सीव सिद्धांत

सीव सिद्धांत संख्या सिद्धांत में सामान्य तकनीकों का समुच्चय होता है, जिसे पूर्णांकों के छने हुए समुच्चयों की गणना करने, या अधिक यथार्थवादी रूप से आकार का अनुमान लगाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। यह छने हुए समुच्चय का प्रोटोटाइपिक उदाहरण कुछ निर्धारित सीमा X तक अभाज्य संख्याओं का समुच्चय होता है। इसके अनुरूप, सीव का प्रोटोटाइपिक उदाहरण एराटोस्थनीज की सीव या अधिक सामान्य पौराणिक सीव होती है। इन विधि का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं पर सीधा ​आक्रमण शीघ्र ही त्रुटि शब्दों के संचय के रास्ते में स्पष्ट रूप से दुर्गम बाधाओं तक पहुँच जाता है। बीसवीं शताब्दी में संख्या सिद्धांत के प्रमुख पहलुओं में से इसमें, सीव क्या होनी चाहिए, इसके अनुभवहीन विचार के साथ सामने वाले आक्रमण की कुछ कठिनाइयों से बचने के विधि खोजे गए थे।

सफल दृष्टिकोण संख्याओं के विशिष्ट छने हुए समुच्चय (उदाहरण के लिए अभाज्य संख्याओं का समुच्चय ) को दूसरे, सरल समुच्चय (उदाहरण के लिए लगभग अभाज्य संख्याओं का समुच्चय ) द्वारा अनुमानित करना है, जो सामान्यतः मूल समुच्चय से कुछ बड़ा होता है और इसका विश्लेषण करना आसान होता है। अधिक परिष्कृत सीव भी सीधे समुच्चयों के साथ काम नहीं करती हैं, किंतु इन समुच्चयों पर सावधानीपूर्वक चुने गए वजन कार्यों के अनुसार उनकी गिनती करती हैं (इन समुच्चयों के कुछ अवयवों को दूसरों की तुलना में अधिक "भार" देने के विकल्प) हैं। इसके अतिरिक्त, कुछ आधुनिक अनुप्रयोगों में, सीव का उपयोग छने हुए समुच्चय के आकार का अनुमान लगाने के लिए नहीं किया जाता है, किंतु यह ऐसे फलन का उत्पादन करने के लिए किया जाता है जो समुच्चय पर बड़ा होता है और अधिकत्तर इसके बाहर छोटा होता है, जबकि समुच्चय के विशिष्ट फलन की तुलना में विश्लेषण करना आसान होता है।

मूल सीव सिद्धांत

अंकन की जानकारी के लिए अंत में देखें।

हम गैर-ऋणात्मक संख्याओं ${\mathcal {A}}=(a_{n})$ के कुछ गणनीय अनुक्रम से प्रारंभ करते हैं। सबसे मूलभूत स्थिति में यह क्रम किसी समुच्चय $a_{n}=1_{A}(n)$ का केवल संकेतक फलन $A=\{s:s\leq x\}$ है जिसे हम छानना चाहते हैं। चूँकि यह अमूर्तन अधिक सामान्य स्थितियों की अनुमति देता है। इसके पश्चात् हम अभाज्य संख्याओं का सामान्य समुच्चय प्रस्तुत करते हैं जिसे सिफ्टिंग सीमा ${\mathcal {P}}\subseteq \mathbb {P}$ कहा जाता है और फलन के रूप में $z$ तक उनका उत्पाद होता है

$P(z)=\prod \limits _{p\in {\mathcal {P}},p<z}p$.

सीव सिद्धांत का लक्ष्य छानने के कार्य का अनुमान लगाना है

$S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=\sum \limits _{n\leq x,(n,P(z))=1}a_{n}.$

$a_{n}=1_{A}(n)$ के स्थिति में यह केवल संख्याओं के उपसमूह $A_{\operatorname {sift} }\subseteq A$ की कार्डिनैलिटी की गणना करता है, जो कि $P(z)$ के अभाज्य कारकों के सहअभाज्य हैं।

लीजेंड्रे की पहचान

हम लिजेंड्रे की पहचान के साथ छानने के कार्य को फिर से लिख सकते हैं

$S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=\sum \limits _{d\mid P(z)}\mu (d)A_{d}(x)$

मोबियस फलन और ${\mathcal {P}}$ के अवयवों से प्रेरित कुछ फलन $A_{d}(x)$ का उपयोग करते है ।

$A_{d}(x)=\sum \limits _{n\leq x,n\equiv 0{\pmod {d}}}a_{n}.$

उदाहरण

मान लीजिए कि $z=7$ और ${\mathcal {P}}=\mathbb {P}$ मोबियस फलन प्रत्येक प्राइम के लिए ऋणात्मक है, इसलिए हमें मिलता है

${\begin{aligned}S({\mathcal {A}},\mathbb {P} ,7)&=A_{1}(x)-A_{2}(x)-A_{3}(x)-A_{5}(x)+A_{6}+A_{10}+A_{15}-A_{30}.\end{aligned}}$

सर्वांगसमता योग का अनुमान

तब कोई यह मान लेता है कि $A_{d}(x)$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$A_d(x)=g(d)X+r_d$