क्लासेन फलन: Difference between revisions
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==मूल गुण== | ==मूल गुण== | ||
क्लॉजेन फलन (क्रम 2 के) में <math>\pi, \,</math>सभी (पूर्णांक) गुणकों में | क्लॉजेन फलन (क्रम 2 के) में <math>\pi, \,</math>सभी (पूर्णांक) गुणकों में शून्य होते हैं यदि <math>k\in \mathbb{Z} \, </math> एक पूर्णांक है, तो <math>\sin k\pi=0</math> | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2(m\pi) =0, \quad m= 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \cdots </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(m\pi) =0, \quad m= 0,\, \pm 1,\, \pm 2,\, \pm 3,\, \cdots </math> | ||
इसमें | इसमें अधिकतम <math>\theta = \frac{\pi}{3}+2m\pi \quad[m\in\mathbb{Z}]</math> है | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}+2m\pi \right) =1.01494160 \ldots </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}+2m\pi \right) =1.01494160 \ldots </math> | ||
और | और न्यूनतम <math>\theta = -\frac{\pi}{3}+2m\pi \quad[m\in\mathbb{Z}]</math> पर है | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(-\frac{\pi}{3}+2m\pi \right) =-1.01494160 \ldots </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2\left(-\frac{\pi}{3}+2m\pi \right) =-1.01494160 \ldots </math> | ||
निम्नलिखित गुण श्रृंखला परिभाषा के | निम्नलिखित गुण श्रृंखला परिभाषा के परिणाम हैं: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2(\theta+2m\pi) = \operatorname{Cl}_2(\theta) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(\theta+2m\pi) = \operatorname{Cl}_2(\theta) </math> | ||
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जो Re z >1 के साथ सम्मिश्र z के लिए मान्य हैं। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] के माध्यम से परिभाषा को पूरे सम्मिश्र स्तर तक बढ़ाया जा सकता है। | जो Re z >1 के साथ सम्मिश्र z के लिए मान्य हैं। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] के माध्यम से परिभाषा को पूरे सम्मिश्र स्तर तक बढ़ाया जा सकता है। | ||
जब z को एक | जब z को एक ऋणात्मक पूर्णांक से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो 'मानक क्लॉजेन फलन ' को निम्नलिखित फूरियर श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जाता है: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}</math> | :<math>\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}</math> | ||
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==बर्नौली बहुपद से संबंध== | ==बर्नौली बहुपद से संबंध== | ||
SL-प्रकार क्लॉजेन फलन <math>\, \theta\, </math> बहुपद हैं, और [[बर्नौली बहुपद]] | SL-प्रकार क्लॉजेन फलन <math>\, \theta\, </math> बहुपद हैं, और [[बर्नौली बहुपद]] से संबंधित हैं। यह संबंध बर्नौली बहुपदों के फूरियर श्रृंखला निरूपण से स्पष्ट है: | ||
:<math>B_{2n-1}(x)=\frac{2(-1)^n(2n-1)!}{(2\pi)^{2n-1}} \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}.</math> | :<math>B_{2n-1}(x)=\frac{2(-1)^n(2n-1)!}{(2\pi)^{2n-1}} \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}.</math> | ||
:<math>B_{2n}(x)=\frac{2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi)^{2n}} \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos 2\pi kx}{k^{2n}}.</math> | :<math>B_{2n}(x)=\frac{2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi)^{2n}} \, \sum_{k=1}^\infty \frac{\cos 2\pi kx}{k^{2n}}.</math> | ||
उपरोक्त में <math>\, x= \theta/2\pi \, </math>समायोजित करने पर, और फिर पुनः पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से निम्नलिखित | उपरोक्त में <math>\, x= \theta/2\pi \, </math>समायोजित करने पर, और फिर पुनः पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से निम्नलिखित विवृत रूप (बहुपद) प्राप्त होती हैं: | ||
:<math>\operatorname{Sl}_{2m}(\theta) = \frac{(-1)^{m-1}(2\pi)^{2m}}{2(2m)!} B_{2m}\left(\frac{\theta}{2\pi}\right),</math> | :<math>\operatorname{Sl}_{2m}(\theta) = \frac{(-1)^{m-1}(2\pi)^{2m}}{2(2m)!} B_{2m}\left(\frac{\theta}{2\pi}\right),</math> | ||
| Line 74: | Line 74: | ||
==द्विगुणन सूत्र== | ==द्विगुणन सूत्र== | ||
<math> 0 < \theta < \pi </math> के लिय द्विगुणन सूत्र को समाकलन परिभाषा से | <math> 0 < \theta < \pi </math> के लिय द्विगुणन सूत्र को समाकलन परिभाषा से सिद्ध किया जा सकता है (परिणाम के लिए {{harvtxt|लू | पेरेज|1992}}. भी देखें - हालांकि कोई प्रमाण नहीं दिया गया है): | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2(2\theta) = 2\operatorname{Cl}_2(\theta) - 2\operatorname{Cl}_2(\pi-\theta) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(2\theta) = 2\operatorname{Cl}_2(\theta) - 2\operatorname{Cl}_2(\pi-\theta) </math> | ||
कैटलन स्थिरांक को <math>K=\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)</math>के द्वारा निरूपित करना, द्विगुणन सूत्र के | कैटलन स्थिरांक को <math>K=\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{2}\right)</math>के द्वारा निरूपित करना, द्विगुणन सूत्र के परिणामों में निम्न संबंध हैं: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{4}\right)- \operatorname{Cl}_2 \left(\frac{3\pi} 4\right)=\frac K 2</math> | :<math>\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{4}\right)- \operatorname{Cl}_2 \left(\frac{3\pi} 4\right)=\frac K 2</math> | ||
:<math>2\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)= 3\operatorname{Cl}_2 \left(\frac{2\pi} 3\right)</math> | :<math>2\operatorname{Cl}_2\left(\frac{\pi}{3}\right)= 3\operatorname{Cl}_2 \left(\frac{2\pi} 3\right)</math> | ||
उच्च क्रम के क्लॉजेन फलन | उच्च क्रम के क्लॉजेन फलन के लिए, द्विगुणन सूत्र ऊपर दिए गए सूत्र से प्राप्त किए जा सकते हैं; बस <math> \, \theta \, </math> को डमी वेरिएबल <math>x</math> से बदलें, और अंतराल <math> \, [0, \theta]. \, </math> पर समाकलन करें एक ही प्रक्रिया को बार-बार लागू करने से निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं: | ||
:<math>\operatorname{Cl}_3(2\theta) = 4\operatorname{Cl}_3(\theta) + 4\operatorname{Cl}_3(\pi-\theta) </math> | :<math>\operatorname{Cl}_3(2\theta) = 4\operatorname{Cl}_3(\theta) + 4\operatorname{Cl}_3(\pi-\theta) </math> | ||
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और अधिक सामान्यतः, <math>\, m, \; m \ge 1 </math> पर शामिल होने पर | और अधिक सामान्यतः, <math>\, m, \; m \ge 1 </math> पर शामिल होने पर | ||
:<math>\operatorname{Cl}_{m+1}(2\theta) = 2^m\left[\operatorname{Cl}_{m+1}(\theta) + (-1)^m \operatorname{Cl}_{m+1}(\pi-\theta) \right]</math> | :<math>\operatorname{Cl}_{m+1}(2\theta) = 2^m\left[\operatorname{Cl}_{m+1}(\theta) + (-1)^m \operatorname{Cl}_{m+1}(\pi-\theta) \right]</math> | ||
<math>\, m \in \mathbb{Z} \ge 1\, </math> के लिय सामान्यीकृत द्विगुणन सूत्र का उपयोग कैटलन के स्थिरांक को शामिल करते हुए ऑर्डर 2 के क्लॉजेन फलन | <math>\, m \in \mathbb{Z} \ge 1\, </math> के लिय सामान्यीकृत द्विगुणन सूत्र का उपयोग कैटलन के स्थिरांक को शामिल करते हुए ऑर्डर 2 के क्लॉजेन फलन के परिणाम के विस्तार की अनुमति देता है। | ||
:<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac \pi 2 \right) = 2^{2m-1} \left[\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{4}\right)- \operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right] = \beta(2m)</math> | :<math>\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac \pi 2 \right) = 2^{2m-1} \left[\operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{\pi}{4}\right)- \operatorname{Cl}_{2m}\left(\frac{3\pi}{4}\right) \right] = \beta(2m)</math> | ||
जहाँ <math>\, \beta(x) \, </math> डिरिचलेट बीटा फलन है। | जहाँ <math>\, \beta(x) \, </math> डिरिचलेट बीटा फलन है। | ||
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:<math>\operatorname{Cl}_2(2\theta)=-\int_0^{2\theta} \log\left| 2 \sin \frac{x}{2} \right| \,dx</math> | :<math>\operatorname{Cl}_2(2\theta)=-\int_0^{2\theta} \log\left| 2 \sin \frac{x}{2} \right| \,dx</math> | ||
<math>\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}</math> प्राप्त करने के लिए साइन फलन | <math>\sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}</math> प्राप्त करने के लिए साइन फलन के लिए द्विगुणन सूत्र लागू करें, | ||
:<math> | :<math> | ||
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\end{align} | \end{align} | ||
</math> | </math> | ||
उस अंतिम पूर्णांक पर | उस अंतिम पूर्णांक पर संयोजन करें <math>y=\pi-x, \, x= \pi-y, \, dx = -dy</math>, और <math>\cos(x-y)=\cos x\cos y - \sin x\sin y</math> त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करें उसे दिखाने के लिए: | ||
: <math> | : <math> | ||
| Line 132: | Line 132: | ||
==सामान्य-क्रम क्लॉजेन फलन के व्युत्पन्न== | ==सामान्य-क्रम क्लॉजेन फलन के व्युत्पन्न== | ||
क्लॉजेन फलन | क्लॉजेन फलन के लिए, फूरियर श्रृंखला के विस्तार का प्रत्यक्ष अवकलन देता है: | ||
:<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}=\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)</math> | :<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+2}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+1}}=\operatorname{Cl}_{2m+1}(\theta)</math> | ||
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:<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}= -\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=-\operatorname{Sl}_{2m+1} (\theta)</math> | :<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+2}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m+2}}= -\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=-\operatorname{Sl}_{2m+1} (\theta)</math> | ||
:<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m}}=\operatorname{Sl}_{2m} (\theta)</math> | :<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Sl}_{2m+1}(\theta) = \frac{d}{d\theta}\sum_{k=1}^\infty \frac{\sin k\theta }{k^{2m+1}}=\sum_{k=1}^\infty \frac{\cos k\theta }{k^{2m}}=\operatorname{Sl}_{2m} (\theta)</math> | ||
गणना के प्रथम मौलिक प्रमेय को लागु करके | गणना के प्रथम मौलिक प्रमेय को लागु करके: | ||
:<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_2(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left[ -\int_0^\theta \log \left| 2\sin \frac{x}{2}\right| \,dx \, \right] = - \log \left| 2\sin \frac{\theta}{2}\right| = \operatorname{Cl}_1(\theta) </math> | :<math>\frac{d}{d\theta}\operatorname{Cl}_2(\theta) = \frac{d}{d\theta} \left[ -\int_0^\theta \log \left| 2\sin \frac{x}{2}\right| \,dx \, \right] = - \log \left| 2\sin \frac{\theta}{2}\right| = \operatorname{Cl}_1(\theta) </math> | ||
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:<math>\operatorname{Ti}_2(z)=\int_0^z \frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^2}</math> | :<math>\operatorname{Ti}_2(z)=\int_0^z \frac{\tan^{-1}x}{x}\,dx = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)^2}</math> | ||
क्लॉजेन फलन के संदर्भ में इसका निम्नलिखित | क्लॉजेन फलन के संदर्भ में इसका निम्नलिखित विवृत रूप है: | ||
:<math>\operatorname{Ti}_2(\tan \theta)= \theta\log(\tan \theta) + \frac{1}{2} \operatorname{Cl}_2(2\theta) +\frac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)</math> | :<math>\operatorname{Ti}_2(\tan \theta)= \theta\log(\tan \theta) + \frac{1}{2} \operatorname{Cl}_2(2\theta) +\frac{1}{2}\operatorname{Cl}_2(\pi-2\theta)</math> | ||
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:<math>\Lambda(\theta) = - \int_0^\theta \log|2 \sin(t)| \,dt = \operatorname{Cl}_2(2\theta)/2</math> | :<math>\Lambda(\theta) = - \int_0^\theta \log|2 \sin(t)| \,dt = \operatorname{Cl}_2(2\theta)/2</math> | ||
हालाँकि लोबचेव्स्की फलन का नाम ऐतिहासिक रूप से सही नहीं है, क्योंकि अतिपरवलिक आयतन के लिए लोबचेव्स्की के सूत्रों ने | हालाँकि लोबचेव्स्की फलन का नाम ऐतिहासिक रूप से सही नहीं है, क्योंकि अतिपरवलिक आयतन के लिए लोबचेव्स्की के सूत्रों ने दुसरे फलन का उपयोग किया था | ||
:<math>\int_0^\theta \log| \sec(t)| \,dt = \Lambda(\theta+\pi/2)+\theta\log 2.</math> | :<math>\int_0^\theta \log| \sec(t)| \,dt = \Lambda(\theta+\pi/2)+\theta\log 2.</math> | ||
Revision as of 15:41, 14 July 2023
गणित में थॉमस क्लाजेंन (1832) द्वारा प्रस्तुत क्लॉजेन फलन एकल चर का एक विशेष फलन है। इसे निश्चित समाकलन, एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला और विभिन्न प्रकारों में व्यक्त किया जा सकता है। यह बहुगणित, व्युत्क्रम स्पर्शरेखा समाकलन, पॉलीगामा फलन , रीमैन जेटा फलन , डिरिचलेट एटा फलन और डिरिचलेट बीटा फलन के साथ घनिष्टता पूर्वक जुड़ा हुआ है।
क्रम 2 का क्लॉजेन फलन - अनेक वर्गों में से एक होने के अतिरिक्त भी इसे क्लॉजेन फलन के रूप में संदर्भित किया जाता है - समाकलन द्वारा दिया जाता है:
अंतराल निरपेक्ष मान चिह्न के अंदर साइन फलन धनात्मक रहता है, इसलिए निरपेक्ष मान के चिह्न को छोड़ा जा सकता है। क्लॉजेन फलन के द्वारा फूरियर श्रृंखला को भी प्रदर्शित किया जा सकता है:
विशेष रूप से निश्चित और अनिश्चित दोनों लघुगणक और बहुगणितीय समाकलन के कई वर्गों के मूल्यांकन के संबंध में क्लॉजेन फलन , फलन के एक वर्ग के रूप में, आधुनिक गणितीय अनुसंधान के कई क्षेत्रों में व्यापक रूप से प्रदर्शित होते हैं। उनके पास हाइपरज्यामितीय श्रृंखला के योग, केंद्रीय द्विपद गुणांक के व्युत्क्रम से जुड़े योग, पॉलीगामा फलन के योग और डिरिचलेट L -श्रृंखला के संबंध में भी कई अनुप्रयोग हैं।
मूल गुण
क्लॉजेन फलन (क्रम 2 के) में सभी (पूर्णांक) गुणकों में शून्य होते हैं यदि एक पूर्णांक है, तो
इसमें अधिकतम है