दूरी सहसंबंध: Difference between revisions

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सांख्यिकी और प्रायिकता सिद्धांत में, '''दूरी सहसंबंध या दूरी सहसंयोजक''', यादृच्छिक के दो युग्मित यादृच्छिक वैक्टर के बीच निर्भरता का एक माप है। जनसंख्या सहसंबंध गुणांक शून्य है अगर और केवल अगर यादृच्छिक वेक्टर स्वतंत्र है। इस प्रकार, दूरी सहसंबंध दो यादृच्छिक चर या यादृच्छिक वेक्टर के बीच रैखिक और गैर-रेखीय संबंध दोनों को मापता है। यह पियर्सन के सहसंबंध के विपरीत है,जो केवल दो यादृच्छिक चर के बीच रैखिक संबंध का आकलन कर सकता है।
सांख्यिकी और प्रायिकता सिद्धांत में, '''दूरी सहसंबंध या दूरी सहसंयोजक''', यादृच्छिक के दो युग्मित यादृच्छिक सदिश के बीच निर्भरता का एक माप है। जनसंख्या सहसंबंध गुणांक शून्य है यदि और केवल यदि यादृच्छिक सदिश स्वतंत्र है। इस प्रकार, दूरी सहसंबंध दो यादृच्छिक चर या यादृच्छिक सदिश के बीच रैखिक और गैर-रेखीय संबंधों को मापता है। यह पियर्सन के सहसंबंध के विपरीत है, जो केवल दो यादृच्छिक चर के बीच रैखिक संबंध का आकलन कर सकता है।


दूरी सहसंबंध का उपयोग क्रमपरिवर्तन परीक्षण के साथ निर्भरता का [[सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण|सांख्यिकीय परीक्षण]] करने के लिए किया जा सकता है। सबसे पहले दो यादृच्छिक वैक्टरों के बीच दूरी सहसंबंध ([[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन]] दूरी मैट्रिक्स के पुन: केंद्रित होने सहित) की गणना करता है और फिर इस मान की तुलना डेटा के कई फेरबदल के दूरी सहसंबंधों से करता है।[[Image:Distance Correlation Examples.svg|thumb|upright=1.8|right|प्रत्येक सेट के लिए x और y के दूरी सहसंबंध गुणांक के साथ (x, y) बिंदुओं के कई सेट। सहसंबंध पर ग्राफ की तुलना करें]]
दूरी सहसंबंध का उपयोग क्रमपरिवर्तन परीक्षण के साथ निर्भरता का [[सांख्यिकीय परिकल्पना परीक्षण|सांख्यिकीय परीक्षण]] करने के लिए किया जा सकता है। पहले दो यादृच्छिक सदिश के बीच दूरी सहसंबंध ([[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन]] दूरी आव्यूह के पुन: केंद्रित होने सहित) की गणना करता है और फिर इस मान की तुलना डेटा के कई क्रमपरिवर्तनों के दूरी सहसंबंधों से करता है।[[Image:Distance Correlation Examples.svg|thumb|upright=1.8|right|प्रत्येक सेट के लिए x और y के दूरी सहसंबंध गुणांक के साथ (x, y) बिंदुओं के कई सेट। सहसंबंध पर ग्राफ की तुलना करें]]


== पृष्ठभूमि ==
== पृष्ठभूमि ==


निर्भरता का संरचनात्मक माप, पियर्सन सहसंबंध गुणांक, <ref>{{harvs|nb|last=Pearson|year=1895a|year2=1895b}}</ref> दो चर के बीच एक रैखिक संबंध के लिए मुख्य संवेदनशील है. दूरी सहसंबंध 2005 में गैबोर जे द्वारा पेश किया गया था. पियर्सन के सहसंबंध के इस घाटे को दूर करने के लिए कई व्याख्यानों में स्ज़ेकली, अर्थात् यह निर्भर चर के लिए आसानी से शून्य हो सकता है. सहसंबंध = 0 ( असंबद्धता ) स्वतंत्रता का अर्थ नहीं है जबकि दूरी सहसंबंध = 0 स्वतंत्रता का अर्थ है. दूरी सहसंबंध पर पहला परिणाम 2007 और 2009 में प्रकाशित हुआ था।{{sfn|Székely|Rizzo|Bakirov|2007}}{{sfn|Székely|Rizzo|2009a}} यह प्रचारित किया गया था कि दूरी सहसंयोजक ब्राउनियन सहसंयोजक के समान है।{{sfn|Székely|Rizzo|2009a}} ये उपाय ऊर्जा दूरी के उदाहरण हैं.
निर्भरता का संरचनात्मक माप, [[पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक|पियर्सन]] [[पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक|सहसंबंध गुणांक]], <ref>{{harvs|nb|last=Pearson|year=1895a|year2=1895b}}</ref> दो चर के बीच एक रैखिक संबंध के लिए मुख्य संवेदनशील है। दूरी सहसंबंध 2005 में गैबोर जे द्वारा पेश किया गया था। पियर्सन के सहसंबंध के इस घाटे को दूर करने के लिए कई व्याख्यानों में स्ज़ेकली, अर्थात् यह निर्भर चर के लिए आसानी से शून्य हो सकता है। सहसंबंध = 0 ( असंबद्धता ) स्वतंत्रता का अर्थ नहीं है जबकि दूरी सहसंबंध = 0 स्वतंत्रता का अर्थ है। दूरी सहसंबंध पर पहला परिणाम 2007 और 2009 में प्रकाशित हुआ था।{{sfn|Székely|Rizzo|Bakirov|2007}}{{sfn|Székely|Rizzo|2009a}} यह प्रचारित किया गया था कि दूरी सहसंयोजक ब्राउनियन सहसंयोजक के समान है।{{sfn|Székely|Rizzo|2009a}} ये उपाय ऊर्जा दूरी के उदाहरण हैं।


निर्भरता का संरचनात्मक माप, [[पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक|पियर्सन]] [[पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक|सहसंबंध गुणांक]], मुख्य रूप से दो चर के बीच एक रैखिक संबंध के प्रति संवेदनशील है. दूरी सहसंबंध 2005 में गैबोर जे द्वारा प्रस्तुत किया गया था. पियर्सन के सहसंबंध की इस कमी को दूर करने के लिए कई व्याख्यानों में स्ज़ेकली, अर्थात् यह निर्भर चर के लिए आसानी से शून्य हो सकता है. सहसंबंध = 0 ( असंबद्धता ) स्वतंत्रता का अर्थ नहीं है जबकि दूरी सहसंबंध = 0 स्वतंत्रता का अर्थ है. दूरी सहसंबंध पर पहला परिणाम 2007 और 2009 में प्रकाशित हुआ था। यह साबित हो गया था कि दूरी सहसंयोजक ब्राउनियन सहसंयोजक के समान है। ये माप ऊर्जा दूरियों के उदाहरण हैं।
दूरी सहसंबंध कई अन्य मात्राओं से लिया गया है जो इसके विनिर्देशन में उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से: '''दूरी विचरण''', '''दूरी मानक''' '''विचलन''', और '''दूरी सहसंयोजक'''। ये मात्राएं पियर्सन गुणक सहसंबंध गुणांक के विनिर्देशन में संबंधित नामों के साथ सामान्य क्षणों के समान भूमिका निभाती हैं।
 
दूरी सहसंबंध कई अन्य मात्राओं से लिया गया है जो इसके विनिर्देशन में उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से: '''दूरी विचरण''', '''दूरी मानक''' '''विचलन''', और '''दूरी सहसंयोजक'''. ये मात्रा पियरसन गुणक सहसंबंध गुणांक के विनिर्देशन में संबंधित नामों के साथ सामान्य क्षणों के समान भूमिका निभाती हैं।


== परिभाषाएँ ==
== परिभाषाएँ ==
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=== दूरी सहप्रसरण ===
=== दूरी सहप्रसरण ===


आइए हम दृष्टांत दूरी की परिभाषा के साथ प्रारंभ करें। मान लें (''X<sub>k</sub>'', ''Y<sub>k</sub>''), ''k'' = 1, 2, ..., ''n'' वास्तविक मूल्यवान या वेक्टर मूल्यवान यादृच्छिक चर की एक युग्म से [[सांख्यिकीय नमूना|सांख्यिकीय दृष्टांत]] (''X'', ''Y'') हो। सबसे पहले, ''n'' दूरी की मैट्रिसेस द्वारा ''n'' की गणना करें (''a<sub>j</sub>''<sub>, ''k''</sub>) और (''b<sub>j</sub>''<sub>, ''k''</sub>) जिसमें सभी युग्मन दूरी हैं।
आइए हम दृष्टांत दूरी की परिभाषा के साथ प्रारंभ करें। मान लें (''X<sub>k</sub>'', ''Y<sub>k</sub>''), ''k'' = 1, 2, ..., ''n'' वास्तविक मूल्यवान या सदिश मूल्यवान यादृच्छिक चर की एक युग्म से [[सांख्यिकीय नमूना|सांख्यिकीय दृष्टांत]] (''X'', ''Y'') हो। सबसे पहले, ''n'' दूरी की आव्यूह द्वारा ''n'' की गणना करें (''a<sub>j</sub>''<sub>, ''k''</sub>) और (''b<sub>j</sub>''<sub>, ''k''</sub>) जिसमें सभी युग्मन दूरी हैं।


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जहां || ⋅ || यूक्लिडियन मानक को दर्शाता है. फिर सभी दोगुनी केंद्रित दूरी लें
जहां || ⋅ || यूक्लिडियन मानक को दर्शाता है। फिर सभी दोगुनी केंद्रित दूरी लें


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B_{j, k} := b_{j, k} - \overline{b}_{j\cdot} -\overline{b}_{\cdot k} + \overline{b}_{\cdot\cdot},
B_{j, k} := b_{j, k} - \overline{b}_{j\cdot} -\overline{b}_{\cdot k} + \overline{b}_{\cdot\cdot},
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जहां <math>\textstyle \overline{a}_{j\cdot}</math> j-वें पंक्ति का माध्य है, <math>\textstyle \overline{a}_{\cdot k}</math> k-वें स्तंभ का माध्य है, और <math>\textstyle \overline{a}_{\cdot\cdot}</math> {{math|''X''}} नमूने की दूरी मैट्रिक्स का भव्य माध्य है। {{math|''b''}} मानों के लिए अंकन समान है। (केंद्रित दूरियों (''A<sub>j</sub>''<sub>, ''k''</sub>) और (''B<sub>j</sub>''<sub>,''k''</sub>) के आव्यूहों में सभी पंक्तियों और सभी स्तंभों का योग शून्य होता है।) वर्गित दृष्टांत दूरी सहप्रसरण (एक अदिश राशि) केवल गुणनों ''A<sub>j</sub>''<sub>, ''k''</sub> ''B<sub>j</sub>''<sub>, ''k''</sub>: का अंकगणितीय औसत है:
जहां <math>\textstyle \overline{a}_{j\cdot}</math> j-वें पंक्ति का माध्य है, <math>\textstyle \overline{a}_{\cdot k}</math> k-वें स्तंभ का माध्य है, और <math>\textstyle \overline{a}_{\cdot\cdot}</math> {{math|''X''}} नमूने की दूरी आव्यूह का भव्य माध्य है। {{math|''b''}} मानों के लिए अंकन समान है। (केंद्रित दूरियों (''A<sub>j</sub>''<sub>, ''k''</sub>) और (''B<sub>j</sub>''<sub>,''k''</sub>) के आव्यूहों में सभी पंक्तियों और सभी स्तंभों का योग शून्य होता है।) वर्गित दृष्टांत दूरी सहप्रसरण (एक अदिश राशि) केवल गुणनों ''A<sub>j</sub>''<sub>, ''k''</sub> ''B<sub>j</sub>''<sub>, ''k''</sub>: का अंकगणितीय औसत है:


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\operatorname{dCov}^2_n(X,Y) := \frac 1 {n^2} \sum_{j = 1}^n \sum_{k = 1}^n A_{j, k} \, B_{j, k}.
\operatorname{dCov}^2_n(X,Y) := \frac 1 {n^2} \sum_{j = 1}^n \sum_{k = 1}^n A_{j, k} \, B_{j, k}.
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सांख्यिकीय ''T<sub>n</sub>'' = ''n'' dCov<sup>2</sup><sub>''n''</sub>(''X'', ''Y'') यादृच्छिकआयामों में यादृच्छिक वैक्टर की स्वतंत्रता का सुसंगत बहुभिन्नरूपी परीक्षण निर्धारित करता है. कार्यान्वयन के लिए R  के लिए ऊर्जा पैकेज में dcov.test फ़ंक्शन देखें।<sup>{{sfn|Rizzo|Székely|2021}}
सांख्यिकीय ''T<sub>n</sub>'' = ''n'' dCov<sup>2</sup><sub>''n''</sub>(''X'', ''Y'') यादृच्छिकआयामों में यादृच्छिक सदिश की स्वतंत्रता का सुसंगत बहुभिन्नरूपी परीक्षण निर्धारित करता है। कार्यान्वयन के लिए R  के लिए ऊर्जा पैकेज में dcov.test फ़ंक्शन देखें।<sup>{{sfn|Rizzo|Székely|2021}}


'''दूरी सहप्रसरण''' के जनसंख्या मान को उसी तर्ज पर परिभाषित किया जा सकता है। मान X यादृच्छिक चर है जो संभाव्यता वितरण μ के साथ p-आयामी यूक्लिडियन स्थान में मान लेता है और Y को एक यादृच्छिक चर होने देता है जो एक q-आयामी यूक्लिडियन स्थान में मान लेता है संभाव्यता वितरण ν के साथ, और मान लीजिए कि X और Y की सीमित अपेक्षाएँ हैं। लिखें
'''दूरी सहप्रसरण''' के जनसंख्या मान को उसी तर्ज पर परिभाषित किया जा सकता है। मान X यादृच्छिक चर है जो संभाव्यता वितरण μ के साथ p-आयामी यूक्लिडियन स्थान में मान लेता है और Y को एक यादृच्छिक चर होने देता है जो एक q-आयामी यूक्लिडियन स्थान में मान लेता है संभाव्यता वितरण ν के साथ, और मान लीजिए कि X और Y की सीमित अपेक्षाएँ हैं। लिखें
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=== दूरी विचरण और दूरी मानक विस्थापन ===
=== दूरी विचरण और दूरी मानक विस्थापन ===


दूरी ''विचरण दूरी'' के सहसंयोजक का विशेष स्तिथि है जब दो चर समान होते हैं. दूरी विचरण का जनसंख्या मूल्य वर्गमूल है
दूरी ''विचरण दूरी'' के सहसंयोजक का विशेष स्तिथि है जब दो चर समान होते हैं। दूरी विचरण का जनसंख्या मूल्य वर्गमूल है


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\operatorname{dVar}^2(X) := \operatorname{E}[\|X-X'\|^2] + \operatorname{E}^2[\|X-X'\|] - 2\operatorname{E}[\|X-X'\|\,\|X-X''\|],
\operatorname{dVar}^2(X) := \operatorname{E}[\|X-X'\|^2] + \operatorname{E}^2[\|X-X'\|] - 2\operatorname{E}[\|X-X'\|\,\|X-X''\|],
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जहाँ <math>X</math>, <math>X'</math>, और <math>X''</math> [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] हैं, <math>\operatorname{E}</math> [[अपेक्षित मूल्य]] को दर्शाता है, और <math>f^2(\cdot)=(f(\cdot))^2</math> फलन के लिए <math>f(\cdot)</math>, जैसे, <math>\operatorname{E}^2[\cdot] = (\operatorname{E}[\cdot])^2</math>.
जहाँ <math>X</math>, <math>X'</math>, और <math>X''</math> [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] हैं, <math>\operatorname{E}</math> [[अपेक्षित मूल्य]] को दर्शाता है, और <math>f^2(\cdot)=(f(\cdot))^2</math> फलन के लिए <math>f(\cdot)</math>, जैसे, <math>\operatorname{E}^2[\cdot] = (\operatorname{E}[\cdot])^2</math>।


दृष्टांत दूरी प्रसरण का वर्गमूल है
दृष्टांत दूरी प्रसरण का वर्गमूल है
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=== दूरी सहसंबंध ===
=== दूरी सहसंबंध ===


दो यादृच्छिक चर के ''दूरी सहसंबंध''{{sfn|Székely|Rizzo|Bakirov|2007}} उनकी दूरी मानक विचलन के गुणन द्वारा उनकी ''दूरी के सहसंयोजक'' को विभाजित करके प्राप्त किया जाता है. दूरी सहसंबंध वर्गमूल है।
दो यादृच्छिक चर के ''दूरी सहसंबंध''{{sfn|Székely|Rizzo|Bakirov|2007}} उनकी दूरी मानक विचलन के गुणन द्वारा उनकी ''दूरी के सहसंयोजक'' को विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। दूरी सहसंबंध वर्गमूल है।


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फिर प्रत्येक के लिए <math>0<\alpha<2</math>, <math>X</math> और <math>Y</math> स्वतंत्र हैं अगर और केवल अगर <math>\operatorname{dCov}^2(X, Y; \alpha) = 0</math>. यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह लक्षण वर्णन प्रतिपादक के लिए नहीं है <math>\alpha=2</math>; इस स्तिथि में द्विचर के लिए <math>(X, Y)</math>, <math>\operatorname{dCor}(X, Y; \alpha=2)</math> पियर्सन सहसंबंध का एक नियतात्मक कार्य है।{{sfn|Székely|Rizzo|Bakirov|2007}} अगर <math>a_{k,\ell}</math> और <math>b_{k,\ell}</math> हैं <math>\alpha</math> संबंधित दूरियों की शक्तियां, <math>0<\alpha\leq2</math>,  तब <math>\alpha</math> दृष्टांत दूरी सहप्रसरण को ऋणात्मक संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
फिर प्रत्येक के लिए <math>0<\alpha<2</math>, <math>X</math> और <math>Y</math> स्वतंत्र हैं अगर और केवल अगर <math>\operatorname{dCov}^2(X, Y; \alpha) = 0</math>। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह लक्षण वर्णन प्रतिपादक के लिए नहीं है <math>\alpha=2</math>; इस स्तिथि में द्विचर के लिए <math>(X, Y)</math>, <math>\operatorname{dCor}(X, Y; \alpha=2)</math> पियर्सन सहसंबंध का एक नियतात्मक कार्य है।{{sfn|Székely|Rizzo|Bakirov|2007}} अगर <math>a_{k,\ell}</math> और <math>b_{k,\ell}</math> हैं <math>\alpha</math> संबंधित दूरियों की शक्तियां, <math>0<\alpha\leq2</math>,  तब <math>\alpha</math> दृष्टांत दूरी सहप्रसरण को ऋणात्मक संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
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\operatorname{dCov}^2_n(X, Y; \alpha):= \frac{1}{n^2}\sum_{k,\ell}A_{k,\ell}\,B_{k,\ell}.
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\operatorname{cov}_{U,V}^2(X,Y) := \operatorname{E}\left[X_U X_U^\mathrm{'} Y_V Y_V^\mathrm{'}\right]
\operatorname{cov}_{U,V}^2(X,Y) := \operatorname{E}\left[X_U X_U^\mathrm{'} Y_V Y_V^\mathrm{'}\right]
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जब भी दाहिने हाथ की तरफ नॉनगेटिव और परिमित हो. सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है जब यू और वी दो तरफा स्वतंत्र ब्राउनियन गति / हैं /अपेक्षा शून्य और सहसंयोजक के साथ [[वीनर प्रक्रिया]] {{nowrap|1={{abs|''s''}} + {{abs|''t''}} − {{abs|''s'' − ''t''}} = 2 min(''s'',''t'')}} ( केवल ऋणात्मक s के लिए, t. ( यह मानक वीनर प्रक्रिया के सहसंयोजक से दोगुना है; यहाँ कारक 2 संगणना को सरल करता है।) इस स्तिथि में ( U, V ) सहसंयोजक को ब्राउनियन सहसंयोजक कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है।
जब भी दाहिने हाथ की तरफ नॉनगेटिव और परिमित हो। सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है जब यू और वी दो तरफा स्वतंत्र ब्राउनियन गति / हैं /अपेक्षा शून्य और सहसंयोजक के साथ [[वीनर प्रक्रिया]] {{nowrap|1={{abs|''s''}} + {{abs|''t''}} − {{abs|''s'' − ''t''}} = 2 min(''s'',''t'')}} ( केवल ऋणात्मक s के लिए, t. ( यह मानक वीनर प्रक्रिया के सहसंयोजक से दोगुना है; यहाँ कारक 2 संगणना को सरल करता है।) इस स्तिथि में ( U, V ) सहसंयोजक को ब्राउनियन सहसंयोजक कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है।
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\operatorname{cov}_W(X,Y).  
\operatorname{cov}_W(X,Y).  
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== संबंधित मैट्रिक्स ==
== संबंधित आव्यूह ==
कर्नेल-आधारित सहसंबंधी मैट्रिक्स (जैसे हिल्बर्ट-श्मिट इंडिपेंडेंस मानदंड या एचएसआईसी) सहित अन्य सहसंबंधी मीट्रिक भी रैखिक और nonlinear इंटरैक्शन का पता लगा सकते हैं. दूरी सहसंबंध और कर्नेल-आधारित मेट्रिक्स दोनों का उपयोग [[विहित सहसंबंध विश्लेषण|विहित]] [[सांख्यिकीय शक्ति|सांख्यिकीय]] विश्लेषण और [[स्वतंत्र घटक विश्लेषण]] जैसे तरीकों से किया जा सकता है ताकि स्थिर सांख्यिकीय शक्ति प्राप्त की सकती है।
कर्नेल-आधारित सहसंबंधी आव्यूह (जैसे हिल्बर्ट-श्मिट इंडिपेंडेंस मानदंड या एचएसआईसी) सहित अन्य सहसंबंधी मीट्रिक भी रैखिक और nonlinear इंटरैक्शन का पता लगा सकते हैं। दूरी सहसंबंध और कर्नेल-आधारित मेट्रिक्स दोनों का उपयोग [[विहित सहसंबंध विश्लेषण|विहित]] [[सांख्यिकीय शक्ति|सांख्यिकीय]] विश्लेषण और [[स्वतंत्र घटक विश्लेषण]] जैसे तरीकों से किया जा सकता है ताकि स्थिर सांख्यिकीय शक्ति प्राप्त की सकती है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 05:25, 27 June 2023

सांख्यिकी और प्रायिकता सिद्धांत में, दूरी सहसंबंध या दूरी सहसंयोजक, यादृच्छिक के दो युग्मित यादृच्छिक सदिश के बीच निर्भरता का एक माप है। जनसंख्या सहसंबंध गुणांक शून्य है यदि और केवल यदि यादृच्छिक सदिश स्वतंत्र है। इस प्रकार, दूरी सहसंबंध दो यादृच्छिक चर या यादृच्छिक सदिश के बीच रैखिक और गैर-रेखीय संबंधों को मापता है। यह पियर्सन के सहसंबंध के विपरीत है, जो केवल दो यादृच्छिक चर के बीच रैखिक संबंध का आकलन कर सकता है।

दूरी सहसंबंध का उपयोग क्रमपरिवर्तन परीक्षण के साथ निर्भरता का सांख्यिकीय परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है। पहले दो यादृच्छिक सदिश के बीच दूरी सहसंबंध (यूक्लिडियन दूरी आव्यूह के पुन: केंद्रित होने सहित) की गणना करता है और फिर इस मान की तुलना डेटा के कई क्रमपरिवर्तनों के दूरी सहसंबंधों से करता है।

प्रत्येक सेट के लिए x और y के दूरी सहसंबंध गुणांक के साथ (x, y) बिंदुओं के कई सेट। सहसंबंध पर ग्राफ की तुलना करें

पृष्ठभूमि

निर्भरता का संरचनात्मक माप, पियर्सन सहसंबंध गुणांक, [1] दो चर के बीच एक रैखिक संबंध के लिए मुख्य संवेदनशील है। दूरी सहसंबंध 2005 में गैबोर जे द्वारा पेश किया गया था। पियर्सन के सहसंबंध के इस घाटे को दूर करने के लिए कई व्याख्यानों में स्ज़ेकली, अर्थात् यह निर्भर चर के लिए आसानी से शून्य हो सकता है। सहसंबंध = 0 ( असंबद्धता ) स्वतंत्रता का अर्थ नहीं है जबकि दूरी सहसंबंध = 0 स्वतंत्रता का अर्थ है। दूरी सहसंबंध पर पहला परिणाम 2007 और 2009 में प्रकाशित हुआ था।[2][3] यह प्रचारित किया गया था कि दूरी सहसंयोजक ब्राउनियन सहसंयोजक के समान है।[3] ये उपाय ऊर्जा दूरी के उदाहरण हैं।

दूरी सहसंबंध कई अन्य मात्राओं से लिया गया है जो इसके विनिर्देशन में उपयोग किए जाते हैं, विशेष रूप से: दूरी विचरण, दूरी मानक विचलन, और दूरी सहसंयोजक। ये मात्राएं पियर्सन गुणक सहसंबंध गुणांक के विनिर्देशन में संबंधित नामों के साथ सामान्य क्षणों के समान भूमिका निभाती हैं।

परिभाषाएँ

दूरी सहप्रसरण

आइए हम दृष्टांत दूरी की परिभाषा के साथ प्रारंभ करें। मान लें (Xk, Yk), k = 1, 2, ..., n वास्तविक मूल्यवान या सदिश मूल्यवान यादृच्छिक चर की एक युग्म से सांख्यिकीय दृष्टांत (X, Y) हो। सबसे पहले, n दूरी की आव्यूह द्वारा n की गणना करें (aj, k) और (bj, k) जिसमें सभी युग्मन दूरी हैं।

जहां || ⋅ || यूक्लिडियन मानक को दर्शाता है। फिर सभी दोगुनी केंद्रित दूरी लें

जहां j-वें पंक्ति का माध्य है,