भागों द्वारा योग: Difference between revisions
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{{Short description|Theorem to simplify sums of products of sequences}}गणित में, भागों द्वारा [[योग]] अनुक्रमों के उत्पादों के योग को अन्य योगों में बदल देता है, जिससे अधिकांशतः गणना या (विशेष रूप से) कुछ प्रकार के योगों का अनुमान सरल हो जाता है। इसे एबेल लेम्मा या एबेल ट्रांसफॉर्मेशन भी कहा जाता है, जिसका नाम [[नील्स हेनरिक एबेल]] के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे 1826 में प्रस्तुत किया था।<ref>{{cite journal |journal=Advances in Applied Mathematics |volume=39 |issue=4 |year=2007 |pages=490-514 |title= भागों और बुनियादी हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला द्वारा योग पर एबेल की लेम्मा|first=Wenchang |last=Chu |doi=10.1016/j.aam.2007.02.001|doi-access=free }}</ref> | {{Short description|Theorem to simplify sums of products of sequences}}गणित में, भागों द्वारा [[योग]] अनुक्रमों के उत्पादों के योग को अन्य योगों में बदल देता है, जिससे अधिकांशतः गणना या (विशेष रूप से) कुछ प्रकार के योगों का अनुमान सरल हो जाता है। इसे एबेल लेम्मा या एबेल ट्रांसफॉर्मेशन भी कहा जाता है, जिसका नाम [[नील्स हेनरिक एबेल]] के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे साल 1826 में प्रस्तुत किया था।<ref>{{cite journal |journal=Advances in Applied Mathematics |volume=39 |issue=4 |year=2007 |pages=490-514 |title= भागों और बुनियादी हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला द्वारा योग पर एबेल की लेम्मा|first=Wenchang |last=Chu |doi=10.1016/j.aam.2007.02.001|doi-access=free }}</ref> | ||
==कथन== | ==कथन== | ||
कल्पना करना <math>\{f_k\}</math> और <math>\{g_k\}</math> दो क्रम हैं. तब, | कल्पना करना <math>\{f_k\}</math> और <math>\{g_k\}</math> दो क्रम हैं. तब, | ||
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==विधि== | ==विधि== | ||
दो दिए गए अनुक्रमों के लिए <math>(a_n) </math> और <math>(b_n) </math>, साथ <math>n \in \N</math>, कोई निम्नलिखित श्रृंखला के योग का अध्ययन करना चाहता है:<math display="block">S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n</math>यदि हम परिभाषित करें <math display="inline">B_n = \sum_{k=0}^n b_k,</math> फिर हर एक के लिए <math>n>0, </math> <math>b_n = B_n - B_{n-1} </math> और<math display="block">S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1}),</math><math display="block">S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1}).</math> | दो दिए गए अनुक्रमों के लिए <math>(a_n) </math> और <math>(b_n) </math>, साथ <math>n \in \N</math>, कोई निम्नलिखित श्रृंखला के योग का अध्ययन करना चाहता है:<math display="block">S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n</math>यदि हम परिभाषित करें <math display="inline">B_n = \sum_{k=0}^n b_k,</math> फिर हर एक के लिए <math>n>0, </math> <math>b_n = B_n - B_{n-1} </math> और<math display="block">S_N = a_0 b_0 + \sum_{n=1}^N a_n (B_n - B_{n-1}),</math><math display="block">S_N = a_0 b_0 - a_1 B_0 + a_N B_N + \sum_{n=1}^{N-1} B_n (a_n - a_{n+1}).</math>आखिरकार <math display="inline">S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n).</math> | ||
आखिरकार <math display="inline">S_N = a_N B_N - \sum_{n=0}^{N-1} B_n (a_{n+1} - a_n).</math> | |||
इस प्रक्रिया, जिसे एबेल परिवर्तन कहा जाता है, का उपयोग अभिसरण के कई मानदंडों को सिद्ध करना करने के लिए किया जा सकता है <math>S_N </math>. | इस प्रक्रिया, जिसे एबेल परिवर्तन कहा जाता है, का उपयोग अभिसरण के कई मानदंडों को सिद्ध करना करने के लिए किया जा सकता है <math>S_N </math>. | ||
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S_M - S_N &= a_M B_M - a_N B_N - \sum_{n=N}^{M-1} B_n (a_{n+1} - a_n)\\ | S_M - S_N &= a_M B_M - a_N B_N - \sum_{n=N}^{M-1} B_n (a_{n+1} - a_n)\\ | ||
&= (a_M-a) B_M - (a_N-a) B_N + a(B_M - B_N) - \sum_{n=N}^{M-1} B_n (a_{n+1} - a_n), | &= (a_M-a) B_M - (a_N-a) B_N + a(B_M - B_N) - \sum_{n=N}^{M-1} B_n (a_{n+1} - a_n), | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math>जहां a की सीमा है <math>a_n</math>. जैसा <math display="inline">\sum_n b_n</math> अभिसरण है, <math>B_N</math> से स्वतंत्र रूप से घिरा हुआ है <math>N</math>, द्वारा कहो <math>B</math>. जैसा <math>a_n-a</math> शून्य पर जाएं, इसलिए पहले दो पदों पर जाएं। [[कॉची मानदंड]] के अनुसार तीसरा पद शून्य हो जाता है <math display="inline">\sum_n b_n</math>. शेष राशि परिबद्ध है<math display="block">\sum_{n=N}^{M-1} |B_n| |a_{n+1}-a_n| \le B \sum_{n=N}^{M-1} |a_{n+1}-a_n| = B|a_N - a_M|</math>की एकरसता से <math>a_n</math>, और शून्य पर भी चला जाता है <math>N \to \infty</math>. | ||
जहां a की सीमा है <math>a_n</math>. जैसा <math display="inline">\sum_n b_n</math> अभिसरण है, <math>B_N</math> से स्वतंत्र रूप से घिरा हुआ है <math>N</math>, द्वारा कहो <math>B</math>. जैसा <math>a_n-a</math> शून्य पर जाएं, इसलिए पहले दो पदों पर जाएं। [[कॉची मानदंड]] के अनुसार तीसरा पद शून्य हो जाता है <math display="inline">\sum_n b_n</math>. शेष राशि परिबद्ध है | |||
<math display="block">\sum_{n=N}^{M-1} |B_n| |a_{n+1}-a_n| \le B \sum_{n=N}^{M-1} |a_{n+1}-a_n| = B|a_N - a_M|</math> | |||
की एकरसता से <math>a_n</math>, और शून्य पर भी चला जाता है <math>N \to \infty</math>. | |||
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तब <math display="inline">S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n</math> जुटता है. | तब <math display="inline">S_N = \sum_{n=0}^N a_n b_n</math> जुटता है. | ||
दोनों ही स्थितियोंमें, श्रृंखला का योग संतुष्ट करता है:<math display="block"> |S| = \left|\sum_{n=0}^\infty a_n b_n \right| \le B \sum_{n=0}^\infty |a_{n+1}-a_n|.</math>उच्च क्रम परिमित अंतर विधियों के लिए योग-दर-भाग ऑपरेटर | दोनों ही स्थितियोंमें, श्रृंखला का योग संतुष्ट करता है:<math display="block"> |S| = \left|\sum_{n=0}^\infty a_n b_n \right| \le B \sum_{n=0}^\infty |a_{n+1}-a_n|.</math>उच्च क्रम परिमित अंतर विधियों के लिए योग-दर-भाग ऑपरेटर<br />एक योग-दर-भाग (एसबीपी) परिमित अंतर ऑपरेटर पारंपरिक रूप से एक केंद्रित अंतर आंतरिक योजना और विशिष्ट सीमा स्टेंसिल से बना होता है जो संबंधित एकीकरण-दर-भाग फॉर्मूलेशन के व्यवहार की नकल करता है।<ref>{{Cite journal| last=Strand|first=Bo|date=January 1994|title=Summation by Parts for Finite Difference Approximations for d/dx|journal=Journal of Computational Physics|volume=110|issue=1|pages=47–67|doi=10.1006/jcph.1994.1005}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Mattsson| first=Ken| last2=Nordström|first2=Jan|date=September 2004|title=दूसरे डेरिवेटिव के परिमित अंतर सन्निकटन के लिए भाग संचालकों द्वारा योग|journal=Journal of Computational Physics|volume=199|issue=2|pages=503–540|doi=10.1016/j.jcp.2004.03.001}}</ref> सीमा शर्तें सामान्यतः एक साथ-सन्निकटन-अवधि (SAT) तकनीक द्वारा लगाई जाती हैं।<ref>{{Cite journal| last=Carpenter|first=Mark H.|last2=Gottlieb|first2=David|last3=Abarbanel|first3=Saul|date=April 1994|title=Time-Stable Boundary Conditions for Finite-Difference Schemes Solving Hyperbolic Systems: Methodology and Application to High-Order Compact Schemes|journal=Journal of Computational Physics|volume=111|issue=2| pages=220–236|doi=10.1006/jcph.1994.1057| citeseerx=10.1.1.465.603}}</ref> एसबीपी-एसएटी का संयोजन सीमा उपचार के लिए एक शक्तिशाली ढांचा है। लंबे समय तक सिमुलेशन के लिए अच्छी तरह से सिद्ध स्थिरता और त्रुटिहीनता के उच्च क्रम के लिए विधि को प्राथमिकता दी जाती है। | ||
एक योग-दर-भाग (एसबीपी) परिमित अंतर ऑपरेटर पारंपरिक रूप से एक केंद्रित अंतर आंतरिक योजना और विशिष्ट सीमा स्टेंसिल से बना होता है जो संबंधित एकीकरण-दर-भाग फॉर्मूलेशन के व्यवहार की नकल करता है।<ref>{{Cite journal| last=Strand|first=Bo|date=January 1994|title=Summation by Parts for Finite Difference Approximations for d/dx|journal=Journal of Computational Physics|volume=110|issue=1|pages=47–67|doi=10.1006/jcph.1994.1005}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Mattsson| first=Ken| last2=Nordström|first2=Jan|date=September 2004|title=दूसरे डेरिवेटिव के परिमित अंतर सन्निकटन के लिए भाग संचालकों द्वारा योग|journal=Journal of Computational Physics|volume=199|issue=2|pages=503–540|doi=10.1016/j.jcp.2004.03.001}}</ref> सीमा शर्तें सामान्यतः एक साथ-सन्निकटन-अवधि (SAT) तकनीक द्वारा लगाई जाती हैं।<ref>{{Cite journal| last=Carpenter|first=Mark H.|last2=Gottlieb|first2=David|last3=Abarbanel|first3=Saul|date=April 1994|title=Time-Stable Boundary Conditions for Finite-Difference Schemes Solving Hyperbolic Systems: Methodology and Application to High-Order Compact Schemes|journal=Journal of Computational Physics|volume=111|issue=2| pages=220–236|doi=10.1006/jcph.1994.1057| citeseerx=10.1.1.465.603}}</ref> एसबीपी-एसएटी का संयोजन सीमा उपचार के लिए एक शक्तिशाली ढांचा है। लंबे समय तक सिमुलेशन के लिए अच्छी तरह से सिद्ध स्थिरता और त्रुटिहीनता के उच्च क्रम के लिए विधि को प्राथमिकता दी जाती है। | |||
==यह भी देखें== | ==यह भी देखें== | ||
Revision as of 18:21, 7 July 2023
गणित में, भागों द्वारा योग अनुक्रमों के उत्पादों के योग को अन्य योगों में बदल देता है, जिससे अधिकांशतः गणना या (विशेष रूप से) कुछ प्रकार के योगों का अनुमान सरल हो जाता है। इसे एबेल लेम्मा या एबेल ट्रांसफॉर्मेशन भी कहा जाता है, जिसका नाम नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे साल 1826 में प्रस्तुत किया था।[1]
कथन
कल्पना करना और दो क्रम हैं. तब,
फॉरवर्ड डिफरेंस ऑपरेटर का उपयोग करना , इसे और अधिक संक्षेप में कहा जा सकता है
भागों द्वारा योग, भागों द्वारा एकीकरण के समान है:
या हाबिल के सारांश सूत्र के लिए:
एक वैकल्पिक कथन है