वीनर फ़िल्टर: Difference between revisions

Revision as of 15:20, 9 November 2022

सांकेतिक प्रक्रिया में,वीनर फ़िल्टर एक ऐसा फ़िल्टर होता है,जिसका उपयोग किसी प्रेक्षित शोर प्रक्रिया के रैखिक समय-अपरिवर्तनीय फ़िल्टरिंग द्वारा ज्ञात स्थिर प्रक्रिया संकेत, रहस्यमयी शोर और योगात्मक शोर को मानते हुए वांछित या अज्ञात लक्ष्य प्रक्रिया का अनुमान उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। वीनर फ़िल्टर अनुमानित अनियमित प्रक्रिया और वांछित प्रक्रिया के मध्य वर्ग त्रुटि को कम करता है।

विवरण

वीनर फ़िल्टर का लक्ष्य इनपुट के रूप में संबंधित संकेत का उपयोग करके अज्ञात संकेत के अनुमान सिद्धांत की गणना करना और उस ज्ञात संकेत को फ़िल्टर करना है जो अनुमान को आउटपुट के रूप में उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए,ज्ञात संकेत में रुचि का एक अज्ञात संकेत सम्मिलित हो सकता है जो योगात्मक शोर से दूषित हो गया है। वीनर फ़िल्टर का उपयोग करके दूषित संकेत से शोर को फ़िल्टर किया जा सकता है ताकि रुचि के अंतर्निहित संकेत का अनुमान लगाया जा सके। वीनर फ़िल्टर एक सांख्यिकीय दृष्टिकोण पर आधारित है,और सिद्धांत का एक अधिक सांख्यिकीय विवरण न्यूनतम मध्य वर्ग त्रुटि (MMSE) अनुमानक लेख में दिया गया है।

विशिष्ट नियतात्मक फ़िल्टर वांछित आवृत्ति प्रतिक्रिया के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। हालाँकि,वीनर फ़िल्टर का डिज़ाइन एक अलग दृष्टिकोण लेता है। एक को मूल संकेत और शोर के वर्णक्रमीय गुणों का ज्ञान माना जाता है और एक रैखिक अपरिवर्तनीय समय प्रणाली सिद्धांत की तलाश करता है | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय फ़िल्टर जिसका आउटपुट जितना संभव हो सके मूल संकेत के करीब आ जाएगा। वीनर फिल्टर की विशेषताएं निम्नलिखित है:^[1]

धारणा: संकेत और योगात्मक शोर ज्ञात वर्णक्रमीय विशेषताओं या ज्ञात ऑटोसहसंबंध और क्रॉस-सहसंबंध के साथ स्थिर रैखिक सुस्त परिक्रियांए हैं।
आवश्यकता: फ़िल्टर भौतिक रूप से प्राप्तकर सकने वाला होना चाहिए (इस आवश्यकता को छोड़ दिया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक गैर-सामयिक समाधान हो सकता है)
प्रदर्शन मानदंड: न्यूनतम माध्य-वर्ग त्रुटि (एमएमएसई)

इस फ़िल्टर का उपयोग अक्सर विघटन की प्रक्रिया में किया जाता है।

वीनर फिल्टर समाधान

माना कि $s(t+\alpha )$ एक अज्ञात संकेत है जिसे माप संकेत से अनुमानित किया जाना चाहिए $x(t)$ जहां अल्फा एक मिलने योग्य मापदण्ड है। $\alpha >0$ पूर्वासुचना के रूप में, $\alpha =0$ फ़िल्टरिंग के रूप में और $\alpha <0$ समरेखण के रूप में जाना जाता है।^[1]

वीनर फ़िल्टर समस्या में तीन संभावित मामलों के समाधान हैं:

पहला है गैर सामयिक फ़िल्टर जिसमे पुर्व और भविष्य दोनों तथ्यों की अनंत मात्रा में आवश्यकता होती हैं और जो पूरी तरह से स्वीकार्य है। दूसरा है सामयिक फ़िल्टर जिसमे पिछले तथ्यों का अनंत मात्रा मे उपयोग किया जाता है और ये वांछित होता है और तीसरा है परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) जहां केवल इनपुट डेटा का उपयोग किया जाता है यानी परिणाम या आउटपुट को आईआईआर मामले की तरह फ़िल्टर में वापस फीड नहीं किया जाता है। गैर सामयिक फिल्टर मामला हल करना आसान है लेकिन वास्तविक समय अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त नहीं है। वीनर की मुख्य उपलब्धि उस मामले को सुलझाना था जहां सामयिक आवश्यकता प्रभाव में है; नॉर्मन लेविंसन ने वीनर की किताब के परिशिष्ट में एफआईआर का समाधान दिया था।

गैर सामयिक समाधान

G(s)={\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}(s)}}e^{\alpha s},

जहां पर $S$ वर्णक्रमीय घनत्व हैं, $g(t)$ पहले से उपलब्ध है जो सर्वश्रेष्ठ है तो न्यूनतम माध्य-वर्ग त्रुटि समीकरण कम हो जाता है;

E(e^{2})=R_{s}(0)-\int _{-\infty }^{\infty }g(\tau )R_{x,s}(\tau +\alpha )\,d\tau ,

और जहाँ $g(t)$ का समाधान $G(s)$ का विपरीत दो तरफा लाप्लास रूपांतरण है |

सामयिक समाधान

G(s)={\frac {H(s)}{S_{x}^{+}(s)}},

जहाँ पर

$H(s)$ सामयिक भाग के होते हैं ${\frac {S_{x,s}(s)}{S_{x}^{-}(s)}}e^{\alpha s}$ (अर्थात, इस अंश के उस भाग का प्रतिलोम लाप्लास परिवर्तन के तहत सकारात्मक समय समाधान है)
$S_{x}^{+}(s)$ का सामयिक घटक है $S_{x}(s)$ (अर्थात, $S_{x}^{+}(s)$ का विपरीत लाप्लास रूपांतरण है जो केवल $t greater than or equals 0$

[1]

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 =='''<big><u>विवरण</u></big>'''==
-वीनर फ़िल्टर का लक्ष्य एक इनपुट के रूप में संबंधित संकेत का उपयोग करके अज्ञात संकेत के [[ अनुमान सिद्धांत |अनुमान सिद्धांत]] की गणना करना और उस ज्ञात संकेत को फ़िल्टर करना है जो अनुमान को आउटपुट के रूप में उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए,ज्ञात संकेत में रुचि का एक अज्ञात संकेत शामिल हो सकता है जो योगात्मक [[ शोर ]]से दूषित हो गया है। वीनर फ़िल्टर का उपयोग करके दूषित संकेत से शोर को फ़िल्टर किया जा सकता है ताकि रुचि के अंतर्निहित संकेत का अनुमान लगाया जा सके। वीनर फ़िल्टर एक [[ सांख्यिकीय |सांख्यिकीय]] दृष्टिकोण पर आधारित है,और सिद्धांत का एक अधिक सांख्यिकीय विवरण [[ न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि |न्यूनतम मध्य वर्ग त्रुटि]] (MMSE) अनुमानक लेख में दिया गया है।
+वीनर फ़िल्टर का लक्ष्य इनपुट के रूप में संबंधित संकेत का उपयोग करके अज्ञात संकेत के [[ अनुमान सिद्धांत |अनुमान सिद्धांत]] की गणना करना और उस ज्ञात संकेत को फ़िल्टर करना है जो अनुमान को आउटपुट के रूप में उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए,ज्ञात संकेत में रुचि का एक अज्ञात संकेत सम्मिलित हो सकता है जो योगात्मक [[ शोर ]]से दूषित हो गया है। वीनर फ़िल्टर का उपयोग करके दूषित संकेत से शोर को फ़िल्टर किया जा सकता है ताकि रुचि के अंतर्निहित संकेत का अनुमान लगाया जा सके। वीनर फ़िल्टर एक [[ सांख्यिकीय |सांख्यिकीय]] दृष्टिकोण पर आधारित है,और सिद्धांत का एक अधिक सांख्यिकीय विवरण [[ न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि |न्यूनतम मध्य वर्ग त्रुटि]] (MMSE) अनुमानक लेख में दिया गया है।
 विशिष्ट नियतात्मक फ़िल्टर वांछित [[ आवृत्ति प्रतिक्रिया |आवृत्ति प्रतिक्रिया]] के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। हालाँकि,वीनर फ़िल्टर का डिज़ाइन एक अलग दृष्टिकोण लेता है। एक को मूल संकेत और शोर के वर्णक्रमीय गुणों का ज्ञान माना जाता है और एक रैखिक अपरिवर्तनीय समय प्रणाली सिद्धांत की तलाश करता है | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय फ़िल्टर जिसका आउटपुट जितना संभव हो सके मूल संकेत के करीब आ जाएगा। वीनर फिल्टर की विशेषताएं निम्नलिखित है:<ref name="Brown1996">{{cite book|last1=Brown|first1=Robert Grover|last2=Hwang|first2=Patrick Y.C.|year=1996|title=Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering|edition=3|location=New York|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-12839-7}}</ref>
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 यह सामान्य सूत्र जटिल है और अधिक विस्तृत विवरण के योग्य है। किसी विशिष्ट मामले में <math> G(s)</math> का समाधान लिखने के लिए इन चरणों का पालन करना चाहिए:<ref>{{cite web|last=Welch|first=Lloyd R|title=Wiener–Hopf Theory|url=http://csi.usc.edu/PDF/wienerhopf.pdf|access-date=2006-11-25|archive-date=2006-09-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20060920081221/http://csi.usc.edu/PDF/wienerhopf.pdf|url-status=dead}}</ref>
-# विस्तार से शुरू करें जहाँ  <math> S_x(s)</math> तर्कसंगत के रूप में और इसे सामयिक और सामयिक -विरोधी घटकों में गुणांक करें: <math>S_x(s) = S_x^{+}(s) S_x^{-}(s)</math> जहाँ  पे <math> S^{+}</math> बाएं आधे भाग में (LHP) में सभी शून्य और दिशाएँ शामिल हैं और <math> S^{-}</math> दाहिने आधे भाग में (आरएचपी) में शून्य और दिशाएँ होते हैं। इसे वीनर-हॉपफ फैक्टराइजेशन कहा जाता है।
+# विस्तार से शुरू करें जहाँ  <math> S_x(s)</math> तर्कसंगत के रूप में और इसे सामयिक और सामयिक -विरोधी घटकों में गुणांक करें: <math>S_x(s) = S_x^{+}(s) S_x^{-}(s)</math> जहाँ  पे <math> S^{+}</math> बाएं आधे भाग में (LHP) में सभी शून्य और दिशाएँ सम्मिलित हैं और <math> S^{-}</math> दाहिने आधे भाग में (आरएचपी) में शून्य और दिशाएँ होते हैं। इसे वीनर-हॉपफ फैक्टराइजेशन कहा जाता है।
 # <math> S_{x,s}(s)e^{\alpha s}</math> द्वारा <math> S_x^{-}(s)</math> को विभाजित करें और परिणाम को आंशिक खंड विस्तार के रूप में लिखें।
 # इस विस्तार में केवल उन्हीं पदों का चयन करें जिनमें LHP में दिशा  हों और् इन स्थितियों को <math> H(s)</math> कहते हैं ।
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 इन समीकरणों को वीनर-हॉप समीकरण के रूप में जाना जाता है। समीकरण में प्रदर्शित होने वाला मैट्रिक्स T एक सममित [[ सममित मैट्रिक्स |टोएपलित्ज़]] मैट्रिक्स है। उपयुक्त परिस्थितियों में <math>R</math>, इन मैट्रिक्स को धनात्मक निश्चित माना जाता है और इसलिए एकाधिक उपज वीनर फ़िल्टर गुणांक वेक्टर के निर्धारण के लिए एक अद्वितीय समाधान प्रदान करता है, <math>\mathbf{a} = \mathbf{T}^{-1}\mathbf{v}</math>. इसके अलावा, ऐसे वीनर-हॉप समीकरणों को हल करने के लिए एक कुशल एल्गोरिदम मौजूद है जिसे [[ लेविंसन रिकर्सन |लेविंसन रिकर्सन]] | लेविंसन-डर्बिन एल्गोरिदम के रूप में जाना जाता है, इसलिए टी के स्पष्ट व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं है।
-कुछ लेखों में क्रॉस सहसंबंध कार्य को विपरीत तरीके से परिभाषित किया गया है:<math display="block">R_{sw}[m] = E\{w[n]s[n+m]\}</math>फिर <math>\mathbf{v}</math> मैट्रिक्स में शामिल होगा <math>R_{sw}[0] \ldots R_{sw}[N]</math>; यह सिर्फ अंकन में अंतर है।
+कुछ लेखों में क्रॉस सहसंबंध कार्य को विपरीत तरीके से परिभाषित किया गया है:<math display="block">R_{sw}[m] = E\{w[n]s[n+m]\}</math>फिर <math>\mathbf{v}</math> मैट्रिक्स में सम्मिलित होगा <math>R_{sw}[0] \ldots R_{sw}[N]</math>; यह सिर्फ अंकन में अंतर है।
 जो भी संकेतन प्रयोग किया जाता है, ध्यान दें कि वास्तविक के लिए <math>w[n], s[n]</math>:<math display="block">R_{sw}[k] = R_{ws}[-k]</math>
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 === '''<u><big>जटिल संकेत</big></u>''' ===
-जटिल संकेतों के लिए, जटिल वीनर फ़िल्टर की व्युत्पत्ति न्यूनतम करके की जाती है <math>E \left [|e[n]|^2 \right ]</math> =<math>E \left [e[n]e^*[n] \right ]</math>. इसमें वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न की गणना करना शामिल है <math>a_i</math>,और उन दोनों को शून्य होने की आवश्यकता है।
+जटिल संकेतों के लिए, जटिल वीनर फ़िल्टर की व्युत्पत्ति न्यूनतम करके की जाती है <math>E \left [|e[n]|^2 \right ]</math> =<math>E \left [e[n]e^*[n] \right ]</math>. इसमें वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न की गणना करना सम्मिलित है <math>a_i</math>,और उन दोनों को शून्य होने की आवश्यकता है।
 परिणामी वीनर-हॉप समीकरण हैं:

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