सघन सम्मुच्य

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X के एक A उपसमुच्चय के X में को 'घना' कहा जाता है। यदि X का प्रत्येक बिंदु $A$ से संबंधित है या फिर अनगिनत रूप से $A$ के सदस्य के पास है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का सघन उपसमुच्चय होती हैं क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या एक परिमेय संख्या होती है या उसके पास एक परिमेय संख्या होती है। (डायोफैंटाइन सन्निकटन देखें)।

औपचारिक रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस X का घनत्व के सघन उपसमुच्चय X की सबसे कम कार्डिनैलिटी है।

परिभाषा

टोपोलॉजिकल स्पेस $X$ का उपसमुच्चय $A$ को $X$ का सघन उपसमुच्चय कहा जाता है। यदि निम्नलिखित समकक्ष नियमों में से कोई भी संतुष्ट है:

1. $X$ का सबसे छोटा विवृत समुच्चय स्वयं $X$ है, जो $A$ से युक्त है।
2. $X$ में $A$ का क्लोजर (टोपोलॉजी) $X$ के बराबर है। जो कि $\operatorname {cl} _{X}A=X.$ है।
3. $A$ के पूरक (सेट सिद्धांत) का आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) रिक्त है। जो कि $\operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .$ है।
4. $X$ में प्रत्येक बिंदु या तो $A$ से संबंधित होता है या $A.$ का एक लिमिट प्वॉइंट है।
5. प्रत्येक $x\in X,$ के लिए, $x$ का प्रत्येक निकटतम (गणित) $U$, $A;$ को प्रतिच्छेदित है। जो कि $U\cap A\neq \varnothing .$ है।
6. X का प्रत्येक गैर-रिक्त संवृत उपसमुच्चय $A$ को प्रतिच्छेदित है और यदि ${\mathcal {B}}$ टोपोलॉजी के लिए $X$ पर संवृत समुच्चयों का आधार (टोपोलॉजी) है। जिससे इस सूची को सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है।
7. प्रत्येक $x\in X,$ के लिए, $x$ का प्रत्येकआधार निकटतम (गणित) $B\in {\mathcal {B}}$ को $A.$ प्रतिच्छेदित करती है।

मीट्रिक रिक्त स्थान में घनत्व

मीट्रिक रिक्त स्थान के मामले में सघन सेट की एक वैकल्पिक परिभाषा निम्नलिखित है। जब की टोपोलॉजी (संरचना)। $X$ एक मीट्रिक (गणित), टोपोलॉजिकल क्लोजर द्वारा दिया जाता है ${\overline {A}}$ का $A$ में $X$ का संघ (सेट सिद्धांत) है $A$ और एक अनुक्रम की सभी सीमा का सेट # तत्वों के सामयिक स्थान $A$ (इसकी सीमा अंक),

$${\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}$$

तब $A$ में घना है $X$ अगर

$${\overline {A}}=X.$$

अगर $\left\{U_{n}\right\}$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में सघन खुला सेट सेट का एक क्रम है, $X,$ तब ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ में भी घना है $X.$ यह तथ्य बेयर श्रेणी प्रमेय के समकक्ष रूपों में से एक है।

उदाहरण

सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं में एक गणनीय सेट घने उपसमुच्चय के रूप में परिमेय संख्याएँ होती हैं जो दर्शाती हैं कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के घने उपसमुच्चय की कार्डिनैलिटी स्पेस की कार्डिनैलिटी से सख्ती से छोटी हो सकती है। अपरिमेय संख्याएं एक और सघन उपसमुच्चय हैं जो दर्शाता है कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में कई अलग करना सेट घने उपसमुच्चय हो सकते हैं (विशेष रूप से, दो सघन उपसमुच्चय एक दूसरे के पूरक हो सकते हैं), और उन्हें एक ही कार्डिनैलिटी का होना भी आवश्यक नहीं है। शायद इससे भी अधिक आश्चर्यजनक रूप से, परिमेय और अपरिमेय दोनों में खाली आंतरिक भाग होते हैं, यह दर्शाता है कि सघन समुच्चय में कोई गैर-रिक्त खुला समुच्चय नहीं होना चाहिए। एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो घने खुले उपसमुच्चय का प्रतिच्छेदन फिर से घना और खुला होता है। रिक्त समुच्चय स्वयं का सघन उपसमुच्चय होता है। लेकिन गैर-रिक्त स्थान का प्रत्येक घना उपसमुच्चय भी गैर-खाली होना चाहिए।

Weierstrass सन्निकटन प्रमेय द्वारा, कोई भी दी गई सम्मिश्र संख्या | एक बंद अंतराल पर परिभाषित जटिल-मूल्यवान सतत फलन $[a,b]$ एक बहुपद समारोह द्वारा वांछित के रूप में एकसमान अभिसरण हो सकता है। दूसरे शब्दों में, अंतरिक्ष में बहुपद कार्य सघन हैं $C[a,b]$ अंतराल पर निरंतर जटिल-मूल्यवान कार्यों की $[a,b],$ सर्वोच्च मानदंड से लैस।

प्रत्येक मीट्रिक स्थान अपने समापन (मीट्रिक स्थान) में सघन है।

गुण

हर टोपोलॉजिकल स्पेस अपने आप में एक सघन उपसमुच्चय है। एक सेट के लिए $X$ असतत टोपोलॉजी से सुसज्जित, संपूर्ण स्थान केवल सघन उपसमुच्चय है। किसी समुच्चय का प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय $X$ तुच्छ टोपोलॉजी से सुसज्जित सघन है, और प्रत्येक टोपोलॉजी जिसके लिए प्रत्येक गैर-खाली सबसेट सघन है, तुच्छ होना चाहिए।

सघनता सकर्मक संबंध है: तीन उपसमुच्चय दिए गए हैं $A,B$ और $C$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $X$ साथ $A\subseteq B\subseteq C\subseteq X$ ऐसा है कि $A$ में घना है $B$ और $B$ में घना है $C$ (संबंधित सबस्पेस टोपोलॉजी में) तब $A$ में भी घना है $C.$