K3 सतह: Difference between revisions
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|source=André {{harvtxt|Weil|1958|loc=p. 546}}, describing the reason for the name "K3 surface" | |source=André {{harvtxt|Weil|1958|loc=p. 546}}, describing the reason for the name "K3 surface" | ||
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गणित में, | गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ [[विहित बंडल]] और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड [[ जटिल अनेक गुना |जटिल विविध]] है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी [[बीजगणितीय सतह]] जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट [[चतुर्थक सतह]] है:- | ||
:<math>x^4+y^4+z^4+w^4=0</math> | :<math>x^4+y^4+z^4+w^4=0</math> | ||
[[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान]] में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट [[जटिल तोरी|जटिल टोरी]] के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और [[सामान्य प्रकार]] की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय किस्में माना जा सकता है जिनकी संरचना [[बीजगणितीय वक्र]] या एबेलियन किस्मों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ [[4-कई गुना]] के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता ([[स्ट्रिंग सिद्धांत]]) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है। | [[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान]] में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट [[जटिल तोरी|जटिल टोरी]] के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और [[सामान्य प्रकार]] की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय किस्में माना जा सकता है जिनकी संरचना [[बीजगणितीय वक्र]] या एबेलियन किस्मों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ [[4-कई गुना]] के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता ([[स्ट्रिंग सिद्धांत]]) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है। | ||
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय | जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय प्रकारो में ऐसी गैर-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं। | ||
==परिभाषा== | ==परिभाषा== | ||
K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान | K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान उपाय हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए पश्चात् वाले को त्यागकर किसी भी नियम को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित करने के समान है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक [[ विभेदक रूप |विभेदक रूप]] है। (पश्चात् वाले नियम यही कहते है कि विहित बंडल तुच्छ है।) | ||
परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से [[प्रक्षेप्य किस्म]] है।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.1.2</ref>) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के | परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से [[प्रक्षेप्य किस्म]] है।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.1.2</ref>) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के अतिरिक्त डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति प्रदान कर सकता है। | ||
== | ==बेट्टी संख्या की गणना== | ||
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।<ref>Huybrechts (2016), section 2.3.</ref> ( समान तर्क [[एल-एडिक कोहोमोलॉजी]] का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल <math> K_X = \Omega^2_X</math> तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम <math>h^1(X,O_X)</math> सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का <math>H^1(X,O_X)</math>) शून्य है. [[सेरे द्वैत]] द्वारा, | जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह की बेट्टी संख्याओं की गणना निम्नानुसार की जाती है।<ref>Huybrechts (2016), section 2.3.</ref> ( समान तर्क [[एल-एडिक कोहोमोलॉजी]] का उपयोग करके परिभाषित किसी भी क्षेत्र पर बीजगणितीय K3 सतह की बेट्टी संख्याओं के लिए समान उत्तर देता है।) परिभाषा के अनुसार, विहित बंडल <math> K_X = \Omega^2_X</math> तुच्छ है, और अनियमितता q(X) (आयाम <math>h^1(X,O_X)</math> सुसंगत शीफ़ कोहोमोलॉजी समूह का <math>H^1(X,O_X)</math>) शून्य है. [[सेरे द्वैत]] द्वारा, | ||
:<math>h^2(X,\mathcal{O}_X)=h^0(X,K_X)=1.</math> | :<math>h^2(X,\mathcal{O}_X)=h^0(X,K_X)=1.</math> | ||
परिणामस्वरूप, X का अंकगणितीय जीनस (या [[होलोमोर्फिक यूलर विशेषता]]) है: | परिणामस्वरूप, X का अंकगणितीय जीनस (या [[होलोमोर्फिक यूलर विशेषता]]) है: | ||
:<math>\chi(X,\mathcal{O}_X):=\sum_i (-1)^i h^i(X,\mathcal{O}_X)=1-0+1=2.</math> | :<math>\chi(X,\mathcal{O}_X):=\sum_i (-1)^i h^i(X,\mathcal{O}_X)=1-0+1=2.</math> | ||
दूसरी ओर, सतहों के लिए | दूसरी ओर, सतहों के लिए रीमैन-रोच प्रमेय (नोएदर का सूत्र) कहता है: | ||
:<math>\chi(X,\mathcal{O}_X) = \frac{1}{12} \left(c_1(X)^2+c_2(X)\right),</math> | :<math>\chi(X,\mathcal{O}_X) = \frac{1}{12} \left(c_1(X)^2+c_2(X)\right),</math> | ||
जहाँ <math>c_i(X)</math> [[स्पर्शरेखा बंडल]] का i-वाँ चेर्न वर्ग है। तब से <math>K_X</math> तुच्छ है, इसकी प्रथम चेर्न क्लास <math>c_1(K_X)=-c_1(X)</math> शून्य है, इत्यादि <math>c_2(X)=24</math>. | |||
निकटतम, घातीय अनुक्रम <math>0\to \Z_X\to O_X\to O_X^*\to 0</math> कोहोमोलोजी समूहों का [[सटीक क्रम|त्रुटिहीन क्रम]] देता है, <math>0\to H^1(X,\Z) \to H^1(X,O_X)</math>, इसलिए <math>H^1(X,\Z)=0</math>. इस प्रकार बेट्टी संख्या <math>b_1(X)</math> शून्य है, और पोंकारे द्वंद्व द्वारा, <math>b_3(X)</math> शून्य भी है, <math>c_2(X)=24</math> टोपोलॉजिकल [[यूलर विशेषता]] के समान है | |||
:<math>\chi(X)=\sum_i (-1)^ib_i(X).</math> | :<math>\chi(X)=\sum_i (-1)^ib_i(X).</math> | ||
तब से <math>b_0(X)=b_4(X)=1</math> और <math>b_1(X)=b_3(X)=0</math>, यह इस प्रकार है कि <math>b_2(X)=22</math> | तब से <math>b_0(X)=b_4(X)=1</math> और <math>b_1(X)=b_3(X)=0</math>, यह इस प्रकार है कि <math>b_2(X)=22</math> <ref>Huybrechts (2016), section 2.4.</ref> | ||
== गुण == | == गुण == | ||
*[[कुनिहिको कोदैरा]] द्वारा कोई भी दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें स्मूथ 4- | *[[कुनिहिको कोदैरा]] द्वारा कोई भी दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें स्मूथ 4-विविध के रूप में भिन्न होती हैं।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 7.1.1.</ref> | ||
*प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में [[यम-टोंग सिउ]] द्वारा | *प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में [[यम-टोंग सिउ]] द्वारा काहलर आव्यूह होता है।<ref>Barth et al. (2004), section IV.3.</ref> (अनुरूप रूप से, किन्तु अधिक सरल: क्षेत्र पर प्रत्येक बीजगणितीय K3 सतह प्रक्षेप्य है।) [[कैलाबी अनुमान]] के [[शिंग-तुंग याउ]] के समाधान से, यह निम्नानुसार है कि प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में [[रिक्की-सपाट]] काहलर आव्यूह है। | ||
*हॉज सिद्धांत | *हॉज सिद्धांत किसी भी K3 सतह की जटिल प्रक्षेप्य प्रकारो के लिए हॉज सिद्धांत हॉज हीरे में सूचीबद्ध हैं: | ||
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*: इसे | *: इसे प्रदर्शित करने का उपाय विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और पुनः बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह प्रदर्शित करना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के भागो के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-ब्रो <math>H^2(X;\Z) </math> स्वेच्छानुसार K3 सतह के लिए गणना की जा सकती है I इस सम्बन्ध में, हॉज समरूपता <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math> बल देता है, इस प्रकार <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह प्रथम बार एलेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच |इगोर शफ़ारेविच]] द्वारा प्रदर्शित किया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref> | ||
*जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के लिए, प्रतिच्छेदन प्रपत्र (या [[कप उत्पाद]]) पर <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> पूर्णांकों में मानों वाला | *जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के लिए, प्रतिच्छेदन प्रपत्र (या [[कप उत्पाद]]) पर <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> पूर्णांकों में मानों वाला [[सममित द्विरेखीय रूप]] है, जिसे K3 जाली के रूप में जाना जाता है। यह सम रूपी जाली के समरूपी है I <math>\operatorname{II}_{3,19}</math>, या समकक्ष <math>E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>, जहां U रैंक 2 की अतिशयोक्तिपूर्ण <math>E_8</math> [[E8 जाली]] है.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 3.3.5.</ref> | ||
*[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4- | *[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4-विविध स्मूथ 11/8 अनुमान भविष्यवाणी करता है कि सम प्रतिच्छेदन फॉर्म के साथ प्रत्येक स्मूथ [[ उन्मुखी |उन्मुखी]] 4-विविध में दूसरा बेट्टी नंबर [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)|सिग्नेचर (टोपोलॉजी)]] के पूर्ण मूल्य से कम से कम 11/8 गुना है। यदि सत्य है तो यह इष्टतम होगा, क्योंकि समानता जटिल K3 सतह के लिए है, जिसका हस्ताक्षर 3−19 = −16 है। अनुमान का अर्थ यह होगा कि सम प्रतिच्छेदन रूप के साथ प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ स्मूथ 4-विविध K3 सतह और की प्रतियों के जुड़े योग के लिए <math>S^2\times S^2</math> [[ होम्योमॉर्फिक |होम्योमॉर्फिक]] है I<ref>Scorpan (2005), section 5.3.</ref> | ||
*रॉबर्ट फ्रीडमैन और [[जॉन मॉर्गन (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रत्येक जटिल सतह जो K3 सतह से भिन्न होती है, K3 सतह होती है। दूसरी ओर, स्मूथ जटिल सतहें हैं (उनमें से कुछ प्रक्षेपी हैं) जो होमियोमॉर्फिक हैं | *रॉबर्ट फ्रीडमैन और [[जॉन मॉर्गन (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रत्येक जटिल सतह जो K3 सतह से भिन्न होती है, K3 सतह होती है। दूसरी ओर, स्मूथ जटिल सतहें हैं (उनमें से कुछ प्रक्षेपी हैं) जो होमियोमॉर्फिक हैं किन्तु K3 सतह से भिन्न नहीं हैं, कोडैरा और [[माइकल फ्रीडमैन]] द्वारा।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.3.6(ii).</ref> इन समरूप K3 सतहों में कोडैरा आयाम 1 है। | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
*[[प्रक्षेप्य तल]] का [[शाखित आवरण]] X | *[[प्रक्षेप्य तल]] का [[शाखित आवरण]] X चिकने सेक्सटिक (डिग्री 6) वक्र के साथ शाखाबद्ध होता है, जो जीनस 2 की K3 सतह है (अर्थात, डिग्री 2g−2 = 2)। (इस शब्दावली का अर्थ है कि सामान्य [[हाइपरप्लेन]] की ्स में उलटी छवि <math>\mathbf{P}^2</math> जीनस का सहज वक्र है (गणित) 2.) | ||
*स्मूथ चतुर्थक (डिग्री 4) सतह <math>\mathbf{P}^3</math> जीनस 3 (अर्थात डिग्री 4) की K3 सतह है। | *स्मूथ चतुर्थक (डिग्री 4) सतह <math>\mathbf{P}^3</math> जीनस 3 (अर्थात डिग्री 4) की K3 सतह है। | ||
*कुमेर सतह क्रिया द्वारा द्वि-आयामी [[एबेलियन किस्म]] ए का भागफल है <math>a\mapsto -a</math>. इसके परिणामस्वरूप A के 2-मरोड़ बिंदुओं पर 16 विलक्षणताएँ होती हैं। इस विलक्षण सतह की विलक्षणताओं के रिज़ॉल्यूशन को कुमेर सतह भी कहा जा सकता है; वह रिज़ॉल्यूशन K3 सतह है। जब ए जीनस 2 के वक्र की [[जैकोबियन किस्म]] है, तो कुमेर ने भागफल दिखाया <math>A/(\pm 1)</math> में एम्बेड किया जा सकता है <math>\mathbf{P}^3</math> बीजगणितीय विविधता #नोड्स के 16 वचन बिंदु के साथ | *कुमेर सतह क्रिया द्वारा द्वि-आयामी [[एबेलियन किस्म]] ए का भागफल है <math>a\mapsto -a</math>. इसके परिणामस्वरूप A के 2-मरोड़ बिंदुओं पर 16 विलक्षणताएँ होती हैं। इस विलक्षण सतह की विलक्षणताओं के रिज़ॉल्यूशन को कुमेर सतह भी कहा जा सकता है; वह रिज़ॉल्यूशन K3 सतह है। जब ए जीनस 2 के वक्र की [[जैकोबियन किस्म]] है, तो कुमेर ने भागफल दिखाया <math>A/(\pm 1)</math> में एम्बेड किया जा सकता है <math>\mathbf{P}^3</math> बीजगणितीय विविधता #नोड्स के 16 वचन बिंदु के साथ चतुर्थक सतह के रूप में। | ||
*अधिक सामान्यतः: डु वैल विलक्षणताओं वाले किसी भी चतुर्थक सतह Y के लिए, Y का न्यूनतम रिज़ॉल्यूशन | *अधिक सामान्यतः: डु वैल विलक्षणताओं वाले किसी भी चतुर्थक सतह Y के लिए, Y का न्यूनतम रिज़ॉल्यूशन बीजगणितीय K3 सतह है। | ||
*[[चतुर्भुज (बीजगणितीय ज्यामिति)]] और | *[[चतुर्भुज (बीजगणितीय ज्यामिति)]] और घन का प्रतिच्छेदन <math>\mathbf{P}^4</math> जीनस 4 (अर्थात्, डिग्री 6) की K3 सतह है। | ||
*तीन चतुर्भुजों का प्रतिच्छेदन <math>\mathbf{P}^5</math> जीनस 5 (अर्थात, डिग्री 8) की K3 सतह है। | *तीन चतुर्भुजों का प्रतिच्छेदन <math>\mathbf{P}^5</math> जीनस 5 (अर्थात, डिग्री 8) की K3 सतह है। | ||
*[[भारित प्रक्षेप्य स्थान]]ों में डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों के कई डेटाबेस हैं।<ref>{{Citation | title=Graded Ring Database | url=http://www.grdb.co.uk/forms/k3}}; {{Citation | title=K3 database for Magma | url=https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/1407}}.</ref> | *[[भारित प्रक्षेप्य स्थान]]ों में डु वैल विलक्षणताओं के साथ K3 सतहों के कई डेटाबेस हैं।<ref>{{Citation | title=Graded Ring Database | url=http://www.grdb.co.uk/forms/k3}}; {{Citation | title=K3 database for Magma | url=https://magma.maths.usyd.edu.au/magma/handbook/text/1407}}.</ref> | ||
== पिकार्ड जाली == | == पिकार्ड जाली == | ||
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के [[पिकार्ड समूह]] Pic(X) का अर्थ है X पर जटिल विश्लेषणात्मक रेखा बंडलों का एबेलियन समूह। बीजीय K3 सतह के लिए, Pic(X) का अर्थ है [[ जीन पियरे सेरे ]] के [[GAGA]] प्रमेय द्वारा | जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के [[पिकार्ड समूह]] Pic(X) का अर्थ है X पर जटिल विश्लेषणात्मक रेखा बंडलों का एबेलियन समूह। बीजीय K3 सतह के लिए, Pic(X) का अर्थ है [[ जीन पियरे सेरे |जीन पियरे सेरे]] के [[GAGA]] प्रमेय द्वारा जटिल बीजगणितीय K3 सतह के लिए। | ||
K3 सतह X का पिकार्ड समूह हमेशा | K3 सतह X का पिकार्ड समूह हमेशा सीमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह मुक्त एबेलियन समूह होता है; इसकी रैंक को 'पिकार्ड नंबर' कहा जाता है <math>\rho</math>. जटिल सम्बन्ध में, Pic(X) का उपसमूह है <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math>. यह K3 सतहों की महत्वपूर्ण विशेषता है कि कई अलग-अलग पिकार्ड संख्याएँ हो सकती हैं। X के लिए जटिल बीजगणितीय K3 सतह, <math>\rho</math> 1 और 20 के मध्य कोई भी पूर्णांक हो सकता है। जटिल विश्लेषणात्मक सम्बन्ध में, <math>\rho</math> शून्य भी हो सकता है. (उस स्थिति में, K3 सतह पर, पिकार्ड संख्या 22 के साथ। | ||
K3 सतह के 'पिकार्ड जाली' का अर्थ है एबेलियन समूह Pic(X) इसके प्रतिच्छेदन रूप के साथ, पूर्णांकों में मानों के साथ | K3 सतह के 'पिकार्ड जाली' का अर्थ है एबेलियन समूह Pic(X) इसके प्रतिच्छेदन रूप के साथ, पूर्णांकों में मानों के साथ सममित द्विरेखीय रूप। (ऊपर <math>\Complex</math>, प्रतिच्छेदन प्रपत्र का अर्थ है प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर प्रतिबंध <math>H^2(X,\Z)</math>. सामान्य क्षेत्र पर, [[विभाजक वर्ग समूह]] के साथ पिकार्ड समूह की पहचान करके, सतह पर वक्रों के [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] का उपयोग करके प्रतिच्छेदन रूप को परिभाषित किया जा सकता है।) K3 सतह का पिकार्ड जाली हमेशा सम होती है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांक <math>u^2</math> प्रत्येक के लिए सम है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math>. | ||
[[हॉज सूचकांक प्रमेय]] का तात्पर्य है कि बीजगणितीय K3 सतह के पिकार्ड जाली में हस्ताक्षर हैं <math>(1,\rho-1)</math>. K3 सतह के कई गुण पूर्णांकों पर | [[हॉज सूचकांक प्रमेय]] का तात्पर्य है कि बीजगणितीय K3 सतह के पिकार्ड जाली में हस्ताक्षर हैं <math>(1,\rho-1)</math>. K3 सतह के कई गुण पूर्णांकों पर सममित द्विरेखीय रूप के रूप में, इसके पिकार्ड जाली द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इससे K3 सतहों के सिद्धांत और सममित द्विरेखीय रूपों के अंकगणित के मध्य मजबूत संबंध बनता है। इस कनेक्शन के पहले उदाहरण के रूप में: जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह बीजगणितीय है यदि और केवल यदि कोई तत्व है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2>0</math>.<ref>Barth et al. (2004), Theorem 6.1.</ref> | ||
मोटे तौर पर, सभी जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के स्थान का जटिल आयाम 20 है, जबकि K3 सतहों का स्थान पिकार्ड संख्या के साथ है <math>\rho</math> आयाम है <math>20-\rho</math> (सुपरसिंगुलर केस को छोड़कर)। विशेष रूप से, बीजगणितीय K3 सतहें 19-आयामी परिवारों में होती हैं। K3 सतहों के मॉड्यूलि स्पेस के सम्बन्ध में अधिक विवरण नीचे दिए गए हैं। | मोटे तौर पर, सभी जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के स्थान का जटिल आयाम 20 है, जबकि K3 सतहों का स्थान पिकार्ड संख्या के साथ है <math>\rho</math> आयाम है <math>20-\rho</math> (सुपरसिंगुलर केस को छोड़कर)। विशेष रूप से, बीजगणितीय K3 सतहें 19-आयामी परिवारों में होती हैं। K3 सतहों के मॉड्यूलि स्पेस के सम्बन्ध में अधिक विवरण नीचे दिए गए हैं। | ||
K3 सतहों के पिकार्ड लैटिस के रूप में कौन सी जाली हो सकती है, इसका | K3 सतहों के पिकार्ड लैटिस के रूप में कौन सी जाली हो सकती है, इसका त्रुटिहीन विवरण जटिल है। [[व्याचेस्लाव निकुलिन]] और डेविड आर. मॉरिसन (गणितज्ञ) के कारण स्पष्ट कथन यह है कि हस्ताक्षर की प्रत्येक सम जाली <math>(1,\rho-1)</math> साथ <math>\rho\leq 11</math> कुछ जटिल प्रक्षेप्य K3 सतह की पिकार्ड जाली है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 14.3.1 and Remark 14.3.7.</ref> ऐसी सतहों के स्थान में आयाम होता है <math>20-\rho</math>. | ||
==अण्डाकार K3 सतहें== | ==अण्डाकार K3 सतहें== | ||
K3 सतहों का | K3 सतहों का महत्वपूर्ण उपवर्ग, सामान्य सम्बन्ध की तुलना में विश्लेषण करना सरल है, इसमें [[अण्डाकार कंपन]] वाली K3 सतहें शामिल हैं <math>X\to\mathbf{P}^1</math>. अण्डाकार का अर्थ है कि इस रूपवाद के सभी किन्तु सीमित रूप से कई फाइबर जीनस 1 के चिकने वक्र हैं। वचन फाइबर [[तर्कसंगत वक्र]]ों के संघ हैं, जिनमें कोडैरा द्वारा वर्गीकृत संभावित प्रकार के वचन फाइबर होते हैं। हमेशा कुछ वचन फाइबर होते हैं, क्योंकि वचन फाइबर की टोपोलॉजिकल यूलर विशेषताओं का योग होता है <math>\chi(X)=24</math>. सामान्य अण्डाकार K3 सतह में बिल्कुल 24 वचन फाइबर होते हैं, प्रत्येक प्रकार के <math>I_1</math> ( नोडल घन वक्र).<ref>Huybrechts (2016), Remark 11.1.12.</ref> | ||
K3 सतह अण्डाकार है या नहीं, इसे इसके पिकार्ड जाली से पढ़ा जा सकता है। अर्थात्, विशेषता 2 या 3 में नहीं, K3 सतह X में | K3 सतह अण्डाकार है या नहीं, इसे इसके पिकार्ड जाली से पढ़ा जा सकता है। अर्थात्, विशेषता 2 या 3 में नहीं, K3 सतह X में अण्डाकार कंपन होता है यदि और केवल तभी जब कोई गैर-शून्य तत्व हो <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2=0</math>.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3.</ref> (विशेषता 2 या 3 में, पश्चात् वाली स्थिति एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण के अनुरूप भी हो सकती है#कोडैरा आयाम 1 की सतहें|अर्ध-अण्डाकार फ़िब्रेशन।) यह इस प्रकार है कि अण्डाकार फ़िब्रेशन होना K3 सतह पर कोडायमेंशन-1 स्थिति है। तो अण्डाकार कंपन के साथ जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के 19-आयामी परिवार हैं, और अण्डाकार कंपन के साथ प्रक्षेप्य K3 सतहों के 18-आयामी मॉड्यूल स्थान हैं। | ||
उदाहरण: प्रत्येक स्मूथ चतुर्थक सतह X इंच <math>\mathbf{P}^3</math> जिसमें | उदाहरण: प्रत्येक स्मूथ चतुर्थक सतह X इंच <math>\mathbf{P}^3</math> जिसमें रेखा L होती है उसमें अण्डाकार कंपन होता है <math>X\to \mathbf{P}^1</math>, एल से दूर प्रक्षेपित करके दिया गया है। सभी स्मूथ चतुर्थक सतहों (समरूपता तक) के मॉड्यूलि स्थान का आयाम 19 है, जबकि रेखा वाले चतुर्थक सतहों के उपस्थान का आयाम 18 है। | ||
==K3 सतहों पर परिमेय वक्र== | ==K3 सतहों पर परिमेय वक्र== | ||
डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार किस्मों के विपरीत, | डेल पेज़ो सतहों जैसी सकारात्मक रूप से घुमावदार किस्मों के विपरीत, जटिल बीजगणितीय K3 सतह X [[अनियंत्रित किस्म]] नहीं है; अर्थात्, यह तर्कसंगत वक्रों के सतत परिवार द्वारा कवर नहीं किया गया है। दूसरी ओर, सामान्य प्रकार की सतहों जैसे नकारात्मक रूप से घुमावदार किस्मों के विपरीत, ्स में तर्कसंगत वक्रों (संभवतः वचन) का बड़ा असतत सेट होता है। विशेष रूप से, [[फेडर बोगोमोलोव]] और [[ डेविड मम्फोर्ड |डेविड मम्फोर्ड]] ने दिखाया कि ्स पर प्रत्येक वक्र तर्कसंगत वक्रों के सकारात्मक रैखिक संयोजन के रैखिक रूप से समान है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 13.1.5.</ref> | ||
नकारात्मक रूप से घुमावदार किस्मों का | नकारात्मक रूप से घुमावदार किस्मों का और विरोधाभास यह है कि जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X पर [[कोबायाशी मीट्रिक|कोबायाशी आव्यूह]] समान रूप से शून्य है। प्रमाण का उपयोग करता है कि बीजगणितीय K3 सतह X हमेशा अण्डाकार वक्रों की छवियों के सतत परिवार द्वारा कवर किया जाता है।<ref>Kamenova et al. (2014), Corollary 2.2; Huybrechts (2016), Corollary 13.2.2.</ref> (ये वक्र X में वचन हैं, जब तक कि X अण्डाकार K3 सतह न हो।) मजबूत प्रश्न जो खुला रहता है वह यह है कि क्या प्रत्येक जटिल K3 सतह गैर-अपक्षयी होलोमोर्फिक मानचित्र को स्वीकार करती है <math>\C^2</math> (जहां नॉनडीजेनरेट का अर्थ है कि मानचित्र का व्युत्पन्न किसी बिंदु पर समरूपता है)।<ref>Huybrechts (2016), section 13.0.3.</ref> | ||
== अवधि मानचित्र == | == अवधि मानचित्र == | ||
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करें <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>. चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का | जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करें <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>. चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] कॉम्प्लेक्स विविध है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.3.</ref> जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के समरूपता वर्गों का सेट [[ऑर्थोगोनल समूह]] द्वारा N का भागफल है <math>O(\Lambda)</math>, किन्तु यह भागफल ज्यामितीय रूप से सार्थक मॉड्यूलि स्पेस नहीं है, क्योंकि की क्रिया <math>O(\Lambda)</math> ठीक से बंद होने से अधिक दूर है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.1 and Remark 6.3.6.</ref> (उदाहरण के लिए, स्मूथ चतुर्थक सतहों का स्थान आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है, और फिर भी 20-आयामी परिवार एन में प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में मनमाने ढंग से छोटी विकृतियाँ हैं जो स्मूथ चतुर्थक के समरूपी हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.3.</ref>) इसी कारण से, कम से कम 2 आयाम के कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी का कोई सार्थक मॉड्यूल स्पेस नहीं है। | ||
[[ अवधि मानचित्रण ]] K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में भेजती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है: | [[ अवधि मानचित्रण | अवधि मानचित्रण]] K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में भेजती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है: K3 सतह इसकी हॉज संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है। पीरियड डोमेन को 20-आयामी कॉम्प्लेक्स विविध के रूप में परिभाषित किया गया है | ||
:<math>D=\{u\in P(\Lambda\otimes\Complex): u^2=0,\, u\cdot\overline{u} > 0\}.</math> | :<math>D=\{u\in P(\Lambda\otimes\Complex): u^2=0,\, u\cdot\overline{u} > 0\}.</math> | ||
अवधि मानचित्रण <math>N\to D</math> | अवधि मानचित्रण <math>N\to D</math> चिह्नित K3 सतह X को जटिल रेखा पर भेजता है <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)\cong \Lambda\otimes\Complex</math>. यह विशेषण है, और स्थानीय समरूपता है, किन्तु समरूपता नहीं है (विशेष रूप से क्योंकि डी हॉसडॉर्फ है और एन नहीं है)। हालाँकि, K3 सतहों के लिए 'वैश्विक टोरेली प्रमेय' कहता है कि सेट का भागफल मानचित्र | ||
:<math>N/O(\Lambda)\to D/O(\Lambda)</math> | :<math>N/O(\Lambda)\to D/O(\Lambda)</math> | ||
वस्तुनिष्ठ है. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें <math>H^2(X,\Z)</math> को <math>H^2(Y,\Z)</math>, अर्थात्, एबेलियन समूहों का | वस्तुनिष्ठ है. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें <math>H^2(X,\Z)</math> को <math>H^2(Y,\Z)</math>, अर्थात्, एबेलियन समूहों का समरूपता जो प्रतिच्छेदन रूप को संरक्षित करता है और भेजता है <math>H^0(X,\Omega^2)\subset H^2(X,\Complex)</math> को <math>H^0(Y,\Omega^2)</math>.<ref>Huybrechts (2016), Theorem 7.5.3.</ref> | ||
== प्रक्षेप्य K3 सतहों के मॉड्यूलि स्थान == | == प्रक्षेप्य K3 सतहों के मॉड्यूलि स्थान == | ||
जीनस ''जी'' की | |||