संचयी: Difference between revisions

प्रायिकता सिद्धांत और आंकड़ों में, प्रायिकता वितरण के संचयी κ_n मात्राओं का एक समूह हैं जो वितरण के [[क्षण (गणित)]] के लिए एक विकल्प प्रदान करते हैं। कोई भी दो प्रायिकता वितरण जिनके क्षण समान हैं, उनके संचयी भी समान होंगे, और इसके विपरीत।

==कुछ असतत प्रायिकता वितरण के संचयक==

* [[ज्यामितीय वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता {{math|''p''}} के साथ एक सफलता से पहले विफलताओं की संख्या)। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} log(''p'' / (1 + (''p'' − 1)e^''t''))}} है । प्रथम संचयी {{math|''κ''₁ {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''p''⁻¹ − 1}} और {{math|''κ''₂ {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''₁''p''⁻¹}} हैं। {{math|''p'' {{=}} (''μ'' + 1)⁻¹}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K''(''t'') {{=}} −log(1 + ''μ''(1−e^''t''))}} और {{math|''κ''₁ {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है।

* [[द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता '''p''' के साथ '''n''' [[सांख्यिकीय स्वतंत्रता]] परीक्षणों में सफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''n'' {{=}} 1}} बर्नौली वितरण है। प्रत्येक संचयी संबंधित बर्नौली वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''n''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''n'' log(1 − ''p'' + ''p''e^''t'')}} है । प्रथम संचयी {{math|''κ''₁ {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''np''}} और {{math|''κ''₂ {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''κ''₁(1 − ''p'')}} हैं । {{math|''p'' {{=}} μ·''n''⁻¹}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ((μ⁻¹ − ''n''⁻¹)·e^−''t'' + ''n''⁻¹)⁻¹}} और {{math|''κ''₁ {{=}} μ}} प्राप्त होता है। सीमित स्थिति {{math|''n''⁻¹ {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है।

* [[नकारात्मक द्विपद वितरण|ऋणात्मक द्विपद वितरण]], (प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना '''''p''''' के साथ '''''r''''' सफलताओं से पहले विफलताओं की संख्या)। विशेष स्थिति {{math|''r'' {{=}} 1}} ज्यामितीय वितरण है। प्रत्येक संचयी संगत ज्यामितीय वितरण के संगत संचयक का मात्र '''''r''''' गुना है। संचयी जनक फलन {{math|1=''K'' '(''t'') = ''r''·((1 − ''p'')⁻¹·e^−''t''−1)⁻¹}} का व्युत्पन्न है। प्रथम संचयी {{math|1=''κ''₁ = ''K'' '(0) = ''r''·(''p''⁻¹−1)}} और {{math|1=''κ''₂ = ''K'' ' '(0) = ''κ''₁·''p''⁻¹}} हैं। {{math|1=''p'' = (μ·''r''⁻¹+1)⁻¹}} को प्रतिस्थापित करने पर {{math|''K′''(''t'') {{=}} ((''μ''⁻¹ + ''r''⁻¹)''e''^−''t'' − ''r''⁻¹)⁻¹}} और {{math|''κ''₁ {{=}} ''μ''}} प्राप्त होता है।इन सूत्रों की तुलना द्विपद वितरणों से करने पर 'ऋणात्मक द्विपद वितरण' नाम स्पष्ट होता है। [[सीमित मामला (गणित)|सीमित स्थिति (गणित)]] {{math|''r''⁻¹ {{=}} 0}} पॉइसन वितरण है।

: <math>\varepsilon=\mu^{-1}\sigma^2=\kappa_1^{-1}\kappa_2</math> का परिचय,

उपरोक्त प्रायिकता वितरण से संचयी जनक फलन के व्युत्पन्न के लिए एकीकृत सूत्र प्राप्त होता है:

दूसरा व्युत्पन्न

पुष्टि करता है कि प्रथम संचयी {{math|''κ''₁ {{=}} ''K′''(0) {{=}} ''μ''}} है और दूसरा संचयी {{math|''κ''₂ {{=}} ''K′′''(0) {{=}} ''με''}} है।

स्थिर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}} निकट {{math|''ε'' {{=}} 0}} है।

द्विपद बंटन ह{{math|''ε'' {{=}} 1 − ''p''}} होता है ताकि {{math|0 < ''ε'' < 1}} हो।

पॉइसन वितरण {{math|''ε'' {{=}} 1}} है ।

ऋणात्मक द्विपद बंटन में {{math|''ε'' {{=}} ''p''⁻¹}} होता है ताकि {{math|''ε'' > 1}}।

[[विलक्षणता (गणित)]] द्वारा शंकु वर्गों के वर्गीकरण की सादृश्यता पर ध्यान दें: वृत्त {{math|''ε'' {{=}} 0}}, दीर्घवृत्त {{math|0 < ''ε'' < 1}}, परवलय {{math|''ε'' {{=}} 1}}, अतिपरवलय {{math|''ε'' > 1}}।

==कुछ सतत प्रायिकता वितरणों के संचयी ==

* [[अपेक्षित मूल्य|अपेक्षित]] मान '''μ''' और विचरण {{math|''σ''²}} के साथ सामान्य वितरण के लिए, संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'') {{=}} ''μt'' + ''σ''²''t''²/2}} है। संचयी जनक फलन का पहला और दूसरा व्युत्पन्न {{math|''K'' '(''t'') {{=}} ''μ'' + ''σ''²·''t''}} और {{math|''K''"(''t'') {{=}} ''σ''²}} है। संचयक {{math|''κ''₁ {{=}} ''μ''}}, {{math|''κ''₂ {{=}} ''σ''²}}, और {{math|''κ''₃ {{=}} ''κ''₄ {{=}} ... {{=}} 0}} हैं। विशेष स्थिति {{math|''σ''² {{=}} 0}} स्थिर यादृच्छिक चर {{math|''X'' {{=}} ''μ''}} है।

* अंतराल {{math|[−1, 0]}} पर [[समान वितरण (निरंतर)]] के संचयी {{math|''κ''_''n'' {{=}} ''B''_''n''/''n''}} हैं , जहां {{math|''B''_''n''}} {{math|''n''}}^वीं [[बर्नौली संख्या]] है।

* दर पैरामीटर {{math|''λ''}} के साथ घातीय वितरण के संचयी {{math|''κ''_''n'' {{=}} ''λ''^−''n'' (''n'' − 1)!}} हैं ।

संचयी जनक फलन {{math|''K''(''t'')}}, यदि यह अस्तित्व में है, तो [[असीम रूप से भिन्न|अनंत रूप से भिन्न]] और [[उत्तल कार्य|उत्तल फलन]] है, और मूल से होकर गुजरता है। इसका प्रथम व्युत्पन्न प्रायिकता वितरण के समर्थन के अनंत से सर्वोच्च तक विवृत अंतराल में सबसे कम होता है, और इसका दूसरा व्युत्पन्न एकल बिंदु द्रव्यमान के [[पतित वितरण]] को छोड़कर, प्रत्येक स्थान दृढ़ता से धनात्मक होता है। संचयी-जनक फलन स्थित होता है यदि और मात्र यदि वितरण का पश्च [[घातीय क्षय]] द्वारा प्रमुख होती है, अर्थात, ([[ बिग ओ अंकन | बिग ओ अंकन]] देखें)

जहाँ <math>F</math> संचयी वितरण फलन है। संचयी-जनक फलन में ऐसे '''''c''''' के ऋणात्मक सर्वोच्च पर लंबवत अनंतस्पर्शी होंगे, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, और ऐसे '''''d''''' के सर्वोच्च पर, यदि ऐसा सर्वोच्च स्थित है, अन्यथा इसे सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जाएगा।

यदि यादृच्छिक चर {{math|''X''}} के [[समर्थन (गणित)]] की ऊपरी या निचली सीमाएं परिमित हैं, तो इसका संचयी-उत्पादक फलन {{math|1=''y'' = ''K''(''t'')}}, यदि यह स्थित है, तो [[अनंतस्पर्शी]](ओं) तक पहुंचता है जिसकी प्रवणता समर्थन के सर्वोच्च और/या न्यूनतम के बराबर है,

इन अनंतस्पर्शियों के {{math|''y''}}-अवरोधन उत्पन्न करता है, क्योंकि {{math|1=''K''(0) = 0}}।)

{{math|''c''}}, <math>K_{X+c}(t)=K_X(t)+ct</math> द्वारा वितरण में बदलाव के लिए। {{math|''c''}} पर पतित बिंदु द्रव्यमान के लिए, सीजीएफ सीधी रेखा <math>K_c(t)=ct</math> है , और अधिक सामान्यतः, <math>K_{X+Y}=K_X+K_Y</math> यदि और मात्र यदि {{math|''X''}} और {{math|''Y''}} स्वतंत्र हैं और उनके सीजीएफएस स्थित हैं; ([[उपस्वतंत्रता]] और स्वतंत्रता का संकेत देने के लिए पर्याप्त दूसरे क्षणों का अस्तित्व।<ref>{{cite journal | journal = Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica

वितरण के [[प्राकृतिक घातीय परिवार|प्राकृतिक घातीय वर्ग]] को {{math|''K''(''t'')}} को स्थानांतरण या अनुवाद करके, और इसे लंबवत रूप से समायोजित करके समझा जा सकता है ताकि यह सदैव मूल से होकर गुजरे: यदि {{math|''f''}} सीजीएफ <math>K(t)=\log M(t)</math> के साथ पीडीएफ है और <math>f|\theta</math> इसका प्राकृतिक घातीय वर्ग है, तो <math>f(x\mid\theta)=\frac1{M(\theta)}e^{\theta x} f(x),</math> और <math>K(t\mid\theta)=K(t+\theta)-K(\theta)</math>।

 

यदि {{math|''K''(''t'')}} किसी श्रेणी {{math|''t''₁ < Re(''t'') < ''t''₂}} के लिए परिमित है तो यदि {{math|''t''₁ < 0 < ''t''₂}} है तो {{math|''K''(''t'')}} विश्लेषणात्मक है और {{math|''t''₁ < Re(''t'') < ''t''₂}} के लिए अनंत रूप से भिन्न है। इसके अतिरिक्त '''''t''''' वास्तविक और {{math|''t''₁ < ''t'' < ''t''₂ ''K''(''t'')}} के लिए दृढ़ता से उत्तल है, और {{math|''K''&prime;(''t'')}} दृढ़ता से बढ़ रहा है।

===एक ऋणात्मक परिणाम===

सामान्य वितरण के संचयकों के परिणामों को देखते हुए, यह उम्मीद की जा सकती है कि वितरण के ऐसे वर्ग मिलें जिनके लिए {{math|1=''κ''_''m'' = ''κ''_''m''+1 = ⋯ = 0}} कुछ {{math|1=''m'' > 3}} के लिए , निचले क्रम के संचयकों के साथ (क्रम 3 से {{math|1=''m'' − 1}}) गैर-शून्य होना। ऐसे कोई वितरण नहीं हैं।<ref>Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition), Griffin, London. (Theorem 7.3.5)</ref> यहां अंतर्निहित परिणाम यह है कि संचयी जनक फलन 2 से अधिक परिमाण का परिमित-क्रम बहुपद नहीं हो सकता है।

तो संचयी जनक फलन, क्षण जनक फलन

:<math>K(t) = \log M(t)</math> का लघुगणक है।

{{tmath|1=t=0}}, <math>\exp(K(t))</math> पर

: <math> \mu'_n = M^{(n)}(0) = \left. \frac{\mathrm{d}^n \exp (K(t))}{\mathrm{d}t^n}\right|_{t=0} </math> के '''n-'''वें व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके क्षणों को संचयकों के संदर्भ में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

इसी प्रकार, {{tmath|1=t=0}}, <math>\log M(t)</math> पर

:<math>\kappa_n = K^{(n)}(0) = \left. \frac{\mathrm{d}^n \log M(t)}{\mathrm{d}t^n} \right|_{t=0}</math> के '''n'''-वें व्युत्पन्न का मूल्यांकन करके संचयी को क्षणों के संदर्भ में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

पहले n संचयी के संदर्भ में n-वें पल के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति, और इसके विपरीत, समग्र फलनों के उच्च व्युत्पन्न के लिए फा डि ब्रूनो के सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है। सामान्यतः, हमारे निकट

: <math>\kappa_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} (k-1)! B_{n,k}(\mu'_1, \ldots, \mu'_{n-k+1})</math>

है, जहाँ <math>B_{n,k}</math> अपूर्ण (या आंशिक) [[बेल बहुपद]] हैं।

इसी प्रकार, यदि <math>\mu</math> माध्य दिया गया है , केंद्रीय क्षण उत्पन्न करने वाला फलन

द्वारा दिया जाता है, और n-वें केंद्रीय क्षण को संचयकों के संदर्भ में

: <math> \mu_n = C^{(n)}(0) = \left. \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}t^n} \exp (K(t) - \mu t) \right|_{t=0} = \sum_{k=1}^n B_{n,k}(0,\kappa_2,\ldots,\kappa_{n-k+1})</math> के रूप में प्राप्त किया जाता है।

साथ ही, '''''n > 1''''' के लिए, केंद्रीय क्षणों के संदर्भ में n-वीं संचयी

& = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} (k-1)! B_{n,k}(0,\mu_2,\ldots,\mu_{n-k+1})

</math> है।

n-वें क्षण μ′n पहले n संचयकों में एक n-वां-परिमाण बहुपद है। पहले कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं:

अभाज्य क्षणों {{math|''μ''′_''n''}} [[माध्य के बारे में क्षण|माध्य के विषय में क्षण]] {{math|''μ''_''n''}} से अलग करता है। केंद्रीय क्षणों को संचयकों के फलनों के रूप में व्यक्त करने के लिए, मात्र इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें {{math|''κ''₁}} एक कारक के रूप में प्रकट होता है:

इसी प्रकार, {{math|''n''}}-वें संचयी {{math|''κ''_''n''}} पहले {{math|''n''}}वें- गैर-केंद्रीय क्षणों में एक {{math|''n''}} वें-डिग्री बहुपद है। पहली कुछ अभिव्यक्तियाँ हैं:

केंद्रीय क्षणों के फलनों के रूप में n > 1 के लिए संचयी {{math|''κ''_''n''}} को व्यक्त करने के लिए, इन बहुपदों से उन सभी पदों को हटा दें जिनमें μ'₁ एक कारक के रूप में प्रकट होता है:

[[मानकीकृत क्षण]] {{mvar|μ″_n}} के फलन के रूप में {{math|''n'' > 2}} के लिए संचयी {{math|''κ''_''n''}} को व्यक्त करने के लिए, बहुपदों में {{math|1={{mvar|μ'}}₂=1}} भी समूहित करें: