कैलाबी अनुमान: Difference between revisions
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[[विभेदक ज्यामिति]] के गणितीय क्षेत्र में, कैलाबी अनुमान कुछ | [[विभेदक ज्यामिति]] के गणितीय क्षेत्र में, कैलाबी अनुमान कुछ समष्टि मैनिफोल्ड्स पर कुछ प्रकार के [[ रीमैनियन मीट्रिक |रीमैनियन मीट्रिक]] ्स के अस्तित्व के बारे में अनुमान था, जो द्वारा बनाया गया था {{harvs |txt |authorlink=Eugenio Calabi |first=Eugenio |last=Calabi |year =1954 |year2=1957}}. से यह सिद्ध हो गया {{harvs |txt |authorlink=Shing-Tung Yau |first=Shing-Tung |last= Yau |year1=1977 |year2= 1978}}, जिन्होंने अपने प्रमाण के लिए ज्यामिति में [[फील्ड्स मेडल]] और ओसवाल्ड वेब्लेन पुरस्कार प्राप्त किया। उनका काम, मुख्य रूप से अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण का विश्लेषण जिसे मोंगे-एम्पीयर समीकरण | समष्टि मोंज-एम्पीयर समीकरण के रूप में जाना जाता है, [[ज्यामितीय विश्लेषण]] के क्षेत्र में प्रभावशाली प्रारंभिक परिणाम था। | ||
अधिक | अधिक त्रुटिहीन रूप से, कैलाबी का अनुमान बंद मैनिफोल्ड कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स पर काहलर मेट्रिक्स की सेटिंग के भीतर [[निर्धारित रिक्की वक्रता समस्या]] के समाधान का प्रामाणित करता है। चेर्न-वेइल सिद्धांत के अनुसार, ऐसे किसी भी मीट्रिक का रिक्की वक्रता # काहलर मैनिफोल्ड्स [[विभेदक रूप]] है | बंद विभेदक 2-रूप जो पहले चेर्न वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। कैलाबी ने ऐसे किसी भी भिन्न रूप के लिए अनुमान लगाया {{mvar|R}}, प्रत्येक काहलर ज्यामिति में बिल्कुल काहलर मीट्रिक है|काहलर वर्ग जिसका रिक्की रूप है {{mvar|R}}. (कुछ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स कोई काहलर वर्ग स्वीकार नहीं करते हैं, जिस स्थिति में अनुमान शून्य है।) | ||
विशेष मामले में कि पहला चेर्न वर्ग गायब हो जाता है, इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक काहलर वर्ग में बिल्कुल [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]]|रिक्की-फ्लैट मीट्रिक | विशेष मामले में कि पहला चेर्न वर्ग गायब हो जाता है, इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक काहलर वर्ग में बिल्कुल [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड]]|रिक्की-फ्लैट मीट्रिक सम्मिलित है। इन्हें अधिकांशतः कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स कहा जाता है। हालाँकि, इस शब्द का प्रयोग अधिकांशतः विभिन्न लेखकों द्वारा थोड़े अलग तरीकों से किया जाता है - उदाहरण के लिए, कुछ उपयोग समष्टि मैनिफोल्ड को संदर्भित कर सकते हैं जबकि अन्य विशेष रिक्की-फ्लैट काहलर मीट्रिक के साथ समष्टि मैनिफोल्ड को संदर्भित कर सकते हैं। | ||
इस विशेष मामले को कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स पर शून्य स्केलर वक्रता के काहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के लिए पूर्ण अस्तित्व और विशिष्टता सिद्धांत के रूप में माना जा सकता है। गैर-शून्य [[अदिश वक्रता]] का मामला कैलाबी के अनुमान के विशेष मामले के रूप में अनुसरण नहीं करता है, क्योंकि काहलर-आइंस्टीन समस्या का 'दाहिना हाथ' 'अज्ञात' मीट्रिक पर निर्भर करता है, जिससे काहलर-आइंस्टीन समस्या को डोमेन के बाहर रखा जाता है। रिक्की वक्रता निर्धारित करना। हालाँकि, कैलाबी अनुमान को हल करने में | इस विशेष मामले को कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स पर शून्य स्केलर वक्रता के काहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के लिए पूर्ण अस्तित्व और विशिष्टता सिद्धांत के रूप में माना जा सकता है। गैर-शून्य [[अदिश वक्रता]] का मामला कैलाबी के अनुमान के विशेष मामले के रूप में अनुसरण नहीं करता है, क्योंकि काहलर-आइंस्टीन समस्या का 'दाहिना हाथ' 'अज्ञात' मीट्रिक पर निर्भर करता है, जिससे काहलर-आइंस्टीन समस्या को डोमेन के बाहर रखा जाता है। रिक्की वक्रता निर्धारित करना। हालाँकि, कैलाबी अनुमान को हल करने में समष्टि मोंज-एम्पीयर समीकरण का याउ का विश्लेषण पर्याप्त रूप से सामान्य था जिससे कि नकारात्मक स्केलर वक्रता के काहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के अस्तित्व को भी हल किया जा सके। सकारात्मक अदिश वक्रता का तीसरा और अंतिम मामला 2010 में आंशिक रूप से कैलाबी अनुमान का उपयोग करके हल किया गया था। | ||
==कैलाबी अनुमान के प्रमाण की रूपरेखा== | ==कैलाबी अनुमान के प्रमाण की रूपरेखा== | ||
कैलाबी ने कैलाबी अनुमान को | कैलाबी ने कैलाबी अनुमान को समष्टि मोंगे-एम्पीयर समीकरण | मोंज-एम्पीयर प्रकार के गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण में बदल दिया, और दिखाया कि इस समीकरण में अधिकतम समाधान है, इस प्रकार आवश्यक काहलर मीट्रिक की विशिष्टता स्थापित होती है। | ||
याउ ने [[निरंतरता विधि]] का उपयोग करके इस समीकरण का समाधान बनाकर कैलाबी अनुमान को सिद्ध किया। इसमें पहले आसान समीकरण को हल करना और फिर यह दिखाना | याउ ने [[निरंतरता विधि]] का उपयोग करके इस समीकरण का समाधान बनाकर कैलाबी अनुमान को सिद्ध किया। इसमें पहले आसान समीकरण को हल करना और फिर यह दिखाना सम्मिलित है कि आसान समीकरण के समाधान को लगातार कठिन समीकरण के समाधान में विकृत किया जा सकता है। याउ के समाधान का सबसे कठिन हिस्सा समाधानों के व्युत्पन्नों के लिए निश्चित प्राथमिक अनुमानों को सिद्ध करना है। | ||
===कैलाबी अनुमान का विभेदक समीकरण में परिवर्तन=== | ===कैलाबी अनुमान का विभेदक समीकरण में परिवर्तन=== | ||
लगता है कि <math>M</math> काहलर रूप के साथ | लगता है कि <math>M</math> काहलर रूप के साथ समष्टि कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है <math>\omega</math>. | ||
Ddbar लेम्मा द्वारा|<math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा, उसी [[डी गर्भ एक तीर्थयात्री के रूप में|डी गर्भ तीर्थयात्री के रूप में]] वर्ग में कोई अन्य काहलर फॉर्म का है | Ddbar लेम्मा द्वारा|<math>\partial \bar \partial</math>-लेम्मा, उसी [[डी गर्भ एक तीर्थयात्री के रूप में|डी गर्भ तीर्थयात्री के रूप में]] वर्ग में कोई अन्य काहलर फॉर्म का है | ||
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यह एकल फ़ंक्शन के लिए | यह एकल फ़ंक्शन के लिए समष्टि Monge-Ampère प्रकार का समीकरण है <math>\varphi</math>. | ||
इसे हल करना विशेष रूप से कठिन आंशिक अंतर समीकरण है, क्योंकि यह उच्चतम क्रम के संदर्भ में गैर-रैखिक है। जब इसे सुलझाना आसान होता है <math>f=0</math>, जैसा <math>\varphi = 0 </math> समाधान है. निरंतरता पद्धति का विचार यह दिखाना है कि इसे सभी के लिए हल किया जा सकता है <math>f</math> यह दिखाकर कि का सेट <math>f</math> जिसके लिए इसे हल किया जा सकता है वह खुला और बंद दोनों है। के सेट के बाद से <math>f</math> जिसके लिए इसे हल किया जा सकता है वह गैर-रिक्त है, और सभी का सेट है <math>f</math> जुड़ा हुआ है, इससे पता चलता है कि इसे सभी के लिए हल किया जा सकता है <math>f</math>. | इसे हल करना विशेष रूप से कठिन आंशिक अंतर समीकरण है, क्योंकि यह उच्चतम क्रम के संदर्भ में गैर-रैखिक है। जब इसे सुलझाना आसान होता है <math>f=0</math>, जैसा <math>\varphi = 0 </math> समाधान है. निरंतरता पद्धति का विचार यह दिखाना है कि इसे सभी के लिए हल किया जा सकता है <math>f</math> यह दिखाकर कि का सेट <math>f</math> जिसके लिए इसे हल किया जा सकता है वह खुला और बंद दोनों है। के सेट के बाद से <math>f</math> जिसके लिए इसे हल किया जा सकता है वह गैर-रिक्त है, और सभी का सेट है <math>f</math> जुड़ा हुआ है, इससे पता चलता है कि इसे सभी के लिए हल किया जा सकता है <math>f</math>. | ||
सुचारु कार्यों से लेकर सुचारु कार्यों तक का मानचित्र <math>\varphi</math> को <math>F</math> द्वारा परिभाषित | सुचारु कार्यों से लेकर सुचारु कार्यों तक का मानचित्र <math>\varphi</math> को <math>F</math> द्वारा परिभाषित | ||
::<math>F=(\omega+dd'\varphi)^m/\omega^m</math> | ::<math>F=(\omega+dd'\varphi)^m/\omega^m</math> | ||
न तो विशेषण है और न ही विशेषण। इसमें स्थिरांक जोड़ने के कारण यह इंजेक्शन नहीं है <math>\varphi</math> बदलना मत <math>F</math>, और यह विशेषण नहीं है क्योंकि <math>F</math> सकारात्मक होना चाहिए और औसत मान 1 होना चाहिए। इसलिए हम मानचित्र को कार्यों तक ही सीमित मानते हैं <math>\varphi</math> जिसे औसत मान 0 के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, और पूछा जाता है कि क्या यह मानचित्र सकारात्मक के सेट पर समरूपता है <math>F=e^f</math> औसत मान 1 के साथ। कैलाबी और याउ ने | न तो विशेषण है और न ही विशेषण। इसमें स्थिरांक जोड़ने के कारण यह इंजेक्शन नहीं है <math>\varphi</math> बदलना मत <math>F</math>, और यह विशेषण नहीं है क्योंकि <math>F</math> सकारात्मक होना चाहिए और औसत मान 1 होना चाहिए। इसलिए हम मानचित्र को कार्यों तक ही सीमित मानते हैं <math>\varphi</math> जिसे औसत मान 0 के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, और पूछा जाता है कि क्या यह मानचित्र सकारात्मक के सेट पर समरूपता है <math>F=e^f</math> औसत मान 1 के साथ। कैलाबी और याउ ने सिद्ध करना किया कि यह वास्तव में समरूपता है। यह नीचे वर्णित कई चरणों में किया जाता है। | ||
===समाधान की विशिष्टता=== | ===समाधान की विशिष्टता=== | ||
यह | यह सिद्ध करना करने में कि समाधान अद्वितीय है, इसमें यह दिखाना सम्मिलित है कि यदि | ||
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फिर φ<sub>1</sub> और φ<sub>2</sub> स्थिरांक से भिन्न | फिर φ<sub>1</sub> और φ<sub>2</sub> स्थिरांक से भिन्न | ||
(यदि वे दोनों औसत मान 0 के लिए सामान्यीकृत हैं तो यह समान होना चाहिए)। | (यदि वे दोनों औसत मान 0 के लिए सामान्यीकृत हैं तो यह समान होना चाहिए)। | ||
कैलाबी ने यह | कैलाबी ने यह सिद्ध करना करके दिखाया कि का औसत मूल्य | ||
:<math>|d(\varphi_1-\varphi_2)|^2</math> | :<math>|d(\varphi_1-\varphi_2)|^2</math> | ||
एक अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है जो अधिकतम 0 है। चूँकि यह स्पष्ट रूप से कम से कम 0 है, यह 0 ही होना चाहिए, इसलिए | एक अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है जो अधिकतम 0 है। चूँकि यह स्पष्ट रूप से कम से कम 0 है, यह 0 ही होना चाहिए, इसलिए | ||
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===F का समुच्चय खुला है=== | ===F का समुच्चय खुला है=== | ||
यह | यह सिद्ध करना करना कि संभावित F का सेट खुला है (औसत मान 1 के साथ सुचारू कार्यों के सेट में) यह दिखाना सम्मिलित है कि यदि कुछ F के लिए समीकरण को हल करना संभव है, तो सभी पर्याप्त रूप से बंद F के लिए इसे हल करना संभव है। कैलाबी बानाच रिक्त स्थान के लिए अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय का उपयोग करके इसे सिद्ध करना किया: इसे लागू करने के लिए, मुख्य चरण यह दिखाना है कि उपरोक्त अंतर ऑपरेटर का रैखिककरण उलटा है। | ||
===F का समुच्चय बंद है=== | ===F का समुच्चय बंद है=== | ||
Revision as of 17:27, 22 July 2023
विभेदक ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, कैलाबी अनुमान कुछ समष्टि मैनिफोल्ड्स पर कुछ प्रकार के रीमैनियन मीट्रिक ्स के अस्तित्व के बारे में अनुमान था, जो द्वारा बनाया गया था Eugenio Calabi (1954, 1957). से यह सिद्ध हो गया Shing-Tung Yau (1977, 1978), जिन्होंने अपने प्रमाण के लिए ज्यामिति में फील्ड्स मेडल और ओसवाल्ड वेब्लेन पुरस्कार प्राप्त किया। उनका काम, मुख्य रूप से अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण का विश्लेषण जिसे मोंगे-एम्पीयर समीकरण | समष्टि मोंज-एम्पीयर समीकरण के रूप में जाना जाता है, ज्यामितीय विश्लेषण के क्षेत्र में प्रभावशाली प्रारंभिक परिणाम था।
अधिक त्रुटिहीन रूप से, कैलाबी का अनुमान बंद मैनिफोल्ड कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स पर काहलर मेट्रिक्स की सेटिंग के भीतर निर्धारित रिक्की वक्रता समस्या के समाधान का प्रामाणित करता है। चेर्न-वेइल सिद्धांत के अनुसार, ऐसे किसी भी मीट्रिक का रिक्की वक्रता # काहलर मैनिफोल्ड्स विभेदक रूप है | बंद विभेदक 2-रूप जो पहले चेर्न वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। कैलाबी ने ऐसे किसी भी भिन्न रूप के लिए अनुमान लगाया R, प्रत्येक काहलर ज्यामिति में बिल्कुल काहलर मीट्रिक है|काहलर वर्ग जिसका रिक्की रूप है R. (कुछ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स कोई काहलर वर्ग स्वीकार नहीं करते हैं, जिस स्थिति में अनुमान शून्य है।)
विशेष मामले में कि पहला चेर्न वर्ग गायब हो जाता है, इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक काहलर वर्ग में बिल्कुल रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड|रिक्की-फ्लैट मीट्रिक सम्मिलित है। इन्हें अधिकांशतः कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स कहा जाता है। हालाँकि, इस शब्द का प्रयोग अधिकांशतः विभिन्न लेखकों द्वारा थोड़े अलग तरीकों से किया जाता है - उदाहरण के लिए, कुछ उपयोग समष्टि मैनिफोल्ड को संदर्भित कर सकते हैं जबकि अन्य विशेष रिक्की-फ्लैट काहलर मीट्रिक के साथ समष्टि मैनिफोल्ड को संदर्भित कर सकते हैं।
इस विशेष मामले को कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स पर शून्य स्केलर वक्रता के काहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के लिए पूर्ण अस्तित्व और विशिष्टता सिद्धांत के रूप में माना जा सकता है। गैर-शून्य अदिश वक्रता का मामला कैलाबी के अनुमान के विशेष मामले के रूप में अनुसरण नहीं करता है, क्योंकि काहलर-आइंस्टीन समस्या का 'दाहिना हाथ' 'अज्ञात' मीट्रिक पर निर्भर करता है, जिससे काहलर-आइंस्टीन समस्या को डोमेन के बाहर रखा जाता है। रिक्की वक्रता निर्धारित करना। हालाँकि, कैलाबी अनुमान को हल करने में समष्टि मोंज-एम्पीयर समीकरण का याउ का विश्लेषण पर्याप्त रूप से सामान्य था जिससे कि नकारात्मक स्केलर वक्रता के काहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स के अस्तित्व को भी हल किया जा सके। सकारात्मक अदिश वक्रता का तीसरा और अंतिम मामला 2010 में आंशिक रूप से कैलाबी अनुमान का उपयोग करके हल किया गया था।
कैलाबी अनुमान के प्रमाण की रूपरेखा
कैलाबी ने कैलाबी अनुमान को समष्टि मोंगे-एम्पीयर समीकरण | मोंज-एम्पीयर प्रकार के गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण में बदल दिया, और दिखाया कि इस समीकरण में अधिकतम समाधान है, इस प्रकार आवश्यक काहलर मीट्रिक की विशिष्टता स्थापित होती है।
याउ ने निरंतरता विधि का उपयोग करके इस समीकरण का समाधान बनाकर कैलाबी अनुमान को सिद्ध किया। इसमें पहले आसान समीकरण को हल करना और फिर यह दिखाना सम्मिलित है कि आसान समीकरण के समाधान को लगातार कठिन समीकरण के समाधान में विकृत किया जा सकता है। याउ के समाधान का सबसे कठिन हिस्सा समाधानों के व्युत्पन्नों के लिए निश्चित प्राथमिक अनुमानों को सिद्ध करना है।
कैलाबी अनुमान का विभेदक समीकरण में परिवर्तन
लगता है कि काहलर रूप के साथ समष्टि कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है . Ddbar लेम्मा द्वारा|-लेम्मा, उसी डी गर्भ तीर्थयात्री के रूप में वर्ग में कोई अन्य काहलर फॉर्म का है
कुछ सुचारु कार्य के लिए पर , किसी स्थिरांक को जोड़ने तक अद्वितीय। कैलाबी अनुमान इसलिए निम्नलिखित समस्या के बराबर है:
- होने देना पर सकारात्मक सुचारू कार्य हो औसत मान 1 के साथ। फिर सुचारू वास्तविक कार्य होता है ; साथ
- और ; किसी स्थिरांक को जोड़ने तक अद्वितीय है।
यह एकल फ़ंक्शन के लिए समष्टि Monge-Ampère प्रकार का समीकरण है . इसे हल करना विशेष रूप से कठिन आंशिक अंतर समीकरण है, क्योंकि यह उच्चतम क्रम के संदर्भ में गैर-रैखिक है। जब इसे सुलझाना आसान होता है , जैसा समाधान है. निरंतरता पद्धति का विचार यह दिखाना है कि इसे सभी के लिए हल किया जा सकता है यह दिखाकर कि का सेट जिसके लिए इसे हल किया जा सकता है वह खुला और बंद दोनों है। के सेट के बाद से जिसके लिए इसे हल किया जा सकता है वह गैर-रिक्त है, और सभी का सेट है जुड़ा हुआ है, इससे पता चलता है कि इसे सभी के लिए हल किया जा सकता है .
सुचारु कार्यों से लेकर सुचारु कार्यों तक का मानचित्र को द्वारा परिभाषित
न तो विशेषण है और न ही विशेषण। इसमें स्थिरांक जोड़ने के कारण यह इंजेक्शन नहीं है बदलना मत , और यह विशेषण नहीं है क्योंकि सकारात्मक होना चाहिए और औसत मान 1 होना चाहिए। इसलिए हम मानचित्र को कार्यों तक ही सीमित मानते हैं जिसे औसत मान 0 के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, और पूछा जाता है कि क्या यह मानचित्र सकारात्मक के सेट पर समरूपता है औसत मान 1 के साथ। कैलाबी और याउ ने सिद्ध करना किया कि यह वास्तव में समरूपता है। यह नीचे वर्णित कई चरणों में किया जाता है।
समाधान की विशिष्टता
यह सिद्ध करना करने में कि समाधान अद्वितीय है, इसमें यह दिखाना सम्मिलित है कि यदि