पिकार्ड समूह

Not to be confused with पिकार्ड मॉड्यूलर समूह.

गणित में, वलययुक्त समिष्ट X का पिकार्ड समूह, जिसे Pic(X) द्वारा निरूपित किया जाता है, X पर उल्टे शीव्स (या लाइन बंडल) के समरूपता वर्गों का समूह है, इस प्रकार समूह संचालन टेंसर उत्पाद है। यह निर्माण विभाजक वर्ग समूह, या आदर्श वर्ग समूह के निर्माण का वैश्विक संस्करण है, और इसका उपयोग बीजगणितीय ज्यामिति और समष्टि मैनिफ़ोल्ड के सिद्धांत में बहुत अधिक किया जाता है।

वैकल्पिक रूप से, पिकार्ड समूह को शीफ़ कोहोमोलोजी समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*}).\,$

अभिन्न स्कीम (गणित) के लिए पिकार्ड समूह कार्टियर विभाजक के वर्ग समूह के समरूपी है। समष्टि मैनिफ़ोल्ड के लिए घातीय शीफ़ अनुक्रम पिकार्ड समूह पर मूलभूत जानकारी देता है।

यह नाम एमिल पिकार्ड के सिद्धांतों, विशेष रूप से बीजगणितीय सतह पर विभाजक के सम्मान में है।

उदाहरण

• डेडेकाइंड डोमेन के रिंग के स्पेक्ट्रम का पिकार्ड समूह इसका आदर्श वर्ग समूह है।
• k क्षेत्र के लिए प्रक्षेप्य समिष्ट Pⁿ(k) पर विपरीत शीव्स घुमाने वाले शीव्स ${\mathcal {O}}(m),\,$ हैं, इसलिए Pⁿ(k) का पिकार्ड समूह Z के लिए समरूपी है।
• k पर दो मूलों वाली f़िन लाइन का पिकार्ड समूह 'Z' के लिए समरूपी है।
• पिकार्ड समूह $n$-आयामी समष्टि f़िन स्पेस: $\operatorname {Pic} (\mathbb {C} ^{n})=0$, वास्तव में घातीय अनुक्रम कोहोलॉजी में निम्नलिखित लंबे स्पष्ट अनुक्रम उत्पन्न करता है

  $\dots \to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\to H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })\to H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\to \cdots$

और तबसे $H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )$ अपने पास $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0$ क्योंकि $\mathbb {C} ^{n}$ तो फिर, अनुबंध योग्य है $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })$ और हम गणना करने के लिए डॉल्बियॉल्ट कोहोमोलॉजी#डॉलब्यूल्ट प्रमेय को प्रयुक्त कर सकते हैं $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0$ डॉल्बियॉल्ट कोहोमोलॉजी द्वारा#डॉलबियॉल्ट-ग्रोथेंडिक लेम्माटा|डॉलबियॉल्ट-ग्रोथेंडिक लेम्मा।

और चूँकि $H^{k}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H_{\scriptscriptstyle {\rm {sing}}}^{k}(\mathbb {C} ^{n};\mathbb {Z} )$ हमारे पास $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq H^{2}(\mathbb {C} ^{n},{\underline {\mathbb {Z} }})\simeq 0$ है क्योंकि $\mathbb {C} ^{n}$ अनुबंध योग्य है, तो $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}}^{\star })$ और हम डॉल्बियॉल्ट कोहोमोलॉजी लेम्मा द्वारा $H^{1}(\mathbb {C} ^{n},{\mathcal {O}}_{\mathbb {C} ^{n}})\simeq H^{1}(\mathbb {C} ^{n},\Omega _{\mathbb {C} ^{n}}^{0})\simeq H_{\bar {\partial }}^{0,1}(\mathbb {C} ^{n})=0$ की गणना करने के लिए डॉल्बियॉल्ट समरूपता प्रयुक्त कर सकते हैं।

पिकार्ड स्कीम

पिकार्ड समूह, पिकार्ड स्कीम (के प्रतिनिधित्व योग्य फ़नकार संस्करण) पर स्कीम संरचना का निर्माण, बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण कदम है, विशेष रूप से एबेलियन विभिन्नताों के द्वैत सिद्धांत में इसका निर्माण किया गया था ग्रोथेंडिक (1962), और द्वारा भी वर्णित है मम्फोर्ड (1966) और क्लेमन (2005).

मौलिक बीजगणितीय ज्यामिति के लिए सबसे महत्वपूर्ण स्थितियों में, बीजगणितीय वक्र या एकवचन या गैर-एकवचन पूर्ण विविधता V के लिए विशेषता (बीजगणित) शून्य के क्षेत्र (गणित) पर, पिकार्ड स्कीम में पहचान का कनेक्टेड समिष्ट एबेलियन है विभिन्नता को 'पिकार्ड विभिन्नता' कहा जाता है और चित्र से दर्शाया जाता है. पिकार्ड विभिन्नता की दोहरी जैकोबियन विभिन्नता है, और विशेष स्थिति में जहां v वक्र है, पिकार्ड विभिन्नता स्वाभाविक रूप से v की जैकोबियन विभिन्नता के लिए आइसोमोर्फिक है। चूँकि, धनात्मक विशेषता वाले क्षेत्रों के लिए, नेरॉन-सेवेरी समूह ने उदाहरण का निर्माण किया छवि के साथ स्मूथ प्रक्षेप्य सतह s⁰(s) गैर-कम, और इसलिए एबेलियन विभिन्नता नहीं है।

भागफल Pic(V) या Pic⁰(V) सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है जिसे NS(V) कहा जाता है, जो V का 'नेरॉन-सेवेरी समूह' है। दूसरे शब्दों में पिकार्ड समूह स्पष्ट अनुक्रम में फिट बैठता है

$1\to \mathrm {Pic} ^{0}(V)\to \mathrm {Pic} (V)\to \mathrm {NS} (V)\to 1.\,$

तथ्य यह है कि ns (वी) का रैंक परिमित है, फ्रांसिस सेवेरी का 'आधार का प्रमेय' है; रैंक V का 'पिकार्ड नंबर' है, जिसे अधिकांशतः ρ(V) से दर्शाया जाता है। ज्यामितीय रूप से ns(v) पर विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) के बीजगणितीय तुल्यता वर्गों का वर्णन करता है; अर्थात्, विभाजकों की रैखिक तुल्यता के समिष्ट पर सशक्त, गैर-रैखिक तुल्यता संबंध का उपयोग करके, वर्गीकरण असतत अपरिवर्तनीयों के लिए उत्तरदायी हो जाता है। बीजगणितीय तुल्यता संख्यात्मक तुल्यता से निकटता से संबंधित है, जो प्रतिच्छेदन संख्याओं द्वारा अनिवार्य रूप से टोपोलॉजिकल वर्गीकरण है।

सापेक्ष पिकार्ड स्कीम

मान लीजिए f: X →S स्कीमओं का रूप है। 'सापेक्ष पिकार्ड फ़ैक्टर' (या 'सापेक्ष पिकार्ड स्कीम' यदि यह स्कीम है) द्वारा दी गई है: किसी भी s-स्कीम टी के लिए,

$\operatorname {Pic} _{X/S}(T)=\operatorname {Pic} (X_{T})/f_{T}^{*}(\operatorname {Pic} (T))$

कहाँ $f_{T}:X_{T}\to T$ _T f और f का आधार परिवर्तन है.

हम कहते हैं L इन $\operatorname {Pic} _{X/S}(T)$ यदि किसी ज्यामितीय बिंदु s → T के लिए पुलबैक है तो इसकी डिग्री r है इस प्रकार $s^{*}L$ s के साथ L की डिग्री आर फाइबर x_s पर उलटा शीफ ​​के रूप में है (जब डिग्री को x_s के पिकार्ड समूह के लिए परिभाषित किया गया है)

यह भी देखें

• शीफ कोहोमोलोजी
• चाउ विभिन्नता
• कार्टियर विभाजक
• होलोमोर्फिक लाइन बंडल
• आदर्श वर्ग समूह
• अरकेलोव वर्ग समूह
• समूह-स्टैक
• पिकार्ड श्रेणी

संदर्भ

• Grothendieck, A. (1962), V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 232, pp. 143–161
• Grothendieck, A. (1962), VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales, Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 236, pp. 221–243
• Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157, OCLC 13348052
• Igusa, Jun-Ichi (1955), "On some problems in abstract algebraic geometry", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 41 (11): 964–967, Bibcode:1955PNAS...41..964I, doi:10.1073/pnas.41.11.964, PMC 534315, PMID 16589782
• Kleiman, Steven L. (2005), "The Picard scheme", Fundamental algebraic geometry, Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 235–321, arXiv:math/0504020, Bibcode:2005math......4020K, MR 2223410
• Mumford, David (1966), Lectures on Curves on an Algebraic Surface, Annals of Mathematics Studies, vol. 59, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07993-6, MR 0209285, OCLC 171541070
• Mumford, David (1970), Abelian varieties, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC 138290