K3 सतह: Difference between revisions

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{{short description|Type of smooth complex surface of kodaira dimension 0}}
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[[File:K3 surface.png|thumb|3-स्पेस में चिकनी चतुर्थक सतह। यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में [[तर्कसंगत बिंदु]] (वास्तविक आयाम 2 का) का हिस्सा दिखाता है।]]
[[File:K3 surface.png|thumb|3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में [[तर्कसंगत बिंदु]] (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।]]
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|quote=Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.<br><br>
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गणित में,  जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ [[विहित बंडल]] और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड [[ जटिल अनेक गुना ]] है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है चिकनी योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी [[बीजगणितीय सतह]] जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट [[चतुर्थक सतह]] है
गणित में,  जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ [[विहित बंडल]] और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड [[ जटिल अनेक गुना |जटिल विविध]] है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी [[बीजगणितीय सतह]] जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट [[चतुर्थक सतह]] है:-
:<math>x^4+y^4+z^4+w^4=0</math>
:<math>x^4+y^4+z^4+w^4=0</math>
[[जटिल प्रक्षेप्य स्थान]] में|जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान।
[[जटिल प्रक्षेप्य स्थान|जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान]] में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट [[जटिल तोरी|जटिल टोरी]] के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और [[सामान्य प्रकार]] की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के मध्य, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय किस्में माना जा सकता है जिनकी संरचना [[बीजगणितीय वक्र]] या एबेलियन किस्मों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है। जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह स्मूथ [[4-कई गुना]] के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को काक-मूडी बीजगणित, दर्पण समरूपता ([[स्ट्रिंग सिद्धांत]]) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर प्रस्तावित किया गया है।


द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट [[जटिल तोरी]] के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स (और हाइपरकेहलर मैनिफोल्ड्स) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना आसान है) और [[सामान्य प्रकार]] की नकारात्मक घुमावदार सतहों (जो अनिवार्य रूप से अवर्गीकृत हैं) के बीच, बीजीय सतहों के वर्गीकरण के केंद्र में हैं। K3 सतहों को सबसे सरल बीजगणितीय किस्में माना जा सकता है जिनकी संरचना [[बीजगणितीय वक्र]] या एबेलियन किस्मों तक कम नहीं होती है, और फिर भी जहां पर्याप्त समझ संभव है।  जटिल K3 सतह का वास्तविक आयाम 4 है, और यह चिकनी [[4-कई गुना]] के अध्ययन में  महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। K3 सतहों को Kac-Moody बीजगणित, दर्पण समरूपता ([[स्ट्रिंग सिद्धांत]]) और स्ट्रिंग सिद्धांत पर लागू किया गया है।
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के भाग के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के सम्बन्ध में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय किस्मों में ऐसी गैर-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।
 
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के व्यापक परिवार के हिस्से के रूप में जटिल बीजगणितीय K3 सतहों के बारे में सोचना उपयोगी हो सकता है। कई अन्य प्रकार की बीजगणितीय किस्मों में ऐसी गैर-बीजगणितीय विकृतियाँ नहीं होती हैं।


==परिभाषा==
==परिभाषा==
K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान तरीके हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 सतहें और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए बाद वाले को छोड़कर किसी भी शर्त को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह  जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के  सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के रूप में परिभाषित करने के बराबर है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक [[ विभेदक रूप ]] | 2-फॉर्म है। (बाद वाली शर्त बिल्कुल यही कहती है कि विहित बंडल तुच्छ है।)
K3 सतहों को परिभाषित करने के कई समान तरीके हैं। तुच्छ विहित बंडल वाली मात्र कॉम्पैक्ट जटिल सतहें K3 सतहें और कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी हैं, और इसलिए कोई K3 सतहों को परिभाषित करने के लिए बाद वाले को छोड़कर किसी भी शर्त को जोड़ सकता है। उदाहरण के लिए, यह  जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह को आयाम 2 के  सरल रूप से जुड़े हुए कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के रूप में परिभाषित करने के बराबर है, जिसमें कहीं भी गायब नहीं होने वाला होलोमोर्फिक [[ विभेदक रूप ]] | 2-फॉर्म है। (बाद वाली शर्त बिल्कुल यही कहती है कि विहित बंडल तुच्छ है।)


परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से [[प्रक्षेप्य किस्म]] है।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.1.2</ref>) या कोई K3 सतहों को चिकनी होने के बजाय डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति दे सकता है।
परिभाषा के कुछ प्रकार भी हैं। जटिल संख्याओं पर, कुछ लेखक केवल बीजीय K3 सतहों पर विचार करते हैं। ( बीजगणितीय K3 सतह स्वचालित रूप से [[प्रक्षेप्य किस्म]] है।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.1.2</ref>) या कोई K3 सतहों को स्मूथ होने के बजाय डु वैल विलक्षणताएं (आयाम 2 की विहित विलक्षणताएं) रखने की अनुमति दे सकता है।


==बेटी संख्या की गणना==
==बेटी संख्या की गणना==
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== गुण ==
== गुण ==
*[[कुनिहिको कोदैरा]] द्वारा कोई भी दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें चिकनी 4-मैनिफोल्ड के रूप में भिन्न होती हैं।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 7.1.1.</ref>
*[[कुनिहिको कोदैरा]] द्वारा कोई भी दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें स्मूथ 4-मैनिफोल्ड के रूप में भिन्न होती हैं।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 7.1.1.</ref>
*प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में [[यम-टोंग सिउ]] द्वारा  काहलर मीट्रिक होता है।<ref>Barth et al. (2004), section IV.3.</ref> (अनुरूप रूप से, लेकिन बहुत आसान:  क्षेत्र पर प्रत्येक बीजगणितीय K3 सतह प्रक्षेप्य है।) [[कैलाबी अनुमान]] के [[शिंग-तुंग याउ]] के समाधान से, यह निम्नानुसार है कि प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में  [[रिक्की-सपाट]] काहलर मीट्रिक है।
*प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में [[यम-टोंग सिउ]] द्वारा  काहलर मीट्रिक होता है।<ref>Barth et al. (2004), section IV.3.</ref> (अनुरूप रूप से, लेकिन बहुत सरल:  क्षेत्र पर प्रत्येक बीजगणितीय K3 सतह प्रक्षेप्य है।) [[कैलाबी अनुमान]] के [[शिंग-तुंग याउ]] के समाधान से, यह निम्नानुसार है कि प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में  [[रिक्की-सपाट]] काहलर मीट्रिक है।
*हॉज सिद्धांत#किसी भी K3 सतह की जटिल प्रक्षेप्य किस्मों के लिए हॉज सिद्धांत हॉज हीरे में सूचीबद्ध हैं:
*हॉज सिद्धांत#किसी भी K3 सतह की जटिल प्रक्षेप्य किस्मों के लिए हॉज सिद्धांत हॉज हीरे में सूचीबद्ध हैं:
*::{{Hodge diamond|style=font-weight:bold
*::{{Hodge diamond|style=font-weight:bold
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*: इसे दिखाने का  तरीका  विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और फिर बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह दिखाना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के हिस्सों के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-भौंह गणना की जा सकती है <math>H^2(X;\Z) </math>  मनमानी K3 सतह के लिए। इस मामले में, हॉज समरूपता बल देता है <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math>, इस तरह <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह पहली बार एलेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच ]] द्वारा दिखाया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref>
*: इसे दिखाने का  तरीका  विशिष्ट K3 सतह के [[जैकोबियन आदर्श]] की गणना करना है, और फिर बीजगणितीय K3 सतहों के मॉड्यूली स्थान पर [[हॉज संरचना]] की भिन्नता का उपयोग करके यह दिखाना है कि ऐसी सभी K3 सतहों में समान हॉज संख्याएं हैं। हॉज संरचना के हिस्सों के साथ-साथ बेट्टी संख्याओं की गणना का उपयोग करके अधिक कम-भौंह गणना की जा सकती है <math>H^2(X;\Z) </math>  मनमानी K3 सतह के लिए। इस मामले में, हॉज समरूपता बल देता है <math>H^0(X;\Omega_X^2)\cong \mathbb{C}</math>, इस तरह <math>H^1(X,\Omega_X) \cong \mathbb{C}^{20}</math>. [[विशेषता (बीजगणित)]] p > 0 में K3 सतहों के लिए, यह पहली बार एलेक्सी रुडाकोव और [[ इगोर शफ़ारेविच ]] द्वारा दिखाया गया था।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 9.5.1.</ref>
*जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के लिए, प्रतिच्छेदन प्रपत्र (या [[कप उत्पाद]]) पर <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> पूर्णांकों में मानों वाला  [[सममित द्विरेखीय रूप]] है, जिसे K3 जाली के रूप में जाना जाता है। यह सम रूपी जाली के समरूपी है <math>\operatorname{II}_{3,19}</math>, या समकक्ष <math>E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>, जहां यू रैंक 2 की अतिशयोक्तिपूर्ण जाली है <math>E_8</math> [[E8 जाली]] है.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 3.3.5.</ref>
*जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के लिए, प्रतिच्छेदन प्रपत्र (या [[कप उत्पाद]]) पर <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math> पूर्णांकों में मानों वाला  [[सममित द्विरेखीय रूप]] है, जिसे K3 जाली के रूप में जाना जाता है। यह सम रूपी जाली के समरूपी है <math>\operatorname{II}_{3,19}</math>, या समकक्ष <math>E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>, जहां यू रैंक 2 की अतिशयोक्तिपूर्ण जाली है <math>E_8</math> [[E8 जाली]] है.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 3.3.5.</ref>
*[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4-मैनिफोल्ड#स्मूथ 4-मैनिफोल्ड्स|11/8 अनुमान भविष्यवाणी करता है कि सम प्रतिच्छेदन फॉर्म के साथ प्रत्येक स्मूथ [[ उन्मुखी ]] 4-मैनिफोल्ड ्स में दूसरा बेट्टी नंबर [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)]] के पूर्ण मूल्य से कम से कम 11/8 गुना है। यदि सत्य है तो यह इष्टतम होगा, क्योंकि समानता  जटिल K3 सतह के लिए है, जिसका हस्ताक्षर 3−19 = −16 है। अनुमान का अर्थ यह होगा कि सम प्रतिच्छेदन रूप के साथ प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ चिकना 4-मैनिफोल्ड K3 सतह और की प्रतियों के जुड़े योग के लिए [[ होम्योमॉर्फिक ]] है <math>S^2\times S^2</math>.<ref>Scorpan (2005), section 5.3.</ref>
*[[युकिओ मात्सुमोतो]] का 4-मैनिफोल्ड#स्मूथ 4-विविध|11/8 अनुमान भविष्यवाणी करता है कि सम प्रतिच्छेदन फॉर्म के साथ प्रत्येक स्मूथ [[ उन्मुखी ]] 4-मैनिफोल्ड ्स में दूसरा बेट्टी नंबर [[हस्ताक्षर (टोपोलॉजी)]] के पूर्ण मूल्य से कम से कम 11/8 गुना है। यदि सत्य है तो यह इष्टतम होगा, क्योंकि समानता  जटिल K3 सतह के लिए है, जिसका हस्ताक्षर 3−19 = −16 है। अनुमान का अर्थ यह होगा कि सम प्रतिच्छेदन रूप के साथ प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ चिकना 4-मैनिफोल्ड K3 सतह और की प्रतियों के जुड़े योग के लिए [[ होम्योमॉर्फिक ]] है <math>S^2\times S^2</math>.<ref>Scorpan (2005), section 5.3.</ref>
*रॉबर्ट फ्रीडमैन और [[जॉन मॉर्गन (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रत्येक जटिल सतह जो K3 सतह से भिन्न होती है, K3 सतह होती है। दूसरी ओर, चिकनी जटिल सतहें हैं (उनमें से कुछ प्रक्षेपी हैं) जो होमियोमॉर्फिक हैं लेकिन K3 सतह से भिन्न नहीं हैं, कोडैरा और [[माइकल फ्रीडमैन]] द्वारा।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.3.6(ii).</ref> इन समरूप K3 सतहों में कोडैरा आयाम 1 है।
*रॉबर्ट फ्रीडमैन और [[जॉन मॉर्गन (गणितज्ञ)]] द्वारा प्रत्येक जटिल सतह जो K3 सतह से भिन्न होती है, K3 सतह होती है। दूसरी ओर, स्मूथ जटिल सतहें हैं (उनमें से कुछ प्रक्षेपी हैं) जो होमियोमॉर्फिक हैं लेकिन K3 सतह से भिन्न नहीं हैं, कोडैरा और [[माइकल फ्रीडमैन]] द्वारा।<ref>Huybrechts (2016), Remark 1.3.6(ii).</ref> इन समरूप K3 सतहों में कोडैरा आयाम 1 है।


==उदाहरण==
==उदाहरण==
*[[प्रक्षेप्य तल]] का [[शाखित आवरण]] X  चिकने सेक्सटिक (डिग्री 6) वक्र के साथ शाखाबद्ध होता है, जो जीनस 2 की K3 सतह है (अर्थात, डिग्री 2g−2 = 2)। (इस शब्दावली का अर्थ है कि  सामान्य [[हाइपरप्लेन]] की ्स में उलटी छवि <math>\mathbf{P}^2</math> जीनस का  सहज वक्र है (गणित) 2.)
*[[प्रक्षेप्य तल]] का [[शाखित आवरण]] X  चिकने सेक्सटिक (डिग्री 6) वक्र के साथ शाखाबद्ध होता है, जो जीनस 2 की K3 सतह है (अर्थात, डिग्री 2g−2 = 2)। (इस शब्दावली का अर्थ है कि  सामान्य [[हाइपरप्लेन]] की ्स में उलटी छवि <math>\mathbf{P}^2</math> जीनस का  सहज वक्र है (गणित) 2.)
*चिकनी चतुर्थक (डिग्री 4) सतह <math>\mathbf{P}^3</math> जीनस 3 (अर्थात डिग्री 4) की K3 सतह है।
*स्मूथ चतुर्थक (डिग्री 4) सतह <math>\mathbf{P}^3</math> जीनस 3 (अर्थात डिग्री 4) की K3 सतह है।
*कुमेर सतह क्रिया द्वारा द्वि-आयामी [[एबेलियन किस्म]] ए का भागफल है <math>a\mapsto -a</math>. इसके परिणामस्वरूप A के 2-मरोड़ बिंदुओं पर 16 विलक्षणताएँ होती हैं। इस विलक्षण सतह की विलक्षणताओं के रिज़ॉल्यूशन को कुमेर सतह भी कहा जा सकता है; वह रिज़ॉल्यूशन K3 सतह है। जब ए जीनस 2 के वक्र की [[जैकोबियन किस्म]] है, तो कुमेर ने भागफल दिखाया <math>A/(\pm 1)</math> में एम्बेड किया जा सकता है <math>\mathbf{P}^3</math> बीजगणितीय विविधता #नोड्स के 16 वचन बिंदु के साथ  चतुर्थक सतह के रूप में।
*कुमेर सतह क्रिया द्वारा द्वि-आयामी [[एबेलियन किस्म]] ए का भागफल है <math>a\mapsto -a</math>. इसके परिणामस्वरूप A के 2-मरोड़ बिंदुओं पर 16 विलक्षणताएँ होती हैं। इस विलक्षण सतह की विलक्षणताओं के रिज़ॉल्यूशन को कुमेर सतह भी कहा जा सकता है; वह रिज़ॉल्यूशन K3 सतह है। जब ए जीनस 2 के वक्र की [[जैकोबियन किस्म]] है, तो कुमेर ने भागफल दिखाया <math>A/(\pm 1)</math> में एम्बेड किया जा सकता है <math>\mathbf{P}^3</math> बीजगणितीय विविधता #नोड्स के 16 वचन बिंदु के साथ  चतुर्थक सतह के रूप में।
*अधिक सामान्यतः: डु वैल विलक्षणताओं वाले किसी भी चतुर्थक सतह Y के लिए, Y का न्यूनतम रिज़ॉल्यूशन  बीजगणितीय K3 सतह है।
*अधिक सामान्यतः: डु वैल विलक्षणताओं वाले किसी भी चतुर्थक सतह Y के लिए, Y का न्यूनतम रिज़ॉल्यूशन  बीजगणितीय K3 सतह है।
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जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के [[पिकार्ड समूह]] Pic(X) का अर्थ है X पर जटिल विश्लेषणात्मक रेखा बंडलों का एबेलियन समूह। बीजीय K3 सतह के लिए, Pic(X) का अर्थ है [[ जीन पियरे सेरे ]] के [[GAGA]] प्रमेय द्वारा  जटिल बीजगणितीय K3 सतह के लिए।
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह X के [[पिकार्ड समूह]] Pic(X) का अर्थ है X पर जटिल विश्लेषणात्मक रेखा बंडलों का एबेलियन समूह। बीजीय K3 सतह के लिए, Pic(X) का अर्थ है [[ जीन पियरे सेरे ]] के [[GAGA]] प्रमेय द्वारा  जटिल बीजगणितीय K3 सतह के लिए।


K3 सतह X का पिकार्ड समूह हमेशा  सीमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह मुक्त एबेलियन समूह होता है; इसकी रैंक को 'पिकार्ड नंबर' कहा जाता है <math>\rho</math>. जटिल मामले में, Pic(X) का  उपसमूह है <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math>. यह K3 सतहों की  महत्वपूर्ण विशेषता है कि कई अलग-अलग पिकार्ड संख्याएँ हो सकती हैं। X के लिए  जटिल बीजगणितीय K3 सतह, <math>\rho</math> 1 और 20 के बीच कोई भी पूर्णांक हो सकता है। जटिल विश्लेषणात्मक मामले में, <math>\rho</math> शून्य भी हो सकता है. (उस स्थिति में, K3 सतह पर, पिकार्ड संख्या 22 के साथ।
K3 सतह X का पिकार्ड समूह हमेशा  सीमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह मुक्त एबेलियन समूह होता है; इसकी रैंक को 'पिकार्ड नंबर' कहा जाता है <math>\rho</math>. जटिल मामले में, Pic(X) का  उपसमूह है <math>H^2(X,\Z)\cong\Z^{22}</math>. यह K3 सतहों की  महत्वपूर्ण विशेषता है कि कई अलग-अलग पिकार्ड संख्याएँ हो सकती हैं। X के लिए  जटिल बीजगणितीय K3 सतह, <math>\rho</math> 1 और 20 के मध्य कोई भी पूर्णांक हो सकता है। जटिल विश्लेषणात्मक मामले में, <math>\rho</math> शून्य भी हो सकता है. (उस स्थिति में, K3 सतह पर, पिकार्ड संख्या 22 के साथ।


K3 सतह के 'पिकार्ड जाली' का अर्थ है एबेलियन समूह Pic(X) इसके प्रतिच्छेदन रूप के साथ, पूर्णांकों में मानों के साथ  सममित द्विरेखीय रूप। (ऊपर <math>\Complex</math>, प्रतिच्छेदन प्रपत्र का अर्थ है प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर प्रतिबंध <math>H^2(X,\Z)</math>.  सामान्य क्षेत्र पर, [[विभाजक वर्ग समूह]] के साथ पिकार्ड समूह की पहचान करके, सतह पर वक्रों के [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] का उपयोग करके प्रतिच्छेदन रूप को परिभाषित किया जा सकता है।) K3 सतह का पिकार्ड जाली हमेशा सम होती है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांक <math>u^2</math> प्रत्येक के लिए सम है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math>.
K3 सतह के 'पिकार्ड जाली' का अर्थ है एबेलियन समूह Pic(X) इसके प्रतिच्छेदन रूप के साथ, पूर्णांकों में मानों के साथ  सममित द्विरेखीय रूप। (ऊपर <math>\Complex</math>, प्रतिच्छेदन प्रपत्र का अर्थ है प्रतिच्छेदन प्रपत्र पर प्रतिबंध <math>H^2(X,\Z)</math>.  सामान्य क्षेत्र पर, [[विभाजक वर्ग समूह]] के साथ पिकार्ड समूह की पहचान करके, सतह पर वक्रों के [[प्रतिच्छेदन सिद्धांत]] का उपयोग करके प्रतिच्छेदन रूप को परिभाषित किया जा सकता है।) K3 सतह का पिकार्ड जाली हमेशा सम होती है, जिसका अर्थ है कि पूर्णांक <math>u^2</math> प्रत्येक के लिए सम है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math>.


[[हॉज सूचकांक प्रमेय]] का तात्पर्य है कि बीजगणितीय K3 सतह के पिकार्ड जाली में हस्ताक्षर हैं <math>(1,\rho-1)</math>. K3 सतह के कई गुण पूर्णांकों पर  सममित द्विरेखीय रूप के रूप में, इसके पिकार्ड जाली द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इससे K3 सतहों के सिद्धांत और सममित द्विरेखीय रूपों के अंकगणित के बीच मजबूत संबंध बनता है। इस कनेक्शन के पहले उदाहरण के रूप में:  जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह बीजगणितीय है यदि और केवल यदि कोई तत्व है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2>0</math>.<ref>Barth et al. (2004), Theorem 6.1.</ref>
[[हॉज सूचकांक प्रमेय]] का तात्पर्य है कि बीजगणितीय K3 सतह के पिकार्ड जाली में हस्ताक्षर हैं <math>(1,\rho-1)</math>. K3 सतह के कई गुण पूर्णांकों पर  सममित द्विरेखीय रूप के रूप में, इसके पिकार्ड जाली द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इससे K3 सतहों के सिद्धांत और सममित द्विरेखीय रूपों के अंकगणित के मध्य मजबूत संबंध बनता है। इस कनेक्शन के पहले उदाहरण के रूप में:  जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह बीजगणितीय है यदि और केवल यदि कोई तत्व है <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2>0</math>.<ref>Barth et al. (2004), Theorem 6.1.</ref>
मोटे तौर पर, सभी जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के स्थान का जटिल आयाम 20 है, जबकि K3 सतहों का स्थान पिकार्ड संख्या के साथ है <math>\rho</math> आयाम है <math>20-\rho</math> (सुपरसिंगुलर केस को छोड़कर)। विशेष रूप से, बीजगणितीय K3 सतहें 19-आयामी परिवारों में होती हैं। K3 सतहों के मॉड्यूलि स्पेस के बारे में अधिक विवरण नीचे दिए गए हैं।
मोटे तौर पर, सभी जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के स्थान का जटिल आयाम 20 है, जबकि K3 सतहों का स्थान पिकार्ड संख्या के साथ है <math>\rho</math> आयाम है <math>20-\rho</math> (सुपरसिंगुलर केस को छोड़कर)। विशेष रूप से, बीजगणितीय K3 सतहें 19-आयामी परिवारों में होती हैं। K3 सतहों के मॉड्यूलि स्पेस के सम्बन्ध में अधिक विवरण नीचे दिए गए हैं।


K3 सतहों के पिकार्ड लैटिस के रूप में कौन सी जाली हो सकती है, इसका सटीक विवरण जटिल है। [[व्याचेस्लाव निकुलिन]] और डेविड आर. मॉरिसन (गणितज्ञ) के कारण  स्पष्ट कथन यह है कि हस्ताक्षर की प्रत्येक सम जाली <math>(1,\rho-1)</math> साथ <math>\rho\leq 11</math> कुछ जटिल प्रक्षेप्य K3 सतह की पिकार्ड जाली है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 14.3.1 and Remark 14.3.7.</ref> ऐसी सतहों के स्थान में आयाम होता है <math>20-\rho</math>.
K3 सतहों के पिकार्ड लैटिस के रूप में कौन सी जाली हो सकती है, इसका सटीक विवरण जटिल है। [[व्याचेस्लाव निकुलिन]] और डेविड आर. मॉरिसन (गणितज्ञ) के कारण  स्पष्ट कथन यह है कि हस्ताक्षर की प्रत्येक सम जाली <math>(1,\rho-1)</math> साथ <math>\rho\leq 11</math> कुछ जटिल प्रक्षेप्य K3 सतह की पिकार्ड जाली है।<ref>Huybrechts (2016), Corollary 14.3.1 and Remark 14.3.7.</ref> ऐसी सतहों के स्थान में आयाम होता है <math>20-\rho</math>.


==अण्डाकार K3 सतहें==
==अण्डाकार K3 सतहें==
K3 सतहों का  महत्वपूर्ण उपवर्ग, सामान्य मामले की तुलना में विश्लेषण करना आसान है, इसमें [[अण्डाकार कंपन]] वाली K3 सतहें शामिल हैं <math>X\to\mathbf{P}^1</math>. अण्डाकार का अर्थ है कि इस रूपवाद के सभी लेकिन सीमित रूप से कई फाइबर जीनस 1 के चिकने वक्र हैं। वचन फाइबर [[तर्कसंगत वक्र]]ों के संघ हैं, जिनमें कोडैरा द्वारा वर्गीकृत संभावित प्रकार के वचन फाइबर होते हैं। हमेशा कुछ वचन फाइबर होते हैं, क्योंकि वचन फाइबर की टोपोलॉजिकल यूलर विशेषताओं का योग होता है <math>\chi(X)=24</math>.  सामान्य अण्डाकार K3 सतह में बिल्कुल 24 वचन फाइबर होते हैं, प्रत्येक प्रकार के <math>I_1</math> ( नोडल घन वक्र).<ref>Huybrechts (2016), Remark 11.1.12.</ref>
K3 सतहों का  महत्वपूर्ण उपवर्ग, सामान्य मामले की तुलना में विश्लेषण करना सरल है, इसमें [[अण्डाकार कंपन]] वाली K3 सतहें शामिल हैं <math>X\to\mathbf{P}^1</math>. अण्डाकार का अर्थ है कि इस रूपवाद के सभी लेकिन सीमित रूप से कई फाइबर जीनस 1 के चिकने वक्र हैं। वचन फाइबर [[तर्कसंगत वक्र]]ों के संघ हैं, जिनमें कोडैरा द्वारा वर्गीकृत संभावित प्रकार के वचन फाइबर होते हैं। हमेशा कुछ वचन फाइबर होते हैं, क्योंकि वचन फाइबर की टोपोलॉजिकल यूलर विशेषताओं का योग होता है <math>\chi(X)=24</math>.  सामान्य अण्डाकार K3 सतह में बिल्कुल 24 वचन फाइबर होते हैं, प्रत्येक प्रकार के <math>I_1</math> ( नोडल घन वक्र).<ref>Huybrechts (2016), Remark 11.1.12.</ref>
K3 सतह अण्डाकार है या नहीं, इसे इसके पिकार्ड जाली से पढ़ा जा सकता है। अर्थात्, विशेषता 2 या 3 में नहीं, K3 सतह X में  अण्डाकार कंपन होता है यदि और केवल तभी जब कोई गैर-शून्य तत्व हो <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2=0</math>.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3.</ref> (विशेषता 2 या 3 में, बाद वाली स्थिति एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण के अनुरूप भी हो सकती है#कोडैरा आयाम 1 की सतहें|अर्ध-अण्डाकार फ़िब्रेशन।) यह इस प्रकार है कि अण्डाकार फ़िब्रेशन होना K3 सतह पर  कोडायमेंशन-1 स्थिति है। तो अण्डाकार कंपन के साथ जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के 19-आयामी परिवार हैं, और अण्डाकार कंपन के साथ प्रक्षेप्य K3 सतहों के 18-आयामी मॉड्यूल स्थान हैं।
K3 सतह अण्डाकार है या नहीं, इसे इसके पिकार्ड जाली से पढ़ा जा सकता है। अर्थात्, विशेषता 2 या 3 में नहीं, K3 सतह X में  अण्डाकार कंपन होता है यदि और केवल तभी जब कोई गैर-शून्य तत्व हो <math>u\in\operatorname{Pic}(X)</math> साथ <math>u^2=0</math>.<ref>Huybrechts (2016), Proposition 11.1.3.</ref> (विशेषता 2 या 3 में, बाद वाली स्थिति एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण के अनुरूप भी हो सकती है#कोडैरा आयाम 1 की सतहें|अर्ध-अण्डाकार फ़िब्रेशन।) यह इस प्रकार है कि अण्डाकार फ़िब्रेशन होना K3 सतह पर  कोडायमेंशन-1 स्थिति है। तो अण्डाकार कंपन के साथ जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के 19-आयामी परिवार हैं, और अण्डाकार कंपन के साथ प्रक्षेप्य K3 सतहों के 18-आयामी मॉड्यूल स्थान हैं।


उदाहरण: प्रत्येक चिकनी चतुर्थक सतह X इंच <math>\mathbf{P}^3</math> जिसमें  रेखा L होती है उसमें अण्डाकार कंपन होता है <math>X\to \mathbf{P}^1</math>, एल से दूर प्रक्षेपित करके दिया गया है। सभी चिकनी चतुर्थक सतहों (समरूपता तक) के मॉड्यूलि स्थान का आयाम 19 है, जबकि  रेखा वाले चतुर्थक सतहों के उपस्थान का आयाम 18 है।
उदाहरण: प्रत्येक स्मूथ चतुर्थक सतह X इंच <math>\mathbf{P}^3</math> जिसमें  रेखा L होती है उसमें अण्डाकार कंपन होता है <math>X\to \mathbf{P}^1</math>, एल से दूर प्रक्षेपित करके दिया गया है। सभी स्मूथ चतुर्थक सतहों (समरूपता तक) के मॉड्यूलि स्थान का आयाम 19 है, जबकि  रेखा वाले चतुर्थक सतहों के उपस्थान का आयाम 18 है।


==K3 सतहों पर परिमेय वक्र==
==K3 सतहों पर परिमेय वक्र==
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== अवधि मानचित्र ==
== अवधि मानचित्र ==
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करें <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>. चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का  [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.3.</ref> जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के समरूपता वर्गों का सेट [[ऑर्थोगोनल समूह]] द्वारा N का भागफल है <math>O(\Lambda)</math>, लेकिन यह भागफल ज्यामितीय रूप से सार्थक मॉड्यूलि स्पेस नहीं है, क्योंकि की क्रिया <math>O(\Lambda)</math> ठीक से बंद होने से बहुत दूर है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.1 and Remark 6.3.6.</ref> (उदाहरण के लिए, चिकनी चतुर्थक सतहों का स्थान आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है, और फिर भी 20-आयामी परिवार एन में प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में मनमाने ढंग से छोटी विकृतियाँ हैं जो चिकनी चतुर्थक के समरूपी हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.3.</ref>) इसी कारण से, कम से कम 2 आयाम के कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी का कोई सार्थक मॉड्यूल स्पेस नहीं है।
जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह ''X'' के अंकन को जालकों की समरूपता के रूप में परिभाषित करें <math>H^2(X,\Z)</math> K3 जाली के लिए <math>\Lambda=E_8(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3}</math>. चिह्नित कॉम्प्लेक्स K3 सतहों का स्पेस N, आयाम 20 का  [[हॉसडॉर्फ़ स्थान]] कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.3.</ref> जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों के समरूपता वर्गों का सेट [[ऑर्थोगोनल समूह]] द्वारा N का भागफल है <math>O(\Lambda)</math>, लेकिन यह भागफल ज्यामितीय रूप से सार्थक मॉड्यूलि स्पेस नहीं है, क्योंकि की क्रिया <math>O(\Lambda)</math> ठीक से बंद होने से बहुत दूर है।<ref>Huybrechts (2016), section 6.3.1 and Remark 6.3.6.</ref> (उदाहरण के लिए, स्मूथ चतुर्थक सतहों का स्थान आयाम 19 का अपरिवर्तनीय है, और फिर भी 20-आयामी परिवार एन में प्रत्येक जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह में मनमाने ढंग से छोटी विकृतियाँ हैं जो स्मूथ चतुर्थक के समरूपी हैं।<ref>Huybrechts (2016), section 7.1.3.</ref>) इसी कारण से, कम से कम 2 आयाम के कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स टोरी का कोई सार्थक मॉड्यूल स्पेस नहीं है।


[[ अवधि मानचित्रण ]]  K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में भेजती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है:  K3 सतह इसकी हॉज संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है। पीरियड डोमेन को 20-आयामी कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के रूप में परिभाषित किया गया है
[[ अवधि मानचित्रण ]]  K3 सतह को उसकी हॉज संरचना में भेजती है। जब ध्यान से कहा जाता है, तो टोरेली प्रमेय मानता है:  K3 सतह इसकी हॉज संरचना द्वारा निर्धारित की जाती है। पीरियड डोमेन को 20-आयामी कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के रूप में परिभाषित किया गया है
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==ऑटोमोर्फिज्म समूह==
==ऑटोमोर्फिज्म समूह==
बीजगणितीय किस्मों के बीच K3 सतहें कुछ हद तक असामान्य हैं क्योंकि उनके ऑटोमोर्फिज्म समूह अनंत, असतत और अत्यधिक नॉनबेलियन हो सकते हैं। टोरेली प्रमेय के  संस्करण के अनुसार,  जटिल बीजगणितीय K3 सतह X का पिकार्ड जाली [[अनुरूपता (समूह सिद्धांत)]] तक X के ऑटोमोर्फिज्म समूह को निर्धारित करता है। अर्थात्, मान लें कि 'वेइल समूह' W जड़ों के सेट में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न ऑर्थोगोनल समूह O(Pic(X)) का उपसमूह है <math>\Delta</math>. तब W, O(Pic(X)) का  [[सामान्य उपसमूह]] है, और X का ऑटोमोर्फिज्म समूह भागफल समूह O(Pic(X))/W के अनुरूप है। हंस स्टर्क के कारण  संबंधित कथन यह है कि ऑट (्स)  तर्कसंगत पॉलीहेड्रल [[मौलिक डोमेन]] के साथ ्स के नेफ शंकु पर कार्य करता है।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 8.4.2.</ref>
बीजगणितीय किस्मों के मध्य K3 सतहें कुछ हद तक असामान्य हैं क्योंकि उनके ऑटोमोर्फिज्म समूह अनंत, असतत और अत्यधिक नॉनबेलियन हो सकते हैं। टोरेली प्रमेय के  संस्करण के अनुसार,  जटिल बीजगणितीय K3 सतह X का पिकार्ड जाली [[अनुरूपता (समूह सिद्धांत)]] तक X के ऑटोमोर्फिज्म समूह को निर्धारित करता है। अर्थात्, मान लें कि 'वेइल समूह' W जड़ों के सेट में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न ऑर्थोगोनल समूह O(Pic(X)) का उपसमूह है <math>\Delta</math>. तब W, O(Pic(X)) का  [[सामान्य उपसमूह]] है, और X का ऑटोमोर्फिज्म समूह भागफल समूह O(Pic(X))/W के अनुरूप है। हंस स्टर्क के कारण  संबंधित कथन यह है कि ऑट (्स)  तर्कसंगत पॉलीहेड्रल [[मौलिक डोमेन]] के साथ ्स के नेफ शंकु पर कार्य करता है।<ref>Huybrechts (2016), Theorem 8.4.2.</ref>


== स्ट्रिंग द्वंद्व से संबंध ==
== स्ट्रिंग द्वंद्व से संबंध ==
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==इतिहास==
==इतिहास==
चतुर्थक सतहों में <math>\mathbf{P}^3</math> [[गंभीर दुःख]], [[आर्थर केली]], [[फ्रेडरिक शूर]] और अन्य 19वीं सदी के जियोमीटर द्वारा अध्ययन किया गया था। अधिक सामान्यतः, [[फेडरिको एनरिक्स]] ने 1893 में देखा कि विभिन्न संख्याओं g के लिए, डिग्री 2g−2 की सतहें होती हैं <math>\mathbf{P}^g</math> तुच्छ विहित बंडल और अनियमितता शून्य के साथ।<ref>Enriques (1893), section III.6.</ref> 1909 में, एनरिकेज़ ने दिखाया कि ऐसी सतहें सभी के लिए मौजूद हैं <math>g\geq 3</math>, और [[फ्रांसिस सेवेरी]] ने दिखाया कि ऐसी सतहों के मॉड्यूलि स्पेस में प्रत्येक जी के लिए आयाम 19 है।<ref>Enriques (1909); Severi (1909).</ref>
चतुर्थक सतहों में <math>\mathbf{P}^3</math> [[गंभीर दुःख]], [[आर्थर केली]], [[फ्रेडरिक शूर]] और अन्य 19वीं सदी के जियोमीटर द्वारा अध्ययन किया गया था। अधिक सामान्यतः, [[फेडरिको एनरिक्स]] ने 1893 में देखा कि विभिन्न संख्याओं g के लिए, डिग्री 2g−2 की सतहें होती हैं <math>\mathbf{P}^g</math> तुच्छ विहित बंडल और अनियमितता शून्य के साथ।<ref>Enriques (1893), section III.6.</ref> 1909 में, एनरिकेज़ ने दिखाया कि ऐसी सतहें सभी के लिए मौजूद हैं <math>g\geq 3</math>, और [[फ्रांसिस सेवेरी]] ने दिखाया कि ऐसी सतहों के मॉड्यूलि स्पेस में प्रत्येक जी के लिए आयाम 19 है।<ref>Enriques (1909); Severi (1909).</ref>
आंद्रे {{harvtxt|Weil|1958}} ने K3 सतहों को उनका नाम दिया (ऊपर उद्धरण देखें) और उनके वर्गीकरण के बारे में कई प्रभावशाली अनुमान लगाए। कुनिहिको कोदैरा ने 1960 के आसपास बुनियादी सिद्धांत पूरा किया, विशेष रूप से जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों का पहला व्यवस्थित अध्ययन किया जो बीजगणितीय नहीं हैं। उन्होंने दिखाया कि कोई भी दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें विरूपण-समतुल्य हैं और इसलिए भिन्नरूपी हैं, जो बीजगणितीय K3 सतहों के लिए भी नया था।  महत्वपूर्ण बाद की प्रगति जटिल बीजीय K3 सतहों के लिए [[इल्या पियाटेत्स्की-शापिरो]] और इगोर शफ़ारेविच (1971) द्वारा टोरेली प्रमेय का प्रमाण था, जिसे डैनियल बर्न्स और [[माइकल रैपोपोर्ट]] (1975) द्वारा जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों तक विस्तारित किया गया था।
आंद्रे {{harvtxt|Weil|1958}} ने K3 सतहों को उनका नाम दिया (ऊपर उद्धरण देखें) और उनके वर्गीकरण के सम्बन्ध में कई प्रभावशाली अनुमान लगाए। कुनिहिको कोदैरा ने 1960 के आसपास बुनियादी सिद्धांत पूरा किया, विशेष रूप से जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों का पहला व्यवस्थित अध्ययन किया जो बीजगणितीय नहीं हैं। उन्होंने दिखाया कि कोई भी दो जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहें विरूपण-समतुल्य हैं और इसलिए भिन्नरूपी हैं, जो बीजगणितीय K3 सतहों के लिए भी नया था।  महत्वपूर्ण बाद की प्रगति जटिल बीजीय K3 सतहों के लिए [[इल्या पियाटेत्स्की-शापिरो]] और इगोर शफ़ारेविच (1971) द्वारा टोरेली प्रमेय का प्रमाण था, जिसे डैनियल बर्न्स और [[माइकल रैपोपोर्ट]] (1975) द्वारा जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतहों तक विस्तारित किया गया था।


==यह भी देखें==
==यह भी देखें==
*सतह को समृद्ध करता है
*सतह को समृद्ध करता है
*[[टेट अनुमान]]
*[[टेट अनुमान]]
*[[छत्रछाया चांदनी]], K3 सतहों और [[मैथ्यू समूह M24]] के बीच रहस्यमय संबंध।
*[[छत्रछाया चांदनी]], K3 सतहों और [[मैथ्यू समूह M24]] के मध्य रहस्यमय संबंध।


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==

Revision as of 20:40, 21 July 2023

3-स्पेस में स्मूथ चतुर्थक सतह यह आंकड़ा निश्चित जटिल K3 सतह (जटिल आयाम 2, इसलिए वास्तविक आयाम 4) में तर्कसंगत बिंदु (वास्तविक आयाम 2 का) का भाग प्रदर्शित करता है।

Dans la seconde partie de mon rapport, il s'agit des variétés kählériennes dites K3, ainsi nommées en l'honneur de Kummer, Kähler, Kodaira et de la belle montagne K2 au Cachemire.

In the second part of my report, we deal with the Kähler varieties known as K3, named in honor of Kummer, Kähler, Kodaira and of the beautiful mountain K2 in Kashmir.

André Weil (1958, p. 546), describing the reason for the name "K3 surface"

गणित में, जटिल विश्लेषणात्मक K3 सतह तुच्छ विहित बंडल और सतह शून्य की अनियमितता के साथ आयाम 2 का कॉम्पैक्ट कनेक्टेड जटिल विविध है। किसी भी क्षेत्र (गणित) पर (बीजगणितीय) K3 सतह का अर्थ है स्मूथ योजना उचित आकारवाद ज्यामितीय रूप से जुड़ी बीजगणितीय सतह जो समान स्थितियों को संतुष्ट करती है। सतहों के एनरिकेस-कोडैरा वर्गीकरण में, K3 सतहें कोडैरा आयाम शून्य की न्यूनतम सतहों के चार वर्गों में से एक बनाती हैं। सरल उदाहरण फ़र्मेट चतुर्थक सतह है:-

जटिल प्रक्षेप्य 3-स्थान में द्वि-आयामी कॉम्पैक्ट जटिल टोरी के साथ, K3 सतहें आयाम दो के कैलाबी-याउ विविध (और हाइपरकेहलर विविध) हैं। इस प्रकार, वे सकारात्मक रूप से घुमावदार डेल पेज़ो सतहों (जिन्हें वर्गीकृत करना सरल है) और सामान्य प्रकार की नकारात्मक घुमावदार सतहों (ज