सीव सिद्धांत

चालनी सिद्धांत संख्या सिद्धांत में सामान्य तकनीकों का एक सेट है, जिसे पूर्णांकों के छने हुए सेटों की गणना करने, या अधिक यथार्थवादी रूप से आकार का अनुमान लगाने के लिए डिज़ाइन किया गया है। छने हुए सेट का प्रोटोटाइपिक उदाहरण कुछ निर्धारित सीमा X तक अभाज्य संख्याओं का सेट है। इसके अनुरूप, चालनी का प्रोटोटाइपिक उदाहरण एराटोस्थनीज की चालनी, या अधिक सामान्य पौराणिक चालनी है। इन विधि का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं पर सीधा हमला जल्द ही त्रुटि शब्दों के संचय के रास्ते में स्पष्ट रूप से दुर्गम बाधाओं तक पहुँच जाता है। बीसवीं शताब्दी में संख्या सिद्धांत के प्रमुख पहलुओं में से एक में, चालनी क्या होनी चाहिए, इसके एक अनुभवहीन विचार के साथ सामने वाले हमले की कुछ कठिनाइयों से बचने के विधि खोजे गए थे।

एक सफल दृष्टिकोण संख्याओं के एक विशिष्ट छने हुए सेट (उदाहरण के लिए अभाज्य संख्याओं का सेट) को दूसरे, सरल सेट (उदाहरण के लिए लगभग अभाज्य संख्याओं का सेट) द्वारा अनुमानित करना है, जो सामान्यतः मूल सेट से कुछ बड़ा होता है, और विश्लेषण करना आसान होता है। अधिक परिष्कृत चालनी भी सीधे सेटों के साथ काम नहीं करती हैं, किंतु इन सेटों पर सावधानीपूर्वक चुने गए वजन कार्यों के अनुसार उनकी गिनती करती हैं (इन सेटों के कुछ तत्वों को दूसरों की तुलना में अधिक "वजन" देने के विकल्प)। इसके अतिरिक्त, कुछ आधुनिक अनुप्रयोगों में, चालनी का उपयोग छने हुए सेट के आकार का अनुमान लगाने के लिए नहीं किया जाता है, किंतु एक ऐसे फलन का उत्पादन करने के लिए किया जाता है जो सेट पर बड़ा होता है और ज्यादातर इसके बाहर छोटा होता है, जबकि सेट के विशिष्ट फलन की तुलना में विश्लेषण करना आसान होता है।

मूल चालनी सिद्धांत

अंकन की जानकारी के लिए अंत में देखें।

हम गैर-ऋणात्मक संख्याओं ${\mathcal {A}}=(a_{n})$ के कुछ गणनीय अनुक्रम से प्रारंभ करते हैं। सबसे मूलभूत स्थिति में यह क्रम किसी सेट $a_{n}=1_{A}(n)$ का केवल संकेतक फलन $A=\{s:s\leq x\}$ है जिसे हम छानना चाहते हैं। चूँकि यह अमूर्तन अधिक सामान्य स्थितियों की अनुमति देता है। इसके बाद हम अभाज्य संख्याओं का एक सामान्य सेट पेश करते हैं जिसे सिफ्टिंग सीमा ${\mathcal {P}}\subseteq \mathbb {P}$ कहा जाता है और एक फलन के रूप में $z$ तक उनका उत्पाद होता है

$P(z)=\prod \limits _{p\in {\mathcal {P}},p<z}p$.

चालनी सिद्धांत का लक्ष्य छानने के कार्य का अनुमान लगाना है

$S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=\sum \limits _{n\leq x,(n,P(z))=1}a_{n}.$

$a_{n}=1_{A}(n)$ के स्थिति में यह केवल संख्याओं के उपसमूह $A_{\operatorname {sift} }\subseteq A$ की कार्डिनैलिटी की गणना करता है, जो कि $P(z)$ के अभाज्य कारकों के सहअभाज्य हैं।

लीजेंड्रे की पहचान

हम लिजेंड्रे की पहचान के साथ छानने के कार्य को फिर से लिख सकते हैं

$S({\mathcal {A}},{\mathcal {P}},z)=\sum \limits _{d\mid P(z)}\mu (d)A_{d}(x)$

मोबियस फलन और ${\mathcal {P}}$ के तत्वों से प्रेरित कुछ फलन $A_{d}(x)$ का उपयोग करते है ।

$A_{d}(x)=\sum \limits _{n\leq x,n\equiv 0{\pmod {d}}}a_{n}.$

उदाहरण

मान लीजिए कि $z=7$ और ${\mathcal {P}}=\mathbb {P}$ मोबियस फलन प्रत्येक प्राइम के लिए नकारात्मक है, इसलिए हमें मिलता है

$\begin{array}{rl}S(\mathcal{A},\mathbb{P},7)& =A_1(x\end{array}$