सतत फलन: Difference between revisions

गणित में, एक सतत फलन एक ऐसा फलन (गणित) होता है, जिसमें किसी फलन के तर्क का निरंतर परिवर्तन (जो कि बिना छलांग के परिवर्तन होता है) फलन के [[मूल्य (गणित)]] में निरंतर परिवर्तन को प्रेरित करता है। इसका मतलब यह है कि मूल्य में कोई अचानक परिवर्तन नहीं होता है, जिसे ''विच्छेदों का वर्गीकरण'' कहा जाता है। अधिक सटीक रूप से, एक फ़ंक्शन निरंतर होता है यदि इसके मूल्य में मनमाने ढंग से छोटे बदलावों को इसके तर्क के पर्याप्त छोटे परिवर्तनों तक सीमित करके सुनिश्चित किया जा सकता है। एक असंतत फलन एक फलन है जो कि है {{em|not continuous}}. 19वीं शताब्दी तक, गणितज्ञ बड़े पैमाने पर निरंतरता की [[अंतर्ज्ञान]] धारणाओं पर भरोसा करते थे, और केवल निरंतर कार्यों पर विचार करते थे। (ε, δ)-सीमा की परिभाषा|एप्सिलॉन-एक सीमा की डेल्टा परिभाषा निरंतरता की परिभाषा को औपचारिक बनाने के लिए पेश की गई थी।

निरंतरता [[ गणना ]] और [[गणितीय विश्लेषण]] की मुख्य अवधारणाओं में से एक है, जहां कार्यों के तर्क और मूल्य [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]] संख्याएं हैं। इस अवधारणा को कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया गया है #मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच निरंतर कार्य और #टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच निरंतर कार्य। उत्तरार्द्ध सबसे सामान्य निरंतर कार्य हैं, और उनकी परिभाषा [[टोपोलॉजी]] का आधार है।

निरंतरता का एक सशक्त रूप [[एकसमान निरंतरता]] है। क्रम सिद्धांत में, विशेष रूप से [[डोमेन सिद्धांत]] में, निरंतरता की एक संबंधित अवधारणा [[स्कॉट निरंतरता]] है।

(ε, δ) का एक रूप - सीमा की परिभाषा#निरंतरता|एप्सिलॉन-निरंतरता की डेल्टा परिभाषा सबसे पहले 1817 में [[बर्नार्ड बोलजानो]] द्वारा दी गई थी। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने निरंतरता को परिभाषित किया <math>y = f(x)</math> इस प्रकार: एक असीम रूप से छोटी वृद्धि <math>\alpha</math> स्वतंत्र चर x का हमेशा एक असीम रूप से छोटा परिवर्तन उत्पन्न होता है <math>f(x+\alpha)-f(x)</math> आश्रित चर y का (उदाहरण देखें, कोर्ट्स डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34)। कॉची ने परिवर्तनीय मात्राओं के संदर्भ में असीम रूप से छोटी मात्राओं को परिभाषित किया, और निरंतरता की उनकी परिभाषा आज इस्तेमाल की जाने वाली अनंतिम परिभाषा के समानान्तर है ([[सूक्ष्म निरंतरता]] देखें)। बिंदुवार निरंतरता और एकसमान निरंतरता के बीच औपचारिक परिभाषा और अंतर पहली बार 1830 के दशक में बोलजानो द्वारा दिया गया था, लेकिन काम 1930 के दशक तक प्रकाशित नहीं हुआ था। बोल्ज़ानो की तरह,<ref>{{cite journal |url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400352|title=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege |year=1817 |last1=Bolzano |first1=Bernard |publisher=Haase|location=Prague}}</ref> [[कार्ल वीयरस्ट्रैस]]<ref>{{Citation | last1=Dugac | first1=Pierre | title=Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass | journal=Archive for History of Exact Sciences | year=1973 | volume=10 | issue=1–2 | pages=41–176 | doi=10.1007/bf00343406| s2cid=122843140 }}</ref> किसी बिंदु c पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता से इनकार किया जाता है जब तक कि इसे c के दोनों किनारों पर परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन एडौर्ड गौरसैट<ref>{{Citation | last1=Goursat | first1=E. | title=A course in mathematical analysis | publisher=Ginn | location=Boston | year=1904 | page=2}}</ref> फ़ंक्शन को केवल सी और [[केमिली जॉर्डन]] के एक तरफ परिभाषित करने की अनुमति दी गई<ref>{{Citation | last1=Jordan | first1=M.C. | title=Cours d'analyse de l'École polytechnique | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | edition=2nd |year=1893 | volume=1|page=46|url={{Google books|h2VKAAAAMAAJ|page=46|plainurl=yes}}}}</ref> इसकी अनुमति दी गई, भले ही फ़ंक्शन केवल c पर परिभाषित किया गया हो। बिंदुवार निरंतरता की वे तीनों गैर-समतुल्य परिभाषाएँ अभी भी उपयोग में हैं।<ref>{{Citation|last1=Harper|first1=J.F.|title=Defining continuity of real functions of real variables|journal=BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics|year=2016|volume=31|issue=3|doi=10.1080/17498430.2015.1116053|pages=1–16|s2cid=123997123}}</ref> [[एडवर्ड हेन]] ने 1872 में एक समान निरंतरता की पहली प्रकाशित परिभाषा प्रदान की, लेकिन ये विचार 1854 में [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] द्वारा दिए गए व्याख्यानों पर आधारित थे।<ref>{{citation|last1=Rusnock|first1=P.|last2=Kerr-Lawson|first2=A.|title=Bolzano and uniform continuity|journal=Historia Mathematica|volume=32|year=2005|pages=303–311|issue=3|doi=10.1016/j.hm.2004.11.003|doi-access=free}}</ref>

[[File:Function-1 x.svg|thumb|कार्यक्रम <math>f(x)=\tfrac 1 x</math> अपने डोमेन पर निरंतर है (<math>\R\setminus \{0\}</math>), लेकिन असंतत (निरंतर नहीं या विलक्षणता (गणित)#वास्तविक विश्लेषण)। <math>x=0</math><ref>{{cite book |last1=Strang |first1=Gilbert |title=गणना|year=1991 |publisher=SIAM|isbn=0961408820 |page=702|url={{Google books|OisInC1zvEMC|page=87|plainurl=yes}}}}</ref>.फिर भी, [[कॉची प्रमुख मूल्य]] को परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जटिल विश्लेषण में (<math>\mathbb{C}</math>, विशेष रूप से <math>\widehat{\mathbb{C}}</math>.), इस बिंदु (x=0) को अपरिभाषित नहीं माना जाता है (गणित)#वे मान जिनके लिए फ़ंक्शन अपरिभाषित हैं और इसे एक विलक्षणता कहा जाता है, क्योंकि जब सोचा जाता है <math>x</math> एक जटिल चर के रूप में, यह बिंदु एक [[ध्रुव (जटिल विश्लेषण)]] है, और फिर अधिकतम परिमित प्रमुख भाग वाली [[लॉरेंट श्रृंखला]] को एकवचन बिंदुओं के आसपास परिभाषित किया जा सकता है। इसके अलावा, उदाहरण जैसे कार्यों का अध्ययन करने के लिए रीमैन क्षेत्र#तर्कसंगत कार्यों का उपयोग अक्सर एक मॉडल के रूप में किया जाता है।]]एक वास्तविक फ़ंक्शन, जो कि वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का एक फ़ंक्शन (गणित) है, को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा दर्शाया जा सकता है; ऐसा फ़ंक्शन निरंतर होता है यदि, मोटे तौर पर कहें तो, ग्राफ़ एक एकल अखंड [[वक्र]] है जिसका फ़ंक्शन का डोमेन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। एक अधिक गणितीय रूप से कठोर परिभाषा नीचे दी गई है।<ref>{{cite web | url=http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | title=निरंतरता और असंततता| last1=Speck | first1=Jared | year=2014 | page=3 | access-date=2016-09-02 | website=MIT Math | quote=Example 5. The function <math>1/x</math> is continuous on <math>(0, \infty)</math> and on <math>(-\infty, 0),</math> i.e., for <math>x > 0</math> and for <math>x < 0,</math> in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely <math>x = 0,</math> and it has an infinite discontinuity there. | archive-date=2016-10-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20161006014646/http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | url-status=dead }}</ref>

वास्तविक कार्यों की निरंतरता को आमतौर पर [[सीमा (गणित)]] के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। एक समारोह {{math|''f''}} चर के साथ {{mvar|x}} वास्तविक संख्या पर निरंतर है {{mvar|c}}, यदि की सीमा <math>f(x),</math> जैसा {{mvar|x}} आदत है {{mvar|c}}, के बराबर है <math>f(c).</math>

एक फ़ंक्शन एक खुले अंतराल पर निरंतर होता है यदि अंतराल फ़ंक्शन के डोमेन में समाहित होता है, और फ़ंक्शन अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है। एक फ़ंक्शन जो अंतराल पर निरंतर होता है <math>(-\infty, +\infty)</math> (संपूर्ण वास्तविक रेखा) को अक्सर केवल एक सतत फलन कहा जाता है; एक यह भी कहता है कि ऐसा कार्य सर्वत्र निरन्तर होता रहता है। उदाहरण के लिए, सभी बहुपद फलन हर जगह सतत होते हैं।

एक फ़ंक्शन अर्ध-खुले अंतराल पर निरंतर होता है|अर्ध-खुला या [[बंद अंतराल]] अंतराल, यदि अंतराल फ़ंक्शन के डोमेन में समाहित है, तो फ़ंक्शन अंतराल के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर निरंतर होता है, और फ़ंक्शन का मान अंतराल से संबंधित प्रत्येक समापन बिंदु पर फ़ंक्शन के मानों की सीमा होती है जब चर अंतराल के आंतरिक भाग से समापन बिंदु की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन <math>f(x) = \sqrt{x}</math> अपने पूरे डोमेन पर निरंतर है, जो बंद अंतराल है <math>[0,+\infty).</math>

एक आंशिक फ़ंक्शन एक बिंदु पर असंतत होता है, यदि बिंदु उसके डोमेन के [[टोपोलॉजिकल क्लोजर]] से संबंधित है, और या तो बिंदु फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित नहीं है, या फ़ंक्शन बिंदु पर निरंतर नहीं है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन <math display="inline">x\mapsto \frac {1}{x}</math> और <math display="inline">x\mapsto \sin(\frac {1}{x})</math> पर असंतत हैं {{math|0}}, और उन्हें परिभाषित करने के लिए जो भी मान चुना जाता है वह असंतत रहता है {{math|0}}. वह बिंदु जहां कोई फ़ंक्शन असंतत होता है, असंततता कहलाता है।

होने देना <math display="block">f : D \to \R</math> एक उपसमुच्चय पर परिभाषित एक फ़ंक्शन बनें <math>D</math> सेट का <math>\R</math> वास्तविक संख्याओं का.

*<math>D = [a, b] = \{x \in \R \mid a \leq x \leq b \} </math>: <math> D </math> एक बंद अंतराल है, या

*<math>D = (a, b) = \{x \in \R \mid a < x < b \} </math>: <math> D </math> एक खुला अंतराल है.

डोमेन के मामले में <math>D</math> एक खुले अंतराल के रूप में परिभाषित किया जा रहा है, <math>a</math> और <math>b</math> का नहीं है <math>D</math>, और के मूल्य <math>f(a)</math> और <math>f(b)</math> निरंतरता के लिए कोई फर्क नहीं पड़ता <math>D</math>.

किसी बिंदु c का [[पड़ोस (गणित)]] एक ऐसा समुच्चय है जिसमें, कम से कम, c की कुछ निश्चित दूरी के सभी बिंदु शामिल होते हैं। सहज रूप से, एक फ़ंक्शन एक बिंदु c पर निरंतर होता है यदि c के पड़ोस पर f की सीमा एक बिंदु तक सिकुड़ जाती है <math>f(c)</math> जैसे-जैसे c के आस-पास की चौड़ाई शून्य हो जाती है। अधिक सटीक रूप से, किसी भी पड़ोस के लिए, एक फ़ंक्शन f अपने डोमेन के बिंदु c पर निरंतर होता है <math>N_1(f(c))</math> वहाँ एक पड़ोस है <math>N_2(c)</math> इसके डोमेन में ऐसा है <math>f(x) \in N_1(f(c))</math> जब कभी भी <math>x\in N_2(c).</math>

जैसा कि पड़ोस को किसी भी [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] में परिभाषित किया जाता है, एक सतत फ़ंक्शन की यह परिभाषा न केवल वास्तविक कार्यों के लिए लागू होती है, बल्कि तब भी लागू होती है जब डोमेन और [[कोडोमेन]] टोपोलॉजिकल स्पेस होते हैं, और इस प्रकार यह सबसे सामान्य परिभाषा है। इसका तात्पर्य यह है कि एक फ़ंक्शन अपने डोमेन के प्रत्येक पृथक बिंदु पर स्वचालित रूप से निरंतर होता है। एक विशिष्ट उदाहरण के रूप में, पूर्णांकों पर प्रत्येक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन निरंतर है।

[[File:Example of continuous function.svg|right|thumb|का चित्रण {{mvar|ε}}-{{mvar|δ}}-परिभाषा: पर {{math|1=''x'' = 2}}, कोई मान {{math|δ ≤ 0.5}} के लिए परिभाषा की शर्त को संतुष्ट करता है {{math|1=''ε'' = 0.5}}.]]किसी फ़ंक्शन की सीमा की परिभाषा को स्पष्ट रूप से शामिल करते हुए, हम एक स्व-निहित परिभाषा प्राप्त करते हैं: एक फ़ंक्शन दिया गया <math>f : D \to \mathbb{R}</math> उपरोक्त और एक तत्व के रूप में <math>x_0</math> डोमेन का <math>D</math>, <math>f</math> बिंदु पर निरंतर कहा जाता है <math>x_0</math> जब निम्नलिखित मान्य हो: किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> चाहे वह कितनी भी छोटी क्यों न हो, कुछ सकारात्मक वास्तविक संख्या मौजूद होती है <math>\delta > 0</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>x</math> के क्षेत्र में <math>f</math> साथ <math>x_0 - \delta < x < x_0 + \delta,</math> का मान है <math>f(x)</math> संतुष्ट

वैकल्पिक रूप से लिखा, की निरंतरता <math>f : D \to \mathbb{R}</math> पर <math>x_0 \in D</math> इसका मतलब है कि हर किसी के लिए <math>\varepsilon > 0,</math> वहाँ एक मौजूद है <math>\delta > 0</math> ऐसा कि सभी के लिए <math>x \in D</math>:

अधिक सहजता से हम कह सकते हैं कि यदि हम सब कुछ पाना चाहते हैं <math>f(x)</math> आसपास के कुछ छोटे [[टोपोलॉजिकल पड़ोस]] में रहने का मूल्य <math>f\left(x_0\right),</math> हमें बस इसके लिए एक छोटा सा पड़ोस चुनने की जरूरत है <math>x</math> चारों ओर मूल्य <math>x_0.</math> अगर हम ऐसा कर सकते हैं तो कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना छोटा है <math>f(x_0)</math> तो पड़ोस है <math>f</math> पर निरंतर है <math>x_0.</math>

एक समारोह <math>C: [0,\infty) \to [0,\infty]</math> यदि नियंत्रण फ़ंक्शन कहा जाता है

एक समारोह <math>f : D \to R</math> C-निरंतर है <math>x_0</math> यदि ऐसा कोई पड़ोस मौजूद है <math display="inline">N(x_0)</math> वह

<math display="block">|f(x) - f(x_0)| \leq C\left(\left|x - x_0\right|\right) \text{ for all } x \in D \cap N(x_0)</math>

एक फ़ंक्शन निरंतर है <math>x_0</math> यदि यह कुछ नियंत्रण फ़ंक्शन C के लिए C-निरंतर है।

यह दृष्टिकोण स्वाभाविक रूप से स्वीकार्य नियंत्रण कार्यों के सेट को सीमित करके निरंतरता की धारणा को परिष्कृत करने की ओर ले जाता है। नियंत्रण कार्यों के दिए गए सेट के लिए <math>\mathcal{C}</math> एक फ़ंक्शन है {{nowrap|<math>\mathcal{C}</math>-continuous}} अगर यह है {{nowrap|<math>C</math>-continuous}} कुछ के लिए <math>C \in \mathcal{C}.</math> उदाहरण के लिए, [[लिप्सचिट्ज़ निरंतरता]] और घातांक के होल्डर निरंतर कार्य {{mvar|α}} नीचे नियंत्रण कार्यों के सेट द्वारा परिभाषित किया गया है

<math display="block">\mathcal{C}_{\mathrm{Lipschitz}} = \{C : C(\delta) = K|\delta| ,\  K > 0\}</math> क्रमश:

[[File:Rapid Oscillation.svg|thumb|किसी फ़ंक्शन के किसी बिंदु पर निरंतर होने में विफलता को उसके [[दोलन (गणित)]] द्वारा निर्धारित किया जाता है।]]निरंतरता को दोलन (गणित) के संदर्भ में भी परिभाषित किया जा सकता है: एक फ़ंक्शन f एक बिंदु पर निरंतर है <math>x_0</math> यदि और केवल यदि उस बिंदु पर इसका दोलन शून्य है;<ref>''[http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF Introduction to Real Analysis],'' updated April 2010, William F. Trench, Theorem 3.5.2, p. 172</ref> प्रतीकों में, <math>\omega_f(x_0) = 0.</math> इस परिभाषा का एक लाभ यह है कि यह {{em|quantifies}} असंततता: दोलन बताता है कि कैसे {{em|much}} फ़ंक्शन एक बिंदु पर असंतत है।

यह परिभाषा वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में असंततता और निरंतर बिंदुओं के सेट का अध्ययन करने के लिए उपयोगी है - निरंतर बिंदु सेट के प्रतिच्छेदन हैं जहां दोलन कम है <math>\varepsilon</math> (इसलिए एक जी-डेल्टा सेट|<math>G_{\delta}</math> सेट) - और लेब्सगे इंटीग्रेबिलिटी स्थिति की एक दिशा का बहुत त्वरित प्रमाण देता है।<ref>''[http://ramanujan.math.trinity.edu/wtrench/texts/TRENCH_REAL_ANALYSIS.PDF Introduction to Real Analysis],'' updated April 2010, William F. Trench, 3.5 "A More Advanced Look at the Existence of the Proper Riemann Integral", pp. 171–177</ref>

दोलन के बराबर है <math>\varepsilon-\delta</math> एक सरल पुनर्व्यवस्था द्वारा परिभाषा, और दोलन को परिभाषित करने के लिए एक सीमा ([[लिम सूप]], [[लिम इंफ]]) का उपयोग करके: यदि (किसी दिए गए बिंदु पर) किसी दिए गए के लिए <math>\varepsilon_0</math> कोई नहीं है <math>\delta</math> जो संतुष्ट करता है <math>\varepsilon-\delta</math> परिभाषा, तो दोलन कम से कम है <math>\varepsilon_0,</math> और इसके विपरीत यदि प्रत्येक के लिए <math>\varepsilon</math> वहाँ एक वांछित है <math>\delta,</math> दोलन 0 है। दोलन परिभाषा को टोपोलॉजिकल स्पेस से [[मीट्रिक स्थान]] तक के मानचित्रों के लिए स्वाभाविक रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

[[कॉची]] ने किसी फ़ंक्शन की निरंतरता को निम्नलिखित सहज शब्दों में परिभाषित किया है: स्वतंत्र चर में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन, आश्रित चर के एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन से मेल खाता है (देखें कौर्स डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34)। गैर-मानक विश्लेषण इसे गणितीय रूप से कठोर बनाने का एक तरीका है। वास्तविक रेखा को अनंत और अतिसूक्ष्म संख्याओं को जोड़कर अतिवास्तविक संख्याएँ बनाने के लिए संवर्धित किया जाता है। गैरमानक विश्लेषण में, निरंतरता को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

(सूक्ष्म निरंतरता देखें)। दूसरे शब्दों में, स्वतंत्र चर की एक अतिसूक्ष्म वृद्धि हमेशा आश्रित चर में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन उत्पन्न करती है, जो ऑगस्टिन-लुई कॉची की निरंतरता की परिभाषा को एक आधुनिक अभिव्यक्ति देती है।

[[File:Brent method example.svg|right|thumb|[[घन फलन]] के ग्राफ़ में कोई छलांग या छेद नहीं है। कार्य सतत है.]]किसी दिए गए फ़ंक्शन की निरंतरता की जांच को दिए गए फ़ंक्शन के बिल्डिंग ब्लॉक के लिए उपरोक्त परिभाषित गुणों में से किसी एक की जांच करके सरल बनाया जा सकता है। यह दिखाना सीधा है कि किसी डोमेन पर निरंतर दो कार्यों का योग, इस डोमेन पर भी निरंतर है। दिया गया

[[File:Homografia.svg|right|thumb|एक सतत तर्कसंगत फ़ंक्शन का ग्राफ़। फ़ंक्शन को इसके लिए परिभाषित नहीं किया गया है <math>x = -2.</math> ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएँ [[अनंतस्पर्शी]] हैं।]]इसी प्रकार यह दर्शाया जा सकता है कि {{em|reciprocal of a continuous function}}