रफ़ सेट: Difference between revisions

Revision as of 11:45, 6 July 2023

कंप्यूटर विज्ञान में, रफ सेट, जिसे प्रथम बार पोलिश कंप्यूटर वैज्ञानिक ज़डज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा वर्णित किया गया था, सेट की जोड़ी के संदर्भ में क्रिस्प सेट (अर्थात , पारंपरिक सेट) का ऐसा औपचारिक अनुमान है जो निचला एवं ऊपरी सन्निकटन देता है। मूल सेट रफ सेट थ्योरी (पावलक 1991) के मानक संस्करण में, निचले एवं ऊपरीसन्निकटन सेट क्रिस्प सेट होते हैं, किन्तु अन्य विविधताओं में, अनुमानित सेट अस्पष्ट सेट हो सकते हैं।

परिभाषाएँ

निम्नलिखित अनुभाग में कुछ प्रमुख परिभाषाओं के साथ, रफ सेट सिद्धांत के बुनियादी आकृति का अवलोकन सम्मिलित है, जैसा कि मूल रूप से ज़ेडज़िस्लाव आई. पावलक द्वारा प्रस्तावित किया गया हैं। रफ सेट के अधिक औपचारिक गुण एवं सीमाएँ पावलक (1991) एवं उद्धृत संदर्भों में प्राप्त सकती हैं। रफ सेट के प्रारंभिक एवं बुनियादी सिद्धांत को कभी-कभी पावलक रफ सेट या क्लासिकल रफ सेट के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो कि वर्तमान के विस्तार एवं सामान्यीकरण से भिन्न करने का साधन है।

सूचना प्रणाली संरचना

$I=(\mathbb {U} ,\mathbb {A} )$ सूचना प्रणाली (विशेषता-मूल्य प्रणाली) बनें, जहां $\mathbb {U}$ वस्तुओं (ब्रह्मांड) का अन्य-रिक्त सीमित सेट है, $\mathbb {A}$ ऐसी विशेषताओं का अन्य-रिक्त, सीमित सेट है प्रत्येक $I:\mathbb {U} \rightarrow V_{a}$ के लिए $a\in \mathbb {A}$ है। $V_{a}$ मानों का वह समूह है जो विशेषता देता है $a$ लग सकता है। सूचना तालिका मान $a(x)$ से $V_{a}$ निर्दिष्ट करती है। प्रत्येक विशेषता के लिए $a$ एवं आपत्ति $x$ ब्रह्मांड में $\mathbb {U}$ होता है। किसी के साथ $P\subseteq \mathbb {A}$ संबद्ध तुल्यता संबंध है $\mathrm {IND} (P)$ है।

I N D (P) = {(x, y) \in U^{2} ∣ \forall a \in

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 ====सीमा क्षेत्र====
-सीमा क्षेत्र, निर्धारित अंतर द्वारा दिया गया <math>{\overline P}X - {\underline P}X</math>, इसमें वे वस्तुएं सम्मिलित हैं जिन्हें लक्ष्य निर्धारित <math>X</math> के सदस्यों के रूप में न तो स्वीकार किया जा सकता है एवं न ही अस्वीकार किया जा सकता है।
+सीमा क्षेत्र, निर्धारित भिन्नता द्वारा दिया गया <math>{\overline P}X - {\underline P}X</math>, इसमें वे वस्तुएं सम्मिलित हैं जिन्हें लक्ष्य निर्धारित <math>X</math> के सदस्यों के रूप में न तो स्वीकार किया जा सकता है एवं न ही अस्वीकार किया जा सकता है।
 संक्षेप में, लक्ष्य सेट का निचला सन्निकटन रूढ़िवादी सन्निकटन है जिसमें केवल वे वस्तुएं सम्मिलित होती हैं जिन्हें सकारात्मक रूप से सेट के सदस्यों के रूप में पहचाना जा सकता है। (इन वस्तुओं में कोई अदृश्य क्लोन नहीं है जिन्हें लक्ष्य सेट से बाहर रखा गया है।) ऊपरी सन्निकटन उदार सन्निकटन है जिसमें वे सभी वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो लक्ष्य निर्धारित के सदस्य हो सकते हैं। ऊपरी सन्निकटन में कुछ वस्तुएं लक्ष्य निर्धारित की सदस्य नहीं हो सकती हैं। <math>\mathbb{U}/P</math>, के परिप्रेक्ष्य से निचले सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो निश्चितता (संभावना = 1) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं, जबकि ऊपरी सन्निकटन में वे वस्तुएँ सम्मिलित हैं जो अन्य शून्य संभावना (संभावना> 0) के साथ निर्धारित लक्ष्य के सदस्य हैं।
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 ====उद्देश्य विश्लेषण====
-रफ सेट सिद्धांत उपाय है जिसे अनिश्चित (अस्पष्ट सहित) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए नियोजित किया जा सकता है, चूँकि संभाव्यता, सांख्यिकी, [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] एवं डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के अधिक पारंपरिक उपायों की अपेक्षा में कम आम है। चूँकि, मौलिक रफ सेट सिद्धांत (पावलक एट अल। 1995) का उपयोग करने का महत्वपूर्ण अंतर एवं अद्वितीय ताकत यह है कि यह विश्लेषण का उद्देश्यपूर्ण रूप प्रदान करता है। अन्य उपायों के विपरीत, जैसा कि ऊपर दिया गया है, क्लासिकल रफ सेट विश्लेषण के लिए सेट सदस्यता निर्धारित करने के लिए किसी अतिरिक्त जानकारी, बाहरी पैरामीटर, मॉडल, फ़ंक्शन, ग्रेड या व्यक्तिपरक व्याख्याओं की आवश्यकता नहीं होती है, इसके अतिरिक्त यह केवल दिए गए डेटा (डंटश एवं गेडिगा 1995) के अंदर प्रस्तुत जानकारी का उपयोग करता है। रफ सेट सिद्धांत के वर्तमान अनुकूलन, जैसे कि प्रभुत्व-आधारित, निर्णय-सैद्धांतिक एवं फ़ज़ी रफ सेट, ने विश्लेषण में अधिक व्यक्तिपरकता ला दी है।
+रफ सेट सिद्धांत उपाय है जिसे अनिश्चित (अस्पष्ट सहित) प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए नियोजित किया जा सकता है, चूँकि संभाव्यता, सांख्यिकी, [[एन्ट्रॉपी (सूचना सिद्धांत)]] एवं डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के अधिक पारंपरिक उपायों की अपेक्षा में कम आम है। चूँकि, मौलिक रफ सेट सिद्धांत (पावलक एट अल। 1995) का उपयोग करने का महत्वपूर्ण भिन्नता एवं अद्वितीय ताकत यह है कि यह विश्लेषण का उद्देश्यपूर्ण रूप प्रदान करता है। अन्य उपायों के विपरीत, जैसा कि ऊपर दिया गया है, क्लासिकल रफ सेट विश्लेषण के लिए सेट सदस्यता निर्धारित करने के लिए किसी अतिरिक्त जानकारी, बाहरी पैरामीटर, मॉडल, फ़ंक्शन, ग्रेड या व्यक्तिपरक व्याख्याओं की आवश्यकता नहीं होती है, इसके अतिरिक्त यह केवल दिए गए डेटा (डंटश एवं गेडिगा 1995) के अंदर प्रस्तुत जानकारी का उपयोग करता है। रफ सेट सिद्धांत के वर्तमान अनुकूलन, जैसे कि प्रभुत्व-आधारित, निर्णय-सैद्धांतिक एवं फ़ज़ी रफ सेट, ने विश्लेषण में अधिक व्यक्तिपरकता ला दी है।
 ===निश्चयता===
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 ==नियम निष्कर्षण==
-ऊपर जिन श्रेणी निरूपणों की विचार की गई है वे सभी प्रकृति में विस्तारित हैं; अर्थात्, श्रेणी या जटिल वर्ग अपने सभी सदस्यों का योग मात्र है। किसी श्रेणी का प्रतिनिधित्व करने का तात्पर्य उस श्रेणी से संबंधित सभी वस्तुओं को सूचीबद्ध करने या पहचानने में सक्षम होना है। चूँकि, विस्तारित श्रेणी प्रतिनिधित्व का व्यावहारिक उपयोग बहुत सीमित है, क्योंकि वे यह तय करने के लिए कोई अंतर्दृष्टि प्रदान नहीं करते हैं कि नई (पहले कभी नहीं देखी गई) वस्तुएँ श्रेणी की सदस्य हैं या नहीं हैं।
+ऊपर जिन श्रेणी निरूपणों की विचार की गई है वे सभी प्रकृति में विस्तारित हैं; अर्थात्, श्रेणी या जटिल वर्ग अपने सभी सदस्यों का योग मात्र है। किसी श्रेणी का प्रतिनिधित्व करने का तात्पर्य उस श्रेणी से संबंधित सभी वस्तुओं को सूचीबद्ध करने या पहचानने में सक्षम होना है। चूँकि, विस्तारित श्रेणी प्रतिनिधित्व का व्यावहारिक उपयोग बहुत सीमित है, क्योंकि वे यह तय करने के लिए कोई भिन्नता्दृष्टि प्रदान नहीं करते हैं कि नई (प्राथमिककभी नहीं देखी गई) वस्तुएँ श्रेणी की सदस्य हैं या नहीं हैं।
 सामान्यतः जो वांछित होता है वह श्रेणी का विवरण होता है, नियमों के  सेट के आधार पर श्रेणी का प्रतिनिधित्व जो श्रेणी के दायरे का वर्णन करता है। ऐसे नियमों का चुनाव अद्वितीय नहीं है, एवं इसमें [[आगमनात्मक पूर्वाग्रह]] का मुद्दा निहित है। इस समस्या के विषय में अधिक जानकारी के लिए [[संस्करण स्थान]] एवं [[मॉडल चयन]] देखें।
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 अवधारणा के निचले सन्निकटन से प्रेरित नियम निश्चित रूप से अवधारणा का वर्णन करते हैं, इसलिए ऐसे नियमों को निश्चित कहा जाता है। दूसरी ओर, अवधारणा के ऊपरी सन्निकटन से प्रेरित नियम संभवतः अवधारणा का वर्णन करते हैं, इसलिए इन नियमों को संभव कहा जाता है। नियम प्रेरण के लिए एलईआरएस तीन एल्गोरिदम एलईएम1, एलईएम2, एवं आईआरआईएम का उपयोग करता है।
-एलईआरएस का एलईएम2 एल्गोरिदम प्रायः नियम प्रेरण के लिए उपयोग किया जाता है एवं इसका उपयोग न केवल एलईआरएस में बल्कि अन्य प्रणालियों में भी किया जाता है, उदाहरण के लिए, आरएसईएस (बज़ान एट अल (2004) में किया जाता है। एलईएम2 विशेषता-मूल्य जोड़े के शोध स्थान की शोध करता है। इसका इनपुट डेटा सेट अवधारणा का निचला या ऊपरी सन्निकटन है, इसलिए इसका इनपुट डेटा सेट हमेशा सुसंगत होता है। सामान्यतः, एलईएम2 स्थानीय कवरिंग की गणना करता है एवं पुनः इसे नियम सेट में परिवर्तित करता है। हम एलईएम2 एल्गोरिथ्म का वर्णन करने के लिए कुछ परिभाषाएँ उद्धृत करेंगे।
+एलईआरएस का एलईएम2 एल्गोरिदम प्रायः नियम प्रेरण के लिए उपयोग किया जाता है एवं इसका उपयोग न केवल एलईआरएस में बल्कि अन्य प्रणालियों में भी किया जाता है, उदाहरण के लिए, आरएसईएस (बज़ान एट अल (2004) में किया जाता है। एलईएम2 विशेषता-मूल्य जोड़े के शोध स्थान की शोध करता है। इसका इनपुट डेटा सेट अवधारणा का निचला या ऊपरी सन्निकटन है, इसलिए इसका इनपुट डेटा सेट सदैव सुसंगत होता है। सामान्यतः, एलईएम2 स्थानीय कवरिंग की गणना करता है एवं पुनः इसे नियम सेट में परिवर्तित करता है। हम एलईएम2 एल्गोरिथ्म का वर्णन करने के लिए कुछ परिभाषाएँ उद्धृत करेंगे।
-एलईएम2 एल्गोरिथ्म विशेषता-मूल्य जोड़ी ब्लॉक के विचार पर आधारित है। होने देना <math>X</math> निर्णय-मूल्य जोड़ी द्वारा दर्शाई गई अवधारणा का अन्य-रिक्त निचला या ऊपरी सन्निकटन हो <math>(d, w)</math>. तय करना सेट <math>X</math>पर निर्भर करता है, <math>T</math> विशेषता-मूल्य जोड़े का <math>t = (a, v)</math> यदि केवल
+एलईएम2 एल्गोरिथ्म विशेषता मूल्य जोड़ी ब्लॉक के विचार पर आधारित है। होने देना <math>X</math> निर्णय-मूल्य जोड़ी द्वारा दर्शाई गई अवधारणा का अन्य-रिक्त निचला या ऊपरी सन्निकटन हो <math>(d, w)</math>. तय करना सेट <math>X</math>पर निर्भर करता है, <math>T</math> विशेषता-मूल्य जोड़े का <math>t = (a, v)</math> यदि केवल
 : <math>\emptyset \neq [T] = \bigcap_{t \in T} [t] \subseteq X</math> है।
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 \end{cases}
 </math>
-अन्य नियम-सीखने के तरीके पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, पावलक (1991), स्टेफानोव्स्की (1998), बाज़न एट अल में। (2004), आदि।
+अन्य नियम-सीखने के उपाय पाए जा सकते हैं, उदाहरण के लिए, पावलक (1991), स्टेफानोव्स्की (1998), बाज़न एट अल में। (2004), आदि।
 ==अपूर्ण डेटा==
-अपूर्ण डेटा सेट से नियम प्रेरण के लिए रफ सेट सिद्धांत उपयोगी है। इस दृष्टिकोण का उपयोग करके हम तीन प्रकार के लुप्त विशेषता मानों के मध्य अंतर कर सकते हैं: खोए हुए मान (वे मान जो रिकॉर्ड किए गए थे किन्तुवर्तमान में अनुपलब्ध हैं), विशेषता-अवधारणा मान (इन लुप्त विशेषता मानों को उसी अवधारणा तक सीमित किसी भी विशेषता मान द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है) , एवं शर्तों की परवाह न करें (मूल मूल्य अप्रासंगिक थे)। एक अवधारणा (वर्ग) एक ही तरह से वर्गीकृत (या निदान) की गई सभी वस्तुओं का एक समूह है।
+अपूर्ण डेटा सेट से नियम प्रेरण के लिए रफ सेट सिद्धांत उपयोगी है। इस दृष्टिकोण का उपयोग करके हम तीन प्रकार के लुप्त विशेषता मानों के मध्य भिन्नता कर सकते हैं: खोए हुए मान (वे मान जो रिकॉर्ड किए गए थे किन्तु वर्तमान में अनुपलब्ध हैं), विशेषता-अवधारणा मान (इन लुप्त विशेषता मानों को उसी अवधारणा तक सीमित किसी भी विशेषता मान द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है) , एवं शर्तों की परवाह न करें (मूल अप्रासंगिक थे)। अवधारणा (वर्ग) से वर्गीकृत (या निदान) की गई सभी वस्तुओं का समूह है।
-लापता विशेषता मानों वाले दो विशेष डेटा सेटों का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया: पहले विषयों में, सभी लापता विशेषता मान खो गए थे (स्टेफ़ानोव्स्की एवं त्सुकियास, 2001), दूसरे विषयों में, सभी लापता विशेषता मान परवाह नहीं करने वाली स्थिति में थे (क्रिस्ज़किविज़, 1999) .
+लुप्त विशेषता मानों वाले दो विशेष डेटा सेटों का बड़े स्तर पर अध्ययन किया गया: प्राथमिक विषयों में, सभी विशेषता मान खो गए थे (स्टेफ़ानोव्स्की एवं त्सुकियास, 2001), दूसरे विषयों में, सभी लुप्त विशेषता मान परवाह नहीं करने वाली स्थिति में थे (क्रिस्ज़किविज़, 1999) .
-किसी लुप्त विशेषता मान की विशेषता-अवधारणा मान व्याख्या में, लुप्त विशेषता मान को उस अवधारणा तक सीमित विशेषता डोमेन के किसी भी मान से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसमें लुप्त विशेषता मान वाली वस्तु संबंधित है (ग्रज़िमाला-बुसे एवं ग्रिज़िमाला-बुस्से, 2007) ). उदाहरण के लिए, यदि किसी मरीज के लिए किसी विशेषता तापमान का मान गायब है, तो यह मरीज फ्लू से बीमार है, एवं फ्लू से बीमार बाकी सभी मरीजों के लिए तापमान का मान उच्च या बहुत अधिक है, जब लापता विशेषता मान की व्याख्या का उपयोग किया जाता है विशेषता-अवधारणा मान, हम लुप्त विशेषता मान को उच्च एवं बहुत-उच्च से परिवर्तित हो देंगे। इसके अतिरिक्त, विशेषता संबंध, (उदाहरण के लिए, ग्राज़ीमाला-बुसे एवं ग्राज़ीमाला-बुसे, 2007 देखें) एक ही समय में सभी तीन प्रकार के लापता विशेषता मानों के साथ डेटा सेट को संसाधित करने में सक्षम बनाता है: खो गया, शर्तों की परवाह नहीं, एवं विशेषता-अवधारणा मूल्य.
+किसी लुप्त विशेषता मान की विशेषता-अवधारणा मान व्याख्या में, लुप्त विशेषता मान को उस अवधारणा तक सीमित विशेषता डोमेन के किसी भी मान से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसमें लुप्त विशेषता मान वाली वस्तु संबंधित है (ग्रज़िमाला-बुसे एवं ग्रिज़िमाला-बुस्से, 2007) ). उदाहरण के लिए, यदि किसी मरीज के लिए किसी विशेषता तापमान का मान गायब है, तो यह मरीज फ्लू से बीमार है, एवं फ्लू से बीमार बाकी सभी मरीजों के लिए तापमान का मान उच्च या बहुत अधिक है, जब लुप्त विशेषता मान की व्याख्या का उपयोग किया जाता है विशेषता-अवधारणा मान, हम लुप्त विशेषता मान को उच्च एवं बहुत-उच्च से परिवर्तित हो देंगे। इसके अतिरिक्त, विशेषता संबंध, (उदाहरण के लिए, ग्राज़ीमाला-बुसे एवं ग्राज़ीमाला-बुसे, 2007 देखें) एक ही समय में सभी तीन प्रकार के लुप्त विशेषता मानों के साथ डेटा सेट को संसाधित करने में सक्षम बनाता है: खो गया, शर्तों की परवाह नहीं, एवं विशेषता-अवधारणा मूल्य.
 ==अनुप्रयोग==
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 ==विस्तार एवं सामान्यीकरण==
-रफ सेट के विकास के पश्चात से, विस्तार एवं सामान्यीकरण का विकास जारी रहा है। आरंभिक विकास संबंधों पर केंद्रित था - समानताएं एवं अंतर दोनों - अस्पष्ट सेटों के साथ। जबकि कुछ साहित्य का तर्क है कि ये अवधारणाएँ भिन्न हैं, अन्य साहित्य का मानना है कि रफ सेट [[फजी सेट]] का सामान्यीकरण है - जैसा कि फ़ज़ी रफ सेट या रफ फ़ज़ी सेट के माध्यम से दर्शाया गया है। पावलक (1995) ने माना कि अनिश्चितता एवं अस्पष्टता के विभिन्न पहलुओं को संबोधित करते हुए अस्पष्ट एवं खुरदुरे सेटों को एक-दूसरे का पूरक माना जाना चाहिए।
+रफ सेट के विकास के पश्चात से, विस्तार एवं सामान्यीकरण का विकास जारी रहा है। आरंभिक विकास संबंधों पर केंद्रित था, समानताएं एवं भिन्नता दोनों अस्पष्ट सेटों के साथहै। जबकि कुछ साहित्य का तर्क है कि ये अवधारणाएँ भिन्न हैं, अन्य साहित्य का मानना है कि रफ सेट [[फजी सेट]] का सामान्यीकरण है, जैसा कि फ़ज़ी रफ सेट या रफ फ़ज़ी सेट के माध्यम से प्रदर्शित किया गया है। पावलक (1995) ने माना कि अनिश्चितता एवं अस्पष्टता के विभिन्न पहलुओं को संबोधित करते हुए अस्पष्ट एवं खुरदुरे सेटों को एक-दूसरे का पूरक माना जाना चाहिए।
 क्लासिकल रफ सेट के तीन उल्लेखनीय विस्तार हैं:
 * [[प्रभुत्व-आधारित रफ सेट दृष्टिकोण]] (डीआरएसए) मल्टी-मानदंड निर्णय विश्लेषण (एमसीडीए) के लिए रफ सेट सिद्धांत का विस्तार है, जिसे ग्रीको, मातरज्जो एवं स्लोविंस्की (2001) द्वारा प्रस्तुत किया गया था। मौलिक रफ सेटों के इस विस्तार में मुख्य परिवर्तन एक प्रभुत्व संबंध द्वारा अविवेकपूर्ण संबंध का प्रतिस्थापन है, जो मानदंडों एवं वरीयता-आदेशित निर्णय वर्गों के विचार में विशिष्ट विसंगतियों से निपटने के लिए औपचारिकता की अनुमति देता है।
-* [[निर्णय-सैद्धांतिक रफ सेट]] (डीटीआरएस) याओ, वोंग एवं लिंग्रास (1990) द्वारा प्रस्तुत रफ सेट सिद्धांत का एक संभाव्य विस्तार है। यह न्यूनतम जोखिम वाले निर्णय लेने के लिए बायेसियन निर्णय प्रक्रिया का उपयोग करता है। तत्वों को निचले एवं ऊपरी सन्निकटन में इस आधार पर सम्मिलित किया जाता है कि उनकी सशर्त संभावना सीमा से ऊपर है या नहीं <math>\textstyle \alpha</math> एवं <math>\textstyle \beta</math>. ये ऊपरी एवं निचली सीमाएँ तत्वों के लिए क्षेत्र समावेशन निर्धारित करती हैं। यह मॉडल अद्वितीय एवं शक्तिशाली है क्योंकि सीमा की गणना वर्गीकरण जोखिमों का प्रतिनिधित्व करने वाले छह हानि कार्यों के एक सेट से की जाती है।
+* [[निर्णय-सैद्धांतिक रफ सेट]] (डीटीआरएस) याओ, वोंग एवं लिंग्रास (1990) द्वारा प्रस्तुत रफ सेट सिद्धांत का एक संभाव्य विस्तार है। यह न्यूनतम जोखिम वाले निर्णय लेने के लिए बायेसियन निर्णय प्रक्रिया का उपयोग करता है। तत्वों को निचले एवं ऊपरी सन्निकटन में इस आधार पर सम्मिलित किया जाता है कि उनकी सशर्त संभावना सीमा <math>\textstyle \alpha</math> एवं <math>\textstyle \beta</math> से ऊपर है या नहीं है। ये ऊपरी एवं निचली सीमाएँ तत्वों के लिए क्षेत्र समावेशन निर्धारित करती हैं। यह मॉडल अद्वितीय एवं शक्तिशाली है क्योंकि सीमा की गणना वर्गीकरण जोखिमों का प्रतिनिधित्व करने वाले छह हानि कार्यों के सेट से की जाती है।
 * [[गेम-सैद्धांतिक रफ सेट]] (जीटीआरएस) रफ सेट का एक गेम थ्योरी-आधारित विस्तार है जिसे हर्बर्ट एवं याओ (2011) द्वारा प्रस्तुत किया गया था। यह प्रभावी क्षेत्र आकार प्राप्त करने के लिए रफ सेट आधारित वर्गीकरण या निर्णय लेने के कुछ मानदंडों को अनुकूलित करने के लिए गेम-सैद्धांतिक वातावरण का उपयोग करता है।
 ===रफ़ सदस्यता===
-वस्तुनिष्ठ सन्निकटन के अतिरिक्त रफ सदस्यता फ़ंक्शन को नियोजित करके, रफ सेट को सामान्यीकरण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। रफ सदस्यता फ़ंक्शन एक सशर्त संभावना व्यक्त करता है <math>x</math> से संबंधित <math>X</math> दिया गया <math>\textstyle \R</math>. इसे एक डिग्री के रूप में समझा जा सकता है <math>x</math> से संबंधित <math>X</math> के विषय में जानकारी के संदर्भ में <math>x</math> द्वारा व्यक्त किया गया <math>\textstyle \R</math>.
+वस्तुनिष्ठ सन्निकटन के अतिरिक्त रफ सदस्यता फ़ंक्शन को नियोजित करके, रफ सेट को सामान्यीकरण के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। रफ सदस्यता फ़ंक्शन  सशर्त संभावना व्यक्त करता है जो <math>x</math> से संबंधित <math>X</math> दिया गया <math>\textstyle \R</math> है। इसे डिग्री के रूप में समझा जा सकता है <math>x</math> से संबंधित <math>X</math> के विषय में जानकारी के संदर्भ में <math>x</math> द्वारा व्यक्त किया गया <math>\textstyle \R</math> है।
 रफ सदस्यता मुख्य रूप से फ़ज़ी सदस्यता से भिन्न होती है, जिसमें यूनियन की सदस्यता एवं सेटों के प्रतिच्छेदन की गणना, सामान्यतः, उनकी घटक सदस्यता से नहीं की जा सकती है, जैसा कि फ़ज़ी सेट के विषयों में होता है। इसमें रफ मेंबरशिप फजी मेंबरशिप का सामान्यीकरण है। इसके अतिरिक्त, रफ सदस्यता फ़ंक्शन को फ़ज़ी सदस्यता फ़ंक्शन की पारंपरिक रूप से आयोजित अवधारणाओं की अपेक्षा में अधिक संभावना पर आधारित किया गया है।
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 *फ़ज़ी रफ सेट फ़ज़ी समतुल्य वर्गों के उपयोग के माध्यम से रफ सेट अवधारणा का विस्तार करते हैं (नाकामुरा, 1988)
 *अल्फा रफ सेट थ्योरी (α-RST) - रफ सेट सिद्धांत का एक सामान्यीकरण जो फजी अवधारणाओं का उपयोग करके अनुमान लगाने की अनुमति देता है (क्वाफाफौ, 2000)
-*अंतर्ज्ञानवादी फजी रफ सेट (कॉर्नेलिस, डी कॉक एवं केरे, 2003)
+*भिन्नता्ज्ञानवादी फजी रफ सेट (कॉर्नेलिस, डी कॉक एवं केरे, 2003)
 *सामान्यीकृत रफ फजी सेट (फेंग, 2010)
-*रफ़ अंतर्ज्ञानवादी फ़ज़ी सेट (थॉमस एवं नायर, 2011)
+*रफ़ भिन्नता्ज्ञानवादी फ़ज़ी सेट (थॉमस एवं नायर, 2011)
 *सॉफ्ट रफ फजी सेट एवं सॉफ्ट फजी रफ सेट (मेंग, झांग एवं किन, 2011)
 *कम्पोजिट रफ सेट (झांग, ली एवं चेन, 2014)

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