क्यू-फलन: Difference between revisions
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कहाँ <math>\Phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण#संचयी वितरण फ़ंक्शन है। | कहाँ <math>\Phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण#संचयी वितरण फ़ंक्शन है। | ||
क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन | क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन या पूरक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है<ref name="jo"/> | ||
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क्यू-फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप | क्यू-फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:<ref>{{cite book |doi=10.1109/MILCOM.1991.258319 |chapter-url=http://wsl.stanford.edu/~ee359/craig.pdf|chapter=A new, simple and exact result for calculating the probability of error for two-dimensional signal constellations|title=MILCOM 91 - Conference record|pages=571–575|year=1991|last1=Craig|first1=J.W.|isbn=0-87942-691-8|s2cid=16034807}}</ref> | ||
:<math>Q(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} \right) d\theta.</math> | :<math>Q(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} \right) d\theta.</math> | ||
यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है। | यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है। | ||
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==सीमाएँ और सन्निकटन== | ==सीमाएँ और सन्निकटन== | ||
*क्यू-फ़ंक्शन कोई प्राथमिक फ़ंक्शन नहीं है। हालाँकि, बोरजेसन-सुंदरबर्ग सीमा | *क्यू-फ़ंक्शन कोई प्राथमिक फ़ंक्शन नहीं है। हालाँकि, बोरजेसन-सुंदरबर्ग सीमा जहाँ <math>\phi(x)</math> मानक सामान्य वितरण का घनत्व फलन है,<ref name = "Borjesson">{{Cite journal |doi = 10.1109/TCOM.1979.1094433|title = संचार अनुप्रयोगों के लिए त्रुटि फ़ंक्शन Q(x) का सरल अनुमान|journal = IEEE Transactions on Communications|volume = 27|issue = 3|pages = 639–643|year = 1979|last1 = Borjesson|first1 = P.|last2 = Sundberg|first2 = C.-E.}}</ref> | ||
::<math>\left (\frac{x}{1+x^2} \right ) \phi(x) < Q(x) < \frac{\phi(x)}{x}, \qquad x>0,</math> | ::<math>\left (\frac{x}{1+x^2} \right ) \phi(x) < Q(x) < \frac{\phi(x)}{x}, \qquad x>0,</math> | ||
:बड़े एक्स के लिए तेजी से तंग हो जाते हैं | :बड़े एक्स के लिए तेजी से तंग हो जाते हैं और अक्सर उपयोगी होते हैं। | ||
:[[प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण]] का उपयोग करना v =u<sup>2</sup>/2, ऊपरी सीमा इस प्रकार निकाली गई है: | :[[प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण]] का उपयोग करना v =u<sup>2</sup>/2, ऊपरी सीमा इस प्रकार निकाली गई है: | ||
::<math>Q(x) =\int_x^\infty\phi(u)\,du <\int_x^\infty\frac ux\phi(u)\,du =\int_{\frac{x^2}{2}}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{\frac{x^2}{2}}^\infty=\frac{\phi(x)}{x}.</math> | ::<math>Q(x) =\int_x^\infty\phi(u)\,du <\int_x^\infty\frac ux\phi(u)\,du =\int_{\frac{x^2}{2}}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{\frac{x^2}{2}}^\infty=\frac{\phi(x)}{x}.</math> | ||
:इसी प्रकार, उपयोग करना <math>\phi'(u) = - u \phi(u)</math> और [[भागफल नियम]] | :इसी प्रकार, उपयोग करना <math>\phi'(u) = - u \phi(u)</math> और [[भागफल नियम]] | ||
::<math>\left(1+\frac1{x^2}\right)Q(x) =\int_x^\infty \left(1+\frac1{x^2}\right)\phi(u)\,du >\int_x^\infty \left(1+\frac1{u^2}\right)\phi(u)\,du =-\biggl.\frac{\phi(u)}u\biggr|_x^\infty | ::<math>\left(1+\frac1{x^2}\right)Q(x) =\int_x^\infty \left(1+\frac1{x^2}\right)\phi(u)\,du >\int_x^\infty \left(1+\frac1{u^2}\right)\phi(u)\,du =-\biggl.\frac{\phi(u)}u\biggr|_x^\infty | ||
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::<math>\tilde{Q}(x) = \sum_{n=1}^N a_n e^{-b_n x^2}.</math> | ::<math>\tilde{Q}(x) = \sum_{n=1}^N a_n e^{-b_n x^2}.</math> | ||
:विशेष रूप से, उन्होंने संख्यात्मक गुणांकों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति प्रस्तुत की <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> जो एक न्यूनतम सन्निकटन एल्गोरिथ्म सन्निकटन या | :विशेष रूप से, उन्होंने संख्यात्मक गुणांकों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति प्रस्तुत की <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> जो एक न्यूनतम सन्निकटन एल्गोरिथ्म सन्निकटन या बाध्य उत्पन्न करता है: <math>Q(x) \approx \tilde{Q}(x)</math>, <math>Q(x) \leq \tilde{Q}(x)</math> या <math>Q(x) \geq \tilde{Q}(x)</math> के लिए <math>x\geq0</math>. पेपर में सारणीबद्ध उदाहरण गुणांकों के साथ <math>N = 20</math> सापेक्ष और निरपेक्ष सन्निकटन त्रुटियाँ कम हैं <math>2.831 \cdot 10^{-6}</math> और <math>1.416 \cdot 10^{-6}</math> क्रमश। गुणांक <math>\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N</math> घातीय सन्निकटन और सीमा तक के कई रूपों के लिए <math>N = 25</math> एक व्यापक डेटासेट के रूप में विवृत अभिगम के लिए जारी किया गया है।<ref>{{cite journal |doi=10.5281/zenodo.4112978|title=Coefficients for Global Minimax Approximations and Bounds for the Gaussian Q-Function by Sums of Exponentials [Data set]|url=https://zenodo.org/record/4112978|website=Zenodo|year=2020|last1=Tanash|first1=I.M.|last2=Riihonen|first2=T.}}</ref> | ||
*का एक और अनुमान <math>Q(x)</math> के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> करागियानिडिस और लिउबास द्वारा दिया गया है (2007)<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2007.070470 |url=http://users.auth.gr/users/9/3/028239/public_html/pdf/Q_Approxim.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए एक बेहतर अनुमान|journal=IEEE Communications Letters|volume=11|issue=8|pages=644–646|year=2007|last1=Karagiannidis|first1=George|last2=Lioumpas|first2=Athanasios|s2cid=4043576}}</ref> जिन्होंने मापदंडों के उचित चयन के लिए प्रदर्शन किया <math>\{A, B\}</math> वह | *का एक और अनुमान <math>Q(x)</math> के लिए <math>x \in [0,\infty)</math> करागियानिडिस और लिउबास द्वारा दिया गया है (2007)<ref>{{cite journal |doi=10.1109/LCOMM.2007.070470 |url=http://users.auth.gr/users/9/3/028239/public_html/pdf/Q_Approxim.pdf|title=गॉसियन क्यू-फ़ंक्शन के लिए एक बेहतर अनुमान|journal=IEEE Communications Letters|volume=11|issue=8|pages=644–646|year=2007|last1=Karagiannidis|first1=George|last2=Lioumpas|first2=Athanasios|s2cid=4043576}}</ref> जिन्होंने मापदंडों के उचित चयन के लिए प्रदर्शन किया <math>\{A, B\}</math> वह | ||
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:: <math>\{A, B\} = \underset{\{A,B\}}{\arg \min} \frac{1}{R} \int_0^R | f(x; A, B) - \operatorname{erfc}(x) |dx.</math> | :: <math>\{A, B\} = \underset{\{A,B\}}{\arg \min} \frac{1}{R} \int_0^R | f(x; A, B) - \operatorname{erfc}(x) |dx.</math> | ||
: प्रयोग करना <math>R = 20</math> और संख्यात्मक रूप से एकीकृत करने पर | : प्रयोग करना <math>R = 20</math> और संख्यात्मक रूप से एकीकृत करने पर उन्होंने पाया कि न्यूनतम त्रुटि कब हुई <math>\{A, B\} = \{1.98, 1.135\},</math> जिसने इसके लिए एक अच्छा अनुमान दिया <math>\forall x \ge 0.</math> | ||
: इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना और इनके बीच संबंध का उपयोग करना <math>Q(x)</math> और <math>\operatorname{erfc}(x)</math> ऊपर से देता है | : इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करना और इनके बीच संबंध का उपयोग करना <math>Q(x)</math> और <math>\operatorname{erfc}(x)</math> ऊपर से देता है | ||
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:<math>Q^{-1}(y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erf}^{-1}(1-2y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erfc}^{-1}(2y)</math> | :<math>Q^{-1}(y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erf}^{-1}(1-2y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erfc}^{-1}(2y)</math> | ||
फ़ंक्शन <math>Q^{-1}(y)</math> डिजिटल संचार में अनुप्रयोग पाता है। इसे सामान्यतौर पर डेसीबल फ़ील्ड मात्राओं और रूट-पावर मात्राओं में व्यक्त किया जाता है और सामान्यतौर पर इसे क्यू-फैक्टर कहा जाता है: | |||
:<math>\mathrm{Q\text{-}factor} = 20 \log_{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm{dB}</math> | :<math>\mathrm{Q\text{-}factor} = 20 \log_{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm{dB}</math> | ||
जहां y विश्लेषण के तहत डिजिटल रूप से संशोधित सिग्नल की बिट-त्रुटि दर (बीईआर) है। उदाहरण के लिए, एडिटिव व्हाइट गॉसियन शोर में चरण-शिफ्ट कुंजीयन | जहां y विश्लेषण के तहत डिजिटल रूप से संशोधित सिग्नल की बिट-त्रुटि दर (बीईआर) है। उदाहरण के लिए, एडिटिव व्हाइट गॉसियन शोर में चरण-शिफ्ट कुंजीयन क्वाड्रेचर चरण-शिफ्ट कुंजीयन (क्यूपीएसके) के लिए, ऊपर परिभाषित क्यू-कारक सिग्नल-टू-शोर अनुपात#डेसिबल के डीबी में मान के साथ मेल खाता है जो थोड़ी त्रुटि उत्पन्न करता है दर y के बराबर. | ||
[[File:Q-factor vs BER.png|thumb|none|400px|क्यू-फैक्टर बनाम बिट त्रुटि दर (बीईआर)।]] | [[File:Q-factor vs BER.png|thumb|none|400px|क्यू-फैक्टर बनाम बिट त्रुटि दर (बीईआर)।]] | ||
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Q-फ़ंक्शन को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:<ref>{{cite journal|last1=Savage|first1=I. R.|title=बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के लिए मिल अनुपात|journal=Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B|date=1962|volume=66|issue=3|pages=93–96|doi=10.6028/jres.066B.011|zbl=0105.12601|doi-access=free}}</ref> | Q-फ़ंक्शन को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:<ref>{{cite journal|last1=Savage|first1=I. R.|title=बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के लिए मिल अनुपात|journal=Journal of Research of the National Bureau of Standards Section B|date=1962|volume=66|issue=3|pages=93–96|doi=10.6028/jres.066B.011|zbl=0105.12601|doi-access=free}}</ref> | ||
:<math>Q(\mathbf{x})= \mathbb{P}(\mathbf{X}\geq \mathbf{x}),</math> | :<math>Q(\mathbf{x})= \mathbb{P}(\mathbf{X}\geq \mathbf{x}),</math> | ||
जहाँ <math>\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mathbf{0},\, \Sigma) </math> सहप्रसरण के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुसरण करता है <math>\Sigma </math> और दहलीज रूप की है | |||
<math>\mathbf{x}=\gamma\Sigma\mathbf{l}^*</math> कुछ सकारात्मक | <math>\mathbf{x}=\gamma\Sigma\mathbf{l}^*</math> कुछ सकारात्मक सदिश के लिए <math> \mathbf{l}^*>\mathbf{0}</math> और सकारात्मक स्थिरांक <math>\gamma>0</math>. जैसा कि एक आयामी स्थिति में क्यू-फ़ंक्शन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है। फिर भी Q-फ़ंक्शन को [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/53796 मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है] <math>\gamma</math> बड़ा और बड़ा होता जाता है।<ref>{{cite journal|last1=Botev|first1=Z. I.|title=The normal law under linear restrictions: simulation and estimation via minimax tilting|journal=Journal of the Royal Statistical Society, Series B|volume=79|pages=125–148|date=2016|doi=10.1111/rssb.12162|arxiv=1603.04166|bibcode=2016arXiv160304166B|s2cid=88515228}}</ref><ref name="bmc17">{{cite book |chapter=Logarithmically efficient estimation of the tail of the multivariate normal distribution |last1=Botev |first1=Z. I. |last2=Mackinlay |first2=D. |last3=Chen |first3=Y.-L. |date=2017 |publisher=IEEE |isbn=978-1-5386-3428-8 |title= 2017 Winter Simulation Conference (WSC)|pages=1903–191 |doi= 10.1109/WSC.2017.8247926 |s2cid=4626481 }} | ||
</ref> | </ref> | ||
Revision as of 18:48, 13 July 2023
File:Q-function.png
क्यू-फ़ंक्शन का एक प्लॉट.
आंकड़ों में, Q-फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन (टेल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन) है।[1][2] दूसरे शब्दों में संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर से बड़ा मान लेता है।
अगर माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर हैं और विचरण , तो मानक सामान्य वितरण हैं और
जहाँ
क्यू-फ़ंक्शन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।[3]
सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।
परिभाषा और बुनियादी गुण
औपचारिक रूप से, Q-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
इस प्रकार,
कहाँ मानक सामान्य वितरण#संचयी वितरण फ़ंक्शन है।
क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन या पूरक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है[2]