क्विंटिक फलन

घात 5 के बहुपद का लेखाचित्र , 3 वास्तविक शून्य (मूल) और 4 क्रांतिक बिंदु (गणित) के साथ।

गणित में, क्विंटिक कार्य, एक कार्य (गणित) का प्रपत्र है

$g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f,\,$

जहाँ a, b, c, d, e और f एक क्षेत्र (गणित) के सदस्य हैं, प्रायः तर्कसंगत संख्याएं, वास्तविक संख्याएं या जटिल संख्याएं, और a अशून्य है. दूसरे शब्दों में, एक क्विंटिक कार्य को बहुपद पांच की डिग्री के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है।

क्योंकि उनके पास एक विषम डिग्री है, सामान्य क्विंटिक कार्य लेखाचित्र किए जाने पर सामान्य घन फलन के समान दिखाई देते हैं, सिवाए इसके कि उनके पास एक अतिरिक्त मैक्सिमा और मिनिमा और एक अतिरिक्त स्थानीय न्यूनतम हो सकता है। क्विंटिक कार्य का व्युत्पन्न एक चतुर्थक फलन है।

सेटिंग g(x) = 0 और मान लिजिये a ≠ 0 एक क्विंटिक समीकरण का प्रपत्र तैयार करता है:

$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0.\,$

16वीं शताब्दी से, जब घन और चतुर्थक समीकरण हल किए गए थे, रेडिकल (एनवें मूल) के संदर्भ में क्विंटिक समीकरणों को हल करना बीजगणित में एक बड़ी समस्या थी, 19वीं शताब्दी के पूर्वार्ध तक, तब हाबिल-रफ़िनी प्रमेय द्वारा इस तरह के सामान्य समाधान की असंभवता साबित हुई थी ।

क्विंटिक समीकरण की जड़ें ढूँढना

किसी दिए गए बहुपद के फलन का (शून्य) ज्ञात करना एक प्रमुख गणितीय समस्या रही है।

रैखिक समीकरण, द्विघात समीकरण, घन समीकरण और चतुर्थक समीकरणों को मूलकों में गुणनखंडन द्वारा सदैव हल किया जा सकता है, चाहे मूल तर्कसंगत हों या अपरिमेय, वास्तविक हों या जटिल; ऐसे सूत्र हैं जो आवश्यक समाधान देते हैं। यद्पि, परिमेय पर सामान्य क्विंटिक समीकरणों के समाधान के लिए कोई बीजगणितीय अभिव्यक्ति (अर्थात् मूलांक के संदर्भ में) नहीं है; इस कथन को एबेल-रफ़िनी प्रमेय के प्रपत्र में जाना जाता है, जिसे पहली बार 1799 में प्रतिपादित किया गया था और 1824 में पूरी तरह से सिद्ध किया गया था। यह परिणाम उच्च डिग्री के समीकरणों के लिए भी लागू होता है। क्विंटिक का एक उदाहरण जिसकी जड़ों को रेडिकल के प्रपत्र में व्यक्त नहीं किया जा सकता है x⁵ − x + 1 = 0.

कुछ क्विंटिक्स को रेडिकल के संदर्भ में हल किया जा सकता है। यद्पि, समाधान प्रायः व्यवहार में उपयोग करने के लिए बहुत जटिल है। इसके बजाय, संख्यात्मक सन्निकटन की गणना एक बहुपदों की जड़ों को ढूंढन, |बहुपदों के लिए रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग करके की जाती है।

समाधानयोग्य क्विंटिक्स

कुछ क्विंटिक समीकरणों को रेडिकल के संदर्भ में हल किया जा सकता है। इनमें एक बहुपद द्वारा परिभाषित क्विंटिक समीकरण सम्मिलित हैं जो अपरिवर्तनीय बहुपद है, जैसे कि x⁵ − x⁴ − x + 1 = (x² + 1)(x + 1)(x − 1)². उदाहरण के लिए, यह दिखाया गया है वह

$x^{5}-x-r=0$

रेडिकल में समाधान होता है यदि और केवल यदि इसमें पूर्णांक समाधान होता है या आर ±15, ±22440, या ±2759640 में से एक है, तो ऐसे घटनाओं में बहुपद कम करने योग्य होता है।

चूंकि रिड्यूसिबल क्विंटिक समीकरणों को हल करना तुरंत कम डिग्री के बहुपदों को हल करने के लिए कम हो जाता है, इस खंड के शेष भाग में केवल इरेड्यूसिबल क्विंटिक समीकरणों पर विचार किया जाता है, और क्विंटिक शब्द केवल इरेड्यूसिबल क्विंटिक्स को संदर्भित करेगा। एक 'समाधानयोग्य क्विंटिक' इस प्रकार एक अघुलनशील क्विंटिक बहुपद है जिसकी जड़ें रेडिकल के संदर्भ में व्यक्त की जा सकती हैं।

सॉल्व करने योग्य क्विंटिक्स और प्रायः उच्च डिग्री के सॉल्व करने योग्य बहुपदों को चिह्नित करने के लिए, एवरिस्ट गैलोइस ने यांत्रिकी विकसित की जिसने समूह सिद्धांत और गैलोइस सिद्धांत को जन्म दिया। इन यांत्रिकीयोंों को लागू करते हुए, आर्थर केली ने यह निर्धारित करने के लिए एक सामान्य मानदंड पाया कि कोई भी क्विंटिक हल करने योग्य है या नहीं। यह मानदंड निम्नलिखित है.

समीकरण दिया गया है

$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,$

तस्किरनहाउस परिवर्तन x = y − b/5a, जो क्विंटिक को दबाता है (अर्थात डिग्री चार के पद को हटा देता है), समीकरण देता है

$y^{5}+py^{3}+qy^{2}+ry+s=0$,

कहाँ

${\begin{aligned}p&={\frac {5ac-2b^{2}}{5a^{2}}}\\q&={\frac {25a^{2}d-15abc+4b^{3}}{25a^{3}}}\\r&={\frac {125a^{3}e-50a^{2}bd+15ab^{2}c-3b^{4}}{125a^{4}}}\\s&={\frac {3125a^{4}f-625a^{3}be+125a^{2}b^{2}d-25ab^{3}c+4b^{5}}{3125a^{5}}}\end{aligned}}$

दोनों क्विंटिक्स रेडिकल द्वारा हल करने योग्य हैं यदि और केवल यदि वे तर्कसंगत गुणांक या बहुपद के साथ निम्न डिग्री के समीकरणों में कारक हैं P² − 1024 z Δ, नामित केली का संकल्पक, में एक तर्कसंगत जड़ है z, जहाँ

$\begin{array}{rl}P=& \end{array}$