अवकल बीजगणित: Difference between revisions
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गणित में, | गणित में, विभेदक [[बीजगणित]], मोटे तौर पर, गणित का वह क्षेत्र है जिसमें समाधान की गणना किए बिना [[अंतर समीकरण|विभेदक समीकरण]] और संक्रियक के गुणों को प्राप्त करने के मद्देनजर बीजगणित के रूप में विभेदक समीकरणों और विभेदक संक्रियक का अध्ययन सम्मिलित है, उसी तरह जैसे [[बहुपद बीजगणित]] का उपयोग किया जाता है। बीजगणितीय किस्मों का अध्ययन, जो बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के समाधान सेट हैं। [[वेइल बीजगणित|वेल बीजगणित]] और ली बीजगणित को विभेदक बीजगणित से संबंधित माना जा सकता है। | ||
अधिक विशेष रूप से, | अधिक विशेष रूप से, विभेदक बीजगणित 1950 में जोसेफ रिट द्वारा पेश किए गए सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसमें विभेदक वलय, विभेदक क्षेत्र और विभेदक बीजगणित वलय, क्षेत्र और बीजगणित हैं जो कि कई व्युत्पत्तियों से सुसज्जित हैं। | ||
विभेदक क्षेत्र का एक प्राकृतिक उदाहरण [[जटिल संख्या]]ओं पर एक चर में [[तर्कसंगत कार्य]] | विभेदक क्षेत्र का एक प्राकृतिक उदाहरण [[जटिल संख्या]]ओं पर एक चर में [[तर्कसंगत कार्य|तर्कसंगत]] कार्यों का क्षेत्र है, <math>\mathbb{C}(t),</math> जहां व्युत्पत्ति के संबंध में भेदभाव <math>t</math> है। अधिक सामान्यतः प्रत्येक विभेदक समीकरण को समीकरण में दिखाई देने वाले (ज्ञात) कार्यों द्वारा उत्पन्न विभेदक क्षेत्र पर विभेदक बीजगणित के एक तत्व के रूप में देखा जा सकता है। | ||
==इतिहास== | ==इतिहास== | ||
जोसेफ रिट ने विभेदक बीजगणित विकसित किया क्योंकि उन्होंने विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को विभिन्न विहित रूपों में कम करने के प्रयासों को एक असंतोषजनक दृष्टिकोण के रूप में देखा। हालाँकि, बीजगणितीय उन्मूलन विधियों और बीजगणितीय मैनिफोल्ड सिद्धांत की सफलता ने रिट को | जोसेफ रिट ने विभेदक बीजगणित विकसित किया क्योंकि उन्होंने विभेदक समीकरणों की प्रणालियों को विभिन्न विहित रूपों में कम करने के प्रयासों को एक असंतोषजनक दृष्टिकोण के रूप में देखा। हालाँकि, बीजगणितीय उन्मूलन विधियों और बीजगणितीय मैनिफोल्ड सिद्धांत की सफलता ने रिट को विभेदक समीकरणों के लिए एक समान दृष्टिकोण पर विचार करने के लिए प्रेरित किया।{{sfn|Ritt|1932}}{{rp|iii-iv}} उनके प्रयासों से एक प्रारंभिक पेपर <em>मैनिफोल्ड्स ऑफ फंक्शन्स डिफाइन्ड बाय सिस्टम्स ऑफ अलजेब्रिक डिफरेंशियल इक्वेशन</em> और 2 किताबें, <em>डिफरेंशियल इक्वेशन फ्रॉम द अलजेब्रिक स्टैंडपॉइंट</em> और <em>डिफरेंशियल अलजेब्रा</em> सामने आईं। उन्हें>.{{sfn|Ritt|1930}}{{sfn|Ritt|1932}}{{sfn|Ritt|1950}} रिट के छात्र [[एलिस कल्चेन]] ने इस क्षेत्र को आगे बढ़ाया और <em>डिफरेंशियल अलजेब्रा एंड अलजेब्रिक ग्रुप्स</em> प्रकाशित किया।{{sfn|Kolchin |1973}} | ||
==विभेदक वलय== | ==विभेदक वलय== | ||
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हरएक के लिए <math>r_1</math> और <math>r_2</math> में <math>R.</math> | हरएक के लिए <math>r_1</math> और <math>r_2</math> में <math>R.</math> | ||
व्युत्पत्ति पूर्णांकों पर रैखिक मानचित्र है क्योंकि ये सर्वसमिकाएं निहित होती हैं <math>\partial (0)=\partial (1) = 0</math> और <math>\partial (-r)=-\partial (r).</math> | व्युत्पत्ति पूर्णांकों पर रैखिक मानचित्र है क्योंकि ये सर्वसमिकाएं निहित होती हैं <math>\partial (0)=\partial (1) = 0</math> और <math>\partial (-r)=-\partial (r).</math> | ||
एक विभेदक वलय एक [[क्रमविनिमेय वलय]] है <math>R</math> एक या अधिक व्युत्पत्तियों से सुसज्जित जो जोड़ीदार रूप से आवागमन करती हैं; वह है, <math display=block>\partial_1(\partial_2 (r))=\partial_2(\partial_1 (r))</math> व्युत्पत्तियों की प्रत्येक जोड़ी और प्रत्येक के लिए <math>r\in R.</math>{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|58–59}} जब केवल एक ही व्युत्पत्ति होती है तो अक्सर एक <em>साधारण | एक विभेदक वलय एक [[क्रमविनिमेय वलय]] है <math>R</math> एक या अधिक व्युत्पत्तियों से सुसज्जित जो जोड़ीदार रूप से आवागमन करती हैं; वह है, <math display=block>\partial_1(\partial_2 (r))=\partial_2(\partial_1 (r))</math> व्युत्पत्तियों की प्रत्येक जोड़ी और प्रत्येक के लिए <math>r\in R.</math>{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|58–59}} जब केवल एक ही व्युत्पत्ति होती है तो अक्सर एक <em>साधारण विभेदक वलय</em> की बात की जाती है; अन्यथा, कोई <em>आंशिक विभेदक रिंग</em> की बात करता है | ||
एक विभेदक क्षेत्र एक विभेदक वलय है जो एक क्षेत्र भी है। एक विभेदक बीजगणित <math>A</math> एक विभेदक क्षेत्र पर <math>K</math> एक विभेदक वलय है जिसमें | एक विभेदक क्षेत्र एक विभेदक वलय है जो एक क्षेत्र भी है। एक विभेदक बीजगणित <math>A</math> एक विभेदक क्षेत्र पर <math>K</math> एक विभेदक वलय है जिसमें सम्मिलित है <math>K</math> एक सबरिंग के रूप में जैसे कि प्रतिबंध <math>K</math> की व्युत्पत्तियों का <math>A</math> की व्युत्पत्ति के बराबर <math>K.</math> (एक अधिक सामान्य परिभाषा नीचे दी गई है, जो उस मामले को कवर करती है <math>K</math> एक फ़ील्ड नहीं है, और अनिवार्य रूप से समतुल्य है जब <math>K</math> एक फ़ील्ड है.) | ||
विट बीजगणित एक विभेदक वलय है जिसमें क्षेत्र | विट बीजगणित एक विभेदक वलय है जिसमें क्षेत्र सम्मिलित होता है <math>\Q</math> तर्कसंगत संख्याओं का. समान रूप से, यह एक विभेदक बीजगणित है <math>\Q,</math> तब से <math>\Q</math> इसे एक विभेदक क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है जिस पर प्रत्येक व्युत्पत्ति [[शून्य कार्य]] है। | ||
एक विभेदक वलय के <em>स्थिरांक</em> तत्व हैं <math>r</math> ऐसा है कि <math>\partial r=0</math> प्रत्येक व्युत्पत्ति के लिए <math>\partial.</math> एक विभेदक [[सबरिंग]] के स्थिरांक एक उपरिंग बनाते हैं और एक भिन्न क्षेत्र के स्थिरांक एक उपक्षेत्र बनाते हैं।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|58–60}} स्थिरांक का यह अर्थ एक स्थिर कार्य की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है, और इसे [[स्थिरांक (गणित)]] के सामान्य अर्थ के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। | एक विभेदक वलय के <em>स्थिरांक</em> तत्व हैं <math>r</math> ऐसा है कि <math>\partial r=0</math> प्रत्येक व्युत्पत्ति के लिए <math>\partial.</math> एक विभेदक [[सबरिंग]] के स्थिरांक एक उपरिंग बनाते हैं और एक भिन्न क्षेत्र के स्थिरांक एक उपक्षेत्र बनाते हैं।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|58–60}} स्थिरांक का यह अर्थ एक स्थिर कार्य की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है, और इसे [[स्थिरांक (गणित)]] के सामान्य अर्थ के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। | ||
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विभेदक आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक विभेदक आदर्श है, और मूल विभेदक आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक मूल विभेदक आदर्श है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|61–62}} | विभेदक आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक विभेदक आदर्श है, और मूल विभेदक आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक मूल विभेदक आदर्श है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|61–62}} | ||
यह इस प्रकार है, एक उपसमुच्चय दिया गया है <math>S</math> एक विभेदक वलय में, इसके द्वारा उत्पन्न तीन आदर्श होते हैं, जो क्रमशः, सभी बीजगणितीय आदर्शों, सभी विभेदक आदर्शों और सभी मौलिक | यह इस प्रकार है, एक उपसमुच्चय दिया गया है <math>S</math> एक विभेदक वलय में, इसके द्वारा उत्पन्न तीन आदर्श होते हैं, जो क्रमशः, सभी बीजगणितीय आदर्शों, सभी विभेदक आदर्शों और सभी मौलिक विभेदक आदर्शों के प्रतिच्छेदन होते हैं जिनमें यह सम्मिलित होता है।{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|61–62}}{{sfn|Buium|1994}}{{rp|21}} | ||
द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श <math>S</math> के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय है <math>S,</math> और आमतौर पर इसे इस रूप में दर्शाया जाता है <math>(S)</math> या <math>\langle S \rangle.</math> | द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श <math>S</math> के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय है <math>S,</math> और आमतौर पर इसे इस रूप में दर्शाया जाता है <math>(S)</math> या <math>\langle S \rangle.</math> | ||
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तो चलो <math>K</math> एक विभेदक क्षेत्र हो, जो आम तौर पर (लेकिन जरूरी नहीं) तर्कसंगत भिन्नों का एक क्षेत्र हो <math>K(X)=K(x_1,\ldots ,x_n)</math> (बहुभिन्नरूपी बहुपदों के भिन्न), व्युत्पत्तियों से सुसज्जित <math>\partial_i</math> ऐसा है कि <math>\partial_i x_i=1</math> और <math>\partial_i x_j=0</math> अगर <math>i\neq j</math> (सामान्य आंशिक व्युत्पन्न)। | तो चलो <math>K</math> एक विभेदक क्षेत्र हो, जो आम तौर पर (लेकिन जरूरी नहीं) तर्कसंगत भिन्नों का एक क्षेत्र हो <math>K(X)=K(x_1,\ldots ,x_n)</math> (बहुभिन्नरूपी बहुपदों के भिन्न), व्युत्पत्तियों से सुसज्जित <math>\partial_i</math> ऐसा है कि <math>\partial_i x_i=1</math> और <math>\partial_i x_j=0</math> अगर <math>i\neq j</math> (सामान्य आंशिक व्युत्पन्न)। | ||
रिंग को परिभाषित करने के लिए <math display="inline"> K \{ Y \}= K \{ y_1, \ldots, y_n \}</math> में विभेदक बहुपदों का <math>Y=\{y_1,\ldots, y_n\}</math> व्युत्पत्तियों के साथ <math>\partial_1, \ldots, \partial_n,</math> एक रूप के नए अनिश्चितों की अनंतता का परिचय देता है <math>\Delta y_i,</math> कहाँ <math>\Delta</math> क्या कोई व्युत्पत्ति संचालक क्रम से उच्चतर है {{math|1}}. इस संकेतन के साथ, <math>K \{ Y \}</math> इन सभी अनिश्चितों में प्राकृतिक व्युत्पत्तियों के साथ बहुपदों का समुच्चय है (प्रत्येक बहुपद में केवल अनिश्चितों की एक सीमित संख्या | रिंग को परिभाषित करने के लिए <math display="inline"> K \{ Y \}= K \{ y_1, \ldots, y_n \}</math> में विभेदक बहुपदों का <math>Y=\{y_1,\ldots, y_n\}</math> व्युत्पत्तियों के साथ <math>\partial_1, \ldots, \partial_n,</math> एक रूप के नए अनिश्चितों की अनंतता का परिचय देता है <math>\Delta y_i,</math> कहाँ <math>\Delta</math> क्या कोई व्युत्पत्ति संचालक क्रम से उच्चतर है {{math|1}}. इस संकेतन के साथ, <math>K \{ Y \}</math> इन सभी अनिश्चितों में प्राकृतिक व्युत्पत्तियों के साथ बहुपदों का समुच्चय है (प्रत्येक बहुपद में केवल अनिश्चितों की एक सीमित संख्या सम्मिलित होती है)। विशेषकर, यदि <math>n=1,</math> किसी के पास | ||
:<math>K\{y\}=K\left[y, \partial y, \partial^2 y, \partial^3 y, \ldots\right].</math> | :<math>K\{y\}=K\left[y, \partial y, \partial^2 y, \partial^3 y, \ldots\right].</math> | ||
यहां तक कि जब <math>n=1,</math> विभेदक बहुपदों का एक वलय नोथेरियन वलय नहीं है। इससे बहुपद वलय के इस सामान्यीकरण का सिद्धांत कठिन हो जाता है। हालाँकि, दो तथ्य ऐसे सामान्यीकरण की अनुमति देते हैं। | यहां तक कि जब <math>n=1,</math> विभेदक बहुपदों का एक वलय नोथेरियन वलय नहीं है। इससे बहुपद वलय के इस सामान्यीकरण का सिद्धांत कठिन हो जाता है। हालाँकि, दो तथ्य ऐसे सामान्यीकरण की अनुमति देते हैं। | ||
सबसे पहले, विभेदक बहुपद की एक सीमित संख्या में एक साथ अनिश्चित संख्याओं की एक सीमित संख्या | सबसे पहले, विभेदक बहुपद की एक सीमित संख्या में एक साथ अनिश्चित संख्याओं की एक सीमित संख्या सम्मिलित होती है। इसका तात्पर्य यह है कि बहुपदों का प्रत्येक गुण जिसमें बहुपदों की एक सीमित संख्या सम्मिलित होती है, विभेदक बहुपदों के लिए सत्य रहता है। विशेष रूप से, सबसे बड़े सामान्य भाजक मौजूद हैं, और विभेदक बहुपदों की एक अंगूठी एक [[अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन]] है। | ||
दूसरा तथ्य यह है कि यदि क्षेत्र <math>K</math> इसमें परिमेय संख्याओं का क्षेत्र, विभेदक बहुपदों के वलय | दूसरा तथ्य यह है कि यदि क्षेत्र <math>K</math> इसमें परिमेय संख्याओं का क्षेत्र, विभेदक बहुपदों के वलय सम्मिलित हैं <math>K</math> मूल विभेदक आदर्शों पर [[आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करें। यह रिट का प्रमेय इसके सामान्यीकरण से निहित है, जिसे कभी-कभी <em>रिट-रौडेनबश आधार प्रमेय</em> भी कहा जाता है जो दावा करता है कि यदि <math>R</math> एक <em>रिट बीजगणित</em> है (वह, एक विभेदक वलय है जिसमें तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र सम्मिलित है),{{sfn|Kaplansky|1976}}{{rp|12}} जो कट्टरपंथी विभेदक आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है, फिर विभेदक बहुपद की अंगूठी <math>R\{y\}</math> एक ही संपत्ति को संतुष्ट करता है (प्रमेय को पुनरावृत्त रूप से लागू करके एक व्यक्ति अविभाज्य से बहुभिन्नरूपी मामले में गुजरता है)।{{sfn|Kaplansky|1976}}{{rp|45,48}}{{rp|56–57}}{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|126–129}} | ||
इस नोथेरियन संपत्ति का तात्पर्य है कि, विभेदक बहुपद की एक अंगूठी में, प्रत्येक कट्टरपंथी | इस नोथेरियन संपत्ति का तात्पर्य है कि, विभेदक बहुपद की एक अंगूठी में, प्रत्येक कट्टरपंथी विभेदक आदर्श परिमित रूप से उत्पन्न होता है, इस अर्थ में कि यह सबसे छोटा कट्टरपंथी विभेदक आदर्श है जिसमें बहुपद का एक सीमित सेट होता है।{{sfn|Marker|2000}} यह जनरेटर के ऐसे सीमित सेट द्वारा एक कट्टरपंथी विभेदक आदर्श का प्रतिनिधित्व करने और इन आदर्शों के साथ कंप्यूटिंग की अनुमति देता है। हालाँकि, बीजगणितीय मामले की कुछ सामान्य गणनाओं को बढ़ाया नहीं जा सकता है। विशेष रूप से दो रेडिकल विभेदक आदर्शों की समानता के रेडिकल विभेदक आदर्श में किसी तत्व की सदस्यता का परीक्षण करने के लिए कोई एल्गोरिदम ज्ञात नहीं है। | ||
नोथेरियन संपत्ति का एक और परिणाम यह है कि एक कट्टरपंथी | नोथेरियन संपत्ति का एक और परिणाम यह है कि एक कट्टरपंथी विभेदक आदर्श को विशिष्ट रूप से प्रधान विभेदक आदर्शों की एक सीमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे आदर्श के <em>आवश्यक प्रधान घटक</em> कहा जाता है।{{sfn|Hubert|2002}}{{rp|8}} <!-- | ||
An <em>algebraically independent</em> differential field <math display="inline"> \mathcal{F} \{ Y \} </math> is a differential field with a non-vanishing [[Wronskian | Wronskian determinant]].{{sfn|Bronstein|2005}}{{rp|79}} | An <em>algebraically independent</em> differential field <math display="inline"> \mathcal{F} \{ Y \} </math> is a differential field with a non-vanishing [[Wronskian | Wronskian determinant]].{{sfn|Bronstein|2005}}{{rp|79}} | ||
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==उन्मूलन विधियाँ== | ==उन्मूलन विधियाँ== | ||
<em>[[उन्मूलन सिद्धांत]]</em> एल्गोरिदम हैं जो विभेदक समीकरणों के सेट से डेरिवेटिव के एक निर्दिष्ट सेट को प्राथमिकता से हटा देते हैं, जो आमतौर पर | <em>[[उन्मूलन सिद्धांत]]</em> एल्गोरिदम हैं जो विभेदक समीकरणों के सेट से डेरिवेटिव के एक निर्दिष्ट सेट को प्राथमिकता से हटा देते हैं, जो आमतौर पर विभेदक समीकरणों के सेट को बेहतर ढंग से समझने और हल करने के लिए किया जाता है। | ||
उन्मूलन विधियों की श्रेणियों में <em>वू की विशेषता सेट विधियों की विधि</em>, विभेदक ग्रोबनेर आधार | ग्रोबनेर आधार विधियां और [[परिणामी]] आधारित विधियां | उन्मूलन विधियों की श्रेणियों में <em>वू की विशेषता सेट विधियों की विधि</em>, विभेदक ग्रोबनेर आधार | ग्रोबनेर आधार विधियां और [[परिणामी]] आधारित विधियां सम्मिलित हैं।{{sfn|Kolchin |1973}}{{sfn|Li|Yuan|2019}}{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{sfn|Mansfield|1991}}{{sfn|Ferro|2005}}{{sfn|Chardin|1991}}{{sfn|Wu |2005b}} | ||
उन्मूलन एल्गोरिदम में उपयोग किए जाने वाले सामान्य संचालन में | उन्मूलन एल्गोरिदम में उपयोग किए जाने वाले सामान्य संचालन में सम्मिलित हैं 1) रैंकिंग व्युत्पन्न, बहुपद और बहुपद सेट, 2) एक बहुपद के प्रमुख व्युत्पन्न, प्रारंभिक और पृथक्करण की पहचान करना, 3) बहुपद कमी, और 4) विशेष बहुपद सेट बनाना। | ||
===रैंकिंग डेरिवेटिव=== | ===रैंकिंग डेरिवेटिव=== | ||
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: <math display="inline"> \forall p \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : \theta_\mu p > p. </math> | : <math display="inline"> \forall p \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : \theta_\mu p > p. </math> | ||
: <math display="inline"> \forall p,q \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : p \ge q \Rightarrow \theta_\mu p \ge \theta_\mu q. </math> | : <math display="inline"> \forall p,q \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : p \ge q \Rightarrow \theta_\mu p \ge \theta_\mu q. </math> | ||
प्रत्येक व्युत्पन्न में एक पूर्णांक ट्यूपल होता है, और [[एकपदी क्रम]] व्युत्पन्न के पूर्णांक ट्यूपल को रैंक करके व्युत्पन्न को रैंक करता है। पूर्णांक टपल | प्रत्येक व्युत्पन्न में एक पूर्णांक ट्यूपल होता है, और [[एकपदी क्रम]] व्युत्पन्न के पूर्णांक ट्यूपल को रैंक करके व्युत्पन्न को रैंक करता है। पूर्णांक टपल विभेदक अनिश्चित, व्युत्पन्न के बहु-सूचकांक की पहचान करता है और व्युत्पन्न के क्रम की पहचान कर सकता है। रैंकिंग के प्रकारों में सम्मिलित हैं:{{sfn|Ferro|Gerdt|2003}}{{rp|83}} | ||
* <em>क्रमबद्ध रैंकिंग</em>: <math> \forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ \operatorname{ord}(\theta_\mu) \ge \operatorname{ord}(\theta_\nu) \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j</math> | * <em>क्रमबद्ध रैंकिंग</em>: <math> \forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ \operatorname{ord}(\theta_\mu) \ge \operatorname{ord}(\theta_\nu) \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j</math> | ||
* <em>उन्मूलन रैंकिंग</em>: <math>\forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ y_i \ge y_j \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j</math> | * <em>उन्मूलन रैंकिंग</em>: <math>\forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ y_i \ge y_j \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j</math> | ||
इस उदाहरण में, पूर्णांक टुपल | इस उदाहरण में, पूर्णांक टुपल विभेदक अनिश्चित और व्युत्पन्न के बहु-सूचकांक और [[शब्दकोषीय क्रम]] की पहचान करता है, <math display="inline"> \ge_\text{lex}</math>, व्युत्पन्न की रैंक निर्धारित करता है।{{sfn|Wu |2005a}}{{rp|4}} | ||
: <math>\eta(\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(y_j))= (j, e_1, \ldots, e_n) </math>. | : <math>\eta(\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(y_j))= (j, e_1, \ldots, e_n) </math>. | ||
: <math> \eta(\theta_\mu y_j) \ge_\text{lex} \eta(\theta_\nu y_k) \Rightarrow \theta_\mu y_j \ge \theta_\nu y_k. </math> | : <math> \eta(\theta_\mu y_j) \ge_\text{lex} \eta(\theta_\nu y_k) \Rightarrow \theta_\mu y_j \ge \theta_\nu y_k. </math> | ||
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यह मानक बहुपद रूप है: <math> p = a_d \cdot u_p^d+ a_{d-1} \cdot u_p^{d-1} + \cdots +a_1 \cdot u_p+ a_0 </math>.{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|75–76}}{{sfn|Wu |2005a}}{{rp|4}} | यह मानक बहुपद रूप है: <math> p = a_d \cdot u_p^d+ a_{d-1} \cdot u_p^{d-1} + \cdots +a_1 \cdot u_p+ a_0 </math>.{{sfn|Kolchin |1973}}{{rp|75–76}}{{sfn|Wu |2005a}}{{rp|4}} | ||
* <em>नेता</em> या <em>अग्रणी व्युत्पन्न</em> बहुपद का सर्वोच्च रैंक वाला व्युत्पन्न है: <math>u_p</math>. | * <em>नेता</em> या <em>अग्रणी व्युत्पन्न</em> बहुपद का सर्वोच्च रैंक वाला व्युत्पन्न है: <math>u_p</math>. | ||
*गुणांक <math>a_d, \ldots, a_0</math> प्रमुख व्युत्पन्न | *गुणांक <math>a_d, \ldots, a_0</math> प्रमुख व्युत्पन्न सम्मिलित नहीं है <math display="inline">u_p</math>. | ||
* <em>[[बहुपद की डिग्री]]</em> बहुपद का अग्रणी व्युत्पन्न का सबसे बड़ा घातांक है: <math>\deg_{u_p}(p) = d</math>. | * <em>[[बहुपद की डिग्री]]</em> बहुपद का अग्रणी व्युत्पन्न का सबसे बड़ा घातांक है: <math>\deg_{u_p}(p) = d</math>. | ||
* <em>प्रारंभिक</em> गुणांक है: <math> I_p=a_d</math>. | * <em>प्रारंभिक</em> गुणांक है: <math> I_p=a_d</math>. | ||
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===नियमित व्यवस्था और नियमित आदर्श=== | ===नियमित व्यवस्था और नियमित आदर्श=== | ||
एक <em>नियमित प्रणाली</em> <math display="inline">\Omega</math> इसमें | एक <em>नियमित प्रणाली</em> <math display="inline">\Omega</math> इसमें विभेदक समीकरणों का एक स्वचालित और सुसंगत सेट सम्मिलित है <math display="inline">A</math> और एक असमिका समुच्चय <math display="inline">H_{\Omega} \supseteq H_A</math> सेट के साथ <math display="inline">H_\Omega </math> समीकरण सेट के संबंध में कम हो गया।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{rp|160}} | ||
नियमित | नियमित विभेदक आदर्श <math display="inline">\mathcal{I}_\text{dif} </math> और नियमित बीजगणितीय आदर्श <math display="inline">\mathcal{I}_\text{alg} </math> [[आदर्श भागफल]] हैं जो एक नियमित प्रणाली से उत्पन्न होते हैं।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{rp|160}} <em>लेज़ार्ड का लेम्मा</em> बताता है कि नियमित विभेदक और नियमित बीजगणितीय आदर्श कट्टरपंथी आदर्श हैं।{{sfn|Morrison|1999}} | ||
* <em>नियमित | * <em>नियमित विभेदक आदर्श</em>: <math display="inline">\mathcal{I}_\text{dif}=[A]:H_\Omega^\infty.</math> | ||
* <em>नियमित बीजगणितीय आदर्श</em>: <math display="inline">\mathcal{I}_\text{dif}=(A):H_\Omega^\infty.</math> | * <em>नियमित बीजगणितीय आदर्श</em>: <math display="inline">\mathcal{I}_\text{dif}=(A):H_\Omega^\infty.</math> | ||
===रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिदम=== | ===रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिदम=== | ||
<em>रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिथ्म</em> नियमित रेडिकल | <em>रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिथ्म</em> नियमित रेडिकल विभेदक आदर्शों के एक सीमित प्रतिच्छेदन के रूप में रेडिकल विभेदक आदर्श को विघटित करता है। विशिष्ट सेटों द्वारा दर्शाए गए ये नियमित विभेदक कट्टरपंथी आदर्श आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्श नहीं हैं और प्रतिनिधित्व आवश्यक रूप से [[प्राथमिक अपघटन]] नहीं है।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{rp|158}} | ||
<em>सदस्यता समस्या</em> यह निर्धारित करना है कि क्या एक विभेदक बहुपद है <math display="inline">p</math> विभेदक बहुपदों के एक सेट से उत्पन्न आदर्श का एक सदस्य है <math display="inline">S</math>. रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिदम ग्रोबनेर आधारों के सेट उत्पन्न करता है। एल्गोरिदम यह निर्धारित करता है कि एक बहुपद आदर्श का सदस्य है यदि और केवल तभी जब आंशिक रूप से कम किया गया शेष बहुपद ग्रोबनर आधारों द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श का सदस्य हो।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{rp|164}} | <em>सदस्यता समस्या</em> यह निर्धारित करना है कि क्या एक विभेदक बहुपद है <math display="inline">p</math> विभेदक बहुपदों के एक सेट से उत्पन्न आदर्श का एक सदस्य है <math display="inline">S</math>. रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिदम ग्रोबनेर आधारों के सेट उत्पन्न करता है। एल्गोरिदम यह निर्धारित करता है कि एक बहुपद आदर्श का सदस्य है यदि और केवल तभी जब आंशिक रूप से कम किया गया शेष बहुपद ग्रोबनर आधारों द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श का सदस्य हो।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|1995}}{{rp|164}} | ||
रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिदम | रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर एल्गोरिदम विभेदक समीकरणों के समाधान के [[टेलर श्रृंखला]] विस्तार बनाने की सुविधा प्रदान करता है।{{sfn|Boulier|Lazard|Ollivier|Petitot|2009b}} | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
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===विभेदक आदर्श=== | ===विभेदक आदर्श=== | ||
तत्व <math display="inline">\exp(y)</math> बस विभेदक आदर्श उत्पन्न करता है <math display="inline"> [\exp(y)] </math> | तत्व <math display="inline">\exp(y)</math> बस विभेदक आदर्श उत्पन्न करता है <math display="inline"> [\exp(y)] </math> विभेदक रिंग में <math display="inline">(\mathbb{C} \{ y, \exp(y) \}, \partial_{y}) | ||
</math>.{{sfn|Sit|2002}}{{rp|4}} | </math>.{{sfn|Sit|2002}}{{rp|4}} | ||
===एक | ===एक विभेदक वलय पर बीजगणित=== | ||
पहचान वाली कोई भी अंगूठी एक है <math display="inline">\operatorname{\mathcal{Z}-}</math>बीजगणित.{{sfn|Dummit|Foote|2004}}{{rp|343}} इस प्रकार एक विभेदक वलय है <math display="inline">\operatorname{\mathcal{Z}-}</math>बीजगणित | पहचान वाली कोई भी अंगूठी एक है <math display="inline">\operatorname{\mathcal{Z}-}</math>बीजगणित.{{sfn|Dummit|Foote|2004}}{{rp|343}} इस प्रकार एक विभेदक वलय है <math display="inline">\operatorname{\mathcal{Z}-}</math>बीजगणित | ||
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===विभेदक समीकरण=== | ===विभेदक समीकरण=== | ||
विभेदक बीजगणित यह निर्धारित कर सकता है कि विभेदक बहुपद समीकरणों के एक सेट का कोई समाधान है या नहीं। कुल ऑर्डर रैंकिंग बीजगणितीय बाधाओं की पहचान कर सकती है। एक उन्मूलन रैंकिंग यह निर्धारित कर सकती है कि स्वतंत्र चर का एक या चयनित समूह | विभेदक बीजगणित यह निर्धारित कर सकता है कि विभेदक बहुपद समीकरणों के एक सेट का कोई समाधान है या नहीं। कुल ऑर्डर रैंकिंग बीजगणितीय बाधाओं की पहचान कर सकती है। एक उन्मूलन रैंकिंग यह निर्धारित कर सकती है कि स्वतंत्र चर का एक या चयनित समूह विभेदक समीकरणों को व्यक्त कर सकता है या नहीं। त्रिकोणीय अपघटन और उन्मूलन क्रम का उपयोग करके, चरण-वार विधि में एक समय में एक विभेदक अनिश्चित विभेदक समीकरणों को हल करना संभव हो सकता है। एक अन्य दृष्टिकोण ज्ञात समाधान प्रपत्र के साथ विभेदक समीकरणों का एक वर्ग बनाना है; किसी अवकल समीकरण को उसके वर्ग से मिलाने से समीकरण के समाधान की पहचान हो जाती है। [[समीकरणों की विभेदक-बीजगणितीय प्रणाली]] | समीकरणों की विभेदक-बीजगणितीय प्रणाली के संख्यात्मक एकीकरण की सुविधा के लिए विधियाँ उपलब्ध हैं।{{sfn|Hubert|2002}}{{rp|41–47}} | ||
कैओस सिद्धांत के साथ गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों के एक अध्ययन में, शोधकर्ताओं ने | कैओस सिद्धांत के साथ गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों के एक अध्ययन में, शोधकर्ताओं ने विभेदक समीकरणों को एकल राज्य चर से जुड़े सामान्य विभेदक समीकरणों में कम करने के लिए विभेदक उन्मूलन का उपयोग किया। वे ज्यादातर मामलों में सफल रहे, और इससे अनुमानित समाधान विकसित करने, अराजकता का कुशलतापूर्वक मूल्यांकन करने और [[ल्यपुनोव समारोह]] का निर्माण करने में मदद मिली।{{sfn|Harrington|VanGorder|2017}} शोधकर्ताओं ने जैव रासायनिक प्रतिक्रियाओं के लिए कोशिका जीव विज्ञान, [[शारीरिक रूप से आधारित फार्माकोकाइनेटिक मॉडलिंग]], [[पैरामीटर]] अनुमान और [[स्थिर अवस्था (रसायन विज्ञान)]]|अर्ध-स्थिर अवस्था सन्निकटन (QSSA) को समझने के लिए विभेदक उन्मूलन लागू किया है।{{sfn|Boulier|2007}}{{sfn|Boulier|Lemaire| 2009a}} विभेदक ग्रोबनेर आधारों का उपयोग करते हुए, शोधकर्ताओं ने गैर-रेखीय प्रणाली | गैर-रेखीय विभेदक समीकरणों के गणित गुणों में गैर-शास्त्रीय समरूपता की जांच की है।{{sfn|Clarkson|Mansfield|1994}} अन्य अनुप्रयोगों में नियंत्रण सिद्धांत, मॉडल सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति सम्मिलित हैं।{{sfn|Diop|1992}}{{sfn|Marker|2000}}{{sfn|Buium|1994}} अवकल बीजगणित अवकल-विभेदक समीकरणों पर भी लागू होता है।{{sfn|Gao|Van der Hoeven|Yuan|Zhang|2009}}<!-- | ||
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गणित में, विभेदक बीजगणित, मोटे तौर पर, गणित का वह क्षेत्र है जिसमें समाधान की गणना किए बिना विभेदक समीकरण और संक्रियक के गुणों को प्राप्त करने के मद्देनजर बीजगणित के रूप में विभेदक समीकरणों और विभेदक संक्रियक का अध्ययन सम्मिलित है, उसी तरह जैसे