हिल सिफर

File:Hill's message protector.png

हिल की सिफर मशीन, पेटेंट के चित्र 4 से

मौलिक क्रिप्टोग्राफी में, हिल सिफर रैखिक बीजगणित पर आधारित एक पॉलीग्राफिक प्रतिस्थापन है। अतः1929 में लेस्टर एस. हिल द्वारा आविष्कार किया गया, यह प्रथम पॉलीग्राफिक सिफर था जिसमें एक साथ तीन से अधिक प्रतीकों पर कार्य करना व्यावहारिक (चूँकि कठिन से) था।

निम्नलिखित चर्चा आव्यूहों के प्रारंभिक ज्ञान पर आधारित है।

एन्क्रिप्शन

प्रत्येक अक्षर को एक संख्या मॉड्यूलर अंकगणित 26 द्वारा दर्शाया जाता है। चूँकि यह सिफर की एक अनिवार्य विशेषता नहीं है, इस सरल योजना का अधिकांशतः उपयोग किया जाता है:

लेटर	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	N	O	P	Q	R	S	T	U	V	W	X	Y	Z
नंबर	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25

किसी संदेश को एन्क्रिप्ट करने के लिए, n अक्षरों के प्रत्येक ब्लॉक (n-घटक सदिश के रूप में माना जाता है) को मॉड्यूलस 26 के विरुद्ध एक व्युत्क्रम n × n आव्यूह द्वारा गुणा किया जाता है। संदेश को डिक्रिप्ट करने के लिए, प्रत्येक ब्लॉक को एन्क्रिप्शन के लिए उपयोग किए गए आव्यूह के व्युत्क्रम से गुणा किया जाता है।

एन्क्रिप्शन के लिए उपयोग किया जाने वाला आव्यूह सिफर कुंजी है, और इसे व्युत्क्रमणीय n × n आव्यूह (मॉड्यूलो 26) के समुच्चय से यादृच्छिक रूप से चुना जाना चाहिए। निःसंदेह, सिफर को किसी भी संख्या में अक्षरों वाली वर्णमाला के अनुसार अनुकूलित किया जा सकता है; सभी अंकगणित को केवल मॉड्यूलो 26 के अतिरिक्त अक्षरों की संख्या के अनुसार करने की आवश्यकता है।

संदेश 'एसीटी' और नीचे दी गई कुंजी (या अक्षरों में जीवाईबी/एनक्यूके/यूआरपी) पर विचार करें:

${\begin{pmatrix}6&24&1\\13&16&10\\20&17&15\end{pmatrix}}$

चूँकि 'A' 0 है, 'C' 2 है और 'T' 19 है, संदेश सदिश है:

${\begin{pmatrix}0\\2\\19\end{pmatrix}}$

इस प्रकार एन्क्रिप्टेड सदिश इस प्रकार दिया गया है:

${\begin{pmatrix}6&24&1\\13&16&10\\20&17&15\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\2\\19\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}67\\222\\319\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}15\\14\\7\end{pmatrix}}{\pmod {26}}$

जो 'पीओएच' के सिफरटेक्स्ट से मेल खाता है। अब, मान लीजिए कि हमारा संदेश इसके अतिरिक्त 'सीएटी' है, या:

${\begin{pmatrix}2\\0\\19\end{pmatrix}}$

इस बार, एन्क्रिप्टेड सदिश इस प्रकार दिया गया है:

${\begin{pmatrix}6&24&1\\13&16&10\\20&17&15\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\19\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}31\\216\\325\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}5\\8\\13\end{pmatrix}}{\pmod {26}}$

जो 'एफआईएन' के सिफरटेक्स्ट से मेल खाता है। सभी अक्षर में परिवर्तन हो गया है. हिल सिफर ने क्लाउड एलवुड शैनन के अस्पष्ट और प्रसार को प्राप्त कर लिया है, और एक n -आयामी हिल सिफर एक ही बार में एन प्रतीकों में पूर्ण प्रकार से फैल सकता है।

डिक्रिप्शन

डिक्रिप्ट करने के लिए, हम सिफरटेक्स्ट को वापस एक सदिश में परिवर्तन देते हैं, फिर कुंजी आव्यूह के व्युत्क्रम आव्यूह (अक्षरों में आईएफके/वीआईवी/वीएमआई) से गुणा करते हैं। हम पाते हैं कि, मॉड्यूलो 26, पिछले उदाहरण में प्रयुक्त आव्यूह का व्युत्क्रम है:

${\begin{pmatrix}6&24&1\\13&16&10\\20&17&15\end{pmatrix}}^{-1}{\pmod {26}}\equiv {\begin{pmatrix}8&5&10\\21&8&21\\21&12&8\end{pmatrix}}$

'पीओएच' का पिछला उदाहरण सिफरटेक्स्ट लेते हुए, हमें मिलता है:

${\begin{pmatrix}8&5&10\\21&8&21\\21&12&8\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}15\\14\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}260\\574\\539\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}0\\2\\19\end{pmatrix}}{\pmod {26}}$

जो हमें उम्मीद के के अनुसार 'एसीटी' पर वापस ले जाता है।

व्युत्क्रम आव्यूह को चुनने में दो समष्टि उपस्थित हैं:

1. सभी आव्यूहों में व्युत्क्रमणीय आव्यूह नहीं होता है। आव्यूह का व्युत्क्रम तभी होगा जब इसका सारणिक शून्य न हो।
2. एन्क्रिप्टिंग आव्यूह के निर्धारक में मॉड्यूलर आधार के साथ कोई सामान्य कारक नहीं होना चाहिए।

इस प्रकार, यदि हम ऊपर बताए अनुसार मॉड्यूल 26 पर कार्य करते हैं, तो सारणिक गैर-शून्य होना चाहिए, और 2 या 13 से विभाज्य नहीं होना चाहिए। यदि सारणिक 0 है, या मॉड्यूलर आधार के साथ सामान्य कारक हैं, तो आव्यूह का उपयोग हिल में नहीं किया जा सकता है सिफर, और दूसरा आव्यूह चुना जाना चाहिए (अन्यथा इसे डिक्रिप्ट करना संभव नहीं होगा)। सौभाग्य से, हिल सिफर में उपयोग की जाने वाली नियमों को पूरा करने वाले आव्यूह अधिक सामान्य हैं।

हमारे उदाहरण कुंजी आव्यूह के लिए:

${\begin{vmatrix}6&24&1\\13&16&10\\20&17&15\end{vmatrix}}=6(16\cdot 15-10\cdot 17)-24(13\cdot 15-10\cdot 20)+1(13\cdot 17-16\cdot 20)=441\equiv 25{\pmod {26}}$

तो, मॉड्यूल 26, सारणिक 25 है। चूँकि $25=5^{2}$ और $26=2\times 13$, 25 में 26 के साथ कोई सामान्य गुणनखंड नहीं है, और इस आव्यूह का उपयोग हिल सिफर के लिए किया जा सकता है।

मापांक के साथ निर्धारक के सामान्य कारक होने के विपत्ति को मापांक को