बर्नौली बहुपद

गणित में, जैकब बर्नौली के नाम पर बर्नौली बहुपद, बर्नौली संख्या और द्विपद गुणांक के रूप में संयोजन होता है। इनका उपयोग फलन (गणित) के श्रृंखला विस्तार के लिए और यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के साथ किया जाता है।

ये बहुपद कई विशेष फलन के अध्ययन के रूप में होते हैं और विशेष रूप से, रीमैन ज़ेटा फलन और हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन के रूप में होते है। वे एक एपेल अनुक्रम हैं अर्थात सामान्य व्युत्पन्न ऑपरेटर के लिए एक शेफ़र अनुक्रम होते है। बर्नौली बहुपद के लिए इकाई अंतराल में एक्स -अक्ष के क्रॉसिंग की संख्या बहुपद की डिग्री के साथ नहीं बढ़ती है। बड़ी मात्रा की सीमा में वे दृष्टिकोण करते हैं, जब समुचित रूप से स्केल किया जाता है, तो वे त्रिकोणमितीय फलन के रूप में पहुंचते हैं।

जनरेटिंग फलन के आधार पर बहुपदों का एक समान समुच्चय यूलर बहुपदों के समूह के रूप में होता है।

बर्नौली बहुपद

अभ्यावेदन

बर्नौली बहुपदB_n जनरेटिंग फलन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। वे विभिन्न प्रकार के व्युत्पन्न अभ्यावेदन के रूप में स्वीकार करते हैं।

कार्य उत्पन्न करना

बर्नौली बहुपद के लिए जनक फलन है.

${\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

यूलर बहुपद के लिए जनक फलन है

${\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}.$

स्पष्ट सूत्र

$B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{n-k}x^{k},$

$E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k}\,.$

n ≥ 0 के लिए, जहां B_k बर्नौली संख्याएं हैं, और ई_k यूलर संख्याएँ हैं।

एक अंतर ऑपरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व

बर्नोली बहुपदों के द्वारा भी दिया जाता है।

$B_{n}(x)={D \over e^{D}-1}x^{n}$

जहां D = d/dx, x के संबंध में विभेदन है और अंश को औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जाता है। यह इस प्रकार है कि

$\int _{a}^{x}B_{n}(u)~du={\frac {B_{n+1}(x)-B_{n+1}(a)}{n+1}}~.$

cf. समाकल. इसी प्रकार, यूलर बहुपद दिए गए हैं।

$E_{n}(x)={\frac {2}{e^{D}+1}}x^{n}.$

एक अभिन्न ऑपरेटर द्वारा प्रतिनिधित्व

बर्नोली बहुपदों के द्वारा निर्धारित अद्वितीय बहुपद के रूप में हैं।

$\int _{x}^{x+1}B_{n}(u)\,du=x^{n}.$

अभिन्न परिवर्तन

$(Tf)(x)={\int <!--\; \int \; -->}_x^{x+1}f(u)d$