$ को जोड़ता है, उसे बीजगणित की सदिश स्थिति के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

क्वांटम यांत्रिकी में, रेले भागफल उस प्रणाली के लिए संकारक $M$ के अनुरूप अवलोकन योग्य का अपेक्षित मान देता है जिसकी स्थिति $x$ द्वारा दी गई है।

यदि हम सम्मिश्र आव्यूह $M$ को व्यवस्थित करते हैं, तो परिणामी रेले भागफल मानचित्र (जिसे $x$ के फलन के रूप में माना जाता है) ध्रुवीकरण प्रमाण के माध्यम से $M$ को पूर्ण रूप से निर्धारित करता है; वास्तव में, यह सत्य होगा यदि हम $M$ को गैर-हर्मिटियन होने की अनुमति दें। (यद्यपि, यदि हम अदिशों के क्षेत्र को वास्तविक संख्याओं तक सीमित रखते हैं, तो रेले भागफल केवल $M$ के सममित आव्यूह भाग को निर्धारित करता है।)

हर्मिटियन M के लिए सीमाएं

जिस प्रकार से परिचय में बताया गया है, किसी भी सदिश x के लिए, $R(M,x)\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]$ है, जहां $\lambda _{\min },\lambda _{\max }$ क्रमशः $M$ के सबसे छोटे और सबसे बड़े आइगेन मान हैं। यह देखने के तत्पश्चात, रेले भागफल $M$ के आइगेन मान का भारित औसत है:

R(M,x)={x^{*}Mx \over x^{*}x}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}y_{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}}}

जहाँ

(\lambda _{i},v_{i})

ऑर्थोनॉर्मलाइजेशन के पश्चात

i

-th आइगेनपेअर है और

[1]

[2]

[3]

[4]

@@ Line 80: / Line 80: @@
 और
   <math display="block"> \therefore R(M,x) = \frac{x^\mathsf{T} M x}{x^\mathsf{T} x} = \lambda \frac{x^\mathsf{T}x}{x^\mathsf{T} x} = \lambda.</math>
-इसलिए, eigenvectors <math>x_1, \ldots, x_n</math> का <math>M</math> रेले भागफल के महत्वपूर्ण बिंदु और उनके संबंधित स्वदेशी मान हैं <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math> के स्थिर मान हैं <math>\mathcal{L}</math>. यह संपत्ति प्रमुख घटकों के विश्लेषण और [[विहित सहसंबंध]] का आधार है।
+इसलिए, <math>M</math> के आइगेनवेक्टर <math>x_1, \ldots, x_n</math>, रेले भागफल के महत्वपूर्ण बिंदु और उनके संबंधित आइगेन मान <math>\lambda_1, \ldots, \lambda_n</math>, <math>\mathcal{L}</math> के स्थिर मान हैं। यह गुण प्रमुख घटक विश्लेषण और [[विहित सहसंबंध]] का आधार है।
 ==स्टर्म-लिउविल सिद्धांत में उपयोग==
-स्टर्म-लिउविले सिद्धांत [[रैखिक ऑपरेटर]] की कार्रवाई से संबंधित है
+स्टर्म-लिउविले सिद्धांत [[रैखिक ऑपरेटर|रैखिक संकारक]] की क्रिया से संबंधित है-
 <math display="block">L(y) = \frac{1}{w(x)}\left(-\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y\right)</math>
-द्वारा परिभाषित [[आंतरिक उत्पाद स्थान]] पर
+उपरोक्त समीकरण द्वारा परिभाषित [[आंतरिक उत्पाद स्थान|आंतरिक गुणनफल समष्टि]] है-
 <math display="block">\langle{y_1,y_2}\rangle = \int_a^b w(x)y_1(x)y_2(x) \, dx</math>
-ए और बी पर कुछ निर्दिष्ट सीमा शर्तों को पूरा करने वाले कार्यों का। इस मामले में रेले भागफल है
+जो a और b पर कुछ निर्दिष्ट सीमा स्थितियों को पूर्ण करने वाले फलनों से संबंधित है। इस स्थिति में रेले भागफल है-
 <math display="block">\frac{\langle{y,Ly}\rangle}{\langle{y,y}\rangle} = \frac{\int_a^b y(x)\left(-\frac{d}{dx}\left[p(x)\frac{dy}{dx}\right] + q(x)y(x)\right)dx}{\int_a^b{w(x)y(x)^2}dx}.</math>
-इसे कभी-कभी समतुल्य रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जो अंश में अभिन्न को अलग करके और [[भागों द्वारा एकीकरण|भागों द्वारा ीकरण]] का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:
+इसे कभी-कभी समतुल्य रूप में प्रस्तुत किया जाता है, जिसे अंश में अभिन्न को पृथक करके और [[भागों द्वारा एकीकरण|खण्डशः समाकलन]] का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:
 == <math display="block">\begin{align}
@@ Line 96: / Line 96: @@
 &= \frac{ \left \{ \left. -p(x)y(x)y'(x) \right |_a^b \right \} + \left \{ \int_a^b \left [p(x)y'(x)^2 + q(x)y(x)^2 \right] \, dx \right \} } {\int_a^b{w(x)y(x)^2} \, dx}.
 \end{align}</math>सामान्यीकरण ==
-# आव्यूह के दिए गए जोड़े (ए, बी) और दिए गए गैर-शून्य वेक्टर x के लिए, 'सामान्यीकृत रेले भागफल' को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: <math display="block">R(A,B; x) := \frac{x^* A x}{x^* B x}.</math> सामान्यीकृत रेले भागफल को रेले भागफल तक कम किया जा सकता है <math>R(D, C^*x)</math> परिवर्तन के माध्यम से <math>D = C^{-1} A {C^*}^{-1}</math> जहाँ <math>CC^*</math> हर्मिटियन सकारात्मक-निश्चित आव्यूह बी का चोल्स्की अपघटन है।
+# आव्यूह के दिए गए जोड़े (A, B) और दिए गए अशून्य वेक्टर x के लिए, '''सामान्यीकृत रेले भागफल''' को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: <math display="block">R(A,B; x) := \frac{x^* A x}{x^* B x}.</math>परिवर्तन <math>D = C^{-1} A {C^*}^{-1}</math> के माध्यम से सामान्यीकृत रेले भागफल को रेले भागफल <math>R(D, C^*x)</math> तक कम किया जा सकता है, जहाँ <math>CC^*</math> हर्मिटियन धनात्मक-निश्चित आव्यूह '''''B''''' का चोल्स्की अपघटन है।
-# गैर-शून्य सदिशों की दी गई जोड़ी (x, y) और दिए गए हर्मिटियन आव्यूह H के लिए, 'सामान्यीकृत रेले भागफल' को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है: <math display="block">R(H; x,y) := \frac{y^* H x}\sqrt{y^*y \cdot x^*x}</math> जो R(H,x) के साथ मेल खाता है जब x = y। क्वांटम यांत्रिकी में, इस मात्रा को आव्यूह तत्व या कभी-कभी संक्रमण आयाम कहा जाता है।
+# अशून्य सदिशों की दी गई जोड़ी (x, y) और दिए गए हर्मिटियन आव्यूह H के लिए, '''सामान्यीकृत रेले भागफल''' को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है: <math display="block">R(H; x,y) := \frac{y^* H x}\sqrt{y^*y \cdot x^*x}</math> जो R(H,x) के साथ युग्मित होता है जब x = y होता है। क्वांटम यांत्रिकी में, इस मात्रा को आव्यूह तत्व अथवा कभी-कभी संक्र्रांति आयाम कहा जाता है।
 ==यह भी देखें==
-* [[मूल्यों का क्षेत्र]]
+* [[मूल्यों का क्षेत्र|मानों का क्षेत्र]]
 * न्यूनतम-अधिकतम प्रमेय
 * कंपन विश्लेषण में रेले का भागफल
-* [[डिरिचलेट आइजेनवैल्यू]]
+* [[डिरिचलेट आइजेनवैल्यू|डिरिचलेट आइजेन]][[मूल्यों का क्षेत्र|मान]]
 ==संदर्भ==

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