सतत फलन: Difference between revisions

गणित में, सतत फलन ऐसा फलन (गणित) होता है, जिसमें किसी फलन के तर्क का निरंतर परिवर्तन (अर्थात् बिना छलांग के परिवर्तन) फलन के [[मूल्य (गणित)|मान (गणित)]] में निरंतर परिवर्तन उत्पन्न करता है। इसका अर्थ यह है कि मान में कोई अचानक परिवर्तन नहीं होता है, जिसे ''विच्छेदों का वर्गीकरण'' कहा जाता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक फलन निरंतर होता है यदि इसके मान में स्वैच्छिक रूप से छोटे बदलावों को इसके तर्क के पर्याप्त छोटे परिवर्तनों तक सीमित करके सुनिश्चित किया जा सकता है। असंतत फलन एक ऐसा फलन है जो सतत नहीं है। 19वीं शताब्दी तक, गणितज्ञ बड़े पैमाने पर निरंतरता की [[अंतर्ज्ञान|सहज]] धारणाओं पर विश्वाश करते थे, और केवल निरंतर फलनों पर विचार करते थे। (निरंतरता की परिभाषा को औपचारिक बनाने के लिए (ε, δ)-सीमा की एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषा प्रस्तुत की गई थी।

[[File:Function-1 x.svg|thumb|फलनक्रम <math>f(x)=\tfrac 1 x</math> अपने डोमेन पर निरंतर है (<math>\R\setminus \{0\}</math>), किन्तु असंतत (निरंतर नहीं या विलक्षणता (गणित)#वास्तविक विश्लेषण)। <math>x=0</math><ref>{{cite book |last1=Strang |first1=Gilbert |title=गणना|year=1991 |publisher=SIAM|isbn=0961408820 |page=702|url={{Google books|OisInC1zvEMC|page=87|plainurl=yes}}}}</ref>.फिर भी, [[कॉची प्रमुख मूल्य|कॉची प्रमुख मान]] को परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जटिल विश्लेषण में (<math>\mathbb{C}</math>, विशेष रूप से <math>\widehat{\mathbb{C}}</math>.), इस बिंदु (x=0) को अपरिभाषित नहीं माना जाता है (गणित)#वे मान जिनके लिए फलन अपरिभाषित हैं और इसे विलक्षणता कहा जाता है, क्योंकि जब सोचा जाता है <math>x</math> जटिल वेरिएबल के रूप में, यह बिंदु [[ध्रुव (जटिल विश्लेषण)]] है, और फिर अधिकतम परिमित प्रमुख भाग वाली [[लॉरेंट श्रृंखला]] को एकवचन बिंदुओं के आसपास परिभाषित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, उदाहरण जैसे फलनों का अध्ययन करने के लिए रीमैन क्षेत्र#तर्कसंगत फलनों का उपयोग अक्सर मॉडल के रूप में किया जाता है।]]वास्तविक फलन, जो कि वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फलन (गणित) है, को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फलन के ग्राफ़ द्वारा दर्शाया जा सकता है; ऐसा फलन निरंतर होता है यदि, सामान्यतः कहें तो, ग्राफ़ एकल अखंड [[वक्र]] है जिसका फलन का डोमेन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। अधिक गणितीय रूप से कठोर परिभाषा नीचे दी गई है।<ref>{{cite web | url=http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | title=निरंतरता और असंततता| last1=Speck | first1=Jared | year=2014 | page=3 | access-date=2016-09-02 | website=MIT Math | quote=Example 5. The function <math>1/x</math> is continuous on <math>(0, \infty)</math> and on <math>(-\infty, 0),</math> i.e., for <math>x > 0</math> and for <math>x < 0,</math> in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely <math>x = 0,</math> and it has an infinite discontinuity there. | archive-date=2016-10-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20161006014646/http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | url-status=dead }}</ref>

एक फ़ंक्शन एक खुले अंतराल पर निरंतर होता है यदि अंतराल फ़ंक्शन के डोमेन में समाहित होता है, और फ़ंक्शन अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है। एक फ़ंक्शन जो अंतराल <math>(-\infty, +\infty)</math> (संपूर्ण वास्तविक रेखा) पर निरंतर होता है, उसे अक्सर एक निरंतर फ़ंक्शन कहा जाता है; एक यह भी कहता है कि ऐसा फलन सर्वत्र निरन्तर होता रहता है। उदाहरण के लिए, सभी बहुपद फलन प्रत्येक स्थान सतत होते हैं।

====पड़ोस के संदर्भ में परिभाषा====

बिंदु c का [[पड़ोस (गणित)]] एक ऐसा समुच्चय है जिसमें, कम से कम, c की कुछ निश्चित दूरी के सभी बिंदु शामिल होते हैं। सहज रूप से, एक फ़ंक्शन एक बिंदु c पर निरंतर होता है यदि c के पड़ोस पर f की सीमा एक बिंदु <math>f(c)</math> तक सिकुड़ जाती है क्योंकि c के आसपास के पड़ोस की चौड़ाई शून्य तक सिकुड़ जाती है। अधिक सटीक रूप से, एक फ़ंक्शन f अपने डोमेन के एक बिंदु c पर निरंतर होता है यदि, किसी भी पड़ोस <math>N_1(f(c))</math> के लिए उसके डोमेन में एक पड़ोस <math>N_2(c)</math> होता है जैसे कि <math>f(x) \in N_1(f(c))</math> जब भी <math>x\in N_2(c).</math> होता है।

जैसा कि पड़ोस को किसी भी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में परिभाषित किया जाता है, सतत फलन की यह परिभाषा न केवल वास्तविक फलनों के लिए लागू होती है, किन्तु तब भी लागू होती है जब डोमेन और [[कोडोमेन]] टोपोलॉजिकल स्पेस होते हैं, और इस प्रकार यह सबसे सामान्य परिभाषा है। इसका तात्पर्य यह है कि फलन अपने डोमेन के प्रत्येक पृथक बिंदु पर स्वचालित रूप से निरंतर होता है। विशिष्ट उदाहरण के रूप में, पूर्णांकों पर प्रत्येक वास्तविक मानवान फलन निरंतर है।

अधिक सहजता से हम कह सकते हैं कि यदि हम सब कुछ पाना चाहते हैं <math>f(x)</math> आसपास के कुछ छोटे [[टोपोलॉजिकल पड़ोस]] में रहने का मान <math>f\left(x_0\right),</math> हमें बस इसके लिए छोटा सा पड़ोस चुनने की जरूरत है <math>x</math> चारों ओर मान <math>x_0</math> अगर हम ऐसा कर सकते हैं तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना छोटा है <math>f(x_0)</math> तो पड़ोस है <math>f</math> पर निरंतर <math>x_0</math> है।  

प्रमाणों और संख्यात्मक विश्लेषण में हमें अक्सर यह जानने की आवश्यकता होती है कि सीमाएँ कितनी तेजी से परिवर्तित हो रही हैं, या दूसरे शब्दों में, शेष पर नियंत्रण। हम इसे निरंतरता की परिभाषा के रूप में औपचारिक रूप दे सकते हैं।

फलन <math>f : D \to R</math> C-निरंतर है <math>x_0</math> यदि ऐसा कोई पड़ोस <math display="inline">N(x_0)</math> उपस्थित है वह

[[कॉची]] ने किसी फलन की निरंतरता को निम्नलिखित सहज शब्दों में परिभाषित किया है: स्वतंत्र वेरिएबल में अतिसूक्ष्म परिवर्तन, आश्रित वेरिएबल के अतिसूक्ष्म परिवर्तन (देखें कौर्स डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34) से मेल खाता है। गैर-मानक विश्लेषण इसे गणितीय रूप से कठोर बनाने का तरीका है। वास्तविक रेखा को अनंत और अतिसूक्ष्म संख्याओं को जोड़कर अतिवास्तविक संख्याएँ बनाने के लिए संवर्धित किया जाता है। गैरमानक विश्लेषण में, निरंतरता को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

(द्वारा परिभाषित <math>r(x) = 1/f(x)</math> सभी के लिए <math>x \in D</math> ऐसा है कि <math>f(x) \neq 0</math>)

में निरंतर है <math>D\setminus \{x : f(x) = 0\}.</math>इसका तात्पर्य यह है कि, <math>g,</math> की मूलों को छोड़कर,  {{em|सतत कार्यों का भागफल}}

(द्वारा परिभाषित <math>q(x) = f(x)/g(x)</math> सभी के लिए <math>x \in D</math>, ऐसा है कि <math>g(x) \neq 0</math>)

 

भी लगातार चालू है <math>D\setminus \{x:g(x) = 0\}</math>.

सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है <math>x \neq -2</math> और ऐसे हर बिंदु पर निरंतर है। इस प्रकार यह सतत फलन है। निरंतरता का प्रश्न <math>x = -2</math> तब से उत्पन्न नहीं होता है <math>x = -2</math> के क्षेत्र में नहीं है <math>y.</math> कोई सतत फलन नहीं है <math>F : \R \to \R</math> जिससे सहमत है <math>y(x)</math> सभी के लिए <math>x \neq -2.</math>

[[File:Si cos.svg|thumb|सिन और कॉस फलन करते हैं]][[सिन फ़ंक्शन|सिन फलन]] [[ उन लोगों के ]] सभी वास्तविकताओं पर निरंतर है, इसलिए साइन फलन <math>G(x) = \sin(x)/x,</math> सभी वास्तविक के लिए परिभाषित और निरंतर है <math>x \neq 0.</math> हालाँकि, पिछले उदाहरण के विपरीत, जी {{em|can}} को सतत फलन के लिए विस्तारित किया जाए {{em|all}} वास्तविक संख्याएँ, द्वारा {{em|defining}} मान <math>G(0)</math> 1 होना, जो की सीमा है <math>G(x),</math> जब x 0 के करीब पहुंचता है, यानी,

<math>c = g \circ f : D_f \to \R,</math> और द्वारा परिभाषित <math>c(x) = g(f(x)),</math> सतत है.

<math display="block">e^{\sin(\ln x)}</math> सभी के लिए निरंतर है <math>x > 0.</math>

उदाहरण के लिए चुनें <math>\varepsilon = 1/2</math>. तो फिर नहीं है {{nowrap|<math>\delta</math>-neighborhood}} आस-पास <math>x = 0</math>, यानी कोई विवृत अंतराल नहीं <math>(-\delta,\;\delta)</math> साथ <math>\delta > 0,</math> जो सभी को मजबूर कर देगा <math>H(x)</math> मानों के भीतर होना चाहिए {{nowrap|<math>\varepsilon</math>-neighborhood}} का <math>H(0)</math>, यानी भीतर <math>(1/2,\;3/2)</math>. सहज रूप से हम इस प्रकार की असंततता को फलन मानों में अचानक उछाल असंततता के रूप में सोच सकते हैं।

पर असंतत है <math>x = 0</math> किन्तु अन्य सभी जगह निरंतर. और उदाहरण: फलन

<math display="block">f(x) = \begin{cases}

[[File:Thomae function (0,1).svg|200px|right|thumb|अंतराल (0,1) पर थॉमे के फलन का बिंदु प्लॉट। मध्य में सबसे ऊपरी बिंदु f(1/2) = 1/2 दर्शाता है।]]उपरोक्त जैसी प्रशंसनीय निरंतरताओं और असंततताओं के अतिरिक्त, व्यवहार के साथ फलन भी होते हैं, जिन्हें अक्सर [[पैथोलॉजिकल (गणित)]] गढ़ा जाता है, उदाहरण के लिए, थॉमे का फलन,

होने देना <math>f(x)</math> ऐसा फलन हो जो बिंदु पर सतत हो <math>x_0,</math> और <math>y_0</math> ऐसा मान हो <math>f\left(x_0\right)\neq y_0.</math> तब <math>f(x)\neq y_0</math> के कुछ पड़ोस में <math>x_0.</math><ref>{{citation|last=Brown|first=James Ward|title=Complex Variables and Applications|year=2009|publisher=McGraw Hill|edition=8th|page=54|isbn=978-0-07-305194-9}}</ref>

मान लीजिए कि पड़ोस में बिंदु है <math>|x-x_0|<\delta</math> जिसके लिए <math>f(x)=y_0;</math> तब हमारे पास विरोधाभास है

मध्यवर्ती मान प्रमेय [[अस्तित्व प्रमेय]] है, जो वास्तविक संख्या#पूर्णता की वास्तविक संख्या संपत्ति पर आधारित है, और बताता है:

:यदि वास्तविक मान वाला फलन f अंतराल पर निरंतर है (गणित) <math>[a, b],</math> और k के बीच में कोई संख्या है <math>f(a)</math> और <math>f(b),</math> फिर कुछ संख्या है <math>c \in [a, b],</math> ऐसा है कि <math>f(c) = k.</math>

परिणामस्वरूप, यदि f निरंतर चालू है <math>[a, b]</math> और <math>f(a)</math> और <math>f(b)</math> फिर, किसी बिंदु पर, [[साइन (गणित)]] में भिन्नता होती है <math>c \in [a, b],</math> <math>f(c)</math> [[0 (संख्या)]] के बराबर होना चाहिए।

चरम मान प्रमेय बताता है कि यदि फलन f को संवृत अंतराल पर परिभाषित किया गया है <math>[a, b]</math> (या कोई संवृत और घिरा हुआ सेट) और वहां निरंतर है, तो फलन अपनी अधिकतम प्राप्त करता है, यानी वहां उपस्थित है <math>c \in [a, b]</math> साथ <math>f(c) \geq f(x)</math> सभी के लिए <math>x \in [a, b].</math> एफ के न्यूनतम के बारे में भी यही सच है। यदि फलन को खुले अंतराल पर परिभाषित किया गया है तो ये कथन सामान्य तौर पर सत्य नहीं हैं <math>(a, b)</math> (या कोई भी सेट जो संवृत और परिबद्ध दोनों नहीं है), उदाहरण के लिए, निरंतर फलन <math>f(x) = \frac{1}{x},</math> खुले अंतराल (0,1) पर परिभाषित, ऊपर असीमित होने के कारण अधिकतम प्राप्त नहीं होता है।

सतत है, जैसा दिखाया जा सकता है। प्रमेय#वार्तालाप मान्य नहीं है: उदाहरण के लिए, निरपेक्ष मान फलन

हर जगह निरंतर है. हालाँकि, इसमें भिन्नता नहीं है <math>x = 0</math> (किन्तु ऐसा हर जगह है)। वीयरस्ट्रैस फलन|वीयरस्ट्रैस का फलन भी हर जगह निरंतर है किन्तु कहीं भी भिन्न नहीं है।

अवकलनीय फलन f(x) का व्युत्पन्न f′(x) निरंतर होना आवश्यक नहीं है। यदि f′(x) सतत है, तो f(x) को सतत अवकलनीय कहा जाता है। ऐसे फ़ंक्शंस का सेट दर्शाया गया है <math>C^1((a, b)).</math> अधिक सामान्यतः, फ़ंक्शंस का सेट