K3 सतह: Difference between revisions
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गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ [[विहित बंडल]] और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड [[ जटिल अनेक गुना |जटिल विविध]] है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी [[बीजगणितीय सतह]] जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट [[चतुर्थक सतह]] है:- | गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ [[विहित बंडल]] और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड [[ जटिल अनेक गुना |जटिल विविध]] है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी [[बीजगणितीय सतह]] जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट [[चतुर्थक सतह]] है:- | ||
:<math>x^4+y^4+z^4+w^4=0</math> | :<math>x^4+y^4+z^4+w^4=0</math> | ||
[[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान]] में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट [[जटिल तोरी|जटिल टोरी]] के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और [[सामान्य प्रकार]] की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय | [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान]] में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट [[जटिल तोरी|जटिल टोरी]] के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और [[सामान्य प्रकार]] की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना [[बीजगणितीय वक्र]] या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ [[4-कई गुना]] के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता ([[स्ट्रिंग सिद्धांत]]) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है। | ||
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी गैर-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं। | जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी गैर-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं। | ||
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K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक [[ विभेदक रूप |विभेदक रूप]] है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।) | K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक [[ विभेदक रूप |विभेदक रूप]] है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।) | ||
परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से [[प्रक्षेप्य किस्म]] है।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.1.2</ref>) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है। | परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से [[प्रक्षेप्य किस्म|प्रक्षेप्य प्रकार]] है।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.1.2</ref>) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है। | ||
==बेट्टी संख्या की गणना== | ==बेट्टी संख्या की गणना== | ||
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*: इसे प्रदर्शित करने का उपाय विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और पुनः बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह प्रदर्शित करना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के भागो के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-ब्रो <math>H^2(X;\Z) </math> स्वेच्छानुसार K3 सतह के लिए गणना की जा सकती है I इस सम्बन्ध में, हॉज समरूपता <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math> बल देता है, इस प्रकार <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह प्रथम बार एलेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच |इगोर शफ़ारेविच]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref> | *: इसे प्रदर्शित करने का उपाय विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और पुनः बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह प्रदर्शित करना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के भागो के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-ब्रो <math>H^2(X;\Z) </math> स्वेच्छानुसार K3 सतह के लिए गणना की जा सकती है I इस सम्बन्ध में, हॉज समरूपता <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math> बल देता है, इस प्रकार <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह प्रथम बार एलेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच |इगोर शफ़ारेविच]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref> | ||
*जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के लिए, प्रतिच्छेदन प्रपत्र (या [[कप उत्पाद]]) पर <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> पूर्णांकों में मानों वाला [[सममित द्विरेखीय रूप]] है, जिसे K3 जाली के रूप में जाना जाता है। यह सम रूपी जाली के समरूपी है I <math>\operatorname{II}_{3,19}</math>, या समकक्ष <math>E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>, जहां U रैंक 2 की अतिशयोक्तिपूर्ण <math>E_8</math> [[E8 जाली]] है.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 3.3.5.</ref> | *जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के लिए, प्रतिच्छेदन प्रपत्र (या [[कप उत्पाद]]) पर <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> पूर्णांकों में मानों वाला [[सममित द्विरेखीय रूप]] है, जिसे K3 जाली के रूप में जाना जाता है। यह सम रूपी जाली के समरूपी है I <math>\operatorname{II}_{3,19}</math>, या समकक्ष <math>E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>, जहां U रैंक 2 की अतिशयोक्तिपूर्ण <math>E_8</math> [[E8 जाली]] है.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 3.3.5.</ref> | ||
*[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4-विविध स्मूथ 11/8 अनुमान भविष्यवाणी करता है कि सम प्रतिच्छेदन फॉर्म के साथ प्रत्येक स्मूथ [[ उन्मुखी |उन्मुखी]] 4-विविध में दूसरा बेट्टी नंबर [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)|सिग्नेचर (टोपोलॉजी)]] के पूर्ण मूल्य से कम से कम 11/8 गुना है। यदि सत्य है तो यह इष्टतम होगा, क्योंकि समानता जटिल K3 सतह के लिए है, जिसका हस्ताक्षर 3−19 = −16 है। अनुमान का अर्थ यह होगा कि सम प्रतिच्छेदन रूप के साथ प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ स्मूथ 4-विविध K3 सतह और की प्रतियों के जुड़े योग के लिए <math>S^2\times S^2</math> [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है I<ref>Scorpan (2005), section 5.3.</ref> | *[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4-विविध स्मूथ 11/8 अनुमान भविष्यवाणी करता है कि सम प्रतिच्छेदन फॉर्म के साथ प्रत्येक स्मूथ [[ उन्मुखी |उन्मुखी]] 4-विविध X में दूसरा बेट्टी नंबर [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)|सिग्नेचर (टोपोलॉजी)]] के पूर्ण मूल्य से कम से कम 11/8 गुना है। यदि सत्य है तो यह इष्टतम होगा, क्योंकि समानता जटिल K3 सतह के लिए है, जिसका हस्ताक्षर 3−19 = −16 है। अनुमान का अर्थ यह होगा कि सम प्रतिच्छेदन रूप के साथ प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ स्मूथ 4-विविध K3 सतह और की प्रतियों के जुड़े योग के लिए <math>S^2\times S^2</math> [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है I<ref>Scorpan (2005), section 5.3.</ref> | ||
*रॉबर्ट फ्रीडमैन और [[जॉन मॉर्गन (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रत्येक जटिल सतह जो K3 सतह से भिन्न होती है, K3 सतह होती है। दूसरी ओर, स्मूथ जटिल सतहें हैं (उनमें से कुछ प्रक्षेपी हैं) जो होमियोमॉर्फिक हैं किन्तु K3 सतह से भिन्न नहीं हैं, कोडैरा और [[माइकल फ्रीडमैन]] द्वारा।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.3.6(ii).</ref> इन समरूप K3 सतहों में कोडैरा आयाम 1 है। | *रॉबर्ट फ्रीडमैन और [[जॉन मॉर्गन (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रत्येक जटिल सतह जो K3 सतह से भिन्न होती है, K3 सतह होती है। दूसरी ओर, स्मूथ जटिल सतहें हैं (उनमें से कुछ प्रक्षेपी हैं) जो होमियोमॉर्फिक हैं किन्तु K3 सतह से भिन्न नहीं हैं, कोडैरा और [[माइकल फ्रीडमैन]] द्वारा।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.3.6(ii).</ref> इन समरूप K3 सतहों में कोडैरा आयाम 1 है। | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
*[[प्रक्षेप्य तल]] का [[शाखित आवरण]] X चिकने सेक्सटिक (डिग्री 6) वक्र के साथ शाखाबद्ध होता है, जो जीनस 2 की K3 सतह है (अर्थात, डिग्री 2g−2 = 2) | *[[प्रक्षेप्य तल]] का [[शाखित आवरण]] X चिकने सेक्सटिक (डिग्री 6) वक्र के साथ शाखाबद्ध होता है, जो जीनस 2 की K3 सतह है (अर्थात, डिग्री 2g−2 = 2) I (इस शब्दावली का अर्थ है कि सामान्य [[हाइपरप्लेन]] की ''X'' में विपरीत छवि <math>\mathbf{P}^2</math> जीनस का सहज वक्र है (गणित) 2.) | ||
*स्मूथ चतुर्थक (डिग्री 4) सतह <math>\mathbf{P}^3</math> जीनस 3 (अर्थात डिग्री 4) की K3 सतह है। | *स्मूथ चतुर्थक (डिग्री 4) सतह <math>\mathbf{P}^3</math> जीनस 3 (अर्थात डिग्री 4) की K3 सतह है। | ||
*कुमेर सतह क्रिया द्वारा द्वि-आयामी [[एबेलियन किस्म]] | *कुमेर सतह क्रिया द्वारा द्वि-आयामी [[एबेलियन किस्म|एबेलियन प्रकार]] A का भागफल <math>a\mapsto -a</math> है I इसके परिणामस्वरूप A के 2-मरोड़ बिंदुओं पर 16 विलक्षणताएँ होती हैं। इस विलक्षण सतह की विलक्षणताओं के समाधान को कुमेर सतह भी कहा जा सकता है; वह समाधान K3 सतह है। जब A जीनस 2 के वक्र की [[जैकोबियन किस्म|जैकोबियन प्रकार]] है, तो कुमेर ने भागफल प्रदर्शित किया I <math>A/(\pm 1)</math> में <math>\mathbf{P}^3</math>एम्बेड किया जा सकता है, बीजगणितीय विविधता नोड्स के 16 वचन बिंदु के साथ चतुर्थक सतह के रूप में किया जा सकता है। | ||
*अधिक सामान्यतः | *अधिक सामान्यतः डु वैल विलक्षणताओं वाले किसी भी चतुर्थक सतह Y के लिए, Y का न्यूनतम समाधान बीजगणितीय K3 सतह है। | ||
*[[चतुर्भुज (बीजगणितीय ज्यामिति)]] और घन का प्रतिच्छेदन <math>\mathbf{P}^4</math> जीनस 4 (अर्थात्, डिग्री 6) की K3 सतह है। | *[[चतुर्भुज (बीजगणितीय ज्यामिति)]] और घन का प्रतिच्छेदन <math>\mathbf{P}^4</math> जीनस 4 (अर्थात्, डिग्री 6) की K3 सतह है। | ||
*तीन चतुर्भुजों का प्रतिच्छेदन <math>\mathbf{P}^5</math> जीनस 5 (अर्थात, डिग्री 8) की K3 सतह है। | *तीन चतुर्भुजों का प्रतिच्छेदन <math>\mathbf{P}^5</math> जीनस 5 (अर्थात, डिग्री 8) की K3 सतह है। | ||
*[[भारित प्रक्षेप्य स्थान]] | *[[भारित प्रक्षेप्य स्थान|भारित प्रक्षेप्य स्थानों]] में डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों के कई डेटाबेस हैं।<ref>{{Citation | title=Graded Ring Database | url=http://www.grdb.co.uk/forms/k3}}; {{Citation | title=K3 database for Magma | url=https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/1407}}.</ref> | ||
== पिकार्ड जाली == | == पिकार्ड जाली == | ||
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==K3 सतहों पर परिमेय वक्र== | ==K3 सतहों पर परिमेय वक्र== | ||
डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार | डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म|अनियंत्रित प्रकार]] नहीं है; अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों के विपरीत, ्स में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः वचन) का बड़ा असतत सेट होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने दिखाया कि ्स पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref> | ||
नकारात्मक रूप से घुमावदार | नकारात्मक रूप से घुमावदार प्रकारों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X हमेशा अण्डाकार वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में वचन हैं, जब तक कि X अण्डाकार K3 सतह न हो।) मजबूत प्रश्न जो खुला रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह गैर-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र को स्वीकार करती है <math>\C^2</math> (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref> | ||
== अवधि मानचित्र == | == अवधि मानचित्र == | ||
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एल के अनुभागों के वेक्टर स्थान का आयाम जी + 1 है, और इसलिए एल ्स से प्रक्षेप्य स्थान तक रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>. ज्यादातर मामलों में, यह रूपवाद एम्बेडिंग है, ताकि ्स डिग्री 2g-2 की सतह पर आइसोमोर्फिक हो <math>\mathbf{P}^g</math>. | एल के अनुभागों के वेक्टर स्थान का आयाम जी + 1 है, और इसलिए एल ्स से प्रक्षेप्य स्थान तक रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>. ज्यादातर मामलों में, यह रूपवाद एम्बेडिंग है, ताकि ्स डिग्री 2g-2 की सतह पर आइसोमोर्फिक हो <math>\mathbf{P}^g</math>. | ||
इरेड्यूसेबल [[मोटे मॉड्यूलि स्पेस]] है <math>\mathcal{F}_g</math> प्रत्येक के लिए जीनस जी की ध्रुवीकृत जटिल K3 सतहों की <math>g\geq 2</math>; इसे समूह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह|एसओ(2,19) के लिए [[शिमुरा किस्म]] के ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक जी के लिए, <math>\mathcal{F}_g</math> आयाम 19 की [[अर्ध-प्रक्षेपी]] जटिल विविधता है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 6.4.4.</ref> [[विलोम]] ने दिखाया कि यह मॉड्यूलि स्पेस [[अतार्किक]] है <math>g\leq 13</math> या <math>g=18,20</math>. इन कंट्रास्ट, वालेरी गृत्सेंको, [[क्लॉस हुलेक]] एंड ग्रेगोरी संकरन शोवेद ठाट <math>\mathcal{F}_g</math> सामान्य प्रकार का है यदि <math>g\geq 63</math> या <math>g=47,51,55,58,59,61</math>. द्वारा इस क्षेत्र का सर्वेक्षण दिया गया {{harvtxt|Voisin|2008}}. | इरेड्यूसेबल [[मोटे मॉड्यूलि स्पेस]] है <math>\mathcal{F}_g</math> प्रत्येक के लिए जीनस जी की ध्रुवीकृत जटिल K3 सतहों की <math>g\geq 2</math>; इसे समूह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह|एसओ(2,19) के लिए [[शिमुरा किस्म|शिमुरा प्रकार]] के ज़ारिस्की खुले उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक जी के लिए, <math>\mathcal{F}_g</math> आयाम 19 की [[अर्ध-प्रक्षेपी]] जटिल विविधता है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 6.4.4.</ref> [[विलोम]] ने दिखाया कि यह मॉड्यूलि स्पेस [[अतार्किक]] है <math>g\leq 13</math> या <math>g=18,20</math>. इन कंट्रास्ट, वालेरी गृत्सेंको, [[क्लॉस हुलेक]] एंड ग्रेगोरी संकरन शोवेद ठाट <math>\mathcal{F}_g</math> सामान्य प्रकार का है यदि <math>g\geq 63</math> या <math>g=47,51,55,58,59,61</math>. द्वारा इस क्षेत्र का सर्वेक्षण दिया गया {{harvtxt|Voisin|2008}}. | ||
विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करें। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप- | विभिन्न 19-आयामी मॉड्यूलि स्थान <math>\mathcal{F}_g</math> जटिल उपाय से ओवरलैप करें। वास्तव में, प्रत्येक की कोडिमेंशन-1 उप-प्रकारों का अनगिनत अनंत सेट है <math>\mathcal{F}_g</math> पिकार्ड संख्या की K3 सतहों के अनुरूप कम से कम 2. उन K3 सतहों में केवल 2g-2 ही नहीं, बल्कि अनंत रूप से कई अलग-अलग डिग्री का ध्रुवीकरण होता है। तो कोई यह कह सकता है कि अन्य मॉड्यूली रिक्त स्थान अनंत हैं <math>\mathcal{F}_h</math> मिलना <math>\mathcal{F}_g</math>. यह त्रुटिहीन नहीं है, क्योंकि सभी मॉडुली स्थानों को समाहित करने वाला कोई अच्छा व्यवहार वाला स्थान नहीं है <math>\mathcal{F}_g</math>. हालाँकि, इस विचार का ठोस संस्करण यह तथ्य है कि कोई भी दो जटिल बीजगणितीय K3 सतहें बीजगणितीय K3 सतहों के माध्यम से विरूपण-समतुल्य हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.1.</ref> | ||
अधिक आम तौर पर, जीनस ''जी'' की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतह का अर्थ है आदिम [[नेफ लाइन बंडल]] और [[बड़ी लाइन बंडल]] लाइन बंडल ''एल'' के साथ प्रक्षेप्य K3 सतह जैसे कि <math>c_1(L)^2=2g-2</math>. ऐसा लाइन बंडल अभी भी रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>, किन्तु अब यह परिमित रूप से कई (−2)-वक्रों को अनुबंधित कर सकता है, ताकि X की छवि Y वचन हो। (किसी सतह पर '(−2)-वक्र' का अर्थ समरूपी वक्र है <math>\mathbf{P}^1</math> स्व-प्रतिच्छेदन -2 के साथ।) जीनस जी की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतहों का मॉड्यूलि स्पेस अभी भी आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है (पिछले मॉड्यूलि स्पेस को खुले उपसमुच्चय के रूप में शामिल करते हुए)। औपचारिक रूप से, इसे डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों Y के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में देखना बेहतर काम करता है।<ref>Huybrechts (2016), section 5.1.4 and Remark 6.4.5.</ref> | अधिक आम तौर पर, जीनस ''जी'' की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतह का अर्थ है आदिम [[नेफ लाइन बंडल]] और [[बड़ी लाइन बंडल]] लाइन बंडल ''एल'' के साथ प्रक्षेप्य K3 सतह जैसे कि <math>c_1(L)^2=2g-2</math>. ऐसा लाइन बंडल अभी भी रूपवाद देता है <math>\mathbf{P}^g</math>, किन्तु अब यह परिमित रूप से कई (−2)-वक्रों को अनुबंधित कर सकता है, ताकि X की छवि Y वचन हो। (किसी सतह पर '(−2)-वक्र' का अर्थ समरूपी वक्र है <math>\mathbf{P}^1</math> स्व-प्रतिच्छेदन -2 के साथ।) जीनस जी की अर्ध-ध्रुवीकृत K3 सतहों का मॉड्यूलि स्पेस अभी भी आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है (पिछले मॉड्यूलि स्पेस को खुले उपसमुच्चय के रूप में शामिल करते हुए)। औपचारिक रूप से, इसे डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों Y के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में देखना बेहतर काम करता है।<ref>Huybrechts (2016), section 5.1.4 and Remark 6.4.5.</ref> | ||
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==ऑटोमोर्फिज्म समूह== | ==ऑटोमोर्फिज्म समूह== | ||
बीजगणितीय | बीजगणितीय प्रकारों के मध्य K3 सतहें कुछ हद तक असामान्य हैं क्योंकि उनके ऑटोमोर्फिज्म समूह अनंत, असतत और अत्यधिक नॉनबेलियन हो सकते हैं। टोरेली प्रमेय के संस्करण के अनुसार, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X का पिकार्ड जाली [[अनुरूपता (समूह सिद्धांत)]] तक X के ऑटोमोर्फिज्म समूह को निर्धारित करता है। अर्थात्, मान लें कि 'वेइल समूह' W जड़ों के सेट में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न ऑर्थोगोनल समूह O(Pic(X)) का उपसमूह है <math>\Delta</math>. तब W, O(Pic(X)) का [[सामान्य उपसमूह]] है, और X का ऑटोमोर्फिज्म समूह भागफल समूह O(Pic(X))/W के अनुरूप है। हंस स्टर्क के कारण संबंधित कथन यह है कि ऑट (्स) तर्कसंगत पॉलीहेड्रल [[मौलिक डोमेन]] के साथ ्स के नेफ शंकु पर कार्य करता है।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 8.4.2.</ref> | ||
== स्ट्रिंग द्वंद्व से संबंध == | == स्ट्रिंग द्वंद्व से संबंध == | ||
Revision as of 07:18, 22 July 2023
3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में तर्कसंगत बिंदु (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।
Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.
In the second part of my report, we deal with the Kähler varieties known as K3, named in honor of Kummer, Kähler, Kodaira and of the beautiful mountain K2 in Kashmir.
André Weil (1958, p. 546), describing the reason for the name "K3 surface"
गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ विहित बंडल और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड जटिल विविध है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी बीजगणितीय सतह जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट चतुर्थक सतह है:-
जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट जटिल टोरी के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और सामान्य प्रकार की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय प्रकारें माना जा सकता है जिनकी संरचना बीजगणितीय वक्र या एबेलियन प्रकारों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ 4-कई गुना के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी गैर-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।
परिभाषा
K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक विभेदक रूप है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।)
परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से प्रक्षेप्य प्रकार है।[1]) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है।
बेट्टी संख्या की गणना
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।[2] ( समान तर्क एल-एडिक कोहोमोलॉजी का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का ) शून्य है. सेरे द्वैत द्वारा,