बहुपद वितरण: Difference between revisions

Multinomial
Parameters	number of trials (integer); number of mutually exclusive events (integer); event probabilities, where
Support
PMF
Mean
Variance	;
Entropy
MGF
CF

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 === उदाहरण ===
-मान लीजिए कि बड़े देश के लिए तीन-तरफ़ा चुनाव में, उम्मीदवार A को 20% वोट मिले, उम्मीदवार B को 30% वोट मिले, एवं उम्मीदवार C को 50% वोट मिले। यदि छह मतदाताओं को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो इसकी क्या संभावना है कि नमूने में उम्मीदवार A के लिए बिल्कुल एक समर्थक, उम्मीदवार B के लिए दो समर्थक एवं उम्मीदवार C के लिए तीन समर्थक होंगे?
+मान लीजिए कि बड़े देश के लिए तीन-तरफ़ा चुनाव में, उम्मीदवार A को 20% वोट मिले, उम्मीदवार B को 30% वोट मिले, एवं उम्मीदवार C को 50% वोट मिले। यदि छह मतदाताओं का यादृच्छिक रूप से चयन होता है, तो इसकी क्या संभावना है कि प्रतिरूप में उम्मीदवार A के लिए बिल्कुल एक समर्थक, उम्मीदवार B के लिए दो समर्थक एवं उम्मीदवार C के लिए तीन समर्थक होंगे?
-ध्यान दें: चूंकि हम यह मान रहे हैं कि मतदान करने वाली आपश्चाती बड़ी है, इसलिए नमूने के लिए मतदाता का चयन होने के पश्चात संभावनाओं को अपरिवर्तित मानना उचित एवं स्वीकार्य है। तकनीकी रूप से कहें तो यह प्रतिस्थापन के बिना प्रतिरूपकरण है, इसलिए सही वितरण हाइपरज्यामितीय वितरण#मल्टीवेरिएट हाइपरज्यामितीय वितरण है, लेकिन एक निश्चित प्रतिरूप आकार की तुलना में जनसंख्या बड़ी होने पर वितरण परिवर्तित हो जाते हैं<ref>{{Cite web |title=संभाव्यता - बहुपद वितरण नमूनाकरण|url=https://stats.stackexchange.com/a/335239/307588 |access-date=2022-07-28 |website=Cross Validated |language=en}}</ref>.
+ध्यान दें: चूंकि हम यह मान रहे हैं कि मतदान करने वाली जनसँख्या बड़ी है, इसलिए प्रतिरूप के लिए मतदाता का चयन होने के पश्चात संभावनाओं को अपरिवर्तित मानना उचित एवं स्वीकार्य है। प्रौद्योगिकी रूप से कहें तो यह प्रतिस्थापन के बिना प्रतिरूपकरण है, इसलिए उचित वितरण बहुभिन्नरूपी  हाइपरज्यामितीय वितरण है, परन्तु निश्चित प्रतिरूप आकार की अपेक्षा में जनसंख्या बड़ी होने पर वितरण परिवर्तित हो जाते हैं<ref>{{Cite web |title=संभाव्यता - बहुपद वितरण नमूनाकरण|url=https://stats.stackexchange.com/a/335239/307588 |access-date=2022-07-28 |website=Cross Validated |language=en}}</ref>तो
-: <math> \Pr(A=1,B=2,C=3) = \frac{6!}{1! 2! 3!}(0.2^1) (0.3^2) (0.5^3) = 0.135 </math>
+: <math> \Pr(A=1,B=2,C=3) = \frac{6!}{1! 2! 3!}(0.2^1) (0.3^2) (0.5^3) = 0.135 </math> होता है।
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 === [[अपेक्षित मूल्य]] एवं विचरण ===
-n परीक्षणों में जो परिणाम i देखा गया उसकी अपेक्षित मान संख्या है
+n परीक्षणों में जो परिणाम i देखा गया उसकी अपेक्षित मान संख्या
-:<math>\operatorname{E}(X_i) = n p_i.\,</math>
+:<math>\operatorname{E}(X_i) = n p_i\,</math>
-सहप्रसरण मैट्रिक्स इस प्रकार है। प्रत्येक विकर्ण प्रविष्टि एक द्विपद रूप से वितरित यादृच्छिक चर का विचरण है, एवं इसलिए है
+सहप्रसरण मैट्रिक्स इस प्रकार है। प्रत्येक विकर्ण प्रविष्टि  द्विपद रूप से वितरित यादृच्छिक चर का विचरण है, एवं इसलिए है
-:<math>\operatorname{Var}(X_i)=np_i(1-p_i).\,</math>
+:<math>\operatorname{Var}(X_i)=np_i(1-p_i)\,</math>होता है।
 ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियाँ [[सहप्रसरण]] हैं:
 :<math>\operatorname{Cov}(X_i,X_j)=-np_i p_j\,</math>
-i, j के लिए अलग।
+i, j के लिए भिन्न है।
-सभी सहप्रसरण नकारात्मक हैं क्योंकि निश्चित n के लिए, बहुपद वेक्टर के एक घटक में वृद्धि के लिए दूसरे घटक में कमी की आवश्यकता होती है।
+सभी सहप्रसरण नकारात्मक हैं क्योंकि निश्चित n के लिए, बहुपद वेक्टर के घटक में वृद्धि के लिए दूसरे घटक में कमी की आवश्यकता होती है।
-जब इन अभिव्यक्तियों को i, j तत्व के साथ एक मैट्रिक्स में संयोजित किया जाता है <math>\operatorname{cov} (X_i,X_j),</math> परिणाम ak × k है सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स#नकारात्मक-निश्चित, अर्धनिश्चित एवं अनिश्चित आव्यूह|रैंक k का सकारात्मक-अर्धनिश्चित सहप्रसरण मैट्रिक्स - 1. विशेष विषय में जहां k = n एवं जहां p<sub>''i''</sub> सभी समान हैं, सहप्रसरण मैट्रिक्स [[केन्द्रित मैट्रिक्स]] है।
+जब इन अभिव्यक्तियों को i, j तत्व के साथ मैट्रिक्स में संयोजित किया जाता है, <math>\operatorname{cov} (X_i,X_j),</math> परिणाम ak × k  रैंक k-1 का सकारात्मक-अर्धनिश्चित सहप्रसरण मैट्रिक्स है। विशेष विषय में जहां k = n एवं जहां p<sub>''i''</sub> सभी समान हैं, सहप्रसरण मैट्रिक्स [[केन्द्रित मैट्रिक्स]] है।
-संगत सहसंबंध मैट्रिक्स#सहसंबंध मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ हैं
+संगत सहसंबंध मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ
-:<math>\rho(X_i,X_i) = 1.</math>
+:<math>\rho(X_i,X_i) = 1,</math>
-:<math>\rho(X_i,X_j) = \frac{\operatorname{Cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X_i)\operatorname{Var}(X_j)}} = \frac{-p_i  p_j}{\sqrt{p_i(1-p_i) p_j(1-p_j)}} = -\sqrt{\frac{p_i  p_j}{(1-p_i)(1-p_j)}}.</math>
+:<math>\rho(X_i,X_j) = \frac{\operatorname{Cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X_i)\operatorname{Var}(X_j)}} = \frac{-p_i  p_j}{\sqrt{p_i(1-p_i) p_j(1-p_j)}} = -\sqrt{\frac{p_i  p_j}{(1-p_i)(1-p_j)}}</math> हैं।
 ध्यान दें कि प्रतिरूप आकार इस अभिव्यक्ति से बाहर हो जाता है।
-प्रत्येक k घटक में पैरामीटर n एवं p के साथ अलग से एक द्विपद वितरण होता है<sub>''i''</sub>, सबस्क्रिप्ट के उचित मान के लिए i.
+सबस्क्रिप्ट के उचित i मान के लिए, प्रत्येक k घटक में पैरामीटर n एवं p<sub>''i''</sub> के साथ भिन्न से द्विपद वितरण होता है।
-बहुपद वितरण का [[समर्थन (गणित)]] समुच्चय है
+बहुपद वितरण का [[समर्थन (गणित)]] समुच्चय
-: <math>\{(n_1,\dots,n_k)\in \mathbb{N}^k \mid  n_1+\cdots+n_k=n\}.\,</math>
+: <math>\{(n_1,\dots,n_k)\in \mathbb{N}^k \mid  n_1+\cdots+n_k=n\}\,</math> है।
-इसके तत्वों की संख्या है
+इसके तत्वों की संख्या
-: <math>{n+k-1 \choose k-1}.</math>
+: <math>{n+k-1 \choose k-1}</math>  है।

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Revision as of 17:42, 11 July 2023

Parameters	$n>0$ number of trials (integer) $k>0$ number of mutually exclusive events (integer) $p_{1},\ldots ,p_{k}$ event probabilities, where $p_{1}+\dots +p_{k}=1$
Support	$\left\lbrace (x_{1},\dots ,x_{k})\,{\Big \vert }\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=n,x_{i}>0(i=1,\dots ,k)\right\rbrace$
PMF	${\frac {n!}{x_{1}!\cdots x_{k}!}}p_{1}^{x_{1}}\cdots p_{k}^{x_{k}}$
Mean	$\operatorname {E} (X_{i})=np_{i}$
Variance	$\operatorname {Var} (X_{i})=np_{i}(1-p_{i})$ $\operatorname {Cov} (X_{i},X_{j})=-np_{i}p_{j}~~(i\neq j)$
Entropy	$-\log(n!)-n\sum _{i=1}^{k}p_{i}\log(p_{i})+\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{i}=0}^{n}{\binom {n}{x_{i}}}p_{i}^{x_{i}}(1-p_{i})^{n-x_{i}}\log(x_{i}!)$
MGF	${\biggl (}\sum _{i=1}^{k}p_{i}e^{t_{i}}{\biggr )}^{n}$
CF	$left parenthesis sigma summation Underscript j equals 1 Overscript k Endscripts p Subscript j Baseline e Superscript i t Super Subscript j Superscript Baseline right parenthesis Superscript n$