डिराक समीकरण: Difference between revisions
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लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध संरक्षित नोएथर धारा है, या बल्कि संरक्षित नोएथर धाराओं <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> का एक टेंसर है। इसी तरह, चूंकि | लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीयता से संबद्ध संरक्षित नोएथर धारा है, या बल्कि संरक्षित नोएथर धाराओं <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> का एक टेंसर है। इसी तरह, चूंकि रूपांतरण के तहत समीकरण अपरिवर्तनीय है, इसलिए संरक्षित नोएथर धाराओं <math>T^{\mu\nu}</math> का टेंसर है, जिसे तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप में पहचाना जा सकता है। लोरेंत्ज़ धारा <math>(\mathcal{J}^{\rho\sigma})^\mu</math> आंतरिक कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने वाले टेंसर के अलावा तनाव-ऊर्जा टेंसर के संदर्भ में भी लिखा जा सकता है। | ||
== ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण == | == ऐतिहासिक विकास और आगे गणितीय विवरण == | ||
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जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4-वर्तमान घनत्व में सापेक्ष रूप से सहसंयोजक अभिव्यक्ति है | जो अब स्पेसटाइम सदिश का चौथा घटक बन गया है, और संपूर्ण संभाव्यता धारा | संभाव्यता 4-वर्तमान घनत्व में सापेक्ष रूप से सहसंयोजक अभिव्यक्ति है | ||
<math display="block">J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .</math> | <math display="block">J^\mu = \frac{i\hbar}{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi - \psi\partial^\mu\psi^* \right) .</math> | ||
निरंतरता समीकरण पहले जैसा है। अब सब कुछ सापेक्षता के अनुकूल है, लेकिन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति अब घनात्मक रूप से निश्चित नहीं है; दोनों के प्रारंभिक मान {{math|''ψ''}} और {{math|∂<sub>''t''</sub>''ψ''}} को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, और घनत्व इस प्रकार | निरंतरता समीकरण पहले जैसा है। अब सब कुछ सापेक्षता के अनुकूल है, लेकिन घनत्व के लिए अभिव्यक्ति अब घनात्मक रूप से निश्चित नहीं है; दोनों के प्रारंभिक मान {{math|''ψ''}} और {{math|∂<sub>''t''</sub>''ψ''}} को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, और घनत्व इस प्रकार ऋणात्मक हो सकता है, कुछ ऐसा जो वैध संभाव्यता घनत्व के लिए असंभव है। इस प्रकार, किसी को इस भोली धारणा के तहत श्रोडिंगर समीकरण का सरल सामान्यीकरण नहीं मिल सकता है कि तरंग फलन एक सापेक्ष अदिश राशि है, और यह जिस समीकरण को संतुष्ट करता है, वह समय में दूसरे क्रम का है। | ||
यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का एक सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और एक स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए [[सन मेसन]] या [[हिग्स बॉसन]]) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो घनात्मक या | यद्यपि यह श्रोडिंगर समीकरण का एक सफल सापेक्षतावादी सामान्यीकरण नहीं है, इस समीकरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में पुनर्जीवित किया गया है, जहां इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है, और एक स्पिनलेस कण क्षेत्र (उदाहरण के लिए [[सन मेसन]] या [[हिग्स बॉसन]]) का वर्णन करता है। ऐतिहासिक रूप से, श्रोडिंगर स्वयं अपने नाम वाले समीकरण से पहले इस समीकरण पर पहुंचे थे लेकिन जल्द ही इसे खारिज कर दिया। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, अनिश्चित घनत्व को चार्ज घनत्व के अनुरूप समझा जाता है, जो घनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, न कि संभाव्यता घनत्व। | ||
=== डिराक का तख्तापलट === | === डिराक का तख्तापलट === | ||
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साथ | साथ | ||
<math display="block">A^2 = B^2 = \dots = 1~.</math> | <math display="block">A^2 = B^2 = \dots = 1~.</math> | ||
डिराक, जो उस समय हाइजेनबर्ग के [[मैट्रिक्स यांत्रिकी|आव्यूह यांत्रिकी]] की नींव तैयार करने में गहनता से शामिल था, तुरंत समझ गया कि इन शर्तों को पूरा किया जा सकता है यदि {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} और {{math|''D''}} आव्यूह हैं, इस निहितार्थ के साथ कि तरंग फलन में कई घटक होते हैं। इसने पॉली के प्रचक्रण (भौतिकी) के घटनात्मक सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन की उपस्थिति को तुरंत समझाया, कुछ ऐसा जो तब तक रहस्यमय माना जाता था, यहां तक कि खुद पॉली के लिए भी। हालाँकि, किसी को कम से कम चाहिए {{nowrap|4 × 4}} आवश्यक गुणों के साथ एक | डिराक, जो उस समय हाइजेनबर्ग के [[मैट्रिक्स यांत्रिकी|आव्यूह यांत्रिकी]] की नींव तैयार करने में गहनता से शामिल था, तुरंत समझ गया कि इन शर्तों को पूरा किया जा सकता है यदि {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}} और {{math|''D''}} आव्यूह हैं, इस निहितार्थ के साथ कि तरंग फलन में कई घटक होते हैं। इसने पॉली के प्रचक्रण (भौतिकी) के घटनात्मक सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन की उपस्थिति को तुरंत समझाया, कुछ ऐसा जो तब तक रहस्यमय माना जाता था, यहां तक कि खुद पॉली के लिए भी। हालाँकि, किसी को कम से कम चाहिए {{nowrap|4 × 4}} आवश्यक गुणों के साथ एक प्रणाली स्थापित करने के लिए आव्यूह - इसलिए तरंग फलन में चार घटक थे, दो नहीं, जैसा कि पाउली सिद्धांत में था, या एक, जैसा कि अरक्षित श्रोडिंगर सिद्धांत में था। चार-घटक तरंग फलन भौतिक सिद्धांतों में गणितीय वस्तु के एक नए वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है जो यहां पहली बार दिखाई देता है। | ||
इन आव्यूहों के संदर्भ में गुणनखंडन को देखते हुए, कोई भी अब तुरंत एक समीकरण लिख सकता है | इन आव्यूहों के संदर्भ में गुणनखंडन को देखते हुए, कोई भी अब तुरंत एक समीकरण लिख सकता है | ||
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उपरोक्त विचार, ग्रासमैन की मूल प्रेरणा को ध्यान में रखते हुए, ज्यामिति में गामा की उत्पत्ति को प्रकट करते हैं; वे स्पेसटाइम में यूनिट सदिश के एक निश्चित आधार का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसी प्रकार, गामा के उत्पाद जैसे {{math|''γ''<sub>''μ''</sub>''γ''<sub>''ν''</sub>}} [[उन्मुख सतह]] तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं, इत्यादि। इसे ध्यान में रखते हुए, कोई गामा के संदर्भ में स्पेसटाइम पर इकाई आयतन तत्व का रूप इस प्रकार पा सकता है। परिभाषा के अनुसार, यह है | उपरोक्त विचार, ग्रासमैन की मूल प्रेरणा को ध्यान में रखते हुए, ज्यामिति में गामा की उत्पत्ति को प्रकट करते हैं; वे स्पेसटाइम में यूनिट सदिश के एक निश्चित आधार का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसी प्रकार, गामा के उत्पाद जैसे {{math|''γ''<sub>''μ''</sub>''γ''<sub>''ν''</sub>}} [[उन्मुख सतह]] तत्वों का प्रतिनिधित्व करते हैं, इत्यादि। इसे ध्यान में रखते हुए, कोई गामा के संदर्भ में स्पेसटाइम पर इकाई आयतन तत्व का रूप इस प्रकार पा सकता है। परिभाषा के अनुसार, यह है | ||
<math display="block">V = \frac{1}{4!}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\beta .</math> | <math display="block">V = \frac{1}{4!}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\alpha\gamma^\beta .</math> | ||
इसके अपरिवर्तनीय होने के लिए, [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] को एक [[ टेन्सर ]] होना चाहिए, और इसलिए इसमें एक कारक होना चाहिए {{math|{{sqrt|''g''}}}}, जहाँ {{math|''g''}} [[मीट्रिक टेंसर]] का निर्धारक है। चूँकि यह | इसके अपरिवर्तनीय होने के लिए, [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] को एक [[ टेन्सर ]] होना चाहिए, और इसलिए इसमें एक कारक होना चाहिए {{math|{{sqrt|''g''}}}}, जहाँ {{math|''g''}} [[मीट्रिक टेंसर]] का निर्धारक है। चूँकि यह ऋणात्मक है, वह बात काल्पनिक है। इस प्रकार | ||
<math display="block">V = i \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 .</math> | <math display="block">V = i \gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 .</math> | ||
इस आव्यूह को विशेष चिन्ह दिया गया है {{math|''γ''<sup>5</sup>}}, इसके महत्व के कारण जब कोई समष्टि-समय के अनुचित परिवर्तनों पर विचार कर रहा है, यानी, जो आधार सदिश के अभिविन्यास को बदलते हैं। मानक प्रतिनिधित्व में, यह है | इस आव्यूह को विशेष चिन्ह दिया गया है {{math|''γ''<sup>5</sup>}}, इसके महत्व के कारण जब कोई समष्टि-समय के अनुचित परिवर्तनों पर विचार कर रहा है, यानी, जो आधार सदिश के अभिविन्यास को बदलते हैं। मानक प्रतिनिधित्व में, यह है | ||
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=== पाउली सिद्धांत === | === पाउली सिद्धांत === | ||
{{See also|Pauli equation}} | {{See also|Pauli equation}} | ||
आधे-पूर्णांक प्रचक्रण (भौतिकी) को | आधे-पूर्णांक प्रचक्रण (भौतिकी) को प्रारंभ करने की आवश्यकता प्रयोगात्मक रूप से स्टर्न-गेरलाच प्रयोग के परिणामों पर आधारित है। परमाणुओं की एक किरण को एक मजबूत समरूपता और विषमता [[चुंबकीय क्षेत्र]] के माध्यम से चलाया जाता है, जो फिर विभाजित हो जाता है {{math|''N''}}परमाणुओं की प्रचक्रण (भौतिकी) के आधार पर भाग। यह पाया गया कि चांदी के परमाणुओं के लिए, किरण दो भागों में विभाजित थी; इसलिए जमीनी स्थिति [[पूर्णांक]] नहीं हो सकती, क्योंकि भले ही परमाणुओं की आंतरिक कोणीय गति यथासंभव छोटी हो, 1, किरण को परमाणुओं के अनुरूप तीन भागों में विभाजित किया जाएगा {{math|''L<sub>z</sub>'' {{=}} −1, 0, +1}}। निष्कर्ष यह है कि चांदी के परमाणुओं में शुद्ध आंतरिक कोणीय गति होती है {{frac|1|2}}। वोल्फगैंग पाउली ने एक सिद्धांत स्थापित किया, जिसने हैमिल्टन के सिद्धांत में दो-घटक तरंग फलन और संबंधित सुधार शब्द को पेश करके इस विभाजन को समझाया, जो इस तरंग फलन के अर्ध-चिरसम्मत युग्मन को एक लागू चुंबकीय क्षेत्र में दर्शाता है, जैसा कि एसआई इकाइयों में होता है: (ध्यान दें कि बोल्ड चेहरे वाले अक्षर 3 आयामों में [[यूक्लिडियन सदिश]] दर्शाते हैं, जबकि मिन्कोव्स्की समष्टि [[चार-वेक्टर|चार-सदिश]] {{math|''A''<sub>''μ''</sub>}} को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है <math>A_\mu = (\phi/c,-\mathbf A)</math>।) | ||
<math display="block">H = \frac{1}{2m}\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right)^2 + e\phi ~.</math> | <math display="block">H = \frac{1}{2m}\left( \boldsymbol{\sigma}\cdot\left(\mathbf{p} - e \mathbf{A}\right)\right)^2 + e\phi ~.</math> | ||
यहाँ {{math|'''A'''}} और <math>\phi</math> उनके मानक एसआई इकाइयों में [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और तीन सिग्मा पाउली आव्यूह हैं। पहले पद का वर्ग करने पर, चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक अवशिष्ट अंतःक्रिया पाई जाती है, साथ ही सामान्य संवेग#क्षेत्र में कण एसआई इकाइयों में एक लागू क्षेत्र के साथ अंतःक्रिया करता है: | यहाँ {{math|'''A'''}} और <math>\phi</math> उनके मानक एसआई इकाइयों में [[विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता]] के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और तीन सिग्मा पाउली आव्यूह हैं। पहले पद का वर्ग करने पर, चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक अवशिष्ट अंतःक्रिया पाई जाती है, साथ ही सामान्य संवेग#क्षेत्र में कण एसआई इकाइयों में एक लागू क्षेत्र के साथ अंतःक्रिया करता है: | ||
| Line 372: | Line 372: | ||
=== अवलोकनीय वस्तुओं की पहचान === | === अवलोकनीय वस्तुओं की पहचान === | ||
क्वांटम सिद्धांत में महत्वपूर्ण भौतिक प्रश्न यह है: सिद्धांत द्वारा परिभाषित भौतिक रूप से देखने योग्य मात्राएँ क्या हैं? क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं के अनुसार, ऐसी मात्राएँ [[हर्मिटियन ऑपरेटर]]ों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो किसी प्रणाली की संभावित अवस्थाओं के हिल्बर्ट समष्टि पर फलन करती हैं। इन ऑपरेटरों के eigenvalues तब संबंधित भौतिक मात्रा की माप समस्या के संभावित परिणाम होते हैं। श्रोडिंगर सिद्धांत में, ऐसी सबसे सरल वस्तु समग्र हैमिल्टनियन है, जो | क्वांटम सिद्धांत में महत्वपूर्ण भौतिक प्रश्न यह है: सिद्धांत द्वारा परिभाषित भौतिक रूप से देखने योग्य मात्राएँ क्या हैं? क्वांटम यांत्रिकी के अभिधारणाओं के अनुसार, ऐसी मात्राएँ [[हर्मिटियन ऑपरेटर]]ों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो किसी प्रणाली की संभावित अवस्थाओं के हिल्बर्ट समष्टि पर फलन करती हैं। इन ऑपरेटरों के eigenvalues तब संबंधित भौतिक मात्रा की माप समस्या के संभावित परिणाम होते हैं। श्रोडिंगर सिद्धांत में, ऐसी सबसे सरल वस्तु समग्र हैमिल्टनियन है, जो प्रणाली की कुल ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करती है। डिराक सिद्धांत को पारित करने पर इस व्याख्या को बनाए रखने के लिए, हैमिल्टनियन को लिया जाना चाहिए | ||
<math display="block">H = \gamma^0 \left[mc^2 + c \gamma^k \left(p_k - q A_k\right) \right] + c q A^0.</math> | <math display="block">H = \gamma^0 \left[mc^2 + c \gamma^k \left(p_k - q A_k\right) \right] + c q A^0.</math> | ||
जहां, हमेशा की तरह, दो बार दोहराए गए सूचकांक पर आइंस्टीन अंकन है {{math|''k'' {{=}} 1, 2, 3}}। यह आशाजनक लगता है, क्योंकि कोई भी कण की बाकी ऊर्जा का निरीक्षण करके देख सकता है और, इस मामले में {{math|'''A''' {{=}} 0}}, विद्युत विभव में रखे गए आवेश की ऊर्जा {{math|''cqA''<sup>0</sup>}}। सदिश क्षमता से जुड़े शब्द के बारे में क्या? चिरसम्मत विद्युत्गतिकी में, किसी लागू क्षमता में गतिमान आवेश की ऊर्जा होती है | जहां, हमेशा की तरह, दो बार दोहराए गए सूचकांक पर आइंस्टीन अंकन है {{math|''k'' {{=}} 1, 2, 3}}। यह आशाजनक लगता है, क्योंकि कोई भी कण की बाकी ऊर्जा का निरीक्षण करके देख सकता है और, इस मामले में {{math|'''A''' {{=}} 0}}, विद्युत विभव में रखे गए आवेश की ऊर्जा {{math|''cqA''<sup>0</sup>}}। सदिश क्षमता से जुड़े शब्द के बारे में क्या? चिरसम्मत विद्युत्गतिकी में, किसी लागू क्षमता में गतिमान आवेश की ऊर्जा होती है | ||
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=== छिद्र सिद्धांत === | === छिद्र सिद्धांत === | ||
ऋणात्मक {{math|''E''}} समीकरण के समाधान समस्याग्रस्त हैं, क्योंकि यह माना गया था कि कण में घनात्मक ऊर्जा है। हालाँकि, गणितीय रूप से कहें तो, हमारे लिए ऋणात्मक-ऊर्जा समाधानों को अस्वीकार करने का कोई कारण नहीं दिखता है। चूंकि वे मौजूद हैं, इसलिए उन्हें आसानी से नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है, क्योंकि एक बार जब इलेक्ट्रॉन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के बीच अन्योन्यक्रिया शामिल हो जाती है, तो घनात्मक-ऊर्जा ईजेनस्टेट में रखा गया कोई भी इलेक्ट्रॉन क्रमिक रूप से कम ऊर्जा वाले ऋणात्मक-ऊर्जा ईजेनस्टेट में क्षय हो जाएगा। वास्तविक इलेक्ट्रॉन स्पष्ट रूप से इस तरह से व्यवहार नहीं करते हैं, अन्यथा वे फोटॉन के रूप में ऊर्जा उत्सर्जित करके गायब हो जाएंगे। | |||
इस समस्या से निपटने के लिए, [[डिराक सागर]] परिकल्पना पेश की, जिसे | इस समस्या से निपटने के लिए, [[डिराक सागर|डिराक]] परिकल्पना पेश की, जिसे '''छिद्र सिद्धांत''' के रूप में जाना जाता है, कि निर्वात कई-शरीर क्वांटम अवस्था है जिसमें सभी ऋणात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन ईजेनस्टेट्स का कब्जा है। इलेक्ट्रॉनों के "समुद्र" के रूप में निर्वात के इस वर्णन को डिराक समुद्र कहा जाता है। चूँकि [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] इलेक्ट्रॉनों को एक ही अवस्था में रहने से रोकता है, किसी भी अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन को घनात्मक-ऊर्जा आइजेनस्टेट पर कब्जा करने के लिए मजबूर किया जाएगा, और घनात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों को ऋणात्मक-ऊर्जा आइजेनस्टेट्स में क्षय होने से रोका जाएगा। | ||
डिराक ने आगे तर्क दिया कि यदि | डिराक ने आगे तर्क दिया कि यदि ऋणात्मक-ऊर्जा ईजेनस्टेट्स अपूर्ण रूप से भरे हुए हैं, तो प्रत्येक खाली ईजेनस्टेट - जिसे '''छिद्र''' कहा जाता है - घनात्मक रूप से चार्ज किए गए कण की तरह व्यवहार करेगा। छिद्र में ''घनात्मक'' ऊर्जा होती है क्योंकि निर्वात से कण-छिद्र जोड़ी बनाने के लिए ऊर्जा की आवश्यकता होती है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, डिराक ने प्रारंभ में सोचा था कि छिद्र प्रोटॉन हो सकता है, लेकिन [[हरमन वेइल]] ने बताया कि छिद्र को ऐसा व्यवहार करना चाहिए जैसे कि उसका द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन के समान हो, जबकि प्रोटॉन 1800 गुना से अधिक भारी है। अंततः छिद्र की पहचान पॉज़िट्रॉन के रूप में की गई, जिसे 1932 में [[कार्ल डेविड एंडरसन]] द्वारा प्रयोगात्मक रूप से खोजा गया था।<ref>{{cite book |last1=Penrose |first1=Roger |title=वास्तविकता की राह|date=2004 |publisher=Jonathan Cape |isbn=0-224-04447-8 |page=625}}</ref> | ||
हालाँकि, [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] के कुछ अनुप्रयोगों में, छिद्र सिद्धांत की अंतर्निहित अवधारणाएँ मान्य हैं। | ऋणात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के अनंत समुद्र का उपयोग करके "निर्वात" का वर्णन करना पूरी तरह से संतोषजनक नहीं है। ऋणात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के समुद्र से असीम रूप से ऋणात्मक योगदान को अनंत घनात्मक "अरक्षित" ऊर्जा द्वारा रद्द किया जाना चाहिए और ऋणात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉनों के समुद्र से आने वाले चार्ज घनत्व और वर्तमान में योगदान को अनंत घनात्मक [[जेलियम|"जेलियम"]] पृष्ठभूमि द्वारा बिल्कुल रद्द कर दिया जाना चाहिए ताकि निर्वात का शुद्ध विद्युत चार्ज घनत्व शून्य हो। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, सृजन और विनाश ऑपरेटरों पर [[बोगोलीउबोव परिवर्तन]] (व्याप्त ऋणात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन अवस्था को खाली घनात्मक ऊर्जा पॉज़िट्रॉन अवस्था में और खाली ऋणात्मक-ऊर्जा इलेक्ट्रॉन अवस्था को कब्जे वाली घनात्मक ऊर्जा पॉज़िट्रॉन अवस्था में बदलना) हमें डायराक समुद्री औपचारिकता को उपमार्ग करने की अनुमति देता है, भले ही, औपचारिक रूप से, यह इसके बराबर है। | ||
हालाँकि, [[संघनित पदार्थ भौतिकी]] के कुछ अनुप्रयोगों में, "छिद्र सिद्धांत" की अंतर्निहित अवधारणाएँ मान्य हैं। विद्युत चालक में प्रवाहकत्त्व इलेक्ट्रॉनों का समुद्र, जिसे फर्मी समुद्र कहा जाता है, में प्रणाली की [[रासायनिक क्षमता]] तक की ऊर्जा वाले इलेक्ट्रॉन होते हैं। फर्मी सागर में खाली अवस्था घनात्मक रूप से चार्ज किए गए इलेक्ट्रॉन की तरह व्यवहार करती है, और यद्यपि इसे भी [[चालन इलेक्ट्रॉन]] छिद्र के रूप में जाना जाता है, यह पॉज़िट्रॉन से अलग है। फर्मी समुद्र का ऋणात्मक आवेश पदार्थ के धनात्मक आवेशित आयनिक जाली द्वारा संतुलित होता है। | |||
=== क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में === | === क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में === | ||
{{See also| | {{See also|फर्मिओनिक क्षेत्र}} | ||
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जैसे क्वांटम विद्युत्गतिकी में, डिराक क्षेत्र दूसरे परिमाणीकरण की प्रक्रिया के अधीन है, जो समीकरण की कुछ विरोधाभासी विशेषताओं को हल करता है। | क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जैसे क्वांटम विद्युत्गतिकी में, डिराक क्षेत्र दूसरे परिमाणीकरण की प्रक्रिया के अधीन है, जो समीकरण की कुछ विरोधाभासी विशेषताओं को हल करता है। | ||
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डिराक समीकरण [[लोरेंत्ज़ सहसंयोजक]] है। इसे व्यक्त करने से न केवल डिराक समीकरण को उजागर करने में मदद मिलती है, बल्कि [[मेजराना स्पिनर]] और [[एल्को स्पिनर]] को भी उजागर करने में मदद मिलती है, जो हालांकि निकट से संबंधित हैं, लेकिन इनमें सूक्ष्म और महत्वपूर्ण अंतर हैं। | डिराक समीकरण [[लोरेंत्ज़ सहसंयोजक]] है। इसे व्यक्त करने से न केवल डिराक समीकरण को उजागर करने में मदद मिलती है, बल्कि [[मेजराना स्पिनर]] और [[एल्को स्पिनर]] को भी उजागर करने में मदद मिलती है, जो हालांकि निकट से संबंधित हैं, लेकिन इनमें सूक्ष्म और महत्वपूर्ण अंतर हैं। | ||
प्रक्रिया के ज्यामितीय | प्रक्रिया के ज्यामितीय वर्णन को ध्यान में रखते हुए लोरेंत्ज़ सहप्रसरण को समझना सरल बनाया गया है।<ref>Jurgen Jost, (2002) "Riemannian Geometry and Geometric Analysis (3rd Edition)" Springer Universitext. ''(See chapter 1 for spin structures and chapter 3 for connections on spin structures)''</ref> मान लीजिये कि स्पेसटाइम मैनिफ़ोल्ड में <math>a</math> एकल, निश्चित बिंदु है। इसका समष्टि कई समन्वय प्रणालियों में व्यक्त किया जा सकता है। भौतिकी साहित्य में <math>x</math> और <math>x'</math> के रूप में लिखा जाता है, इस समझ के साथ कि <math>x</math> और <math>x'</math> दोनों एक ही बिंदु <math>a</math>, का वर्णन करते हैं, लेकिन संदर्भ के विभिन्न स्थानीय फ्रेम (स्पेसटाइम के एक छोटे विस्तारित पैच पर संदर्भ का एक फ्रेम) में वर्णन करते हैं। | ||
फ़्रेम बंडल के साथ युग्मित | कोई कल्पना कर सकता है <math>a</math> जैसे कि इसके ऊपर विभिन्न समन्वय कार्यानुकूल का [[फाइबर (गणित)]] होता है। ज्यामितीय शब्दों में, कोई कहता है कि स्पेसटाइम को [[फाइबर बंडल]] और विशेष रूप से [[ फ़्रेम बंडल |फ़्रेम बंडल]] के रूप में वर्णित किया जा सकता है। दो बिंदुओं के बीच का अंतर <math>x</math> और <math>x'</math> एक ही फाइबर में घूर्णन और [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] का संयोजन होता है। समन्वय फ्रेम का विकल्प उस बंडल के माध्यम से (स्थानीय) [[अनुभाग (फाइबर बंडल)]] है। | ||
फ़्रेम बंडल के साथ युग्मित दूसरा बंडल, [[स्पिनर बंडल]] है। स्पिनर बंडल के माध्यम से खंड सिर्फ कण क्षेत्र है (वर्तमान मामले में डायराक स्पिनर)। स्पिनर फाइबर में विभिन्न बिंदु एक ही भौतिक वस्तु (फर्मियन) से मेल खाते हैं लेकिन विभिन्न लोरेंत्ज़ फ्रेम में व्यक्त किए जाते हैं। स्पष्ट रूप से, लगातार परिणाम प्राप्त करने के लिए फ़्रेम बंडल और स्पिनर बंडल को सुसंगत तरीके से एक साथ बांधा जाना चाहिए; औपचारिक रूप से, कोई कहता है कि स्पिनर बंडल [[संबद्ध बंडल]] है; यह [[प्रमुख बंडल]] से जुड़ा है, जो वर्तमान मामले में फ्रेम बंडल है। फाइबर पर बिंदुओं के बीच अंतर प्रणाली की समरूपता के अनुरूप है। स्पिनर बंडल में समरूपता के दो अलग-अलग [[जनरेटर (गणित)]] हैं: [[कुल कोणीय गति]] और [[आंतरिक कोणीय गति]]। दोनों लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के लेकिन अलग-अलग तरीकों से अनुरूप हैं। | |||
यहां प्रस्तुति इत्ज़ीक्सन और ज़ुबेर की प्रस्तुति का अनुसरण करती है।<ref name="iz">Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, (1980) "Quantum Field Theory", McGraw-Hill ''(See Chapter 2)''</ref> यह लगभग ब्योर्केन और ड्रेल के समान है।<ref>James D. Bjorken, Sidney D. Drell (1964) "Relativistic Quantum Mechanics", McGraw-Hill. ''(See Chapter 2)''</ref> [[सामान्य सापेक्षतावादी]] सेटिंग में एक समान व्युत्पत्ति वेनबर्ग में पाई जा सकती है।<ref name="weinberg">Steven Weinberg, (1972) "Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity", Wiley & Sons ''(See chapter 12.5, "Tetrad formalism" pages 367ff.)''.</ref> यहां हम अपने स्पेसटाइम को समतल तय करते हैं, यानी हमारा स्पेसटाइम मिन्कोव्स्की समष्टि है। | यहां प्रस्तुति इत्ज़ीक्सन और ज़ुबेर की प्रस्तुति का अनुसरण करती है।<ref name="iz">Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, (1980) "Quantum Field Theory", McGraw-Hill ''(See Chapter 2)''</ref> यह लगभग ब्योर्केन और ड्रेल के समान है।<ref>James D. Bjorken, Sidney D. Drell (1964) "Relativistic Quantum Mechanics", McGraw-Hill. ''(See Chapter 2)''</ref> [[सामान्य सापेक्षतावादी]] सेटिंग में एक समान व्युत्पत्ति वेनबर्ग में पाई जा सकती है।<ref name="weinberg">Steven Weinberg, (1972) "Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity", Wiley & Sons ''(See chapter 12.5, "Tetrad formalism" pages 367ff.)''.</ref> यहां हम अपने स्पेसटाइम को समतल तय करते हैं, यानी हमारा स्पेसटाइम मिन्कोव्स्की समष्टि है। | ||
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लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत <math>x \mapsto x',</math> डिराक स्पिनर के रूप में बदलने के लिए | लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत <math>x \mapsto x',</math> डिराक स्पिनर के रूप में बदलने के लिए | ||
<math display="block">\psi'(x') = S \psi(x)</math> | <math display="block">\psi'(x') = S \psi(x)</math> | ||
इसके लिए | इसके लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति दिखाई जा सकती है <math>S</math> द्वारा दिया गया है | ||
<math display="block">S = \exp\left(\frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu}\right)</math> | <math display="block">S = \exp\left(\frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu}\right)</math> | ||
जहाँ <math>\omega^{\mu\nu}</math> लोरेंत्ज़ परिवर्तन को मानकीकृत करता है, और <math>\sigma_{\mu\nu}</math> | जहाँ <math>\omega^{\mu\nu}</math> लोरेंत्ज़ परिवर्तन को मानकीकृत करता है, और <math>\sigma_{\mu\nu}</math> छह 4×4 आव्यूह संतोषजनक हैं: | ||
<math display="block">\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]~.</math> | <math display="block">\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]~.</math> | ||
इस आव्यूह की व्याख्या डिराक क्षेत्र के आंतरिक कोणीय गति के रूप में की जा सकती है। यह इस व्याख्या के योग्य है कि इसकी तुलना | इस आव्यूह की व्याख्या डिराक क्षेत्र के आंतरिक कोणीय गति के रूप में की जा सकती है। यह इस व्याख्या के योग्य है कि इसकी तुलना लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के जनरेटर <math>J_{\mu\nu}</math> लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का, रूप होना | ||
<math display="block">J_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \sigma_{\mu\nu} + i (x_\mu\partial_\nu - x_\nu\partial_\mu)</math> | <math display="block">J_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \sigma_{\mu\nu} + i (x_\mu\partial_\nu - x_\nu\partial_\mu)</math> | ||
इसे कुल कोणीय गति के रूप में समझा जा सकता है। यह स्पिनर क्षेत्र पर फलन करता है | इसे कुल कोणीय गति के रूप में समझा जा सकता है। यह स्पिनर क्षेत्र पर फलन करता है | ||
<math display="block">\psi^\prime(x) = \exp\left(\frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu}\right) \psi(x)</math> | <math display="block">\psi^\prime(x) = \exp\left(\frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu}\right) \psi(x)</math> | ||
ध्यान दें <math>x</math> | ध्यान दें कि उपरोक्त <math>x</math> पर कोई अभाज्य ''नहीं'' है: उपरोक्त <math>x \mapsto x'</math> को <math>\psi(x)\mapsto \psi'(x')</math> में परिवर्तन प्राप्त करके और फिर मूल समन्वय प्रणाली <math>x' \mapsto x</math> में वापस लाकर प्राप्त किया जाता है। | ||
उपरोक्त की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि [[फ़्रेम फ़ील्ड|फ़्रेम क्षेत्र]] [[एफ़िन स्पेस|एफ़िन समष्टि]] है, जिसका कोई पसंदीदा मूल नहीं है। जेनरेटर <math>J_{\mu\nu}</math> इस समष्टि की समरूपता उत्पन्न करता है: यह | उपरोक्त की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि [[फ़्रेम फ़ील्ड|फ़्रेम क्षेत्र]] [[एफ़िन स्पेस|एफ़िन समष्टि]] है, जिसका कोई पसंदीदा मूल नहीं है। जेनरेटर <math>J_{\mu\nu}</math> इस समष्टि की समरूपता उत्पन्न करता है: यह निश्चित बिंदु <math>x~.</math> की पुनः लेबलिंग प्रदान करता है जनरेटर <math>\sigma_{\mu\nu}</math> फाइबर में एक बिंदु से दूसरे तक गति उत्पन्न करता है: <math>x</math> और <math>x'</math> दोनों के साथ <math>x \mapsto x'</math> से गति अभी भी एक ही स्पेसटाइम बिंदु <math>a.</math> के अनुरूप है इन संभवतः अस्पष्ट टिप्पणियों को स्पष्ट बीजगणित के साथ स्पष्ट किया जा सकता है। | ||
मान लीजिये <math>x' = \Lambda x</math> लोरेंत्ज़ परिवर्तन बनें। डिराक समीकरण है | |||
<math display="block">i\gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} \psi(x) -m\psi(x)=0</math> | <math display="block">i\gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} \psi(x) -m\psi(x)=0</math> | ||
यदि डिराक समीकरण को सहसंयोजक होना है, तो सभी लोरेंत्ज़ कार्यानुकूल में इसका बिल्कुल समान रूप होना चाहिए: | यदि डिराक समीकरण को सहसंयोजक होना है, तो सभी लोरेंत्ज़ कार्यानुकूल में इसका बिल्कुल समान रूप होना चाहिए: | ||
<math display="block">i\gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}} \psi^\prime(x^\prime) -m\psi^\prime(x^\prime)=0</math> | <math display="block">i\gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^{\prime\mu}} \psi^\prime(x^\prime) -m\psi^\prime(x^\prime)=0</math> | ||
दो स्पिनर <math>\psi</math> और <math>\psi^\prime</math> दोनों को एक ही भौतिक क्षेत्र का वर्णन करना चाहिए, और इसलिए एक परिवर्तन से संबंधित होना चाहिए जो किसी भी भौतिक अवलोकन (चार्ज, वर्तमान, द्रव्यमान इत्यादि) को नहीं बदलता है। परिवर्तन को केवल समन्वय फ्रेम के परिवर्तन को एन्कोड करना चाहिए। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसा परिवर्तन | |||