अवतल फलन

गणित में, अवतल फलन उत्तल फलन का योगात्मक व्युत्क्रम होता है। अवतल फलन को पर्यायवाची रूप से नीचे की ओर अवतल, नीचे की ओर अवतल, ऊपर की ओर उत्तल, उत्तल कैप या ऊपरी उत्तल भी कहा जाता है।

परिभाषा

एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) $f$ एक अंतराल पर (गणित) (या, अधिक सामान्यतः, वेक्टर स्थान में एक उत्तल सेट) को अवतल कहा जाता है यदि, किसी के लिए $x$ और $y$ अंतराल में और किसी के लिए $\alpha \in [0,1]$,

$f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)$

किसी फ़ंक्शन को सख्ती से अवतल कहा जाता है यदि

$f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,$

किसी के लिए $\alpha \in (0,1)$ और $x\neq y$.

एक फ़ंक्शन के लिए $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$, यह दूसरी परिभाषा केवल यह बताती है कि प्रत्येक के लिए $z$ सख्ती से बीच में $x$ और $y$, बिंदु $(z,f(z))$ के ग्राफ पर $f$ बिंदुओं को मिलाने वाली सीधी रेखा के ऊपर है $(x,f(x))$ और $(y,f(y))$.

File:ConcaveDef.pngएक फ़ंक्शन $f$ यदि फ़ंक्शन का ऊपरी समोच्च सेट होता है तो क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन होता है $S(a)=\{x:f(x)\geq a\}$ उत्तल समुच्चय हैं।

गुण

एकल चर के कार्य

1. एक अवकलनीय फ़ंक्शन f एक अंतराल (गणित) पर (सख्ती से) अवतल होता है यदि इसका व्युत्पन्न फ़ंक्शन f ′ उस अंतराल पर (सख्ती से) नीरस रूप से घट रहा है, अर्थात, एक अवतल फ़ंक्शन में गैर-बढ़ती (घटती) ढलान होती है।
2. बिंदु (ज्यामिति) जहां अवतलता बदलती है (अवतल और उत्तल फलन के बीच) विभक्ति बिंदु हैं।
3. अगर f, दो बार-अवकलनीय है तो f अवतल है यदि f ′′ गैर-धनात्मक है (या अनौपचारिक रूप से यदि त्वरण गैर-धनात्मक है)। यदि इसका दूसरा अवकलज ऋणात्मक संख्या है तो यह पूर्णतः अवतल है, लेकिन इसका विपरीत सत्य नहीं है, जैसा कि f(x) = −x⁴द्वारा दर्शाया गया है।
4. अगर f अवतल और अवकलनीय है, तो यह इसके प्रथम-क्रम टेलर सन्निकटन द्वारा ऊपर से घिरा हुआ है:
   $$f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]$$
5. एक अंतराल पर एक लेब्सेग मापने योग्य फ़ंक्शन C अवतल है यदि और केवल यदि यह मध्यबिंदु अवतल है, अर्थात किसी के लिए x और y में C
   $$f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}$$
6. यदि कोई फ़ंक्शन f अवतल है और f(0) ≥ 0, तो f पर उपयोज्य है $[0,\infty )$. सबूत:
   • चूँकि f अवतल है और 1 ≥ t ≥ 0, मान लीजिए y = 0 हमारे पास
     $$f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x).$$
   • के लिए $a,b\in [0,\infty )$: