डिरिचलेट L-फलन: Difference between revisions

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:<math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}.</math>
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जहां <math> \chi </math> एक [[डिरिचलेट चरित्र|डिरिचलेट]] वर्ण है और एक [[जटिल चर]] है जिसका वास्तविक भाग 1 से अधिक है। यह [[डिरिचलेट श्रृंखला]] का एक विशेष स्तिथि है। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] द्वारा, इसे पूरे जटिल समतल पर एक [[मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन|मेरोमोर्फिक फंक्शन]] तक बढ़ाया जा सकता है और फिर इसे डिरिचलेट एल-फंक्शन कहा जाता है और ''L''(''s'', ''χ'') भी दर्शाया जाता है।
जहां <math> \chi </math> एक [[डिरिचलेट चरित्र|डिरिचलेट]] वर्ण है और एक [[जटिल चर]] है जिसका वास्तविक भाग 1 से अधिक है। यह [[डिरिचलेट श्रृंखला]] का एक विशेष स्तिथि है। [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]] द्वारा, इसे पूरे जटिल समतल पर एक [[मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन|मेरोमोर्फिक फंक्शन]] तक बढ़ाया जा सकता है और फिर इसे डिरिचलेट ''L''-फंक्शन कहा जाता है और ''L''(''s'', ''χ'') भी दर्शाया जाता है।


इन फ़ंक्शंस का नाम [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] के नाम पर रखा गया है जिन्होंने अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य पर प्रमेय को साबित करने के लिए इन्हें (डिरिचलेट 1837) में पेश किया था जिसमें उनका नाम भी शामिल है। प्रमाण के क्रम में, डिरिचलेट दर्शाता है कि ''s = 1'' पर {{Nowrap|''L''(''s'', ''χ'')}} गैर-शून्य है। इसके अलावा, यदि ''χ'' प्रिंसिपल है, तो संबंधित डिरिचलेट एल-फंक्शन में ''s = 1'' पर एक सरल ध्रुव होता है। अन्यथा, एल-फंक्शन संपूर्ण होता है।
इन फ़ंक्शंस का नाम [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] के नाम पर रखा गया है जिन्होंने अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य पर प्रमेय को साबित करने के लिए इन्हें (डिरिचलेट 1837) में पेश किया था जिसमें उनका नाम भी शामिल है। प्रमाण के क्रम में, डिरिचलेट दर्शाता है कि ''s = 1'' पर {{Nowrap|''L''(''s'', ''χ'')}} गैर-शून्य है। इसके अलावा, यदि ''χ'' प्रिंसिपल है, तो संबंधित डिरिचलेट ''L''-फंक्शन में ''s = 1'' पर एक सरल ध्रुव होता है। अन्यथा, ''L''-फंक्शन संपूर्ण होता है।


==[[यूलर उत्पाद|यूलर गुणनफल]]==
==[[यूलर उत्पाद|यूलर गुणनफल]]==
चूँकि डिरिचलेट वर्ण χ पूरी तरह से गुणक है, इसलिए इसका एल-फंक्शन [[पूर्ण अभिसरण]] के आधे-तल में यूलर गुणनफल के रूप में भी लिखा जा सकता है:
चूँकि डिरिचलेट वर्ण χ पूरी तरह से गुणक है, इसलिए इसका ''L''-फंक्शन [[पूर्ण अभिसरण]] के आधे-तल में यूलर गुणनफल के रूप में भी लिखा जा सकता है:
:<math>L(s,\chi)=\prod_p\left(1-\chi(p)p^{-s}\right)^{-1}\text{ for }\text{Re}(s) > 1,</math>
:<math>L(s,\chi)=\prod_p\left(1-\chi(p)p^{-s}\right)^{-1}\text{ for }\text{Re}(s) > 1,</math>
जहां गुणनफल सभी [[अभाज्य संख्या]]ओं से अधिक है।<ref>{{harvnb|Apostol|1976|loc=Theorem 11.7}}</ref>
जहां गुणनफल सभी [[अभाज्य संख्या]]ओं से अधिक है।<ref>{{harvnb|Apostol|1976|loc=Theorem 11.7}}</ref>
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     \end{cases}
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(यहाँ, q χ का मापांक है।) यूलर गुणनफल का एक अनुप्रयोग संबंधित एल-फंक्शन के बीच एक सरल संबंध देता है:<ref>{{harvnb|Davenport|2000|loc=chapter 5, equation (3)}}</ref><ref>{{harvnb|Montgomery|Vaughan|2006|p=282}}</ref>  
(यहाँ, q χ का मापांक है।) यूलर गुणनफल का एक अनुप्रयोग संबंधित ''L''-फंक्शन के बीच एक सरल संबंध देता है:<ref>{{harvnb|Davenport|2000|loc=chapter 5, equation (3)}}</ref><ref>{{harvnb|Montgomery|Vaughan|2006|p=282}}</ref>  
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   L(s,\chi) = L(s,\chi^\star) \prod_{p \,|\, q}\left(1 - \frac{\chi^\star(p)}{p^s} \right)
   L(s,\chi) = L(s,\chi^\star) \prod_{p \,|\, q}\left(1 - \frac{\chi^\star(p)}{p^s} \right)
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==[[कार्यात्मक समीकरण]]==
==[[कार्यात्मक समीकरण|फलनीयसमीकरण]]==


डिरिचलेट एल-फंक्शन एक कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करते हैं, जो उन्हें पूरे जटिल विमान में विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखने का एक तरीका प्रदान करता है। कार्यात्मक समीकरण के मान से संबंधित है <math>L(s,\chi)</math> के मूल्य के लिए <math>L(1-s, \overline{\chi})</math>. मान लीजिए कि χ एक आदिम वर्ण मॉड्यूलो q है, जहां q > 1. कार्यात्मक समीकरण को व्यक्त करने का एक तरीका यह है:<ref name="MontgomeryVaughan333" />:<math>L(s,\chi) = \varepsilon(\chi) 2^s \pi^{s-1} q^{1/2-s} \sin \left( \frac{\pi}{2} (s + a) \right)  \Gamma(1-s) L(1-s, \overline{\chi}).</math>
डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन एक फलनीयसमीकरण को संतुष्ट करते हैं, जो उन्हें पूरे जटिल समतल में विश्लेषणात्मक रूप से प्रवृत्त रखने की एक विधि प्रदान करता है। फलनीयसमीकरण <math>L(s,\chi)</math> के मान को <math>L(1-s, \overline{\chi})</math> के मान से संबंधित करता है। मान लीजिए कि χ एक अभाज्य गुण मॉड्यूलो q है, जहां q > 1. फलनीयसमीकरण को व्यक्त करने का एक विधि है:<ref name="MontgomeryVaughan333" />
इस समीकरण में, Γ [[गामा फ़ंक्शन|गामा फंक्शन]] को दर्शाता है; यदि χ(−1) = 1 है तो a 0 है, या यदि χ(−1) = −1 है तो 1 है; और
 
::::::::::::::::::::<math>\varepsilon(\chi) = \frac{\tau(\chi)}{i^a \sqrt{q}}</math>
<math>L(s,\chi) = \varepsilon(\chi) 2^s \pi^{s-1} q^{1/2-s} \sin \left( \frac{\pi}{2} (s + a) \right)  \Gamma(1-s) L(1-s, \overline{\chi}).</math>
 
इस समीकरण में, Γ [[गामा फ़ंक्शन|गामा फंक्शन]] को दर्शाता है; a 0 है यदि χ(−1) = 1,या 1 यदि χ(−1) = −1; और
::<math>\varepsilon(\chi) = \frac{\tau(\chi)}{i^a \sqrt{q}}</math>
:::::
:::::::::::::::::
::::::::::::::::::::
जहां τ&hairsp;(&hairsp;χ) एक गॉस योग है:
जहां τ&hairsp;(&hairsp;χ) एक गॉस योग है:
:<math>\tau(\chi) = \sum_{n=1}^q \chi(n)\exp(2\pi in/q).</math>
:<math>\tau(\chi) = \sum_{n=1}^q \chi(n)\exp(2\pi in/q).</math>
यह गॉस सम्स की एक संपत्ति है जो |τ&hairsp;(&hairsp;χ)&hairsp;| = क्यू<sup>1/2</sup>, तो |e&hairsp;(&hairsp;χ)&hairsp;| = 1.<ref name="MontgomeryVaughan332">{{harvnb|Montgomery|Vaughan|2006|p=332}}</ref><ref name="IwaniecKowalski84">{{harvnb|Iwaniec|Kowalski|2004|p=84}}</ref>
यह गॉस योग की एक गुण है जो |''τ'' ( ''χ'') | = ''q''<sup>1/2</sup>, so |''ɛ'' ( ''χ'') | = 1.<ref name="MontgomeryVaughan332">{{harvnb|Montgomery|Vaughan|2006|p=332}}</ref><ref name="IwaniecKowalski84">{{harvnb|Iwaniec|Kowalski|2004|p=84}}</ref>
कार्यात्मक समीकरण को बताने का दूसरा तरीका है
 
फलनीयसमीकरण को ज्ञात करने की दूसरी विधि है:
:<math>\xi(s,\chi) = \left(\frac{q}{\pi}\right)^{(s+a)/2} \operatorname{\Gamma}\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi).</math>
:<math>\xi(s,\chi) = \left(\frac{q}{\pi}\right)^{(s+a)/2} \operatorname{\Gamma}\left(\frac{s+a}{2}\right) L(s,\chi).</math>
कार्यात्मक समीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:<ref name="MontgomeryVaughan333" /><ref name="IwaniecKowalski84" />:<math>\xi(s,\chi) = \varepsilon(\chi) \xi(1-s,\overline{\chi}).</math>
फलनीयसमीकरण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:<ref name="MontgomeryVaughan333" /><ref name="IwaniecKowalski84" />:
कार्यात्मक समीकरण का तात्पर्य यह है <math>L(s,\chi)</math> (और <math>\xi(s,\chi)</math>) s का संपूर्ण कार्य है। (फिर, यह मानता है कि χ q > 1 के साथ आदिम वर्ण मॉड्यूल q है। यदि q = 1 है, तो <math>L(s,\chi) = \zeta(s)</math> s = 1 पर एक ध्रुव है।)<ref name="MontgomeryVaughan333">{{harvnb|Montgomery|Vaughan|2006|p=333}}</ref><ref name="IwaniecKowalski84" />


सामान्यीकरण के लिए, देखें: [[कार्यात्मक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)|कार्यात्मक समीकरण (एल-फंक्शन)]]।
<math>\xi(s,\chi) = \varepsilon(\chi) \xi(1-s,\overline{\chi}).</math>
 
फलनीयसमीकरण का तात्पर्य यह है <math>L(s,\chi)</math> (और <math>\xi(s,\chi)</math>) s का संपूर्ण फंक्शन है। (फिर से, यह माना जाता है कि χ q > 1 के साथ अभाज्य गुण  मॉड्यूलो q है।
 
यदि q = 1 है, तो <math>L(s,\chi) = \zeta(s)</math> s = 1 पर एक ध्रुव है।)<ref name="MontgomeryVaughan333">{{harvnb|Montgomery|Vaughan|2006|p=333}}</ref><ref name="IwaniecKowalski84" />
 
सामान्यीकरण के लिए, देखें: [[कार्यात्मक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)|फलनीयसमीकरण (''L''-फंक्शन)]]।


==शून्य==
==शून्य==
[[Image:Mplwp dirichlet beta.svg|thumb|right|300px|डिरिचलेट एल-फंक्शन एल(एस, χ) = 1 − 3<sup>−s</sup>+5<sup>−s</sup> − 7<sup>−s</sup> + ⋅⋅⋅ (कभी-कभी विशेष नाम [[डिरिचलेट बीटा फ़ंक्शन|डिरिचलेट बीटा फंक्शन]] दिया जाता है), ऋणात्मक विषम पूर्णांकों पर तुच्छ शून्य के साथ]]मान लीजिए χ q > 1 के साथ एक आदिम वर्ण मॉड्यूल q है।
[[Image:Mplwp dirichlet beta.svg|thumb|right|300px|डिरिचलेट ''L''-फंक्शन एल(एस, χ) = 1 − 3<sup>−s</sup>+5<sup>−s</sup> − 7<sup>−s</sup> + ⋅⋅⋅ (कभी-कभी विशेष नाम [[डिरिचलेट बीटा फ़ंक्शन|डिरिचलेट बीटा फंक्शन]] दिया जाता है), ऋणात्मक विषम पूर्णांकों पर तुच्छ शून्य के साथ]]मान लीजिए χ q > 1 के साथ एक अभाज्य गुण मॉड्यूल q है।
 
Re(s) > 1 के साथ L(s, χ) के फंक्शन का कोई शून्य नहीं है। Re(s) < 0 के लिए, कुछ ऋणात्मक [[पूर्णांक]] s पर शून्य होते हैं:
* यदि χ(−1) = 1, तो Re(s) < 0 के साथ L(s, χ) के एकमात्र शून्य −2, −4, −6, ... पर साधारण शून्य हैं। (s = 0 पर भी एक शून्य होता है।) ये <math>\textstyle \Gamma(\frac{s}{2})</math> के ध्रुवों के अनुरूप हैं।<ref name="DavenportCh9">{{harvnb|Davenport|2000|loc=chapter 9}}</ref>
*यदि χ(−1) = 1, तो Re(s) < 0 के साथ L(s, χ) के एकमात्र शून्य −1, −3, −5, .... पर साधारण शून्य हैं। (s = 0 पर भी एक शून्य होता है।) ये <math>\textstyle \Gamma(\frac{s+1}{2})</math> के ध्रुवों के अनुरूप हैं।<ref name="DavenportCh9" />


Re(s) > 1 के साथ L(s, χ) के फंक्शन का कोई शून्य नहीं है। Re(s) < 0 के लिए, कुछ नकारात्मक [[पूर्णांक]] s पर शून्य होते हैं:
इन्हें नगण्य शून्य कहा जाता है।<ref name="MontgomeryVaughan333" />
* यदि χ(−1) = 1, तो Re(s) < 0 के साथ L(s, χ) के एकमात्र शून्य −2, −4, −6, ... पर सरल शून्य हैं। (एक शून्य भी है) s = 0 पर) ये के ध्रुवों के अनुरूप हैं <math>\textstyle \Gamma(\frac{s}{2})</math>.<ref name="DavenportCh9">{{harvnb|Davenport|2000|loc=chapter 9}}</ref>
* यदि χ(−1) = −1, तो Re(s) < 0 के साथ L(s, χ) के एकमात्र शून्य −1, −3, −5, .... पर सरल शून्य हैं। के ध्रुव <math>\textstyle \Gamma(\frac{s+1}{2})</math>.<ref name="DavenportCh9" />इन्हें तुच्छ शून्य कहा जाता है।<ref name="MontgomeryVaughan333"/>


शेष शून्य क्रांतिक पट्टी 0 ≤ Re(s) ≤ 1 में स्थित होते हैं, और गैर-तुच्छ शून्य कहलाते हैं। गैर-तुच्छ शून्य क्रांतिक रेखा Re(s) = 1/2 के बारे में सममित हैं। अर्थात यदि <math>L(\rho,\chi)=0</math> तब <math>L(1-\overline{\rho},\chi)=0</math> कार्यात्मक समीकरण के कारण भी। यदि χ एक वास्तविक वर्ण है, तो गैर-तुच्छ शून्य भी वास्तविक अक्ष के बारे में सममित हैं, लेकिन यदि χ एक जटिल वर्ण है तो नहीं। [[सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना]] यह अनुमान है कि सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा Re(s) = 1/2 पर स्थित हैं।<ref name="MontgomeryVaughan333" />
शेष शून्य क्रांतिक पट्टी 0 ≤ Re(s) ≤ 1 में स्थित होते हैं और इन्हें गैर-नगण्य शून्य कहा जाता है। गैर-नगण्य शून्य महत्वपूर्ण रेखा Re(s) = 1/2 के बारे में सममित हैं। अर्थात्, यदि <math>L(\rho,\chi)=0</math> तो कार्यात्मक समीकरण के कारण <math>L(1-\overline{\rho},\chi)=0</math> भी। यदि χ एक वास्तविक गुण है, तो गैर-नगण्य शून्य भी वास्तविक अक्ष के बारे में सममित हैं, लेकिन यदि χ एक जटिल गुण है तो नहीं। [[सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना]] यह अनुमान है कि सभी गैर-तुच्छ शून्य महत्वपूर्ण रेखा Re(s) = 1/2 पर स्थित हैं।<ref name="MontgomeryVaughan333" />


[[सीगल शून्य]] के संभावित अस्तित्व तक, रीमैन ज़ेटा फंक्शन के समान रेखा Re(s) = 1 सहित और उससे परे शून्य-मुक्त क्षेत्र सभी डिरिचलेट एल-फंक्शन के लिए मौजूद माने जाते हैं: उदाहरण के लिए, χ ए के लिए मापांक q का अवास्तविक चरित्र, हमारे पास है
[[सीगल शून्य]] के संभावित अस्तित्व तक, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के समान रेखा Re(s) = 1 सहित और उससे परे शून्य-मुक्त क्षेत्र सभी डिरिचलेट एल-फ़ंक्शंस के लिए उपस्थित हैं: उदाहरण के लिए, χ के लिए हमारे पास मापांक q का एक गैर-वास्तविक गुण है


:<math> \beta < 1 - \frac{c}{\log\!\!\; \big(q(2+|\gamma|)\big)} \ </math>
:<math> \beta < 1 - \frac{c}{\log\!\!\; \big(q(2+|\gamma|)\big)} \ </math>
β + iγ के लिए एक अवास्तविक शून्य।<ref>{{cite book |last=Montgomery |first=Hugh L. |author-link=Hugh Montgomery (mathematician) |title=विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण के बीच इंटरफेस पर दस व्याख्यान|series=Regional Conference Series in Mathematics |volume=84 |location=Providence, RI |publisher=[[American Mathematical Society]] |year=1994 |isbn=0-8218-0737-4 |zbl=0814.11001 |page=163}}</ref>
β + iγ के लिए एक अवास्तविक शून्य।<ref>{{cite book |last=Montgomery |first=Hugh L. |author-link=Hugh Montgomery (mathematician) |title=विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण के बीच इंटरफेस पर दस व्याख्यान|series=Regional Conference Series in Mathematics |volume=84 |location=Providence, RI |publisher=[[American Mathematical Society]] |year=1994 |isbn=0-8218-0737-4 |zbl=0814.11001 |page=163}}</ref>
== [[हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन|हर्विट्ज़ ज़ेटा फंक्शन]] से संबंध ==
== [[हर्विट्ज़ ज़ेटा फ़ंक्शन|हर्विट्ज़ ज़ेटा फंक्शन]] से संबंध ==
डिरिचलेट एल-फंक्शन को तर्कसंगत मूल्यों पर हर्विट्ज़ ज़ेटा फंक्शन के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। एक पूर्णांक k ≥ 1 को निश्चित करते हुए, मॉड्यूल k वर्णों के लिए डिरिचलेट L-फंक्शन ζ(s,a) के स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक संयोजन हैं, जहां a = r/k और r = 1, 2, ..., k . इसका मतलब यह है कि तर्कसंगत ए के लिए हर्विट्ज़ ज़ेटा फंक्शन में विश्लेषणात्मक गुण हैं जो डिरिचलेट एल-फंक्शन से निकटता से संबंधित हैं। विशेष रूप से, मान लीजिए कि χ एक वर्ण मॉड्यूलो k है। तब हम इसके डिरिचलेट एल-फंक्शन को इस प्रकार लिख सकते हैं:<ref>{{harvnb|Apostol|1976|p=249}}</ref>
डिरिचलेट ''L''-फंक्शन को तर्कसंगत मूल्यों पर हर्विट्ज़ ज़ेटा फंक्शन के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। एक पूर्णांक k ≥ 1 को निश्चित करते हुए, मॉड्यूल k वर्णों के लिए डिरिचलेट ''L''-फंक्शन ζ(s,a) के स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक संयोजन हैं, जहां a = r/k और r = 1, 2, ..., k . इसका मतलब यह है कि तर्कसंगत ए के लिए हर्विट्ज़ ज़ेटा फंक्शन में विश्लेषणात्मक गुण हैं जो डिरिचलेट ''L-''फंक्शन से निकटता से संबंधित हैं। विशेष रूप से, मान लीजिए कि χ एक वर्ण मॉड्यूलो k है। तब हम इसके डिरिचलेट ''L''-फंक्शन को इस प्रकार लिख सकते हैं:<ref>{{harvnb|Apostol|1976|p=249}}</ref>
:<math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}
:<math>L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}
= \frac{1}{k^s} \sum_{r=1}^k \chi(r) \operatorname{\zeta}\left(s,\frac{r}{k}\right).</math>
= \frac{1}{k^s} \sum_{r=1}^k \chi(r) \operatorname{\zeta}\left(s,\frac{r}{k}\right).</math>
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*सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना
*सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना
*[[एल-फ़ंक्शन|एल-फंक्शन]]
*''[[एल-फ़ंक्शन|L]]''[[एल-फ़ंक्शन|-फंक्शन]]
*[[मॉड्यूलैरिटी प्रमेय]]
*[[मॉड्यूलैरिटी प्रमेय]]
*[[आर्टिन अनुमान (एल-फ़ंक्शन)|आर्टिन अनुमान (एल-फंक्शन)]]
*[[आर्टिन अनुमान (एल-फ़ंक्शन)|आर्टिन अनुमान (''L''-फंक्शन)]]
*[[एल-फ़ंक्शन के विशेष मान|एल-फंक्शन के विशेष मान]]
*''[[एल-फ़ंक्शन के विशेष मान|L]]''[[एल-फ़ंक्शन के विशेष मान|-फंक्शन के विशेष मान]]


==टिप्पणियाँ==
==टिप्पणियाँ==

Revision as of 09:35, 7 July 2023


गणित में, डिरिचलेट L-श्रृंखला फॉर्म का एक फंक्शन (फलन) है।

जहां एक डिरिचलेट वर्ण है और एक जटिल चर है जिसका वास्तविक भाग 1 से अधिक है। यह डिरिचलेट श्रृंखला का एक विशेष स्तिथि है। विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा, इसे पूरे जटिल समतल पर एक मेरोमोर्फिक फंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है और फिर इसे डिरिचलेट L-फंक्शन कहा जाता है और L(s, χ) भी दर्शाया जाता है।

इन फ़ंक्शंस का नाम पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के नाम पर रखा गया है जिन्होंने अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य पर प्रमेय को साबित करने के लिए इन्हें (डिरिचलेट 1837) में पेश किया था जिसमें उनका नाम भी शामिल है। प्रमाण के क्रम में, डिरिचलेट दर्शाता है कि s = 1 पर L(s, χ) गैर-शून्य है। इसके अलावा, यदि χ प्रिंसिपल है, तो संबंधित डिरिचलेट L-फंक्शन में s = 1 पर एक सरल ध्रुव होता है। अन्यथा, L-फंक्शन संपूर्ण होता है।

यूलर गुणनफल

चूँकि डिरिचलेट वर्ण χ पूरी तरह से गुणक है, इसलिए इसका L-फंक्शन पूर्ण अभिसरण के आधे-तल में यूलर गुणनफल के रूप में भी लिखा जा सकता है:

जहां गुणनफल सभी अभाज्य संख्याओं से अधिक है।[1]

अभाज्य गुण

L-फंक्शन के बारे में परिणाम अक्सर अधिक सरलता से बताए जाते हैं यदि गुण को अभाज्य माना जाता है, हालांकि परिणाम आम तौर पर छोटी जटिलताओं के साथ अप्रभावी गुणों तक बढ़ाए जा सकते हैं।[2] इसका कारण अभाज्य गुण के बीच का संबंध है और अभाज्य गुण मैं जो इसे प्रेरित करता है:[3]

(यहाँ, q χ का मापांक है।) यूलर गुणनफल का एक अनुप्रयोग संबंधित L-फंक्शन के बीच एक सरल संबंध देता है:[4][5]