संचयी

प्रायिकता सिद्धांत और आंकड़ों में, प्रायिकता वितरण के संचयी κ_n मात्राओं का एक समूह हैं जो वितरण के क्षण (गणित) के लिए एक विकल्प प्रदान करते हैं। कोई भी दो प्रायिकता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और पूर्ण रूप से इसके विपरीत।

इस प्रकार से प्रथम संचयी माध्य है, दूसरा संचयी विचरण है, और तीसरा संचयी तीसरे केंद्रीय क्षण के समान है। परन्तु चौथे और उच्च क्रम के संचयी केंद्रीय क्षणों के बराबर नहीं हैं। अतः कुछ स्थितियों में संचयी के संदर्भ में समस्याओं का सैद्धांतिक उपचार क्षणों का उपयोग करने की तुलना में पूर्ण रूप से सरल होता है। विशेष रूप से, जब दो या दो से अधिक यादृच्छिक चर सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होते हैं, तो उनके योग का n-वें-क्रम संचयी उनके n-वें-क्रम संचयी के योग के बराबर होता है। साथ ही, सामान्य वितरण के तीसरे और उच्च-क्रम संचयी शून्य हैं, और यह इस गुण के एकमात्र वितरण है।

इस प्रकार से क्षणों के जैसे, जहां संयुक्त क्षणों का उपयोग यादृच्छिक चर के संग्रह के लिए किया जाता है, संयुक्त संचयकों को परिभाषित करना पूर्ण रूप से संभव है।

परिभाषा

अतः एक यादृच्छिक चर X के संचयकों को संचयी-जनक फलन K(t)का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है, जो क्षण-जनक फलन का प्राकृतिक लघुगणक है:

$K(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{tX}\right].$

संचयी κ_n संचयी जनक फलन की घात श्रृंखला विस्तार से प्राप्त किए जाते हैं:

$K(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\kappa _{1}{\frac {t}{1!}}+\kappa _{2}{\frac {t^{2}}{2!}}+\kappa _{3}{\frac {t^{3}}{3!}}+\cdots =\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .$

यह विस्तार मैकलॉरिन श्रृंखला है, इसलिए उपरोक्त विस्तार को n बार विभेदित करके और शून्य पर परिणाम का मूल्यांकन करके n-वें संचयी पूर्ण रूप से प्राप्त किया जा सकता है:

$\kappa _{n}=K^{(n)}(0).$

इस प्रकार से यदि क्षण-जनक फलन स्थित नहीं है, तो संचयी को बाद में चर्चा किए गए संचयी और क्षणों के बीच संबंध के संदर्भ में पूर्ण रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

संचयी जनक फलन की वैकल्पिक परिभाषा

कुछ लेखक संचयी-जनक फलन को विशेषता फलन (प्रायिकता सिद्धांत) के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित करना चयनित करते हैं, जिसे कभी-कभी दूसरा विशेषता फलन,

$H(t)=\log \operatorname {E} \left[e^{itX}\right]=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots$ भी कहा जाता है।

इस प्रकार से H(t) का एक लाभ - कुछ अर्थों में फलन K(t) का मूल्यांकन पूर्ण रूप से काल्पनिक तर्कों के लिए किया जाता है - यह है कि E[e^itX] t के सभी वास्तविक मानों के लिए ठीक रूप से परिभाषित है, यद्यपि E[e^tX] सभी के लिए ठीक रूप से परिभाषित न हो टी के वास्तविक मान, जैसे कि तब हो सकते हैं जब "बहुत अधिक" प्रायिकता हो कि X का परिमाण बड़ा है। यद्यपि फलन H(t) को ठीक रूप से परिभाषित किया जाएगा, फिर भी यह अपनी मैकलॉरिन श्रृंखला की लंबाई के संदर्भ में K(t) का अनुकरण करेगा, जो तर्क t में रैखिक क्रम से आगे (या, संभवतः कभी, यहां तक ​​​​कि) तक विस्तारित नहीं हो सकता है। और विशेष रूप से ठीक रूप से परिभाषित संचयकों की संख्या पूर्ण रूप से नहीं बदलेगी। फिर भी, जब H(t) में लंबी मैकलॉरिन श्रृंखला नहीं होती है, तब भी इसका उपयोग प्रत्यक्षतः विश्लेषण करने और, विशेष रूप से, यादृच्छिक चर जोड़ने में किया जा सकता है। अतः कॉची वितरण (जिसे लोरेंत्ज़ियन भी कहा जाता है) और अधिक सामान्यतः, स्थिर वितरण (लेवी वितरण से संबंधित) दोनों वितरण के उदाहरण हैं, जिनके लिए उत्पादन फलनों की शक्ति-श्रृंखला विस्तार में मात्र सीमित रूप से कई ठीक रूप से परिभाषित शब्द हैं।

कुछ मूलभूत गुण

इस प्रकार से एक यादृच्छिक चर ${\textstyle X}$ का ${\textstyle n}$वें संचयी ${\textstyle \kappa _{n}(X)}$ निम्नलिखित गुणों का आनंद लेता है:

• यदि ${\textstyle n>1}$ और ${\textstyle c}$ स्थिर है (अर्थात यादृच्छिक नहीं) तो ${\textstyle \kappa _{n}(X+c)=\kappa _{n}(X),}$ अर्थात संचयी अनुवाद अपरिवर्तनीय है। (यदि ${\textstyle n=1}$ है तो हमारे निकट ${\textstyle \kappa _{1}(X+c)=\kappa _{1}(X)+c)}$।
• यदि ${\textstyle c}$ स्थिर है (अर्थात यादृच्छिक नहीं) तो ${\textstyle \kappa _{n}(cX)=c^{n}\kappa _{n}(X),}$ अर्थात ${\textstyle n}$-वें संचयी परिमाण ${\textstyle n}$ का सजातीय बहुपद है।
• यदि यादृच्छिक चर ${\textstyle X_{1},\ldots ,X_{m}}$ स्वतंत्र हैं तो
  $${\mathrm{\kappa <!--\; \kappa \; -->}}_n(X_1+\cdots <!--\; \cdots \; -->$$