मॉड्यूलर वक्र: Difference between revisions

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[[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, '''मॉड्यूलर वक्र''' ''Y''(Γ) [[रीमैन सतह]], या संबंधित [[बीजगणितीय वक्र]] है, जो [[मॉड्यूलर समूह]] समूह के सर्वांगसम उपसमूह Γ की क्रिया द्वारा जटिल ऊपरी आधे-तल H के [[समूह क्रिया द्वारा भागफल]] के रूप में निर्मित होता है। इंटीग्रल 2×2 मैट्रिक्स एसएल(2, Z)। मॉड्यूलर वक्र शब्द का उपयोग कॉम्पैक्टिफाइड मॉड्यूलर वक्रों को संदर्भित करने के लिए भी किया जा सकता है -''X''(Γ) जो कि इस भागफल में (विस्तारित जटिल ऊपरी-आधे तल पर क्रिया के माध्यम से) बहुत सारे बिंदु (जिसे Γ के क्यूप्स कहा जाता है) जोड़कर प्राप्त किए गए [[संघनन (गणित)]] हैं। मॉड्यूलर वक्र के बिंदु समूह Γ के आधार पर कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ,[[अण्डाकार वक्र|अण्डाकार वक्रों]] के समरूपता वर्गों को पैरामीट्रिज करते हैं। यह व्याख्या किसी को जटिल संख्याओं के संदर्भ के बिना, मॉड्यूलर वक्रों की विशुद्ध रूप से बीजगणितीय परिभाषा देने की अनुमति देती है, और इसके अलावा, यह साबित करती है कि मॉड्यूलर वक्र या तो [[तर्कसंगत संख्या]] '''Q''' के क्षेत्र या [[साइक्लोटोमिक क्षेत्र]] '''Q'''(ζ<sub>''n''</sub>) पर परिभाषित होते हैं। बाद वाला तथ्य और इसके सामान्यीकरण संख्या सिद्धांत में मौलिक महत्व के हैं।
[[संख्या सिद्धांत]] और [[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, मॉड्यूलर वक्र ''Y''(Γ) [[रीमैन सतह]], या संबंधित [[बीजगणितीय वक्र]] है, जिसे समूह क्रिया द्वारा जटिल ऊपरी आधे-तल H की [[समूह क्रिया द्वारा भागफल]] के रूप में निर्मित किया जाता है ( इंटीग्रल 2×2 मैट्रिक्स SL(2,Z) के [[मॉड्यूलर समूह]] के सर्वांगसम उपसमूह Γ का गणित)। मॉड्यूलर वक्र शब्द का उपयोग कॉम्पैक्टिफाइड मॉड्यूलर कर्व्स ''X''(Γ) को संदर्भित करने के लिए भी किया जा सकता है, जो कि इस भागफल में (एक क्रिया के माध्यम से) अंतिम रूप से कई बिंदु (जिन्हें Γ का क्यूप्स कहा जाता है) जोड़कर प्राप्त किया गया [[संघनन (गणित)]]गणित) है। विस्तारित जटिल ऊपरी-आधे तल पर)। मॉड्यूलर वक्र मॉड्यूलि समस्या के बिंदु, [[अण्डाकार वक्र]]ों के समरूपता वर्ग, समूह Γ के आधार पर कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ। यह व्याख्या किसी को जटिल संख्याओं के संदर्भ के बिना, मॉड्यूलर वक्रों की विशुद्ध रूप से बीजगणितीय परिभाषा देने की अनुमति देती है, और इसके अलावा, यह साबित करती है कि मॉड्यूलर वक्र या तो [[तर्कसंगत संख्या]]ओं के क्षेत्र Q या [[साइक्लोटोमिक क्षेत्र]] Q(ζ) पर परिभाषा के क्षेत्र हैं।<sub>''n''</sub>). बाद वाला तथ्य और इसके सामान्यीकरण संख्या सिद्धांत में मौलिक महत्व के हैं।


== विश्लेषणात्मक परिभाषा ==
== विश्लेषणात्मक परिभाषा ==
मॉड्यूलर समूह SL(2,Z) [[आंशिक रैखिक परिवर्तन]]ों द्वारा ऊपरी आधे तल पर कार्य करता है। मॉड्यूलर वक्र की विश्लेषणात्मक परिभाषा में SL(2,Z) के सर्वांगसम उपसमूह Γ का चयन शामिल है, यानी उपसमूह जिसमें मुख्य सर्वांगसम उपसमूह होता है|स्तर ''N'' Γ(''N'') का प्रमुख सर्वांगसम उपसमूह होता है। , कुछ सकारात्मक पूर्णांक ''एन'' के लिए, कहां
मॉड्यूलर समूह एसएल (2, Z) [[आंशिक रैखिक परिवर्तन|आंशिक रैखिक परिवर्तनों]] द्वारा ऊपरी आधे तल पर कार्य करता है। मॉड्यूलर वक्र की विश्लेषणात्मक परिभाषा में एसएल(2, Z) के सर्वांगसम उपसमूह Γ का विकल्प शामिल होता है, यानी उपसमूह जिसमें कुछ सकारात्मक पूर्णांक N के लिए स्तर N Γ(N) का प्रमुख सर्वांगसम उपसमूह होता है, जहां


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ऐसे न्यूनतम N को 'Γ का स्तर' कहा जाता है। आमतौर पर Y(Γ) से चिह्नित [[ गैर सघन |गैर सघन]] रीमैन सतह प्राप्त करने के लिए भागफल Γ\'H' पर [[ जटिल अनेक गुना |जटिल अनेक गुना]] डाला जा सकता है।
ऐसे न्यूनतम N को Γ का स्तर कहा जाता है। [[ गैर सघन |गैर सघन]] रीमैन सतह जिसे आमतौर पर Y(Γ) कहा जाता है, प्राप्त करने के लिए भागफल Γ\H पर '''जटिल''' संरचना डाली जा सकती है।


===संहतित मॉड्यूलर वक्र ===
===संहतित मॉड्यूलर वक्र ===
Y(Γ) का सामान्य संघनन बहुत सारे बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जिन्हें Γ के क्यूप्स कहा जाता है। विशेष रूप से, यह 'विस्तारित जटिल ऊपरी-आधा विमान' 'एच'* = पर Γ की कार्रवाई पर विचार करके किया जाता है{{nowrap|'''H''' ∪ '''Q''' ∪ {∞}}}. हम आधार के रूप में H* पर टोपोलॉजी प्रस्तुत करते हैं:
Y(Γ) का सामान्य संघनन बहुत सारे बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जिन्हें Γ के क्यूप्स कहा जाता है। विशेष रूप से, यह विस्तारित जटिल ऊपरी-आधे विमान '''H'''* = '''H''' ∪ '''Q''' ∪ {∞}. पर Γ की क्रिया पर विचार करके किया जाता है। हम आधार के रूप में '''H'''* पर टोपोलॉजी प्रस्तुत करते हैं:
* H का कोई भी खुला उपसमुच्चय,
* H का कोई भी खुला उपसमुच्चय,
* सभी ''r'' > 0 के लिए, सेट <math>\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}</math>
* सभी ''r'' > 0 के लिए, सेट <math>\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}</math>
* सभी [[सहअभाज्य पूर्णांक]] a, c और सभी r > 0 के लिए, की छवि <math>\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}</math> की कार्रवाई के तहत
*सभी [[सहअभाज्य पूर्णांक]] a, c और सभी r > 0 के लिए, की क्रिया के तहत <math>\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}</math> की छवि
::<math>\begin{pmatrix}a & -m\\c & n\end{pmatrix}</math> :जहाँ m, n ऐसे पूर्णांक हैं कि a + सेमी = 1.
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यह 'H'* को टोपोलॉजिकल स्पेस में बदल देता है जो [[रीमैन क्षेत्र]] 'P' का उपसमूह है<sup>1</sup>(सी). समूह Γ उपसमुच्चय पर कार्य करता है {{nowrap|'''Q''' ∪ {∞}}}, इसे परिमित रूप से कई कक्षाओं (समूह सिद्धांत) में तोड़ना जिन्हें Γ का पुच्छल कहा जाता है। यदि Γ सकर्मक रूप से कार्य करता है {{nowrap|'''Q''' ∪ {∞}}}, स्थान Γ\H*, Γ\H का अलेक्जेंड्रॉफ़ संघनन बन जाता है। बार फिर, भागफल Γ\H* पर जटिल संरचना डाली जा सकती है, जो इसे ''X''(Γ) नामक रीमैन सतह में बदल देती है, जो अब [[ सघन स्थान |सघन स्थान]] है। यह स्थान ''Y''(Γ) का संघनन है।<ref>{{citation|last=Serre|first= Jean-Pierre|title=Cours d'arithmétique|edition=2nd|series= Le Mathématicien|volume= 2|publisher= Presses Universitaires de France|year= 1977}}</ref>
:::जहाँ m, n ऐसे पूर्णांक हैं कि a + सेमी = 1.


यह '''H'''* को टोपोलॉजिकल स्पेस में बदल देता है जो रीमैन क्षेत्र '''P'''<sup>1</sup>('''C''') का उपसमुच्चय है। समूह Γ उपसमुच्चय '''Q''' ∪ {∞} पर कार्य करता है, इसे परिमित रूप से कई कक्षाओं में विभाजित करता है जिन्हें '''Γ''' का पुच्छल कहा जाता है। यदि Γ '''Q''' ∪ {∞} पर सकर्मक रूप से कार्य करता है, तो स्थान Γ\'''H'''* Γ\H का अलेक्जेंड्रॉफ़ संघनन बन जाता है। बार फिर, जटिल संरचना को भागफल Γ\'''H'''* पर रखा जा सकता है, जिससे इसे X(Γ) नामक रीमैन सतह में बदल दिया जा सकता है, जो अब कॉम्पैक्ट है। यह स्थान Y(Γ) का संघनन है।<ref>{{citation|last=Serre|first= Jean-Pierre|title=Cours d'arithmétique|edition=2nd|series= Le Mathématicien|volume= 2|publisher= Presses Universitaires de France|year= 1977}}</ref>


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==
सबसे सामान्य उदाहरण वक्र X(N), X हैं<sub>0</sub>(एन), और एक्स<sub>1</sub>(एन) उपसमूहों Γ(एन), Γ से जुड़ा है<sub>0</sub>(एन), और Γ<sub>1</sub>(एन)।
सबसे सामान्य उदाहरण उपसमूह Γ(''N''), Γ<sub>0</sub>(''N''), और Γ<sub>1</sub>(''N'') से जुड़े वक्र ''X''(''N''), ''X''<sub>0</sub>(''N''), और ''X''<sub>1</sub>(''N'') हैं।


मॉड्यूलर वक्र कवरिंग X(5) → X(1) को रीमैन क्षेत्र पर [[[[विंशतिफलक]] समरूपता]] की क्रिया द्वारा महसूस किया जाता है। यह समूह A से 60 समरूपी क्रम का सरल समूह है<sub>5</sub> और पीएसएल(2,5).
'''मॉड्यूलर वक्र कवरिंग X(5) → X(1) को रीमैन क्षेत्र पर [[विंशतिफलक]] समरूपता की क्रिया द्वारा महसूस किया जाता है। यह समूह A से 60 समरूपी क्रम का सरल समूह है<sub>5</sub> और पीएसएल(2,5).'''


मॉड्यूलर वक्र X(7) 24 क्यूप्स के साथ जीनस 3 का [[क्लेन चतुर्थक]] है। इसे 24 हेप्टागोन्स द्वारा टाइल किए गए तीन हैंडल वाली सतह के रूप में समझा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक चेहरे के केंद्र में पुच्छ होता है। इन टाइलिंग को डेसिन्स डी एनफैंट्स और [[बेली समारोह]] के माध्यम से समझा जा सकता है - क्यूप्स ∞ (लाल बिंदु) के ऊपर स्थित बिंदु हैं, जबकि किनारों के शीर्ष और केंद्र (काले और सफेद बिंदु) 0 और 1 के ऊपर स्थित बिंदु हैं। कवरिंग X(7) → X(1) का गैलोज़ समूह PSL(2,7)|PSL(2,7) के क्रम 168 समरूपी का सरल समूह है।
मॉड्यूलर वक्र X(7) 24 क्यूप्स के साथ जीनस 3 का [[क्लेन चतुर्थक]] है। इसे 24 हेप्टागोन्स द्वारा टाइल किए गए तीन हैंडल वाली सतह के रूप में समझा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक चेहरे के केंद्र में पुच्छ होता है। इन टाइलिंग को डेसिन्स डी एनफैंट्स और [[बेली समारोह]] के माध्यम से समझा जा सकता है - क्यूप्स ∞ (लाल बिंदु) के ऊपर स्थित बिंदु हैं, जबकि किनारों के शीर्ष और केंद्र (काले और सफेद बिंदु) 0 और 1 के ऊपर स्थित बिंदु हैं। कवरिंग X(7) → X(1) का गैलोज़ समूह पीएसएल(2,7)|पीएसएल(2,7) के क्रम 168 समरूपी का सरल समूह है।


एक्स के लिए स्पष्ट शास्त्रीय मॉडल है<sub>0</sub>(एन), [[शास्त्रीय मॉड्यूलर वक्र]]; इसे कभी-कभी मॉड्यूलर वक्र भी कहा जाता है। Γ(N) की परिभाषा को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: यह मॉड्यूलर समूह का उपसमूह है जो कमी [[मॉड्यूलर अंकगणित]] एन का कर्नेल है। फिर Γ<sub>0</sub>(एन) मैट्रिक्स का बड़ा उपसमूह है जो ऊपरी त्रिकोणीय मॉड्यूलो एन है:
एक्स के लिए स्पष्ट शास्त्रीय मॉडल है<sub>0</sub>(एन), [[शास्त्रीय मॉड्यूलर वक्र]]; इसे कभी-कभी मॉड्यूलर वक्र भी कहा जाता है। Γ(N) की परिभाषा को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: यह मॉड्यूलर समूह का उपसमूह है जो कमी [[मॉड्यूलर अंकगणित]] एन का कर्नेल है। फिर Γ<sub>0</sub>(एन) मैट्रिक्स का बड़ा उपसमूह है जो ऊपरी त्रिकोणीय मॉड्यूलो एन है:
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== जाति ==
== जाति ==
कवरिंग X(N) → X(1) गैलोज़ है, गैलोज़ समूह SL(2, N)/{1, −1} के साथ, जो PSL(2,N) के बराबर है यदि N अभाज्य है। रीमैन-हर्विट्ज़ फॉर्मूला और गॉस-बोनट प्रमेय को लागू करके, कोई एक्स (एन) के जीनस की गणना कर सकता है। [[अभाज्य संख्या]] स्तर p ≥ 5 के लिए,
कवरिंग X(N) → X(1) गैलोज़ है, गैलोज़ समूह एसएल(2, N)/{1, −1} के साथ, जो पीएसएल(2,N) के बराबर है यदि N अभाज्य है। रीमैन-हर्विट्ज़ फॉर्मूला और गॉस-बोनट प्रमेय को लागू करके, कोई एक्स (एन) के जीनस की गणना कर सकता है। [[अभाज्य संख्या]] स्तर p ≥ 5 के लिए,


:<math>-\pi\chi(X(p)) = |G|\cdot D,</math>
:<math>-\pi\chi(X(p)) = |G|\cdot D,</math>
जहां χ = 2 − 2g [[यूलर विशेषता]] है, |G| = (p+1)p(p−1)/2 समूह PSL(2, p) का क्रम है, और D = π - π/2 - π/3 - π/p का [[दोष (ज्यामिति)]] है गोलाकार (2,3,पी) त्रिकोण. इससे सूत्र तैयार होता है
जहां χ = 2 − 2g [[यूलर विशेषता]] है, |G| = (p+1)p(p−1)/2 समूह पीएसएल(2, p) का क्रम है, और D = π - π/2 - π/3 - π/p का [[दोष (ज्यामिति)]] है गोलाकार (2,3,पी) त्रिकोण. इससे सूत्र तैयार होता है


:<math>g = \tfrac{1}{24}(p+2)(p-3)(p-5).</math>
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===जीनस शून्य===
===जीनस शून्य===
सामान्य तौर पर मॉड्यूलर फ़ंक्शन फ़ील्ड मॉड्यूलर वक्र की बीजगणितीय विविधता का फ़ंक्शन फ़ील्ड होता है (या, कभी-कभी, कुछ अन्य मॉड्यूलि स्पेस जो अपरिवर्तनीय विविधता बन जाता है)। जीनस (गणित) शून्य का अर्थ है कि ऐसे फ़ंक्शन फ़ील्ड में जनरेटर के रूप में एकल [[पारलौकिक कार्य]] होता है: उदाहरण के लिए [[जे-अपरिवर्तनीय]]|j-फ़ंक्शन ''X''(1) = PSL(2, Z)\H का फ़ंक्शन फ़ील्ड उत्पन्न करता है *. ऐसे जनरेटर का पारंपरिक नाम, जो मोबियस परिवर्तन के लिए अद्वितीय है और उचित रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है, हौप्टमोडुल (मुख्य या प्रमुख मॉड्यूलर फ़ंक्शन, बहुवचन हौप्टमोडुलन) है।
सामान्य तौर पर मॉड्यूलर फ़ंक्शन फ़ील्ड मॉड्यूलर वक्र की बीजगणितीय विविधता का फ़ंक्शन फ़ील्ड होता है (या, कभी-कभी, कुछ अन्य मॉड्यूलि स्पेस जो अपरिवर्तनीय विविधता बन जाता है)। जीनस (गणित) शून्य का अर्थ है कि ऐसे फ़ंक्शन फ़ील्ड में जनरेटर के रूप में एकल [[पारलौकिक कार्य]] होता है: उदाहरण के लिए [[जे-अपरिवर्तनीय]]|j-फ़ंक्शन ''X''(1) = पीएसएल(2, Z)\H का फ़ंक्शन फ़ील्ड उत्पन्न करता है *. ऐसे जनरेटर का पारंपरिक नाम, जो मोबियस परिवर्तन के लिए अद्वितीय है और उचित रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है, हौप्टमोडुल (मुख्य या प्रमुख मॉड्यूलर फ़ंक्शन, बहुवचन हौप्टमोडुलन) है।


रिक्त स्थान ''X''<sub>1</sub>(एन) में एन = 1, ..., 10 और एन = 12 के लिए जीनस शून्य है। चूंकि इनमें से प्रत्येक वक्र को 'क्यू' पर परिभाषित किया गया है और इसमें 'क्यू'-तर्कसंगत बिंदु है, यह इस प्रकार है कि अनंत रूप से कई तर्कसंगत हैं ऐसे प्रत्येक वक्र पर बिंदु, और इसलिए n के इन मानों के लिए n-मरोड़ के साथ 'Q' पर अनंत रूप से कई अण्डाकार वक्र परिभाषित होते हैं। विपरीत कथन, कि केवल n के ये मान ही घटित हो सकते हैं, मजूर का मरोड़ प्रमेय है।
रिक्त स्थान ''X''<sub>1</sub>(एन) में एन = 1, ..., 10 और एन = 12 के लिए जीनस शून्य है। चूंकि इनमें से प्रत्येक वक्र को 'क्यू' पर परिभाषित किया गया है और इसमें 'क्यू'-तर्कसंगत बिंदु है, यह इस प्रकार है कि अनंत रूप से कई तर्कसंगत हैं ऐसे प्रत्येक वक्र पर बिंदु, और इसलिए n के इन मानों के लिए n-मरोड़ के साथ 'Q' पर अनंत रूप से कई अण्डाकार वक्र परिभाषित होते हैं। विपरीत कथन, कि केवल n के ये मान ही घटित हो सकते हैं, मजूर का मरोड़ प्रमेय है।

Revision as of 19:31, 21 July 2023

संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में, मॉड्यूलर वक्र Y(Γ) रीमैन सतह, या संबंधित बीजगणितीय वक्र है, जो मॉड्यूलर समूह समूह के सर्वांगसम उपसमूह Γ की क्रिया द्वारा जटिल ऊपरी आधे-तल H के समूह क्रिया द्वारा भागफल के रूप में निर्मित होता है। इंटीग्रल 2×2 मैट्रिक्स एसएल(2, Z)। मॉड्यूलर वक्र शब्द का उपयोग कॉम्पैक्टिफाइड मॉड्यूलर वक्रों को संदर्भित करने के लिए भी किया जा सकता है -X(Γ) जो कि इस भागफल में (विस्तारित जटिल ऊपरी-आधे तल पर क्रिया के माध्यम से) बहुत सारे बिंदु (जिसे Γ के क्यूप्स कहा जाता है) जोड़कर प्राप्त किए गए संघनन (गणित) हैं। मॉड्यूलर वक्र के बिंदु समूह Γ के आधार पर कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ,अण्डाकार वक्रों के समरूपता वर्गों को पैरामीट्रिज करते हैं। यह व्याख्या किसी को जटिल संख्याओं के संदर्भ के बिना, मॉड्यूलर वक्रों की विशुद्ध रूप से बीजगणितीय परिभाषा देने की अनुमति देती है, और इसके अलावा, यह साबित करती है कि मॉड्यूलर वक्र या तो तर्कसंगत संख्या Q के क्षेत्र या साइक्लोटोमिक क्षेत्र Q(ζn) पर परिभाषित होते हैं। बाद वाला तथ्य और इसके सामान्यीकरण संख्या सिद्धांत में मौलिक महत्व के हैं।

विश्लेषणात्मक परिभाषा

मॉड्यूलर समूह एसएल (2, Z) आंशिक रैखिक परिवर्तनों द्वारा ऊपरी आधे तल पर कार्य करता है। मॉड्यूलर वक्र की विश्लेषणात्मक परिभाषा में एसएल(2, Z) के सर्वांगसम उपसमूह Γ का विकल्प शामिल होता है, यानी उपसमूह जिसमें कुछ सकारात्मक पूर्णांक N के लिए स्तर N Γ(N) का प्रमुख सर्वांगसम उपसमूह होता है, जहां

ऐसे न्यूनतम N को Γ का स्तर कहा जाता है। गैर सघन रीमैन सतह जिसे आमतौर पर Y(Γ) कहा जाता है, प्राप्त करने के लिए भागफल Γ\H पर जटिल संरचना डाली जा सकती है।

संहतित मॉड्यूलर वक्र

Y(Γ) का सामान्य संघनन बहुत सारे बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जिन्हें Γ के क्यूप्स कहा जाता है। विशेष रूप से, यह विस्तारित जटिल ऊपरी-आधे विमान H* = H ∪ Q ∪ {∞}. पर Γ की क्रिया पर विचार करके किया जाता है। हम आधार के रूप में H* पर टोपोलॉजी प्रस्तुत करते हैं:

  • H का कोई भी खुला उपसमुच्चय,
  • सभी r > 0 के लिए, सेट
  • सभी सहअभाज्य पूर्णांक a, c और सभी r > 0 के लिए, की क्रिया के तहत की छवि
जहाँ m, n ऐसे पूर्णांक हैं कि a + सेमी = 1.

यह H* को टोपोलॉजिकल स्पेस में बदल देता है जो रीमैन क्षेत्र P1(C) का उपसमुच्चय है। समूह Γ उपसमुच्चय Q ∪ {∞} पर कार्य करता है, इसे परिमित रूप से कई कक्षाओं में विभाजित करता है जिन्हें Γ का पुच्छल कहा जाता है। यदि Γ Q ∪ {∞} पर सकर्मक रूप से कार्य करता है, तो स्थान Γ\H* Γ\H का अलेक्जेंड्रॉफ़ संघनन बन जाता है। बार फिर, जटिल संरचना को भागफल Γ\H* पर रखा जा सकता है, जिससे इसे X(Γ) नामक रीमैन सतह में बदल दिया जा सकता है, जो अब कॉम्पैक्ट है। यह स्थान Y(Γ) का संघनन है।[1]

उदाहरण

सबसे सामान्य उदाहरण उपसमूह Γ(N), Γ0(N), और Γ1(N) से जुड़े वक्र X(N), X0(N), और X1(N) हैं।

मॉड्यूलर वक्र कवरिंग X(5) → X(1) को रीमैन क्षेत्र पर विंशतिफलक समरूपता की क्रिया द्वारा महसूस किया जाता है। यह समूह A से 60 समरूपी क्रम का सरल समूह है5 और पीएसएल(2,5).

मॉड्यूलर वक्र X(7) 24 क्यूप्स के साथ जीनस 3 का क्लेन चतुर्थक है। इसे 24 हेप्टागोन्स द्वारा टाइल किए गए तीन हैंडल वाली सतह के रूप में समझा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक चेहरे के केंद्र में पुच्छ होता है। इन टाइलिंग को डेसिन्स डी एनफैंट्स और बेली समारोह के माध्यम से समझा जा सकता है - क्यूप्स ∞ (लाल बिंदु) के ऊपर स्थित बिंदु हैं, जबकि किनारों के शीर्ष और केंद्र (काले और सफेद बिंदु) 0 और 1 के ऊपर स्थित बिंदु हैं। कवरिंग X(7) → X(1) का गैलोज़ समूह पीएसएल(2,7)|पीएसएल(2,7) के क्रम 168 समरूपी का सरल समूह है।

एक्स के लिए स्पष्ट शास्त्रीय मॉडल है0(एन), शास्त्रीय मॉड्यूलर वक्र; इसे कभी-कभी मॉड्यूलर वक्र भी कहा जाता है। Γ(N) की परिभाषा को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: यह मॉड्यूलर समूह का उपसमूह है जो कमी मॉड्यूलर अंकगणित एन का कर्नेल है। फिर Γ0(एन) मैट्रिक्स का बड़ा उपसमूह है जो ऊपरी त्रिकोणीय मॉड्यूलो एन है:

और Γ1(एन) मध्यवर्ती समूह है जिसे निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है: