सामान्य विस्तार

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अमूर्त बीजगणित में, सामान्य विस्तार बीजगणितीय विस्तार L/K होता है जिसके लिए K के ऊपर प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद जिसका मूल L होता है, 'L में रैखिक कारकों में विभाजित हो जाता है। 'एल. ये बीजगणितीय विस्तारों के गैलोज़ विस्तार होने की शर्तों में से हैं। निकोलस बॉर्बकी ऐसे विस्तार को अर्ध-गैलोइस विस्तार कहते हैं।

परिभाषा

होने देना$L/K$एक बीजगणितीय विस्तार हो (अर्थात् L, K का बीजगणितीय विस्तार है), जैसे कि $L\subseteq {\overline {K}}$ (अर्थात् L, K के बीजगणितीय समापन में समाहित है)। फिर निम्नलिखित स्थितियाँ, जिनमें से किसी को भी सामान्य विस्तार की परिभाषा के रूप में माना जा सकता है, समतुल्य हैं:

• एल के प्रत्येक एंबेडिंग (क्षेत्र सिद्धांत)। ${\overline {K}}$ एल की ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है।
• L बहुपदों के परिवार का विभाजन क्षेत्र है $K\left[X\right]$.
• प्रत्येक अघुलनशील बहुपद $K\left[X\right]$ जिसका मूल L में है, वह L में रैखिक गुणनखंडों में विभाजित हो जाता है।

अन्य गुण

मान लीजिए L फ़ील्ड K का विस्तार है। तब:

• यदि L, K का सामान्य विस्तार है और यदि E मध्यवर्ती विस्तार है (अर्थात्, L ⊃ E ⊃ K), तो L, E का सामान्य विस्तार है।
• यदि ई और एफ एल में निहित के के सामान्य विस्तार हैं, तो संयुक्त ईएफ और ई ∩ एफ भी के के सामान्य विस्तार हैं।

सामान्यता के लिए समतुल्य शर्तें

होने देना $L/K$ बीजगणितीय हो. फ़ील्ड L 'सामान्य' एक्सटेंशन है यदि और केवल यदि नीचे दी गई समतुल्य शर्तों में से कोई भी मान्य हो।

• L में प्रत्येक तत्व का K पर न्यूनतम बहुपद L में विभाजित होता है;
• एक सेट है $S\subseteq K[x]$ बहुपदों का जो साथ L पर विभाजित होता है, जैसे कि यदि $K\subseteq F\subsetneq L$ फ़ील्ड हैं, तो S के पास बहुपद है जो F में विभाजित नहीं होता है;
• सभी समरूपताएँ $L\to {\bar {K}}$ ही छवि है;
• ऑटोमोर्फिज्म का समूह, ${\text{Aut}}(L/K),$ L का जो K के तत्वों को स्थिर करता है, समरूपता के समुच्चय पर सकर्मक रूप से कार्य करता है $L\to {\bar {K}}.$

उदाहरण और प्रति उदाहरण

उदाहरण के लिए, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ का सामान्य विस्तार है $\mathbb {Q} ,$ चूँकि यह का विभाजक क्षेत्र है $x^{2}-2.$ वहीं दूसरी ओर, $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ का सामान्य विस्तार नहीं है $\mathbb {Q}$ अघुलनशील बहुपद के बाद से $x^{3}-2$ इसमें जड़ है (अर्थात्, ${\sqrt[{3}]{2}}$), लेकिन सभी नहीं (इसमें 2 की गैर-वास्तविक घन जड़ें नहीं हैं)। याद रखें कि मैदान ${\overline {\mathbb {Q} }}$ बीजगणितीय संख्याओं का बीजगणितीय समापन है $\mathbb {Q} ,$ यानी इसमें शामिल है $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ तब से,

$$\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\left.\left\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}\,\,\right|\,\,a,b,c\in \mathbb {Q} \right\}$$

और अगर $\omega$ एकता का आदिम घनमूल है, फिर मानचित्र

$${\begin{cases}\sigma :\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})\longrightarrow {\overline {\mathbb {Q} }}\\a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\longmapsto a+b\omega {\sqrt[{3}]{2}}+c\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{4}}\end{cases}}$$

का एम्बेडिंग है $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ में ${\overline {\mathbb {Q} }}$ किसका प्रतिबंध $\mathbb {Q}$ पहचान है. हालाँकि, $\sigma$ का स्वप्रतिरूपण नहीं है $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$ किसी भी प्राइम के लिए $p,$ विस्तृति $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})$ डिग्री का सामान्य है $p(p-1).$ का विभाजक क्षेत्र है $x^{p}-2.$ यहाँ $\zeta _{p}$ किसी को भी दर्शाता है $p$एकता की आदिम जड़. फील्ड $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\zeta _{3})$ का सामान्य समापन (नीचे देखें) है $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).$

सामान्य समापन

यदि K फ़ील्ड है और L, K का बीजगणितीय विस्तार है, तो L का कुछ बीजगणितीय विस्तार M है, जैसे कि M, K का सामान्य विस्तार है। इसके अलावा, समरूपता तक केवल ही ऐसा विस्तार है जो न्यूनतम है, वह है , M का एकमात्र उपक्षेत्र जिसमें L शामिल है और जो K का सामान्य विस्तार है, M ही है। इस विस्तार को K के विस्तार L का 'सामान्य समापन' कहा जाता है।

यदि L, K का सीमित विस्तार है, तो इसका सामान्य समापन भी सीमित विस्तार है।

यह भी देखें

• गैलोइस एक्सटेंशन
• सामान्य आधार

संदर्भ

• Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
• Jacobson, Nathan (1989), Basic Algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9, MR 1009787